精品解析：山东烟台市2025-2026学年度第一学期期末学业水平考试九年级（五四学制）数学试题

2025－2026学年度第一学期期末学业水平考试 初四数学试题 温馨提示： 1.考试时间120分钟，满分120分． 2.考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 把抛物线向右平移2个单位，然后向下平移3个单位，则平移后得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某工厂生产的一种零件，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ） A. B. C. D. 5. 九（1）班三名同学进行唱歌比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场，后来要求这三名同学用抽签方式重新确定出场顺序，则抽签后每个同学的出场顺序都发生变化的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，、如图所示，则（ ） A. B. C. D. 7. 将一个底面直径为的圆锥，从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆中互相垂直的弦，与圆心的距离分别为，，这时圆内被分为①②③④四个部分．如果用，，，分别表示这四个部分的面积，则可表示（ ） A. B. C. D. 0 9. 如图，点在反比例函数（，）的图象上，以点为圆心画弧交轴于，，延长交轴于点，连接，若的面积等于，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，则以下结论：①；②；③；④若方程的两根为和，则．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 在中，若、满足，则的度数为________． 12. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________． 13. 如图，正方形，以点为圆心，的长为半径画弧；以为直径画半圆交弧于点，连接，．若，则的面积为______． 14. 如图，菱形的对角线交于点O，以点O为圆心，长为半径画圆，分别与菱形的边相交．若，则图中阴影部分的面积为______．（结果不取近似值） 15. 如图，已知双曲线 和，直线与双曲线交于点A，将直线向下平移与双曲线交于点B，与y轴交于点P，与双曲线交于点C，，则k的值为 _____． 16. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节（、）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同，求每节拉杆的长度______．（参考数据：，，，） 三、解答题（本大题共9个题，满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，身高1.6m的小王晚上沿箭头方向散步至一路灯下，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下；先从路灯底部向东走20步到M处，发现自己的影子端点刚好在两盏路灯的中间点P处，继续沿刚才自己的影子走5步到P处，此时影子的端点在Q处． （1）根据题意画图，找出路灯的位置． （2）求路灯的高和影长． 19. 某中学对名学生就“冰壶比赛规则”的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题： 类别 频数 频率 不了解 了解很少 基本了解 很了解 4 合计 1 （1）根据以上信息可知：______，______，______，______； （2）请补全条形统计图； （3）请估计该校名学生中“基本了解”的人数； （4）寒假文文和爸爸打算去北京看冰壶赛，要购买从福山到北京的高铁车票（如图所示，每排座位编号为，，，，）．旅客在网购火车票时，系统是随机分配座位的，假设系统已将两人的位置分配到同一排，在同一排分配各座位的机会均等．“系统分给文文和爸爸，座位”是______（填“必然”或“不可能”或“随机”）事件； （5）利用画树状图或列表格，求系统分配给文文和爸爸相邻座位（过道两侧座位，不算相邻）的概率． 20. 科技改变生活，科技服务生活．如图为一新型可调节洗手装置侧面示意图，可满足不同人的洗手习惯，为竖直的连接水管，当出水装置在A处且水流与水平面夹角为时，水流落点正好为水盆的边缘C处；将出水装置水平移动至B处且水流与水平面夹角为30°时，水流落点正好为水盆的边缘D处，． （1）求连接水管的长．（结果保留整数） （2）求水盆两边缘C，D之间的距离．（结果保留一位小数） （参考数据：） 21. 打水漂是孩子们经常玩的游戏，如图，水漂从水面上（点）第一次飞起，飞行的最大高度为米，第二次从距离点，米处的处飞起．据试验，水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． （1）求水漂第一次飞越时，该抛物线的函数表达式． （2）求水漂第二次飞越时，该抛物线的函数表达式． （3）若此次水漂可以在水面上飞越次，且第一次击打水面时距离河岸米，问水漂能否飞过米宽的河面． 22. 某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量件是售价元件的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润元的三组对应值如下表： 售价元件 周销售量件 周销售利润元 注：周销售利润周销售量售价进价 （1）求关于的函数解析式不要求写出自变量的取值范围； （2）求该商品的进价和周销售的最大利润； （3）由于某种原因，该商品进价提高了元件，物价部门规定该商品售价不得超过元件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是元，求的值． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； （3）根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 24. 如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC． （1）求证：EC是⊙O的切线； （2）求证：△OAC∽△ECF （3）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E． ①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上； ②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期期末学业水平考试 初四数学试题 温馨提示： 1.考试时间120分钟，满分120分． 2.考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 把抛物线向右平移2个单位，然后向下平移3个单位，则平移后得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的关系．根据平移口诀“上加下减，左加右减”求解即可． 【详解】解：由题知， 将抛物线向右平移2个单位后，所得抛物线的解析式为，再将所得抛物线向下平移3个单位后，所得抛物线的解析式为． 故选：A． 2. 如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找到符合题意的选项 【详解】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的上方，则上方的边长影子会更长一些， 故选D 【点睛】本题考查了中心投影的概念，应用，利用中心投影的特点，理解中心投影物体的高和影长成比例是解题的关键． 3. 如图是某工厂生产的一种零件，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图，注意实线与虚线的区别是解题关键．从左面看得到的图形为矩形，且内部有两条横向的实线，据此即可得到答案． 【详解】解：由实物图可知，它的左视图是     故选：C． 4. 几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图，该几何体的主视图可确定该几何体的形状，据此求解即可． 【详解】解：根据A，B，C，D三个选项的物体的主视图可知，与题图有吻合的只有C选项， 故选：C． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，熟练掌握三视图并能灵活运用，是解题的关键． 5. 九（1）班三名同学进行唱歌比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场，后来要求这三名同学用抽签方式重新确定出场顺序，则抽签后每个同学的出场顺序都发生变化的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，正确画出树状图成为解题的关键． 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的情况，再利用概率公式即可解答． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化有2种情况， ∴抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率=． 故答案为：． 6. 如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，、如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出，同理可得出，由结合可得出，设等边三角形的边长为a，则，，利用勾股定理可得出的长，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： 在中，， ∴， 同理得：． 又∵， ∴． 设等边三角形的边长为a，则，， ∴， ∴． 故选：A 【点睛】此题考查解直角三角形、等边三角形的性质以及图形的变化规律，构造出含一个锐角等于的直角三角形是解题的关键． 7. 将一个底面直径为的圆锥，从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的基本性质与计算，扇形的弧长公式，解决本题的关键是表面积增加的部分是两个以底面直径为底，圆锥高为高的等腰三角形的面积． 根据表面积增加的部分可求解圆锥的高，由此可求解圆锥的母线，再由圆锥的侧面展开图为扇形，即可得该扇形的弧长，设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为，由扇形的弧长公式求解即可． 【详解】解：∵该圆锥从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了， 由圆锥的几何特征可知，表面积增加的是两个等腰三角形的面积， 即每个三角形的底为圆锥底面直径， 设圆锥的高为h，即三角形的高为h， ∴，解得， 又底面半径为， ∴圆锥的母线为， ∴该圆锥的侧面展开图的弧长为该底面圆的周长，即， 设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为， 由弧长公式可得，， 即，解得． 故选：D ． 8. 如图，圆中互相垂直的弦，与圆心的距离分别为，，这时圆内被分为①②③④四个部分．如果用，，，分别表示这四个部分的面积，则可表示（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，矩形的性质；将，平移至，设交点分别为，则四边形是矩形，依题意，，根据中心对称的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，将，平移至，设交点分别为，则四边形是矩形，依题意，， 根据中心对称的性质可得，如图所示， ∴ 故选：A． 9. 如图，点在反比例函数（，）的图象上，以点为圆心画弧交轴于，，延长交轴于点，连接，若的面积等于，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质．解决本题的关键是作辅助线构造相似三角形．过点作，设，则，可证，根据相似三角形的性质可得，再根据三角形的面积公式可得：，解方程即可求出的值． 【详解】解：如下图所示，过点作， 设，则， ， ， ， 点的横坐标为，纵坐标为， ， ，， ， ， ， 解得：， ， 解得：． 故选：D． 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，则以下结论：①；②；③；④若方程的两根为和，则．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数和一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据抛物线的对称轴为直线，则有；因为图象过点，对称轴为直线，函数与轴的交点坐标为，，观察函数图象得到当时，函数值小于0，则，即；由于时，，则，易得，所以，再根据抛物线开口向上得，于是有；因为函数与轴的交点坐标为，，所以二次函数解析式可表达为，所以的两根即抛物线与直线的两个交点的横坐标，设，则． ，观察图象可判断④正确． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ，即，故①正确； 图象过点，对称轴为直线， ∴函数与轴的交点坐标为，． ∴当时，， ， 即，故②错误； ，， ，即， ， 抛物线开口向上， ， ，故③正确； ∵二次函数与轴的交点坐标为，， ∴二次函数解析式可表达为， ∴的两根即抛物线与直线的两个交点的横坐标，设 由图象知，故，故④符合题意， 故选：C． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 在中，若、满足，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形内角和，熟练掌握各锐角的三角函数值是解题的关键.根据非负数的性质，由方程成立可得且，结合特殊角三角函数值，确定和的度数，再利用三角形内角和定理求． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 12. 图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故答案为：40． 13. 如图，正方形，以点为圆心，的长为半径画弧；以为直径画半圆交弧于点，连接，．若，则的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，垂径定理，圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握以上性质和定理是解题的关键．作于H，利用垂径定理可得，利用圆周角定理得到，然后通过证得，得出，设，，根据勾股定理求出，然后根据即可求解． 【详解】解：如图，作于H，则， ∵是直径， ∴， ∴， 在正方形中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得，，即， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，菱形的对角线交于点O，以点O为圆心，长为半径画圆，分别与菱形的边相交．若，则图中阴影部分的面积为______．（结果不取近似值） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求不规则图形的面积，涉及了菱形的判定与性质、勾股定理等知识点．根据题意推出四边形是菱形，结合图中阴影部分的面积为即可求解． 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∵点为的中点， ∴， 同理可得：是等边三角形， ∴ ∴四边形是菱形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴图中阴影部分的面积为： 故答案为：． 15. 如图，已知双曲线 和，直线与双曲线交于点A，将直线向下平移与双曲线交于点B，与y轴交于点P，与双曲线交于点C，，则k的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作于，轴于点，得出，依题意，根据得出，进而得出，根据相似三角形的性质得出，进而得出，根据的几何意义，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，作于，轴于点， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形综合，反比例函数的几何意义，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 16. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节（、）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同，求每节拉杆的长度______．（参考数据：，，，） 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角，熟练掌握解直角三角形是关键． 根据题意，设，分两种情况计算出和的长，利用建立方程，求出值即可． 【详解】解：如图1，作，垂足为，设，则， ， ， 如图2，作，垂足为，则， ， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个题，满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、零指数幂、特殊角的三角函数值和负整数指数幂，根据分式的乘除法法则把原式化简，根据零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂求出x的值，代入计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则是解决此题的关键． 【详解】 ， ∵ ∴， ∴原式． 18. 如图，身高1.6m的小王晚上沿箭头方向散步至一路灯下，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下；先从路灯底部向东走20步到M处，发现自己的影子端点刚好在两盏路灯的中间点P处，继续沿刚才自己的影子走5步到P处，此时影子的端点在Q处． （1）根据题意画图，找出路灯的位置． （2）求路灯的高和影长． 【答案】（1）见解析 （2）路灯高8米，影长为步 【解析】 【分析】（1）连接，并延长相交于点，即为路灯的位置； （2）由，，可分别得，，根据三角形相似的性质，得到对应边成比例，列出比例式，代入数值计算即可． 【小问1详解】 解：如图，点O为路灯的位置； 【小问2详解】 解：作垂直地面，如图，步，步，， ， ∴， ∴，即，解得， ∵， ∴， ∴，即，解得 答：路灯高为8米，影长为步． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质应用，找到相似三角形列出比例式是解题的关键． 19. 某中学对名学生就“冰壶比赛规则”的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题： 类别 频数 频率 不了解 了解很少 基本了解 很了解 4 合计 1 （1）根据以上信息可知：______，______，______，______； （2）请补全条形统计图； （3）请估计该校名学生中“基本了解”的人数； （4）寒假文文和爸爸打算去北京看冰壶赛，要购买从福山到北京的高铁车票（如图所示，每排座位编号为，，，，）．旅客在网购火车票时，系统是随机分配座位的，假设系统已将两人的位置分配到同一排，在同一排分配各座位的机会均等．“系统分给文文和爸爸，座位”是______（填“必然”或“不可能”或“随机”）事件； （5）利用画树状图或列表格，求系统分配给文文和爸爸相邻座位（过道两侧座位，不算相邻）的概率． 【答案】（1），，， （2）见解析 （3）人 （4）不可能 （5） 【解析】 【分析】（1）由“了解很少”的人数及其对应频率可得被调查的总人数，再根据频数之和等于总人数可得b的值，由频率＝频数÷总人数可得m、n的值； （2）根据以上所求结果即可补全条形图； （3）总人数乘以样本中“基本了解”人数所占比例即可； （4）因为一排中的座位编号为，，，，，不存在编号为的座位，所以“系统分给这两个人，座位”是不可能事件； （5）画出树状图得出所有等可能结果，从中找到文文和爸爸相邻座位的结果数，求出其概率即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 故答案为：，，，； 【小问2详解】 解：补全条形图如图： 【小问3详解】 解：估计该校名初中学生中“基本了解”的人数约有（人）， 答：该校名学生中“基本了解”的人数为人； 【小问4详解】 解：一排中的座位编号为，，，，，不存在编号为的座位， “系统分给这两个人，座位”是不可能事件； 【小问5详解】 解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有种等情况数，其中相邻座位的情况数有6种，则系统分配给文文和爸爸相邻座位（过道两侧座位，不算相邻）的概率是． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，频数和频率，用样本估计总体，事件的分类，条形统计图，掌握相关知识是解决问题的关键． 20. 科技改变生活，科技服务生活．如图为一新型可调节洗手装置侧面示意图，可满足不同人的洗手习惯，为竖直的连接水管，当出水装置在A处且水流与水平面夹角为时，水流落点正好为水盆的边缘C处；将出水装置水平移动至B处且水流与水平面夹角为30°时，水流落点正好为水盆的边缘D处，． （1）求连接水管的长．（结果保留整数） （2）求水盆两边缘C，D之间的距离．（结果保留一位小数） （参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的正切值求解即可； （2）连接．首先证明出四边形为矩形，进而得到，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 ∵， ∴． 答：连接水管的长为． 【小问2详解】 如图，连接． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ∴， ∴． 答：水盆两边缘C，D之间的距离为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 21. 打水漂是孩子们经常玩的游戏，如图，水漂从水面上（点）第一次飞起，飞行的最大高度为米，第二次从距离点，米处的处飞起．据试验，水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． （1）求水漂第一次飞越时，该抛物线的函数表达式． （2）求水漂第二次飞越时，该抛物线的函数表达式． （3）若此次水漂可以在水面上飞越次，且第一次击打水面时距离河岸米，问水漂能否飞过米宽的河面． 【答案】（1）； （2）； （3）不能． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解题的关键． （）由题意可得抛物线的顶点坐标，再用顶点式表示抛物线，然后用待定系数法确定顶点式中的参数即可求解； （）同理（）即可求解； （）把代入第二次飞越时抛物线的函数表达式求出的值即可判断求解； 【小问1详解】 解：由题意可得，水漂第一次飞越时，该抛物线的顶点坐标为， ∴设该抛物线的函数表达式为，把点代入得， ， 解得， ∴第一次飞越时抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵水漂第二次飞越时最大高度减少到原来最大高度的一半， ∴水漂第二次飞越时抛物线的顶点的纵坐标为， 又∵第二次飞越时抛物线与原来的抛物线形状相同， ∴可设第二次飞越时抛物线的函数表达式为，把代入得， ， 解得（不合，舍去），， ∴第二次飞越时抛物线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：把代入得， ， ∴水漂不能飞过米宽的河面． 22. 某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量件是售价元件的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润元的三组对应值如下表： 售价元件 周销售量件 周销售利润元 注：周销售利润周销售量售价进价 （1）求关于的函数解析式不要求写出自变量的取值范围； （2）求该商品的进价和周销售的最大利润； （3）由于某种原因，该商品进价提高了元件，物价部门规定该商品售价不得超过元件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是元，求的值． 【答案】（1） （2）当时， （3）的值为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）用每件的售价减去每件的利润即可得到进价，根据题意得到与x之间的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可求出周销售的最大利润； （3）根据题意得到与x之间的二次函数关系式，利用二次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 依题意设， 则有 解得： 关于的函数解析式为； 【小问2详解】 该商品进价是； 由题意得， 每周获得利润， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，； 即该商品的进价是元，周销售的最大利润为元； 【小问3详解】 根据题意得， ， ， 对称轴， ， 抛物线的开口向下， ， ， 随的增大而增大， 当时，最大值为， 即， 解得：， 答：的值为． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，读懂题意，正确列出函数解析式是解题的关键． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； （3）根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形： （1）先求出得到，再解直角三角形得到，则，据此利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析式即可； （2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据，求解面积即可； （3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：联立 解得或， ∴； 设， 由题意得，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， ∴关于的不等式的解集为或． 24. 如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC． （1）求证：EC是⊙O的切线； （2）求证：△OAC∽△ECF （3）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB+∠ECF=90°，可证EC是⊙O的切线； （2）AB是⊙O的直径，得∠BFD＝∠A，∠BFD＝∠A，∠A＝∠EFC，得△OAC∽△ECF； （3）由勾股定理可求AC=6，由锐角三角函数可求BF=5，可求CF=3，通过证明△OAC∽△ECF，可得，可求解． 【详解】（1）连接OC， ∵OC＝OB， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵DE⊥AB， ∴∠OBC+∠DFB＝90°， ∵EF＝EC， ∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB， ∴∠OCB+∠ECF＝90°， ∴OC⊥CE， ∴EC是⊙O的切线； （2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°， ∴∠BFD＝∠A， ∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC， ∵∠BFD＝∠A， ∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC， ∴△OAC∽△ECF， （3）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OB＝5， ∴AB＝10， ∴AC＝＝6， ∵cos∠ABC＝， ∴， ∴BF＝5， ∴CF＝BC﹣BF＝3， ∵△OAC∽△ECF， ∴， ∴EC＝． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性，,圆的有关性质，切线的判定和性质，锐角三函数等知识，证明△OAC∽△ECF是本题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E． ①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上； ②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标． 【答案】（1） （2）①点E在抛物线上；②P（0，−） 【解析】 【分析】（1）先求出A、B坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）①根据旋转的性质求出EF=AO=3，CF=CO=6，从而可求E的坐标，然后把E的坐标代入（1）的函数解析式中，从而判断出点E是否在抛物线上； ②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，，则，得，可知HP＋PE的最小值为EH的长，从而解决问题． 【小问1详解】 解：当x=0时，y=-4， 当y=0时，， ∴x=-3， ∴A（-3，0），B（0，-4）， 把A、B代入抛物线， 得， ∴， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：①∵A（-3，0），C（0，6）， ∴AO=3，CO=6， 由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90° ∴E到x轴的距离为6-3=3， ∴点E的坐标为（6，3）， 当x=3时，， ∴点E在抛物线上； ②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H， ∵A（−3，0），B（0，−4）， ∴OA＝3，OB＝4， ∴AB＝5， ∵， ∴， ∴， ∴HP＋PE的最小值为EH的长， 作EG⊥y轴于G， ∵∠GEP＝∠ABO， ∴tan∠GEP＝tan∠ABO， ∴， ∴， ∴， ∴OP＝−3＝， ∴P（0，−）． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角函数，两点之间、线段最短等知识，利用三角函数将转化为HP的长是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $