21.3.3正方形寒假预习讲义（5知识点+19大题型+过关检测）2025-2026学年人教版八年级数学下册寒假预习（知识点+题型精讲）

21.3.3正方形寒假预习讲义 （5知识点+19大题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 正方形性质理解】 1 【题型2 根据正方形的性质求角度】 2 【题型3 根据正方形的性质求线段长】 4 【题型4 根据正方形的性质求面积】 8 【题型5 正方形折叠问题】 10 【题型6 求正方形重叠部分面积】 13 【题型7 根据正方形的性质证明】 17 【题型8 正方形的判定定理理解】 21 【题型9 添一个条件使四边形是正方形】 23 【题型10 证明四边形是正方形】 25 【题型11 根据正方形的性质与判定求角度】 29 【题型12 根据正方形的性质与判定求线段长】 33 【题型13 根据正方形的性质与判定求面积】 42 【题型14 根据正方形的性质与判定证明】 46 【题型15 中点四边形】 50 【题型16 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积】 54 【题型17 （特殊）平行四边形的动点问题】 57 【题型18 四边形中的线段最值问题】 66 【题型19 四边形其他综合问题】 69 模块二 预习目标导航 · 理解正方形的定义，明确正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形也是特殊的菱形，掌握其与平行四边形、矩形、菱形的从属关系。 · 梳理并熟记正方形的所有性质，包括边、角、对角线的特征及对称性，能区分正方形与矩形、菱形性质的异同。 · 初步感知正方形的判定思路，知道可通过 “矩形 + 菱形特征” 判定正方形，能尝试说出简单的判定条件。 · 能结合正方形的性质完成基础的边长、对角线长度计算，尝试解决简单的几何推理问题，为课堂学习做好铺垫。 · 通过预习典型例题，初步体会正方形性质在实际解题中的应用方法，养成自主梳理几何图形知识的习惯。 模块三 知识点梳理 【知识点1 正方形的定义】 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 【知识点2 正方形的性质】 1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行. 2.正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 【知识点3 正方形的判定】 定义法 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 判定定理 矩形+一组邻边相等 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 对角线互相垂直的矩形是正方形 菱形+一个角为直角 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+对角线相等 对角线相等的菱形是正方形 特别提醒：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 【知识点4 正方形的对称性】 1.正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线和两条对角线所在的直线. 2.正方形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心. 特别提醒： 【知识点5 四边形之间的关系】 1.四边形之间的关系 四条边都相等的四边形是菱形 有三个角是直角的四边形是矩形 只有一组对边平行的四边形是梯形 两腰相等的梯形是等腰梯形 一个角是直角的梯形的直角梯形 两组对边分别平行（或两组对边分别相等或一组对边平行且相等）的四边形是平行四边形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 有一组邻边相等（或对角线互相垂直）的平行四边形是菱形 有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形是正方形 有一个角是直角（或对角线相等）的平行四边形是矩形 有一个角是直角（或对角线相等）的菱形是正方形 有一组邻边相等（或对角线互相垂直）的矩形是正方形 2.四种特殊四边形的性质 边 角 对角线 对称性 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 两条对角线互相平分 中心对称图形 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形，中心对称图形 菱形 对边平行、四条边都相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 轴对称图形，中心对称图形 正方形 对边平行、四条边都相等 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 轴对称图形，中心对称图形 模块四 题型汇总 【题型1 正方形性质理解】 【典例1】．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角 变式1-1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 变式1-2．下列图形中，对角线互相垂直且相等的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【题型2 根据正方形的性质求角度】 【典例2】．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则等于（    ）    A． B． C． D． 变式2-1．如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．如图，点E是正方形内部一点，连接，，若，，则的度数为 ． 【题型3 根据正方形的性质求线段长】 【典例3】．如图，在正方形中，M，N分别为，边上的点，且，与交于点P，连接，Q为中点，连接，若，，则的长为（    ） A．7 B． C．9 D． 变式3-1．如图，正方形的对角线，相交于点，，．若，则点到边的距离为 ． 变式3-2．如图，在正方形中，点分别在边上，，若，则的长为 ． 【题型4 根据正方形的性质求面积】 【典例4】．若一个正方形的对角线长为，则它的面积是（   ） A． B． C． D． 变式4-1．如图，三个边长为4cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 变式4-2．如图，已知并排放置的正方形和正方形，其中点E在直线上，如果a表示正方形的边长，b表示正方形的边长，表示的面积，表示正方形的面积，那么的值为 ． 【题型5 正方形折叠问题】 【典例5】．如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A． B． C． D． 变式5-1．如图，在边长为8的正方形纸片中，E、F分别是边、上的两点，将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处，则的长度是（    ） A． B． C．10 D． 变式5-2．如图，正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，则的面积为 ． 【题型6 求正方形重叠部分面积】 【典例6】．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 变式6-1．已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 变式6-2．如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是 ． 【题型7 根据正方形的性质证明】 【典例7】．如图，四边形为正方形，分别延长、至点、，连接、，．求证：． 变式7-1．如下图，在边长为1的正方形中，是边的中点，是边上一点（不与点，重合），射线与的延长线交于点． (1)求证：． (2)若是的中点，连接，当时，求证：四边形是平行四边形． 变式7-2．如图，在正方形中，动点M在上，过点M作，过点C作，点E是的中点，连接交于点F． (1)求证：； (2)请探究线段长度之间的等量关系，并证明你的结论； (3)设，若点M沿着线段从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段所扫过的图形面积为 （直接写出答案）． 【题型8 正方形的判定定理理解】 【典例8】．如图，利用几个全等的直角三角板（含角）拼摆成如下的四边形，其中是菱形但不是正方形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式8-1．平行四边形的内角平分线能够围成的四边形是（） A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．不规则四边形 变式8-2．下列说法正确的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是平行四边形 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．有三个角是直角的平行四边形是正方形 【题型9 添一个条件使四边形是正方形】 【典例9】．如图，在矩形中，平分，平分，与交于点．点是矩形外一点，连接，，，添加下列条件后，可判定四边形为正方形的是（   ） A．， B．， C． D．， 变式9-1．如图，在菱形中，添加一个条件使其成为正方形，你添加的条件是 ． 变式9-2．如图，在中，，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【题型10 证明四边形是正方形】 【典例10】．已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． (3)当时，求证：四边形是正方形． 变式10-1．如下图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，，．求证：四边形ABCD是正方形． 变式10-2．如图，在中，过点的直线，为边上一点、过点作，交直线于，垂足为，连接． (1)求证：； (2)当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)若为中点，则当________时，四边形是正方形（直接写出答案）． 【题型11 根据正方形的性质与判定求角度】 【典例11】．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为 ． 变式11-1．如图，在中，，，，为边的中点，是边上的动点，将沿翻折，点的对应点在内，，，三点在同一直线上． （1）的长为 ； （2）的度数为 ． 变式11-2．在菱形中，点E是对角线上一点，点F、G在直线上，且，． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，当时，判断、、的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当时，点F在线段上，判断、、的数量关系，并说明理由． 【题型12 根据正方形的性质与判定求线段长】 【典例12】．如图，在矩形中，，点E是边上的一个动点，连接，将沿折叠，点B落在点F处，当为直角三角形时，的长为 ．    变式12-1．在正方形中，，点在对角线上，．点E、F分别在边、上，且，连接、，则的最小值为 ． 变式12-2．如图，在矩形中，，，为的中点，为边上一动点（不与点重合），以为斜边作等腰直角，点、在的两侧． (1)线段的长为__________， (2)当时，求线段的长． (3)当时，求线段的长． (4)连接，当线段最短时，此时__________，__________． 【题型13 根据正方形的性质与判定求面积】 【典例13】．如图，点是正方形的中心（对角线的交点），以点为直角顶点作，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 变式13-1．如图，分别为正方形的边上的点，且，则图中的值为（    ） A． B． C． D． 变式13-2．如图，在中，的平分线交于点D，， (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 【题型14 根据正方形的性质与判定证明】 【典例14】．如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则 ． 变式14-1．如图，分别在正方形的边上截取相等的线段，连接得四边形．求证：四边形是正方形． 变式14-2．如图，已知正方形 的边长为1，P，E分别是上的点，且，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若点P在线段上移动，其他条件不变，设，求y关于x的表达式，并写出自变量x的取值范围． 【题型15 中点四边形】 【典例15】．若顺次连接某四边形四边中点所得的四边形是矩形，则原四边形一定是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 变式15-1．如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（    ） A．四边形是矩形 B．四边形的内角和小于四边形的内角和 C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D．四边形的面积等于四边形的面积的 变式15-2．如图所示，分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． （1）当四边形满足________条件时，四边形是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 【题型16 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积】 【典例16】．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 变式16-1．如图，中，，，将沿方向平移，得到，连接．若，则阴影部分的面积为 ． 变式16-2．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”． 例如：；则、、这三个数都是奇特数． (1)填空：32______奇特数，2018______奇特数．（填“是”或者“不是”） (2)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积． 【题型17 （特殊）平行四边形的动点问题】 【典例17】．如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 变式17-1．如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从点，同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度．设运动时间为，其中． (1)若，分别是，的中点，则四边形一定是____________（，相遇时除外）． (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． 变式17-2．【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． (1)【问题初探】 爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段之间的数量关系________； (2)【问题引申】 如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段之间的数量关系，并说明理由： (3)【问题解决】 如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为16，点P运动至与A点距离恰好为14的位置，且旋转至时，请直接写出的长度________． 【题型18 四边形中的线段最值问题】 【典例18】．如图，在四边形中，，，，，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合）．若，分别为，的中点，则线段长度的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 变式18-1．如图，在正方形中，点E为延长线上的一点，取的中点M，连接和．若，则的最大值为 ． 变式18-2．如图所示，在正方形中，为上的一点，，，为上的一点，连接，．求的最小值． 【题型19 四边形其他综合问题】 【典例19】．[定义]：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫做“美妙线”，该四边形叫做“美妙四边形”．如图，在四边形中，对角线平分和，那么对角线叫“美妙线”，四边形就称为“美妙四边形”． [问题]：（1）下列四边形：平行四边形，矩形，菱形，正方形，其中是“美妙四边形”的是_____；（填写名称） （2）四边形是“美妙四边形”， ，，，求美妙四边形的面积．（请画出图形，并写出解答过程） 变式19-1．定义：在中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“字平行四边形”． (1)下面的图形中是“字平行四边形”的有：___________； A．正方形    B．矩形    C．有一个角是的菱形 D．有一个角是的平行四边形    E．有一个角是的平行四边形 (2)在“字平行四边形”中，，则_____________； (3)如图，在矩形中，点、分别是边和边上的点，四边形为“字平行四边形”，若，求的值． 变式19-2．在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】：（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接，则__________ 【解决问题】：（2）将矩形绕点A顺时针转动，边与边交于点M，连接，． ①如图2，当时，求证：平分； ②如图3，当点F落在上时，连接交于点O，则__________； 【迁移应用】：（3）如图4，正方形的边长为是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，求的长； （4）如图5，在菱形中，是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，若，求的长。 模块五 过关检测 1．如图，由边长相同的9个小正方形组成的图形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（   ） A． B． C． D． 3．下列关于正方形对角线的结论中，错误的是（    ） A．两条对角线互相平分 B．两条对角线相等 C．两条对角线互相垂直 D．正方形面积等于对角线长的平方 4．如图，在中，，垂足为．添加下列哪个条件，不能使成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，正方形的边长是3，点是边上一点，，是边上一点，，连接，，点是的中点，连接，于点，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 6．如图，在正方形和正方形中，点在上，点在同一条直线上，，，是的中点，连接，则的长是（    ）． A．6 B． C． D．10 7．蝶几图即明代时期的七巧板，它是以正方形为模分割为如图所示的图形，其中“闺”为等腰直角三角形，点E，F分别是正方形ABCD中边AD，AB上的中点，点G为EF的中点．若正方形ABCD的边长为8，则“闺”的斜边GF的长为（    ） A． B．2 C． D．4 8．就实证科学而言，宇宙这部著作是用数学语言写成的．其中勾股定理是我们的祖先在“立竿见影，以正农时”，探索天地相对运动周期时捕捉到的数学原理．它所蕴含的“天道之数”，被人们用以作为沟通天地、与自然对话的凭借，最早被“放之四海”，构筑起中华文明的大厦．如图，在中，，以其三边为边分别向外作正方形，连接，，，设，，的面积分别是，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，点，，分别在，，上，且，．如果，且是的角平分线，那么四边形是 形． 【答案】正方 10．如图，以正方形的边的中点为原点建立平面直角坐标系．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 11．如图，正方形的边长为4，点E为的中点，连接，将沿折叠，点A的对应点为F．连接，则的长为 ． 12．如图，正方形和长方形的面积相等，且四边形也是正方形，欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：．设，．若，则四边形的周长是 ． 13．如图，在四边形中，，点在上，且，则的最小值为 ． 14．如图，正方形中，点、分别在、上，是等边三角形，连接交于点，给出下面五个结论：；；；平分；上述结论中，正确结论的序号有 ． 15．如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接．若，求的长． 16．如图，在正方形中，的中点为E，F为的中点，求证： 17．在中，，，D为平面内一点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，取中点F，连接． (1)如图1，当点D在线段上，用等式表示与的数量关系，并证明； (2)如图2，当点D在内部时， ①依题意补全图2； ②判断与的数量关系，并证明． 18．如图，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．与之间有怎样的关系?请说明理由． 19．在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点与边交于点． 特例感知】 （1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是_____； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，求的长度． 20．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（如图1）    (1)概念理解：在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四边形的是 ； (2)性质证明：如图1，四边形是垂美四边形，请写出其两组对边，与，之间的数量关系 ；并给出证明． (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长． 21．如图在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转交直线于点F．    (1)如图①．若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是________； (2)如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明； (3)若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长． 22．如图1，已知是等腰直角三角形，，正方形与有公共顶点，当绕点旋转时，边分别与（或延长线，如图2）、（或延长线，如图2）相交于点，连接， (1)如图1，证明：； (2)如图1，若正方形的边长为1，设，请用表示的长； (3)如图2，结论是否成立，如不成立，写出三线段的数量关系，并证明． 23．定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为“垂美四边形”． (1)如图1，四边形是“垂美四边形”，则根据勾股定理 ＝ ＋ ；＝ ＋ ； ＝ ＋ ；＝ ＋ ； 所以，用等式表示、、、之间的数量关系是 ； (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、，分别交、于点，． ①与的位置关系是 ，给出证明； ②若，，则线段的长是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.3.3正方形寒假预习讲义 （5知识点+19大题型+过关检测） 模块一 题型先知导航 【题型1 正方形性质理解】 1 【题型2 根据正方形的性质求角度】 2 【题型3 根据正方形的性质求线段长】 4 【题型4 根据正方形的性质求面积】 8 【题型5 正方形折叠问题】 10 【题型6 求正方形重叠部分面积】 13 【题型7 根据正方形的性质证明】 17 【题型8 正方形的判定定理理解】 21 【题型9 添一个条件使四边形是正方形】 23 【题型10 证明四边形是正方形】 25 【题型11 根据正方形的性质与判定求角度】 29 【题型12 根据正方形的性质与判定求线段长】 33 【题型13 根据正方形的性质与判定求面积】 42 【题型14 根据正方形的性质与判定证明】 46 【题型15 中点四边形】 50 【题型16 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积】 54 【题型17 （特殊）平行四边形的动点问题】 57 【题型18 四边形中的线段最值问题】 66 【题型19 四边形其他综合问题】 69 模块二 预习目标导航 · 理解正方形的定义，明确正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形也是特殊的菱形，掌握其与平行四边形、矩形、菱形的从属关系。 · 梳理并熟记正方形的所有性质，包括边、角、对角线的特征及对称性，能区分正方形与矩形、菱形性质的异同。 · 初步感知正方形的判定思路，知道可通过 “矩形 + 菱形特征” 判定正方形，能尝试说出简单的判定条件。 · 能结合正方形的性质完成基础的边长、对角线长度计算，尝试解决简单的几何推理问题，为课堂学习做好铺垫。 · 通过预习典型例题，初步体会正方形性质在实际解题中的应用方法，养成自主梳理几何图形知识的习惯。 模块三 知识点梳理 【知识点1 正方形的定义】 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 【知识点2 正方形的性质】 1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对边平行. 2.正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 【知识点3 正方形的判定】 定义法 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 判定定理 矩形+一组邻边相等 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 对角线互相垂直的矩形是正方形 菱形+一个角为直角 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+对角线相等 对角线相等的菱形是正方形 特别提醒：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 【知识点4 正方形的对称性】 1.正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线和两条对角线所在的直线. 2.正方形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心. 特别提醒： 【知识点5 四边形之间的关系】 1.四边形之间的关系 四条边都相等的四边形是菱形 有三个角是直角的四边形是矩形 只有一组对边平行的四边形是梯形 两腰相等的梯形是等腰梯形 一个角是直角的梯形的直角梯形 两组对边分别平行（或两组对边分别相等或一组对边平行且相等）的四边形是平行四边形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 有一组邻边相等（或对角线互相垂直）的平行四边形是菱形 有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形是正方形 有一个角是直角（或对角线相等）的平行四边形是矩形 有一个角是直角（或对角线相等）的菱形是正方形 有一组邻边相等（或对角线互相垂直）的矩形是正方形 2.四种特殊四边形的性质 边 角 对角线 对称性 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 两条对角线互相平分 中心对称图形 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形，中心对称图形 菱形 对边平行、四条边都相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 轴对称图形，中心对称图形 正方形 对边平行、四条边都相等 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 轴对称图形，中心对称图形 模块四 题型汇总 【题型1 正方形性质理解】 【典例1】．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角 【答案】B 【分析】此题综合考查了矩形、菱形、正方形的对角线的性质，熟练掌握矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键． 因为正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分． 【详解】解：矩形、菱形、正方形的对角线相互平分， 故选：B． 变式1-1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 【答案】A 【分析】正方形是特殊的菱形，具有菱形的所有性质，但对角线相等是正方形独有的性质，菱形不一定具有． 本题考查了正方形与菱形的性质．此题比较简单，解题的关键是熟记正方形与菱形的性质定理． 【详解】解：∵正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且每一条对角线平分一组对角； 又∵ 菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分，而且每一条对角线平分一组对角； ∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等． 故选：A． 变式1-2．下列图形中，对角线互相垂直且相等的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形、矩形、菱形和正方形的对角线性质，需根据各图形对角线的特征判断是否同时满足垂直且相等即可． 【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直或相等，故此选项不符合题意； B、矩形的对角线相等但不垂直，故此选项不符合题意； C、菱形的对角线垂直但不相等，故此选项不符合题意； D、正方形的对角线互相垂直且相等，故此选项符合题意． 故选：D． 【题型2 根据正方形的性质求角度】 【典例2】．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查正方形、等腰三角形的性质以及等边三角形的性质．根据题意知是等腰三角形，，根据三角形内角和定理及等腰三角形性质求底角即可． 【详解】解：四边形是正方形，是等边三角形， ；，， ， 同理， ∴， 故选：B． 变式2-1．如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形，等边三角形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 首先由正方形的性质得到，，，然后由等边三角形的性质得到，，推出，，然后利用等腰三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：D． 变式2-2．如图，点E是正方形内部一点，连接，，若，，则的度数为 ． 【答案】64 【分析】本题考查正方形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理，求出的度数，角的和差关系求出的度数，等边对等角即可得出结果． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：64 【题型3 根据正方形的性质求线段长】 【典例3】．如图，在正方形中，M，N分别为，边上的点，且，与交于点P，连接，Q为中点，连接，若，，则的长为（    ） A．7 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】根据题意得，由正方形性质得，，然后通过同角的余角相等得，进而证得，根据全等三角形的性质得到，通过勾股定理求出，最后直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解： 四边形是正方形 ，， ，，， 在和中， 为的中点 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，同角的余角相等等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 变式3-1．如图，正方形的对角线，相交于点，，．若，则点到边的距离为 ． 【答案】0.5 【分析】连接，交于点，由，可知四边形是平行四边形，进而推断出四边形是正方形，然后利用正方形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，交于点． ，， 四边形是平行四边形． 在正方形中，，， ， 四边形是正方形， ，． ， ， ， 即点到边的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，掌握正方形的性质与判定是解决本题的关键． 变式3-2．如图，在正方形中，点分别在边上，，若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，构造辅助线是解题的关键．将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则，先证，再证即可求解． 【详解】解：如答图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接， 则，． ， ． 在和中，， ， ，， ， 三点共线． ， ， ． 在和中， ， ． 故答案为：． 【题型4 根据正方形的性质求面积】 【典例4】．若一个正方形的对角线长为，则它的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的面积与对角线的关系，利用公式“正方形面积等于对角线平方的一半”直接计算． 【详解】解：∵正方形对角线长为，且面积， ∴． 故选：A． 变式4-1．如图，三个边长为4cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，，由正方形的性质可得，证明可得，进而可求解． 【详解】解：连接，， 由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：A． 变式4-2．如图，已知并排放置的正方形和正方形，其中点E在直线上，如果a表示正方形的边长，b表示正方形的边长，表示的面积，表示正方形的面积，那么的值为 ． 【答案】 【分析】根据,，，即可求得答案． 【详解】解： ∵正方形和正方形的边长分别为a、b， ∴， ∴ ， ∵． ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握正方形边角性质，正方形面积公式，梯形面积公式，三角形面积公式． 【题型5 正方形折叠问题】 【典例5】．如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质及勾股定理的应用，解题的关键是利用折叠性质得对应边相等，结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵正方形边长为，是中点， ∴ 设，则，由折叠性质得． 在中，由勾股定理：， 即，，，． ∴，，． 故选：C． 变式5-1．如图，在边长为8的正方形纸片中，E、F分别是边、上的两点，将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处，则的长度是（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识．作，交于点，证明四边形是平行四边形，再证明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作，交于点， ∵正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度是， 故选：A． 变式5-2．如图，正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，图形的翻折变换以及勾股定理．熟练掌握正方形的性质，图形的翻折变换以及勾股定理是解题的关键． 通过设未知数，利用勾股定理建立方程来求解的长即可． 【详解】解：由题意得，， 点是边的中点，且， ． 设，则， 在中，由勾股定理得，， 即，解得， ， 的面积为． 故答案为． 【题型6 求正方形重叠部分面积】 【典例6】．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是解题的关键． 根据题意，结合图形，先得到图1中，结合已知条件，得到，结合图2，得到结果． 【详解】解∶如图，设正方形的面积为，正方形的面积为，图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为， ∵图1中，，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，图2中，， ∴， 即当的对角线交点与的一个顶点重合时，重叠部分的面积是的， 故选∶． 变式6-1．已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，连接，设交于点，交于点，证明，推出，同理推出，进而求出即可． 【详解】解：连接，设交于点，交于点， ∵正方形，正方形，点为正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 变式6-2．如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形，即可列式作答． 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，连接交于点O，如图所示： ∵四边形和是正方形， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形面积， ∴， 那么两个正方形重叠的部分的面积等于， 故答案为：． 【题型7 根据正方形的性质证明】 【典例7】．如图，四边形为正方形，分别延长、至点、，连接、，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和性质，正确得出全等三角形是解题关键． 利用正方形的性质得，再根据证明，结合全等三角形的性质可证结论成立． 【详解】证明：∵四边形为正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 变式7-1．如下图，在边长为1的正方形中，是边的中点，是边上一点（不与点，重合），射线与的延长线交于点． (1)求证：． (2)若是的中点，连接，当时，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用正方形的性质得到角相等、边相等，结合中点条件，通过证明三角形全等； （2）先结合（1）的全等结论推出的长度，再利用正方形边长及的条件求出的长度，进而得到与 的关系，结合直角三角形斜边中线性质证明边平行且相等，从而判定平行四边形． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ． 是边的中点， ． 又， ． （2）证明：， ． ， ． ， ． 是的中点， ． 在中，， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定、直角三角形斜边中线的性质、平行四边形的判定，解题关键是利用正方形的边与角的性质，结合全等三角形和直角三角形的性质，推导线段与角的关系，进而判定平行四边形． 变式7-2．如图，在正方形中，动点M在上，过点M作，过点C作，点E是的中点，连接交于点F． (1)求证：； (2)请探究线段长度之间的等量关系，并证明你的结论； (3)设，若点M沿着线段从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段所扫过的图形面积为 （直接写出答案）． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)3 【分析】（1）如图：连接，由正方形以及等腰直角三角形的性质可得出，再根据直角三角形的性质以及点E为的中点即可得出，即是的垂直平分线，从而证明结论； （2）．根据三角形的中位线性质可得出，再运用正方形的性质可得出，然后利用线段间的关系即可证出结论； （3）找出所扫过的图形为四边形，根据正方形以及等腰直角三角形的性质可得出，由此得出四边形为梯形，再由，可算出线段、、的长度，最后利用梯形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图：连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，点E是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴． （2）解：，证明如下： ∵是的垂直平分线， ∴，即F为的中点， ∵E为的中点， ∴为的中位线，， 由（1）可知，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． （3）解：在点M沿着线段从点C运动到点D的过程中，线段所扫过的图形为四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为梯形， ∵四边形为正方形，， ∴， ∴， ， ∴， ∴线段所扫过的面积为3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的判定与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质、梯形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 【题型8 正方形的判定定理理解】 【典例8】．如图，利用几个全等的直角三角板（含角）拼摆成如下的四边形，其中是菱形但不是正方形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是菱形的判定定理，正方形的判定定理，含30度角的直角三角形的性质．根据菱形的判定方法和正方形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：四个全等的含角的直角三角板拼成如图所示的四个图形中， 第一个四边形中，，， ∴，不是菱形； 第二个四边形的四条边都是直角三角形的斜边，都相等， ∴第二个四边形是菱形； 第三个图形是菱形，如图， 由四个全等的含角的直角三角板拼成的四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴,， ∴, ∴， ∴四边形是菱形； 第四个四边形的四条边都是直角三角形的斜边，都相等， 四个角都等于， ∴第四个四边形是正方形； 综上，是菱形但不是正方形的有2个． 故选：B． 变式8-1．平行四边形的内角平分线能够围成的四边形是（） A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．不规则四边形 【答案】B 【分析】利用平行四边形邻角互补、角平分线的性质，推导内角平分线围成四边形的内角特征． 【详解】解：已知平行四边形对边平行，邻角互补（和为）． 当作出平行四边形的内角平分线时，相邻两个内角的平分线相交形成的角为． A、梯形：梯形是只有一组对边平行的四边形，但内角平分线围成的四边形四个角都是直角，不止一组对边平行，不符合题意； B、矩形：矩形的定义是有三个角是直角的四边形（或四个角都是直角的四边形），由上述分析可知，内角平分线围成的四边形四个角均为，符合矩形的判定条件，符合题意； C、正方形：正方形需要邻边相等且有一个角是直角，但平行四边形内角平分线围成的四边形邻边不一定相等，不符合题意； D、不规则四边形：该四边形四个角都是直角，是规则的矩形，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定，解题关键是利用平行四边形邻角互补的性质，推导内角平分线相交形成的角为直角． 变式8-2．下列说法正确的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是平行四边形 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．有三个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理，涉及知识点：特殊四边形的判定条件、命题真假的判断．解题技巧是逐一分析每个选项，根据判定定理判断正误；解题关键是准确记忆特殊四边形的判定条件，避免混淆判定定理；易错点是忽略判定定理的前提条件（如 “平行四边形”）． 【详解】∵ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（菱形的判定定理），∴ A正确； ∵ 对角线相等的四边形不一定是平行四边形（如等腰梯形），∴ B错误； ∵ 有一个角是直角的四边形不一定是矩形（如直角梯形），∴ C错误； ∵ 有三个角是直角的平行四边形是矩形，但矩形不一定是正方形，∴ D错误． 故选A． 【题型9 添一个条件使四边形是正方形】 【典例9】．如图，在矩形中，平分，平分，与交于点．点是矩形外一点，连接，，，添加下列条件后，可判定四边形为正方形的是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定定理，掌握正方形的判定条件是解题关键． 结合矩形的角和角平分线，先推导四边形的基础形状，再根据正方形的判定条件逐一分析选项． 【详解】解：已知四边形为矩形，且平分，平分． 故，， 可得，，是等腰直角三角形． 选项：由两边平行可得四边形为平行四边形， 再由可得四边形为菱形， 再由可得四边形为正方形，故选项正确； 选项：，，仅可得到，无法证明四边形为正方形，故选项错误； 选项：根据题意可知，故，无法判定正方形，故选项错误； 选项：，，仅能判断是等腰三角形，不能证明，无法判定正方形，故选项错误． 故选：． 变式9-1．如图，在菱形中，添加一个条件使其成为正方形，你添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的判定方法，①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，③对角线互相垂直的矩形是正方形，④一组邻边相等的矩形是正方形． 根据①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，添加条件即可． 【详解】解：∵有一个角是直角的菱形是正方形， ∴添加的条件是． 故答案为：（答案不唯一）． 变式9-2．如图，在中，，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题关键．根据矩形的判定定理及正方形的判定定理即可解答． 【详解】解：在中，， ∴四边形是矩形． A、当时，矩形是正方形，故A选项不符合题意； B、当时，矩形是正方形，故B选项不符合题意； C、当时，无法确定矩形就是正方形，故C选项符合题意； D、当时，则，，，矩形是正方形，故D选项不符合题意． 故选：C． 【题型10 证明四边形是正方形】 【典例10】．已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． (3)当时，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）证明，得出，，证明，得出，，证明，得出； （2）根据平行线的性质得，证明，根据等腰三角形的判定得出，证明，即可证明结论； （3）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，； （2）证明：∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 由（1）知：，， ∴， ∴四边形是菱形． （3）证明：∵，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，菱形的判定和性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形，熟练掌握全等三角形的判定方法和菱形、正方形的判定方法，是解题的关键． 变式10-1．如下图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，，．求证：四边形ABCD是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形与正方形的判定、全等三角形的判定与性质，掌握矩形中一组邻边相等即可判定为正方形是解题的关键． 通过已知角的关系推导出，再结合和公共边，证明，从而得到，进而判定矩形为正方形． 【详解】证明：∵，，， ∴． 在和中： ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 变式10-2．如图，在中，过点的直线，为边上一点、过点作，交直线于，垂足为，连接． (1)求证：； (2)当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)若为中点，则当________时，四边形是正方形（直接写出答案）． 【答案】(1)见解析； (2)四边形是菱形，理由见解析； (3) 【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，利用平行四边形对边相等得． （2）先证四边形是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线性质得，从而判定为菱形． （3）结合正方形的判定求解即可 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵是中点，， ∴， 由（）知，且，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （3）解：当时，四边形是正方形，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵是中点， ∴，即， 由（）知四边形是菱形， ∴菱形是正方形， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定、直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握特殊四边形的判定定理与直角三角形的性质是解题的关键． 【题型11 根据正方形的性质与判定求角度】 【典例11】．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键，先求出的度数，折叠，推出四边形是正方形，进而得到，根据三角形的外角的性质，折叠的性质和平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：在矩形中，，． 沿折叠，点C恰好落在边上的点处，， 四边形是正方形， ． 由三角形的外角性质，得． 由翻折的性质，得，． 故答案为：． 变式11-1．如图，在中，，，，为边的中点，是边上的动点，将沿翻折，点的对应点在内，，，三点在同一直线上． （1）的长为 ； （2）的度数为 ． 【答案】 【分析】（1）取的中点，连接，利用线段中点的定义和勾股定理求出，根据三角形中位线定理得到，，则有，由翻折的性质得，，，利用勾股定理求出，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答； （2）过点作交延长线于点，先证明四边形是正方形，得到，，进而推出，得到，再利用翻折的性质和角的和差即可求出的度数． 【详解】解：（1）如图，取的中点，连接， ， ， 、分别为、的中点， ，，，， ， ， 由翻折的性质得，，，， ，，三点共线， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， 的长为． 故答案为：； （2）过点作交延长线于点，则， ， 四边形是矩形， 由（1）得，， 矩形是正方形， ，， ， 又，， ， ， ， 由翻折的性质得，， ， ， 的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折的性质、勾股定理、三角形的中位线定理、正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形和全等三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 变式11-2．在菱形中，点E是对角线上一点，点F、G在直线上，且，． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，当时，判断、、的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当时，点F在线段上，判断、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）①由菱形性质得到，由等腰三角形性质得到．从而有．由等量代换得到，从而可证； ②由全等的性质得出，由菱形的性质得出，从而有，最后有等量代换即可得到； （2）由菱形的性质可求出，从而得到为等边三角形，得到，从而可证结论； （3）证明四边形是正方形，得到，同（1）可证，得到，进而得到为等腰直角三角形，从而得到结论． 【详解】（1）证明∶①如图， ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴，即． ∴； ②∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴．即． （2）解：． 理由如下： ∵四边形是菱形，， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 由（1）知：， ∵， ∴． （3）解：． 理由如下： 如图， ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴，即． ∴， ∴． ∵， ∴在中，． ∵． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用相关性质定理和判定定理是解题的关键． 【题型12 根据正方形的性质与判定求线段长】 【典例12】．如图，在矩形中，，点E是边上的一个动点，连接，将沿折叠，点B落在点F处，当为直角三角形时，的长为 ．    【答案】3或6 【分析】本题考查了折叠问题，矩形的性质以及勾股定理．分类讨论是解题的关键．当为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，则，，可计算出，设,则,然后在中运用勾股定理可计算出x，②当点F落在边上时，如答图2所示，此时四边形为正方形． 【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况： ①当点落在矩形内部时，如答图1所示， 连接，在中，， ， 沿折叠，使点落在点处， ， 当为直角三角形时，只能得到， 点共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，如图，   ， ， ，则， 在中， ， ， 解得， ， ②当点落在边上时，如答图2所示 此时四边形为正方形， 综上所述，的长为3或6 故答案为：3或6． 变式12-1．在正方形中，，点在对角线上，．点E、F分别在边、上，且，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，等边对等角，全等三角形的判定和性质． 作交于M，反向延长到G，使，作交于N，延长到H，使，连接，，根据正方形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据等边对等角得到，可知，根据勾股定理求出，则，，证明四边形是正方形，得到，，则，，证明，得到，则，根据勾股定理求的值即可． 【详解】解：如图，作交于M，反向延长到G，使，作交于N，延长到H，使，连接，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴ 解得：（负值舍去）， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 变式12-2．如图，在矩形中，，，为的中点，为边上一动点（不与点重合），以为斜边作等腰直角，点、在的两侧． (1)线段的长为__________， (2)当时，求线段的长． (3)当时，求线段的长． (4)连接，当线段最短时，此时__________，__________． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)，． 【分析】（）根据线段中点定义即可求解； （）由四边形是矩形，则有，又，故有，然后通过勾股定理即可求解； （）由四边形是矩形，得，又是等腰直角三角形，则，，然后得出，所以，最后通过线段的和与差即可求解； （）过作于点，作于点，证明，所以，又，，所以点在平分线上，即平分，则当时，线段最短，然后正方形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：∵为的中点， ∴， 故答案为：； （2）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段的长为； （3）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图，过作于点，作于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴点在平分线上，即平分， 则当时，线段最短， 如图， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，线段中点，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【题型13 根据正方形的性质与判定求面积】 【典例13】．如图，点是正方形的中心（对角线的交点），以点为直角顶点作，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质. 先过点E分别作，，证明四边形是正方形，再得出，故重叠部分四边形的面积为，则，即可作答． 【详解】解：过点E分别作，，如图所示： ∵四边形是正方形，正方形的边长为8， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点E是正方形的中心， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵的两直角边分别交于点M，N， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 则重叠部分四边形的面积为， ∴， 即重叠部分四边形的面积为， 故选：D． 变式13-1．如图，分别为正方形的边上的点，且，则图中的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质．首先正方形的性质和全等三角形的判定与性质得出，即阴影部分为矩形，设正方形的边长为，利用勾股定理求出的值，即可得出的值，同理求得，则阴影部分为正方形，求出面积即可得到答案． 【详解】解：设正方形的边长为，则， 又∵，， ∴， ∴， ， 同理可知：， ∴阴影部分是矩形， 在中，由勾股定理得， 由面积公式得，即， 得， 同理可得：， 在中，由勾股定理得， 则， 同理可得：， ∴阴影部分是正方形， 图中阴影部分的面积与正方形的面积之比． 故选：D． 变式13-2．如图，在中，的平分线交于点D，， (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定，正方形的性质与判定，等角对等边，熟知菱形的判定定理和正方形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由平行线的性质和角平分线的定义推出，则可得到，据此可得结论； （2）可证明四边形是正方形，再根据正方形对角线相等，且正方形的面积等于其对角线乘积的一半可得答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ，， 四边形是平行四边形． 平分 ． ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （2）解：如图所示，连接， 由（1）可知，四边形是菱形． ，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 【题型14 根据正方形的性质与判定证明】 【典例14】．如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作 交边于点 F，以为邻边作矩形，连接．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，证明是解题的关键． 根据正方形，矩形，等腰直角三角形的性质得到，，如图所示，过点作于点，于点，可证矩形是正方形，矩形是正方形，从而得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 故答案为： ． 变式14-1．如图，分别在正方形的边上截取相等的线段，连接得四边形．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． 由正方形性质得到，结合已知条件，由三角形全等的判定得到，再由全等性质得到，即可得证四边形是菱形，再求出，由正方形的判定即可得证． 【详解】证明：四边形是正方形， ， 又， ， ， 则四边形是菱形， 又 ， ， ， 四边形是正方形． 变式14-2．如图，已知正方形 的边长为1，P，E分别是上的点，且，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若点P在线段上移动，其他条件不变，设，求y关于x的表达式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键． （1）由正方形的性质得出，平分，由角平分线的性质定理得，根据正方形的判定定理即可证明； （2）作于点F．先证是等腰直角三角形，进而证明四边形为矩形，得出，．再证，由全等三角形的性质得出，再由正方形的性质得出，代入即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，为其对角线， ∴，平分． 又∵， ∴，． ∴四边形是正方形． （2）解：如图，作于点F． ∵四边形是边长为1的正方形， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵， ∴， ． ∵， ∴， 又∵，， ∴四边形为矩形， ∴，． ∴， ∴． 又∵，， ∴． ∴． 由（1）知四边形是正方形， ∴ ∴， 即 整理得， 其中自变量x的取值范围为． 【题型15 中点四边形】 【典例15】．若顺次连接某四边形四边中点所得的四边形是矩形，则原四边形一定是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】C 【分析】本题考查了中点四边形，顺次连接四边形四边中点所得四边形是平行四边形，当它是矩形时，根据中位线性质，原四边形的对角线互相垂直，对于平行四边形，对角线垂直的平行四边形是菱形，因此原四边形一定是菱形，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：设这个原四边形为四边形，其中点四边形为矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∵分别为各边中点， ∴（中位线性质）， ∴ 则 ∴， 结合四个选项，平行四边形的对角线不一定互相垂直，故A选项不符合题意； 矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意； 菱形的对角线一定互相垂直， 当原四边形是平行四边形，则对角线垂直的平行四边形是菱形， 梯形的对角线不一定互相垂直，故D选项不符合题意； 故选：C． 变式15-1．如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（    ） A．四边形是矩形 B．四边形的内角和小于四边形的内角和 C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D．四边形的面积等于四边形的面积的 【答案】C 【分析】本题考查了中点四边形，矩形的判定，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．根据三角形中位线定理可得四边形是平行四边形，进而逐一判断即可． 【详解】解：．如图，连接，， 在四边形中， 点，，，分别是，，，边上的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形，故A选项错误； B．四边形的内角和等于，四边形的内角和等于，故B选项错误； C．点，，，分别是，，，边上的中点， ，， ， 同理：， 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和，故C选项正确； D．四边形的面积不等于四边形的面积的，故D选项错误． 故选：C． 变式15-2．如图所示，分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． （1）当四边形满足________条件时，四边形是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 【答案】平行四边形，见解析；（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）且，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，中位线定理，掌握相关知识点是解题的关键． 连接，可以根据分别是四边形各边中点，得到线段分别为的中位线，由中位线定理可以证明四边形为平行四边形；再根据菱形，矩形和正方形的判定条件，添加对应的条件即可得到答案． 【详解】解：四边形为平行四边形， 理由，连接， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形， 故答案为：平行四边形； （1）， 理由，如图①四边形的对角线， 四边形为平行四边形，且，， ， 平行四边形为菱形， 故答案为：； （2）， 理由，如图②四边形的对角线互相垂直， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 故答案为：； （3）且， 理由，如图③四边形的对角线相等且互相垂直， 根据，由（2）可知， 根据，由（1）可知平行四边形为菱形， 四边形为正方形， 故答案为：且． 【题型16 利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积】 【典例16】．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积的计算，作出三角形的高，并表示出三角形与长方形的面积是解题的关键．过点作，垂足为，由图形可知，既是的高，也是的高，设，，根据三角形的面积公式可得，，接着可得，即可得出阴影部分占长方形面积的比例． 【详解】如图所示，过点作，垂足为， 设，， 则， ， ，， ， ， ， ，即阴影部分面积是长方形面积的． 故选：C． 变式16-1．如图，中，，，将沿方向平移，得到，连接．若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平移的性质，求阴影部分的面积，平行四边形的性质和判定， 根据平移的性质得，可知四边形时平行四边形，再根据面积公式得出答案． 【详解】解：根据平移的性质得， ∴四边形时平行四边形． ∵， ∴． ∵， ∴阴影部分的面积等于． 故答案为：4． 变式16-2．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”． 例如：；则、、这三个数都是奇特数． (1)填空：32______奇特数，2018______奇特数．（填“是”或者“不是”） (2)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为403，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是，不是 (2)81608 【分析】本题考查了图形的变化类、新概念以及平方差公式的应用，利用图形正确表示出阴影部分是解题关键． （1）根据奇特数的概念进行判断即可； （2）利用阴影部分面积为，运用平方差进行运算，进而求得答案即可． 【详解】（1）解：∵ ∴是奇特数； ∵8、16、24这三个数都是奇特数，它们都是的倍数，而不是的倍数 ∴不是奇特数； 故答案为：是，不是． （2） 【题型17 （特殊）平行四边形的动点问题】 【典例17】．如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)5 (2)证明见解析 (3)或 (4)或 【分析】（1）根据矩形的性质以及勾股定理即可求解； （2）根据题意可得垂直平分，从而得到，即可求证； （3）分两种情况：点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及等腰三角形的性质解答即可； （4）设，点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及菱形的性质解答即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∴，， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴， 故答案为：5 （2）证明：∵点P关于的对称点为点E， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ∵四边形的面积为20， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴，， 当点P在边上时，过点O作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当点P在边上时，过点O作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （4）解：设， 如图，当点P在边上时，设交于点N， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 当点P在边上时，延长交于点M， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 变式17-1．如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从点，同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度．设运动时间为，其中． (1)若，分别是，的中点，则四边形一定是____________（，相遇时除外）． (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． 【答案】(1)平行四边形 (2)2或8 【分析】（1）根据矩形的性质结合平行线的性质可得到，，通过中点可证明，进而证明，利用三角形全等可得，，则，即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解． 【详解】（1）解：平行四边形． 由题意得：, ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，分别是，中点， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图①，连接． ，分别是，的中点，四边形是矩形， 四边形是矩形， ． 分以下两种情况讨论： ①如图①，当四边形是矩形时，． ，，， ． ， ， ； ②如图②，当四边形是矩形时，，． ， ， ． 综上所述，四边形为矩形时，的值为2或8． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用． 变式17-2．【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． (1)【问题初探】 爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段之间的数量关系________； (2)【问题引申】 如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段之间的数量关系，并说明理由： (3)【问题解决】 如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为16，点P运动至与A点距离恰好为14的位置，且旋转至时，请直接写出的长度________． 【答案】(1) (2) (3)8或4 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，证明，得到，即可求解； （2）取的中点，连接，根据菱形的性质可得是等边三角形，可证明，得到，即可证明； （3）分两种情况：当点靠近点时，；当点靠近点时；过点作于，连接，作交于，结合（2），根据勾股定理和等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图1中， 正方形的对角线，交于点， ，， ， ， 在和中 ， ， ， ； 故答案为： （2）解：结论变为，理由如下： 如图2中，取的中点T，连接， 四边形为的菱形， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图3﹣1中，当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G． 是等边三角形，，， ，， 在中，， ， 由（2）可知，， ； 如图中，当点靠近点时，同法可得，， ， ， 综上所述，满足条件的的值为8或4； 故答案为：8或4． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形及菱形的性质，等腰三角形的性质，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系． 【题型18 四边形中的线段最值问题】 【典例18】．如图，在四边形中，，，，，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合）．若，分别为，的中点，则线段长度的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理和勾股定理，掌握通过中位线将线段长度转化，结合动点位置求最值是解题的关键． 利用三角形中位线定理将转化为，通过分析的最大值来确定的最大值，结合勾股定理进行求解． 【详解】解：如图，连接． ，分别为，的中点， 为的中位线， ， 当最大时，最大． 当点与点重合时，最大，此时， 线段长度的最大值为3． 故选：C． 变式18-1．如图，在正方形中，点E为延长线上的一点，取的中点M，连接和．若，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查正方形的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．在的右侧构造等腰直角三角形，连接，证明，求出，再根据可得结论． 【详解】解：如图，在的右侧构造等腰直角三角形，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的最大值为； 故答案为：． 变式18-2．如图所示，在正方形中，为上的一点，，，为上的一点，连接，．求的最小值． 【答案】5 【分析】利用正方形的对称性，将其中一个点关于对角线对称，转化线段长度，再根据“两点之间线段最短”求最小值． 【详解】解：如图，连接交于点，连接交于点，连接． 易知，且， ，则，此时有最小值． ，， ． 由勾股定理，得，即的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的对称性与勾股定理的应用，解题关键是利用对称将折线线段和转化为直线段，结合“两点之间线段最短”求解． 【题型19 四边形其他综合问题】 【典例19】．[定义]：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫做“美妙线”，该四边形叫做“美妙四边形”．如图，在四边形中，对角线平分和，那么对角线叫“美妙线”，四边形就称为“美妙四边形”． [问题]：（1）下列四边形：平行四边形，矩形，菱形，正方形，其中是“美妙四边形”的是_____；（填写名称） （2）四边形是“美妙四边形”， ，，，求美妙四边形的面积．（请画出图形，并写出解答过程） 【答案】（1）菱形、正方形 （2）或 【分析】本题主要考查了四边形中新定义问题、全等三角形的性质与判定以及等腰三角形的性质与判定，理解新定义以及掌握平行四边形和特殊平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据对角线平分一组对角的性质逐个分析即可解答； （2）当四边形是“美妙四边形”时，分两种情况：对角线是“美妙线”或对角线是“美妙线”，证相应的三角形全等，结合，，，即可求出美妙四边形的面积． 【详解】解：（1）根据“美妙四边形”的定义可知，在平行四边形，矩形，菱形，正方形这四个四边形中，其中是“美妙四边形”的是菱形、正方形； （2）当四边形是“美妙四边形”时，分两种情况： ①当对角线是“美妙线”时，如图， 平分和，， ， 在中，，， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ； ②当对角线是“美妙线”时，如图，过点作于点， ，平分， ， 是等腰直角三角形， ， 设， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ； 综上所述，美妙四边形的面积为或． 变式19-1．定义：在中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“字平行四边形”． (1)下面的图形中是“字平行四边形”的有：___________； A．正方形    B．矩形    C．有一个角是的菱形 D．有一个角是的平行四边形    E．有一个角是的平行四边形 (2)在“字平行四边形”中，，则_____________； (3)如图，在矩形中，点、分别是边和边上的点，四边形为“字平行四边形”，若，求的值． 【答案】(1)C (2)或 (3)或 【分析】（1）根据“字平行四边形”的定义逐一判断即可； （2）由平行四边形是“字平行四边形”， ，可得，推出，得到，推出，即可求解； （3）过点作于点，过点作于点，两种情况：①当时，②当时，结合相关知识求解即可． 【详解】（1）解：A．正方形的对角线为边长的倍，故不满足； B、矩形的对角线长不等于其中一条边的长，故不满足； C、有一个角是的菱形，有一条对角线的长等于其中一条边的长，故满足； D、有一个角是的平行四边形的对角线，不一定等于其中一条边的长，故不满足； E．有一个角是的平行四边形，不一定等于其中一条边的长，故不满足； 故答案为：C； （2）解：当时，如图所示： 平行四边形是“字平行四边形”， ， ， ， ， ； 当时，如图所示： 平行四边形是“字平行四边形”， ，， ， ， ， ； 综上，或． （3）解：过点作于点，过点作于点，如图所示： 四边形为矩形， ，，， 四边形为平行四边形， ，， ，， 即． 四边形为字平行四边形， 又，． 有以下两种情况： ①当时， ， 为的中点， ． 在矩形中，， 又， ， ， ， ；                                    ②当时， ， 为的中点， ， 设， 则，，． ， ． ， ， ， ， 由可得． ， ． 综上，或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识，并分类讨论． 变式19-2．在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】：（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接，则__________ 【解决问题】：（2）将矩形绕点A顺时针转动，边与边交于点M，连接，． ①如图2，当时，求证：平分； ②如图3，当点F落在上时，连接交于点O，则__________； 【迁移应用】：（3）如图4，正方形的边长为是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，求的长； （4）如图5，在菱形中，是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，若，求的长。 【答案】（1）45；（2）①见解析；②4；（3）；（4） 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，得出，则可得出答案； （2）①由矩形的性质及平行线的性质证明，则可得出结论； ②过点B作于点E，求出，证明，得出，，证明，得出； （3）过点F作交于点H，证明，得出，，证明是等腰直角三角形，则可得出答案； （4）过点F作，与的延长线交于点H，证明，得出，，，证出是直角三角形，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】解：（1）∵长方形纸片和是两个完全相同的长方形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：45； （2）①证明：∵， ， ∵矩形中， ， ， 平分； ②过点B作于点E， ，， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， 故答案为：4； （3）过点F作交于点H， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转得，， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； （4）过点F作，与的延长线交于点H，如图： 四边形是菱形， ，， ， 由旋转得，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识． 模块五 过关检测 1．如图，由边长相同的9个小正方形组成的图形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了网格中的度数、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、角的和差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 如图：先判定可得，进而得到，由正方形的性质可得，然后求和即可解答． 【详解】解：如图： 根据题意和图形可知可看作两个全等矩形的对角线， ∴， 由图可知， ∴ ∴ ， ∴， ∵可以看作是正方形对角线和边构成的角， ∴ ∴． 故选B． 2．如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出的度数是解决问题的关键.由平角的定义求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，再由平行四边形的同旁内角互补即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 故选：C． 3．下列关于正方形对角线的结论中，错误的是（    ） A．两条对角线互相平分 B．两条对角线相等 C．两条对角线互相垂直 D．正方形面积等于对角线长的平方 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，根据正方形的性质，勾股定理逐一排除即可，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：、正方形的两条对角线互相平分，该选项正确，不符合题意； 、正方形的两条对角线相等，该选项正确，不符合题意； 、两条对角线互相垂直，该选项正确，不符合题意； 、设正方形边长为，对角线， ∴， ∴， ∴面积，即正方形面积等于对角线长平方的一半，该选项错误，符合题意； 故选：． 4．如图，在中，，垂足为．添加下列哪个条件，不能使成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形、菱形、正方形的判定定理，首先明确平行四边形、菱形、正方形的判定关系：平行四边形中，对角线互相垂直的是菱形；菱形要成为正方形，需满足有一个内角为直角或对角线相等．本题先由得出是菱形，再分析各选项能否让菱形变为正方形． 【详解】四边形是平行四边形，且， 是菱形． 若，菱形的对角线相等．根据“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故A不符合“不能使”的要求． 若，菱形的一个内角为直角．根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故B不符合“不能使”的要求． 若，是菱形的边，是对角线．仅“边与对角线相等”无法推出菱形有直角或对角线相等，因此不能保证菱形是正方形，故C符合“不能使”的要求． 若，因菱形对角线互相平分（，），则，，即．结合“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故D不符合“不能使”的要求． 故选C 5．如图，正方形的边长是3，点是边上一点，，是边上一点，，连接，，点是的中点，连接，于点，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，三角形面积． 连接，，先求出，，，得到，，，再根据求解即可． 【详解】解：连接，， ∵正方形的边长是3， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．如图，在正方形和正方形中，点在上，点在同一条直线上，，，是的中点，连接，则的长是（    ）． A．6 B． C． D．10 【答案】C 【分析】连接，延长交于，则，四边形是矩形，，，，，由勾股定理得，，由是的中点，，可得，计算求解即可． 此题考查了运用矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、斜边的中线等于斜边的一半. 【详解】解：如图，连接，延长交于， ∵正方形和正方形， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由勾股定理得，， ∵是的中点，， ∴， 故选：C． 7．蝶几图即明代时期的七巧板，它是以正方形为模分割为如图所示的图形，其中“闺”为等腰直角三角形，点E，F分别是正方形ABCD中边AD，AB上的中点，点G为EF的中点．若正方形ABCD的边长为8，则“闺”的斜边GF的长为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，边长为8，点，分别是边，的中点， ∴ 在中，由勾股定理得， ∵点是的中点， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 8．就实证科学而言，宇宙这部著作是用数学语言写成的．其中勾股定理是我们的祖先在“立竿见影，以正农时”，探索天地相对运动周期时捕捉到的数学原理．它所蕴含的“天道之数”，被人们用以作为沟通天地、与自然对话的凭借，最早被“放之四海”，构筑起中华文明的大厦．如图，在中，，以其三边为边分别向外作正方形，连接，，，设，，的面积分别是，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作交的延长线于，连接，过作交的延长线于，连接，结合正方形的性质及可判定，由全等三角形的性质得，由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得，同理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过作交的延长线于，连接，过作交的延长线于，连接， ， ， 四边形、、是正方形， ，， ，, ， ， ， ， （）， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 同理可证：四边形是平行四边形， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，能添加恰当的辅助线，构建平行四边形是解题的关键． 9．如图，在中，点，，分别在，，上，且，．如果，且是的角平分线，那么四边形是 形． 【答案】正方 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，掌握各判定定理是解题的关键． 根据题意，，，则四边形是平行四边形，再根据，得到该四边形为矩形，最后根据是的角平分线，可得到，即可得到该四边形为正方形． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， 是的角平分线， ∴， ， ， ， ， 又四边形是矩形， ∴四边形是正方形， 故答案为：正方． 10．如图，以正方形的边的中点为原点建立平面直角坐标系．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称点的性质以及正方形性质，根据题意得：D与C关于原点对称，进而得出答案． 【详解】解：∵以正方形的边的中点为原点建立坐标系，点的坐标为， ∴点D的坐标为，， ∴， 故答案为：． 11．如图，正方形的边长为4，点E为的中点，连接，将沿折叠，点A的对应点为F．连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，折叠的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和判定．连接交于点O，过点F作交于点M，交于点N，根据勾股定理求出，根据折叠得出，根据勾股定理得出，求出，最后根据矩形的判定和性质，勾股定理求出结果即可． 【详解】解：如图，连接交于点O，则，过点F作交于点M，交于点N， ∵， ∴， ∵，点E是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，正方形和长方形的面积相等，且四边形也是正方形，欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：．设，．若，则四边形的周长是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，完全平方公式，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握正方形和矩形的性质．首先根据正方形的性质及，，可得出，，，进而可求出，，据此可得，然后根据完全平方公式得，将代入可求出的值，进而可得出答案． 【详解】解：四边形，四边形为正方形，，， ，，， ， ， 正方形和长方形的面积相等， ， 整理得：， ， ， ， ， 则四边形的周长：． 故答案为：． 13．如图，在四边形中，，点在上，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，连接，得到点与点关于对称，过点作，使得，连接交于点，连接，证明四边形是平行四边形，得到则当三点共线，即点与点重合时，取得最小值，即取得最小值，最小值为的长，求出，由勾股定理求出得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， 点与点关于对称， ， 过点作，使得，连接交于点，连接， ， ，四边形是平行四边形， ， 当三点共线，即点与点重合时，取得最小值，即取得最小值，最小值为的长， ，， 是等边三角形， ， 在中， 的最小值为． 故答案为：． 14．如图，正方形中，点、分别在、上，是等边三角形，连接交于点，给出下面五个结论：；；；平分；上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】 【分析】结合正方形性质、等边三角形性质证明，根据全等三角形的性质可判断；结合等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理可判断． 【详解】解：四边形是正方形， ，，平分， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，，故正确； ，故正确； ，， ，即， 是等腰直角三角形， 又平分， ，垂直平分， ， ，故错误； 是等腰直角三角形， ， 又， ，即不是的平分线，故错误； ， ，， 在中，， ，故正确． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，解题关键是熟练掌握相关知识点． 15．如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接．若，求的长． 【答案】2 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 如图，首先把旋转到，然后利用全等三角形的性质得到，，然后根据题目中的条件，可以得到，再根据，和勾股定理，可以求出的长． 【详解】解：∵四边形是边长为6的正方形， ∴，， 如图，把绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴，即、、三点共线， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， 则，，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴长为2． 16．如图，在正方形中，的中点为E，F为的中点，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，全等三角形的判定和对应边相等的性质，正确构建全等三角形是解题的关键； 作的平分线交的延长线于H，设正方形边长为a利用勾股定理求出，证明得再证即可解答． 【详解】证明：如图，作的平分线交的延长线于H，则， ∴． 设正方形边长为a，在中， ， ∴． ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． 在和中， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴． 17．在中，，，D为平面内一点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，取中点F，连接． (1)如图1，当点D在线段上，用等式表示与的数量关系，并证明； (2)如图2，当点D在内部时， ①依题意补全图2； ②判断与的数量关系，并证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形判定与性质，旋转的性质，三角形中位线定理、正方形的性质等知识，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先证明可得，而，F为中点，知，即； （2）①根据已知补全图2即可；②如图：连接，将绕点C顺时针旋转得，连接，证明四边形是正方形，再将绕点A顺时针旋转得，证明D，B，H共线，可得是的中位线，故，从而． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵将线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，F为中点， ∴， ∴． （2）解：①根据题意补图如下： ②；证明如下： 如图2：连接，将绕点C顺时针旋转得，连接， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 如图2，将绕点A顺时针旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴D，B，H共线， ∵F是中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴． 18．如图，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且．与之间有怎样的关系?请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质． 延长交于点，证明即可求解． 【详解】解：，理由如下： 延长交于点， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点与边交于点． 特例感知】 （1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是_____； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）的长度为或． 【分析】（1）连接，当，时，四边形和均为正方形，且为的中点，可证得（），得出，即可求得答案； （2）过点作，交于，可证得、、均为等边三角形，得出，再证得（），即可得出答案； （3）连接交于，运用勾股定理求得，分两种情况：当点在线段上时，当点在线段上时，分别求得即可． 【详解】解：（1）当，时， 四边形和均为正方形，且为的中点， 如图1，连接，则，，， ， （）， ， ， ； 故答案为：； （2）如图2，过点作，交于， 四边形和四边形是形状、大小完全相同的菱形，且边长为8，， ，， 、均为等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， （）， ， ， ； （3）连接交于， 四边形是菱形， ，即， ， ， ， 当点在线段上时，如图2，过点作于，则， ， 由（2）知：， ， ， ； 当点在线段上时，如图3， 则， ， ， ； 综上所述，的长度为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线，运用分类讨论思想是解题关键． 20．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（如图1）    (1)概念理解：在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四边形的是 ； (2)性质证明：如图1，四边形是垂美四边形，请写出其两组对边，与，之间的数量关系 ；并给出证明． (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长． 【答案】(1)菱形、正方形 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论； （2）利用勾股定理即可得出结论； （3）先判断出，得出四边形是垂美四边形，借助（2）的结论和勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形， ∴菱形和正方形一定是垂美四边形， 故答案为：菱形、正方形； （2）解：，理由如下， 如图所示，设与交于点O，   四边形是垂美四边形， ， ， 由勾股定理，得：，，，， ∴，， ； （3）解：如图，连接，．   ， ， 即． 又∵，， ， ， 又， ． 又， ， ， 四边形是垂美四边形． 由（2）可知， ∵，， 由勾股定理，得，，， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 21．如图在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转交直线于点F．    (1)如图①．若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是________； (2)如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明； (3)若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或10 【分析】（1）如图，连接，根据菱形的性质得出是等边三角形，可得出相等的角和边，进而证明，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）如图：在上取点，使得，连接，根据条件证明，得出，再证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；； （3）根据题意分两种情况进行讨论，借助于（2）的思路，证明三角形全等，得出相等的边，然后假设边的长度，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：，证明如下：    如图：在上取点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． （3）解：①如图，当点E在线段上时，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，   ， ∵四边形为正方形，， ， 又， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得，即，解得：， ∴． ②如图，当点E在延长线上时，取的中点G，连接，    ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得∶． ∴． 综上所述，的长为或10． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识以及正确作出辅助线是解题的关键． 22．如图1，已知是等腰直角三角形，，正方形与有公共顶点，当绕点旋转时，边分别与（或延长线，如图2）、（或延长线，如图2）相交于点，连接， (1)如图1，证明：； (2)如图1，若正方形的边长为1，设，请用表示的长； (3)如图2，结论是否成立，如不成立，写出三线段的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不成立，三线段的数量关系是，证明见解析 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． （1）根据正方形性质得出，根据全等三角形的判定推出即可； （2）设，则，得，，在中由勾股定理得，代入相关数据进行整理可得结论； （3）不成立，，理由是：在上取，连接，证，即可 【详解】（1）证明：如图，延长到，使，连接， ∵四边形是正方形， ，， 在和中， ， ； ； （2）解：设，则，得，， 在中，由勾股定理得， 设，则， 整理得，， 即 所以， （3）解：不成立，三线段的数量关系是， 证明：如图，在上取，连接， 在和中 ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 23．定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为“垂美四边形”． (1)如图1，四边形是“垂美四边形”，则根据勾股定理 ＝ ＋ ；＝ ＋ ； ＝ ＋ ；＝ ＋ ； 所以，用等式表示、、、之间的数量关系是 ； (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、，分别交、于点，． ①与的位置关系是 ，给出证明； ②若，，则线段的长是 ． 【答案】(1)，， (2)①，证明见解析；② 【分析】本题为四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据垂美四边形和勾股定理解答即可； （2）①如图，连接，根据垂美四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质进行证明即可；②结合①的结论计算即可． 【详解】（1）解： ， 理由：∵， ∴， 由勾股定理得， ，， ∴， ， ； 故答案为：，， （2）①，证明如下： 如图2，连接， ∵正方形和正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是垂美四边形， ②由①得，， ∵，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴． 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $