精品解析：南江中学2025-2026学年高一上学期期中检测试数学试题

南江中学高2025级期中考试数学试题 命题人：何林 审题人：王成林 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义直接求解. 【详解】由，，得. 故选：B 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用命题的否定规则求解即可. 【详解】由命题的否定规则可得，命题的否定如下， 为，故D正确. 故选：D 3. 已知，设命题，命题，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】取特殊值判断充分性、必要性即可得解. 【详解】取，满足，但，充分性不成立， 取，满足，但，必要性不成立． 故p是q的既不充分也不必要条件. 故选：D 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对分式不等式合理变形，再求解集即可. 【详解】因为，所以， 解得，故D正确. 故选：D 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇偶性排除两个答案，再利用自变量取正数，函数值一定为非正数，即可得到判断. 【详解】因为,所以是奇函数， 即图象关于原点对称，故CD错误； 因为当时，，故A错误，B正确； 故选：B 6. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性，可判断三个式子的大小. 【详解】解：函数为减函数，故， 函数为增函数，故， 所以， 即 故选：C. 【点睛】本题考查指数函数的单调性，属于基础题. 7. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法结合二次函数性质求解值域即可. 【详解】由题意得，令， 可得，则，即原函数化为， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 而，，当时，， 可得，即的值域为，故B正确. 故选：B 8. 已知且，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列式求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以当时，是减函数，得， 因为当时，二次函数开口向上，对称轴， 所以在上单调递减， 所以要使在上单调递减，则，解得， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 函数与函数表示同一函数 B. 若函数，则 C. 若奇函数满足：当时，，则当时， D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A，根据两函数的定义域不同，判断不是同一函数；选项B，利用换元法，即可求出的解析式； 选项C，根据奇函数的定义，由时的解析式，求时的解析式；选项D，根据函数的定义域，即可求解的定义域． 【详解】对于A，函数的定义域是，函数的定义域是， 两函数的定义域不同，不是同一函数，选项A错误； 对于B，设，，则，所以， 即，选项B正确； 对于C，奇函数满足：当时，， 时，，，选项C错误； 对于D，函数的定义域为时，令，解得， 所以函数的定义域为，选项D正确． 故选：BD. 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例可判断A；由基本不等式可得B；作差可判断C，利用基本不等式结合换元法可得D. 【详解】对于A，令，则 ，故A错误； 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，， 因为且，则，所以，故C正确； 对于D，若，则，当且仅当时取等号， 令，所以，解得， 所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 设定义在上的函数满足：①；②当时，；③，则正确的有（ ） A. B. 为增函数 C. D. 关于的不等式，的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法求出判断A，根据函数单调性的定义及函数性质证明单调性判断B，令后，再利用赋值法求出即可判断C，根据C化简不等式后，换元解不等式，再由函数单调性求解即可判断D. 【详解】令，可得，得，再令，可得，解得，故A正确； 设，因为，所以，令，则，因为，所以，因为当时，，所以，即，所以为减函数，故B错误； 令可得，令可得， 由，可得，所以，故C正确； 由C，可化为，令， 则不等式可化为，解得，即， 因为为减函数，，所以由 可得，即，解得，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】两边平方后，求出答案. 【详解】因为，所以，即． 故答案为：3 13. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】 转化条件为直线与函数的图象有3个交点，数形结合即可得解. 【详解】方程有三个不同的实数根， 所以直线与函数的图象有3个交点， 在直角坐标系中作出的图象,如图， 若要使直线与函数的图象有3个交点，数形结合可得，. 故答案为：. 14. 定义在上的函数满足，对任意的，恒有，则关于x的不等式的解集为________ 【答案】 【解析】 【分析】设，由已知不等式得函数是增函数，即得是增函数，又由函数表达式得函数为奇函数，不等式转化为的函数不等式，利用奇偶性变形，再由单调性可解． 【详解】设， 因为对任意的，恒有， 所以函数在上为增函数，则在上为增函数， 又，而，所以， 所以为奇函数，综上，为奇函数，且在上为增函数， 所以不等式等价于， 即，亦即， 可得，解得． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）计算：. 【答案】（1）；（2）6. 【解析】 【分析】（1）根据根式运算法则计算即可； （2）根据对数运算法则和性质计算即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. 16. 已知幂函数是定义在上的偶函数． （1）求的解析式，并根据定义证明在上单调递增． （2）对恒有意义，求实数的取值范围． 【答案】（1）；证明： 因为是幂函数， 所以，解得或， 当时，可得，此时定义域不为，故排除， 当时，可得，由二次函数性质得是偶函数， 任取，且使， 可得， 则，得到在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）利用幂函数的性质结合题意求解参数，进而求出解析式，再利用定义法证明单调性即可. （2）结合题意转化为二次函数在定区间上的恒成立问题，再利用分离参数法与基本不等式求解参数范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得， 若有意义，则在上恒成立， 可得恒成立，即恒成立， 令，则恒成立， 由基本不等式得，即， 当且仅当时取等，此时解得，得到. 17. 作为重庆本土最高级别足球赛事，渝超某焦点赛事凭借激烈对抗与精彩进球，点燃了重庆民众的观赛热情．赛前球迷自发组织助威活动，赛后街头巷尾热议赛事细节，社交媒体上相关话题更是持续刷屏．某网站统计数据显示，该赛事开赛后48小时内网络热度值（单位：万次点击）与时间（单位：小时）呈现阶段性变化：①当时，受重庆民众自发传播、二次创作赛事内容的推动，热度持续增长，函数关系为；②当时，虽热度逐渐冷却，但重庆球迷仍持续关注，函数关系为 （1）当时间为多少时，网络热度值最大，并求出最大值； （2）该网站把“网络热度值超过220万次点击的时间段”称为“霸榜时段”，求“渝超”开赛后48小时内的“霸榜时段”． 【答案】（1）当时，取得最大值280． （2）第7至第13小时. 【解析】 【分析】（1）分和，利用单调性求解最值； （2）分和，解不等式求解范围. 【小问1详解】 ①当时，单调递增， 此时． ②当时，．故单调递减． 此时． 所以，当时，取得最大值280． 【小问2详解】 ①当时，令， 即， 解得或 ： ②当时，令， 即，解得， ; 综上，霸榜时段为第7至第13小时. 18. 已知函数． （1）证明：； （2）解关于的不等式：； （3）若，，对，，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明： . （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由指数幂的运算可得； （2）由（1）的结论结合复合函数的单调性和一元二次不等式的解法可得； （3）先由题意得在上的最大值大于在上的所有函数值.由指数幂的运算结合复合函数的单调性得到的范围，再利用换元法和指数幂的运算得到的表达式，最后结合二次函数的性质分析可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 因为， 由复合函数的单调性可得在定义域上为递增函数， 所以，即，解得或， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 由题意得在上的最大值大于在上的所有函数值. ， 由指数函数的性质可得在上单调递减， 时，；时，. 所以的值域为. 所以 令，所以， 由指数函数的性质可得是单调增函数， 当时，，当时，所以在上的取值范围是， 设对称轴为，开口向上， 当时，，解得； 当时，， 综上，实数的取值范围为. 19. 俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”. （1）函数，求的“偏差”； （2）函数，若的“偏差”为2，求的值； （3）函数，当的“偏差”取最小值时，求的值，并求出“偏差”的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3），“偏差”的最小值为. 【解析】 【分析】（1）写出的解析式，结合，求出值域，可得偏差为； （2），，利用和的函数性质，通过分类讨论，由“偏差”值求得的值； （3）结合所给条件，可得函数与的“偏差”为，结合绝对值不等式，求出即可. 【小问1详解】 因为，所以， 则，. 所以函数与的“偏差”为. 【小问2详解】 令， ∵，∴是单调减函数，∴， 由题意，，，且. 当，即时，，解得或，均不符合； 当，即时，，或， 解得或（舍）， 所以. 【小问3详解】 ， 因为，所以， 由，则， 令，即，解得， . 故当且仅当时，有. 故当的值为时，函数与的“偏差”取最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南江中学高2025级期中考试数学试题 命题人：何林 审题人：王成林 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，设命题，命题，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知且，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 函数与函数表示同一函数 B. 若函数，则 C. 若奇函数满足：当时，，则当时， D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，则 11. 设定义在上的函数满足：①；②当时，；③，则正确的有（ ） A. B. 为增函数 C. D. 关于的不等式，的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则___________． 13. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是___________. 14. 定义在上的函数满足，对任意的，恒有，则关于x的不等式的解集为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）计算：. 16. 已知幂函数是定义在上的偶函数． （1）求的解析式，并根据定义证明在上单调递增． （2）对恒有意义，求实数的取值范围． 17. 作为重庆本土最高级别足球赛事，渝超某焦点赛事凭借激烈对抗与精彩进球，点燃了重庆民众的观赛热情．赛前球迷自发组织助威活动，赛后街头巷尾热议赛事细节，社交媒体上相关话题更是持续刷屏．某网站统计数据显示，该赛事开赛后48小时内网络热度值（单位：万次点击）与时间（单位：小时）呈现阶段性变化：①当时，受重庆民众自发传播、二次创作赛事内容的推动，热度持续增长，函数关系为；②当时，虽热度逐渐冷却，但重庆球迷仍持续关注，函数关系为 （1）当时间为多少时，网络热度值最大，并求出最大值； （2）该网站把“网络热度值超过220万次点击的时间段”称为“霸榜时段”，求“渝超”开赛后48小时内的“霸榜时段”． 18. 已知函数． （1）证明：； （2）解关于的不等式：； （3）若，，对，，使得，求实数的取值范围． 19. 俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”. （1）函数，求的“偏差”； （2）函数，若的“偏差”为2，求的值； （3）函数，当的“偏差”取最小值时，求的值，并求出“偏差”的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $