精品解析：江苏省南京市七校联合体2025-2026学年第一学期期末调研试题高二数学

江苏省南京市七校联合体2025-2026学年第一学期期末调研试题 高二数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 椭圆的焦距为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由即可求出 【详解】由题可知：，所以椭圆的焦距为 故选：D 【点睛】本题考查椭圆基本量的求解，属于基础题 2. 直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线的方程，求得直线的斜率，进而根据，即可得倾斜角，得到答案． 【详解】由题意，直线，可得直线的斜率， 即，又∵，所以， 故选． 【点睛】本题考查直线的倾斜角的求解，其中解答中由直线方程得出斜率，再根据斜率与倾斜角的关键求解是解决的关键，着重考查了运算与求解能力，属于属基础题． 3. 已知，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，再将自变量代入导函数整理求值即可. 【详解】由题设，则， 所以，可得. 故选：B 4. 若等比数列的公比不为1，且，，，成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求出，结合等差数列的性质求出公比，再利用等比数列的通项公式即可求出. 【详解】由等比数列的性质可知，，所以，解得. 设等比数列的公比为，则，所以，. 由等差数列的性质可知，，则， 整理得，即，解得或（舍去，因为）. 由可得，，即，解得. 故选：A. 5. 若圆：与圆有且仅有一条公切线，则实数a的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出圆心和半径，再利用两点间距离公式求出圆心距，最后利用圆与圆的位置关系构造方程求解． 【详解】 圆的标准方程为：，故圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为； 两圆的圆心距为， 两圆只有一条公切线， 两圆内切，故，解得，故C正确． 故选：C． 6. 已知，，，，则下面结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，利用函数的单调性比较大小. 【详解】因为，所以（当且仅当时取等号）， 所以函数在上单调递增. 又，即，所以， 即. 故选：B 7. 已知双曲线：的左焦点为，直线与的左、右两支分别交于点，，若，且，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义、余弦定理及求出，进而得到渐近线方程. 【详解】由题意可知，点，关于原点对称，即. 设右焦点为，则，所以四边形是平行四边形， 因此. 由双曲线定义可知，，所以. 在中，， 即，所以， 又，所以， 所以，即，所以渐近线方程为. 故选：B. 8. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列是首项为1，公比为2的等比数列，设，在数列的相邻两项之间插入个3，得到新的数列，记数列的前n项和为，则使成立的n的最小值为（ ） A. 346 B. 347 C. 515 D. 516 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据已知条件求出和，进而得到数列然后分析数列的构成，计算出数列中前k组的项数和前k组的和，通过比较前k组的和与2026的大小关系，确定k的值，最后求出使成立的n的最小值即可求解. 【详解】由题可知，，所以， 数列是在数列的相邻两项之间插入个3得到的， 那么数列中前k组共有项， 根据等比数列求和公式可得， 所以前k组共有项， 前k组的和为， 因为， ， 所以前k组的和为， 当，前8组共有项，前8组的和为， 当，前9组共有项，前9组的和为， 求使成立的n的最小值 因为，所以n的最小值在第9组中。 从第263项开始到第518项都是3，第519项是，， 即从第263项开始往后数254个3， 此时. 故选：D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 点一定在直线上 B. 存在实数，使得直线与直线垂直 C. 过点且横纵截距相等的直线方程为 D. 经过平面内任意相异两点，的直线都可以用方程表示 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线的方程与直线间位置关系逐项判断即可. 【详解】选项A：将点代入直线方程中得， 等式恒成立，所以点一定在这条直线上，A正确. 选项B：当时，两直线为与，此时两直线垂直. 当时，由两直线垂直可得，，此时两直线不垂直. 综上，当时，两直线垂直，B正确. 选项C：当横纵截距均为0时，方程为，即. 当横纵截距不为0时，设直线方程为，代入点可得，， 此时直线方程为，即. 综上，过点且横纵截距相等的直线方程为或，C错误. 选项D：经过任意相异两点，的直线， 当斜率存在时，方程为，整理为. 当斜率不存在时，方程为，代入上式也成立. 所以方程对任意相异两点均成立，D正确. 故选：ABD. 10. 已知椭圆的左右焦点分别为，动点在椭圆上，点，下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 过点的直线与椭圆相交于两点，若为弦的中点，则直线的斜率为 C. 内切圆半径的最大值为 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由椭圆性质求的范围判断选项A；利用点差法结合两点表示斜率的公式，计算后可判断B；由面积法可得三角形内切圆半径，求出最大值即可判断C；把转化为，求出的最大值即可判断选项D. 【详解】椭圆的左右焦点分别为，动点在椭圆上， 对于A，当在左右顶点时，最小，为0，当在上下顶点时，最大， 此时，则，而， 因此不存在点，使得，故A错误； 对于B，设，为弦的中点，有 两点在椭圆上，有，两式相减得， 可得，， 所以直线的斜率为，B选项正确； 对于C，设的内切圆半径为，则， 则当最大时，最大，又，， 所以，则， 所以内切圆半径的最大值为，C选项正确； 由椭圆的定义知，，得， 点在椭圆内，有， 所以， 当三点共线且在之间时等号成立，所以D选项错误. 故选：BC 11. 设数列的前项和为，，，当时，，则下列说法正确的是（） A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. 数列的最大项为 D. 设，且数列的前项和为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助与的关系及已知递推关系，变形推导出​的通项公式，再以此为基础利用等比数列的定义、等差数列的定义及裂项求和，逐一验证四个选项. 【详解】当时，， ， 即. 因为，， 所以：，则. 因此是首项为，公比为的等比数列，所以A正确， 由，得， 所以，则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，B正确. 因为，所以. 设，则， 令，解得；令，解得. 所以，最大项为，C错误. 因为， 所以 于是， 因为，所以； 又单调递增，，故，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 数列满足，，则数列的前9项和为____． 【答案】30 【解析】 【分析】根据题意求得，得到数列是首项为，公差为2的等差数列，数列是首项为，公差为2的等差数列，据此求得的通项公式，分为奇数和偶数，结合等差数列求和公式，即可求解． 【详解】由，可得， 两式相减，可得，又由且，可得， 所以数列是首项为，公差为2的等差数列， 数列是首项为，公差为2的等差数列， 即为奇数时，，为偶数时，， 所以， 所以． 故答案为：30． 13. 已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为____． 【答案】 【解析】 【分析】问题转化为在上恒成立，求参数的取值范围. 【详解】因为，所以. 由函数在区间上为增函数，所以在上恒成立. 所以在上恒成立. 所以. 因为，所以，所以. 故答案为： 14. 已知双曲线：，左、右顶点分别为，，过作直线与双曲线左右两支分别交于，两点（异于，），设直线的斜率为，直线的斜率为，则____． 【答案】## 【解析】 【分析】设出直线方程与两点坐标，与双曲线方程联立，结合韦达定理求出两根之和及两根之积，代入中化简求值即可. 【详解】双曲线左顶点，右顶点. 设直线的方程为，（左支），（右支）. 联立，整理得， ， 所以，， 有题意可得，， 则， 又， ， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，. （1）求证：数列为等比数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明：证明：因为，所以， 又， 所以， 故数列是首项为，公比为的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的概念，计算证明为常数，即可； （2）由（1）知，数列是首项为，公比为的等比数列，从而知， 进而得，再利用错位相减法求和，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以，即， 所以， ， 则， 两式相减得 ， 所以. 16. 已知圆C经过，两点，且圆心在x轴上． （1）求圆C的标准方程； （2）过点作圆的两条切线，切点分别为，，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）法一：根据待定系数法求圆的方程即可；法二：利用圆的弦和圆心的性质求出圆心所在直线，与已知联立得出圆心坐标，进而得到半径，即可求解； （2）法一：由题可知，再求出切线的长，接着根据等面积法求即可；法二：由圆的切线的性质，得到点，在以为直径的圆上，求得以为直径的圆的方程，两圆的方程相减，即可求解公共弦的方程，进而根据弦心距公式计算即可. 【小问1详解】 法一：因为圆的圆心在轴上， 所以设圆的标准方程为（）， 因为圆经过，两点， 所以，解得， 所以圆的方程为； 法二：AB的中点坐标为，直线AB的斜率， 所以线段AB的垂直平分线的斜率， 所以线段AB的垂直平分线的方程为，即， 又因为圆C的圆心在x轴上， 所以联立方程，得，即圆心，圆C的半径， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 法一：因为，， 所以， 所以， 则四边形的面积， 因为过点作圆的两条切线，切点为、，所以 所以四边形的面积，解得； 法二：由题意且，所以在以为直径的圆上， 圆的方程为，即， 又圆的方程为， 所以两圆的公共弦的方程为：， 圆心到的距离， 所以. 17. 已知函数 （1）当时，求函数在上的值域； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2） 当时，在单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）求的导数，通过函数单调性研究的值域即可； （2）求的导数，对a分、、三种情况讨论即可． 【小问1详解】 当时，，， ， 令，解得，（舍）， 所以当，，单调递增； ，，单调递减； 又因为，，， 且，其中， 所以的值域为． 【小问2详解】 ， 令，，， 若，，在单调递减； 若，，所以当，，单调递增， 当，，单调递减； 若，，所以当，，单调递增， 当，，单调递减． 综上，当时，在单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 18. 已知动点P到定点与到定直线的距离相等． （1）求动点P的轨迹方程； （2）过作两条斜率乘积为的直线，分别交P的轨迹于A、B和C、D两点，且线段，的中点分别为M，N． ①证明：直线恒过定点； ②求的最小值． 【答案】（1） （2） ①设直线的方程为），由与的斜率乘积为，可得直线的方程为， 联立，消去得：， 则，设，由韦达定理可得， 为线段的中点， ，代入得，即， 联立，消去得：， 设，同理可得， 则直线的斜率， 直线的方程为， 即变形为：， 令，解得，恒过定点． ② 【解析】 【分析】（1）设点，利用两点间距离公式构造方程求解； （2）设直线方程，联立曲线方程，结合韦达定理及中点关系求出方程，进而证明结论；分别求出对应弦长，得出，再利用基本不等式求最小值． 【小问1详解】 设，则， 解得． 【小问2详解】 ①略 ②直线对应的弦长， 直线对应的弦长， 的表达式为：， 由基本不等式得，当且仅当时取等号， ， 的最小值为． 19. 已知函数 （1）若，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若，求证：当时，； （3）若在时恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 当时，构造函数，且， ， 为偶函数， 先考虑，， 当时，因为，则， 当时， 令，，则， 所以在上单调递增，， 所以时，， 综上，当时，，由偶函数的对称性，当时， 即时，，得证； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）构造且，利用导数证明恒成立即可； （3）由题设在上恒成立，从充分、必要性两个方面，应用分析法及导数研究的符号求参数范围. 【小问1详解】 当时，， ∴切线的斜率为， ∴切线方程为，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，可得， 令，，则， 令，则， 令，则， 因为，，，， 要证，恒成立， 所以在及附近单调递减，必有， 先判断必要性： 当时，，必存在，使得， 即在上单调递增，则， 即在上单调递增，则， 即在上单调递增，则，故原不等式不成立， 即是原不等式成立的必要条件； 再证明充分性： 当时，， 令，则， 所以在上单调递减，即， 即，从而，故原不等式成立． 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市七校联合体2025-2026学年第一学期期末调研试题 高二数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 椭圆的焦距为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 2. 直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2026 4. 若等比数列的公比不为1，且，，，成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 5. 若圆：与圆有且仅有一条公切线，则实数a的值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，，则下面结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线：的左焦点为，直线与的左、右两支分别交于点，，若，且，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列是首项为1，公比为2的等比数列，设，在数列的相邻两项之间插入个3，得到新的数列，记数列的前n项和为，则使成立的n的最小值为（ ） A. 346 B. 347 C. 515 D. 516 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 点一定在直线上 B. 存在实数，使得直线与直线垂直 C. 过点且横纵截距相等的直线方程为 D. 经过平面内任意相异两点，的直线都可以用方程表示 10. 已知椭圆的左右焦点分别为，动点在椭圆上，点，下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 过点的直线与椭圆相交于两点，若为弦的中点，则直线的斜率为 C. 内切圆半径的最大值为 D. 的最大值为 11. 设数列的前项和为，，，当时，，则下列说法正确的是（） A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列 C. 数列的最大项为 D. 设，且数列的前项和为，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 数列满足，，则数列的前9项和为____． 13. 已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为____． 14. 已知双曲线：，左、右顶点分别为，，过作直线与双曲线左右两支分别交于，两点（异于，），设直线的斜率为，直线的斜率为，则____． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，. （1）求证：数列为等比数列； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知圆C经过，两点，且圆心在x轴上． （1）求圆C的标准方程； （2）过点作圆的两条切线，切点分别为，，求的值． 17. 已知函数 （1）当时，求函数在上的值域； （2）讨论的单调性． 18. 已知动点P到定点与到定直线的距离相等． （1）求动点P的轨迹方程； （2）过作两条斜率乘积为的直线，分别交P的轨迹于A、B和C、D两点，且线段，的中点分别为M，N． ①证明：直线恒过定点； ②求的最小值． 19. 已知函数 （1）若，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若，求证：当时，； （3）若在时恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $