专题06矩形寒假预习核心讲义(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题06矩形寒假预习核心讲义 1.理解矩形的定义，掌握矩形与平行四边形的关系。 2.熟记矩形的性质与判定定理，能灵活进行证明与计算。 3.会用矩形的相关知识解决简单的几何问题。 预习必备 知识点梳理 1.矩形的核心概念 2.矩形的性质 3.矩形的判定定理 4.预习易错点 常考题型 精讲精炼 1.矩形的基本性质梳理 2.矩形性质的应用:角度计算 3.矩形性质的应用:线段长度计算 4.矩形性质的应用:面积计算 5.矩形性质的应用:几何证明 6.矩形与折叠问题的综合求解 7.直角三角形斜边中线定理 8.矩形判定定理的理解与辨析 9.补全条件:判定四边形为矩形 10.四边形为矩形的证明方法 11.根据矩形的性质于判定求线段长 12.根据矩形的性质于判定求面积 强化巩固 题型通关 (15题) 【知识点01.核心概念：矩形的定义于丛属关系】 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。 2.关键细节 定义本质：矩形是“特殊的平行四边形”，满足平行四边形的所有判定条件，额外增加“一个角为直角”的限定。 从属关系：矩形⊂平行四边形，即所有矩形都是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形。 定义的双向应用：① 已知平行四边形+一个角是直角→可判定为矩形（判定用法）；② 已知矩形→可直接得出它是平行四边形（性质用法）。 【知识点02.矩形的性质】 分为继承平行四边形的性质和矩形特有性质两类 1. 继承平行四边形的性质 性质类型 具体内容 边的性质 对边平行且相等 角的性质 对角相等；邻角互补 对角线性质 对角线互相平分 对称性 中心对称图形，对称中心为对角线交点 2. 矩形特有的性质 (1) 角的特性：矩形的四个角都是直角。 (2) 对角线的特性：矩形的对角线相等。 (3) 对称性：矩形是轴对称图形，有 2 条对称轴（对边中点连线所在直线）。 【知识点03.矩形的判定定理】 · 定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 · 对角线法：对角线相等的平行四边形是矩形。 · 内角法：有三个角是直角的四边形是矩形。 判定方法选择技巧 1.题干明确给出“平行四边形”→ 用定义法（证一个直角）或对角线法（证对角线相等）。 2.题干只给出“四边形”，无平行四边形提示→ 用角判定法（证三个直角）。 3.题干涉及“对角线”相关条件→ 优先考虑对角线法（注意前提是否为平行四边形） 【知识点04.预习易错点】 1.性质与判定混淆 易错点：把“矩形的性质”当“判定条件”用（如已知矩形，说“因为对角线相等，所以是矩形”，逻辑倒置）。 规避方法：牢记“性质→已知矩形推结论”，“判定→满足条件证矩形”，先明确题干是“证矩形”还是“用矩形性质解题”。 2.矩形判定的条件遗漏 易错点：① 忽略“平行四边形”前提，直接说“对角线相等的四边形是矩形”；② 用角判定时，只证两个角是直角就判定为矩形。 规避方法：判定前先判断题干是否为平行四边形，非平行四边形需证三个角为直角；对角线法必须绑定平行四边形。 3.直角三角形斜边中线推论的误用 易错点：① 对任意三角形的中线都用此推论（如直角边上的中线）；② 逆用推论时忽略“斜边中线”条件。 规避方法：先确认“中线是否在斜边上”，仅直角三角形斜边上的中线才有“等于斜边一半”的性质；逆用时需明确“中线在斜边，且中线=½斜边”。 4.矩形对称性的误区 易错点：认为矩形的对称轴是对角线所在直线。 规避方法：矩形的对称轴是“对边中点连线所在直线”，共2条；对角线所在直线不是对称轴（折叠后两边不重合）。 【题型1.矩形的基本性质梳理】 【典例】下列性质中，矩形不一定具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角相等 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，，为边上任意一点，则阴影部分面积和矩形面积的比是 ． 【跟踪专练2】如图，在长方形的中，已知，，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以，C，Q为顶点的三角形全等，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2或1 D．4或3 【题型2.矩形性质的应用:角度计算】 【典例】在矩形中，对角线、相交于点，若，则的度数为 ． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线相交于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】.如图，在长方形中，，将沿所在直线折叠，使点A落在E处，则 ． 【题型3.矩形性质的应用:线段长度计算】 【典例】如图，在矩形中，若，则的长为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【跟踪专练1】一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是 ． 【跟踪专练2】如图，矩形的边上有一动点E，以为边作平行四边形，且边过点D，若，，则平行四边形的面积为 （用含a，b的代数式表示）． 【题型4.矩形性质的应用:面积计算】 【典例】已知四边形是矩形，对角线，相交于点，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图内，P点是长方形内任意的一点．阴影部分的总面积与空白部分的总面积比较（　　） A．阴影部分的面积大 B．空白部分的面积 C．一样大 D．无法确定 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，P是上的动点，于E，于F，则的值是 ． 【题型5.矩形性质的应用:几何证明】 【典例】如图，、是矩形的两条对角线，E是的延长线上一点，连接，若，，则的度数是 °． 【跟踪专练1】如图，在矩形中进行如下操作：①以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接；②再以为圆心，长为半径作弧交于点，连接．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，将长方形纸片沿其对角线折叠，使点落在点的位置，与交于点． 若，求图中阴影部分的周长 ． 【题型6.矩形与折叠的综合求解】 【典例】如图，将矩形沿折叠，点B落在边上的点F处．若，，则的长度为 （    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点坐标分别为点，点，点，点，点是上的点，将沿所在的直线折叠，若点的对应点刚好落在上，则点的坐标为 ． 【跟踪专练2】如图，在中，，是斜边上的中线．若，则的长为（   ） A．6 B． C．8 D．10 【题型7.直角三角形斜边中线定理】 【典例】直角三角形斜边上的高和中线分别为4厘米和6厘米，则此三角形面积为 平方厘米． 【跟踪专练1】若平行四边形的一个内角是直角，则其他三个角 ； 【跟踪专练2】根据下列图形提供的角度，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【题型8.矩形判定定理的理解与辨析】 【典例】在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（   ） A．测量其中三个角是否为直角 B．测量两组对边是否相等 C．测量对角线是否相互平分 D．测量对角线是否相等 【跟踪专练1】已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，点从点出发，向点以的速度匀速运动，点以的速度从点出发，在、两点之间往返匀速运动，两点同时出发，点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．设运动时间为，这段时间内，当的值为 时，以、、、为顶点的四边形是矩形． 【题型9.补全条件:判定四边形为矩形】 【典例】在平行四边形中，对角线，相交于点O，请添加一个适当的条件，使平行四边形成为一个矩形，你添加的条件是 (添一个即可)． 【跟踪专练1】如图，在中，，交于点，添加下列一个条件，仍不能判定是矩形，该条件是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】学习矩形时，我们从它的边、角、对角线等方面进行了研究，可以发现并证明矩形的对角线相等．小明参考平行四边形判定方法的研究过程，得出下面的猜想：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相平分且相等的四边形是矩形；③对角线互相垂直且相等的四边形是矩形．其中正确的是 ．（填序号） 【题型10.四边形为矩形的证明方法】 【典例】如图在中，，，以为圆心，长为半径作弧，以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【跟踪专练1】如图，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；再次折叠纸片，使点B，P分别落在与上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，．有如下5个结论：①四边形是矩形；②；③；④；⑤．其中一定正确的有 ． 【跟踪专练2】如图，在中，，点D从点A出发沿着线段运动到点B，过点D作于于F，连接，在整个运动过程中，下列关于线段长度变化的描述中，正确的是（   ） A．先变短后变长 B．先变长后变短 C．一直变短 D．始终保持不变 【题型11.根据矩形的性质与判定求线段长】 【典例】如图，在中，，，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点，于点，连接，则线段长的最小值为 ． 【跟踪专练1】.如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，若，，则折痕的长度为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【题型12.根据矩形的性质与判定求面积】 【典例】如图是一个矩形，在上各取一点G、H，使得，再取的中点E、F．连接，已知，，则四边形的面积为 ． 【跟踪专练1】如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】下面性质中，矩形不一定具有的是（   ）． A．对角线相等 B．四个角都相等 C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直 1．如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．的对角线相交于点O，当满足 时，四边形是矩形．（只添加一个条件） 3．如图，为了检查平行四边形书架是否为矩形，工人师傅用一根绳子比较了其对角线，的长度，若二者长度相等，则该书架就是矩形，请你说出其中的数学原理 ． 4．如图，在矩形中，，，，点为边上任意一点，则阴影部分面积和矩形面积的比为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在四边形中，， E为对角线的中点，连接．若， 则的度数为 °． 6．如图，已知矩形面积为，，，，，则阴影部分的面积（　　） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，E为边上的一点，连结，过点D作，垂足为F，若，，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．如图，现将一张矩形的纸片一角折叠，若能使点D落在边上中点F处，折痕为，延长交的延长线于点G．若，则的长为 ． 9．如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．在数学“折向未来”的活动课上，小明用如图所示的长方形纸片折四边形，，点E，F分别是，边上的中点，G为边上任意一点，将，分别沿，翻折，使点D，点B分别落在长方形内的点，处，当点D落在线段上时，则 ，连接，则的最小值为 ．    11．如图，在中，，延长至点，过点作，使，连接BF交CE于点D． (1)求证：； (2)若是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论． 12．如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案． (1)猜想：______度． (2)请证明你的猜想． 13.．如图，点在的边上，，请从以下四个选项中，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形． ①；②为的中点；③；④平分；平分． (1)你选择的条件是___________；（填序号，填写一种即可） (2)添加条件后，求证：为矩形． 14．如图，在中，对角线、相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求矩形的面积． 15．如图，在中，为线段的中点，延长交的延长线于点，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)在边上有一点，沿翻折，使得点的对应点落在上，用无刻度尺子和圆规作出折痕，保留作图痕迹，不写作图过程， (3)在（2）的基础上，若，连接，求的长度，直接写出答案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06矩形寒假预习核心讲义 1.理解矩形的定义，掌握矩形与平行四边形的关系。 2.熟记矩形的性质与判定定理，能灵活进行证明与计算。 3.会用矩形的相关知识解决简单的几何问题。 预习必备 知识点梳理 1.矩形的核心概念 2.矩形的性质 3.矩形的判定定理 4.预习易错点 常考题型 精讲精炼 1.矩形的基本性质梳理 2.矩形性质的应用:角度计算 3.矩形性质的应用:线段长度计算 4.矩形性质的应用:面积计算 5.矩形性质的应用:几何证明 6.矩形与折叠问题的综合求解 7.直角三角形斜边中线定理 8.矩形判定定理的理解与辨析 9.补全条件:判定四边形为矩形 10.四边形为矩形的证明方法 11.根据矩形的性质于判定求线段长 12.根据矩形的性质于判定求面积 强化巩固 题型通关 (15题) 【知识点01.核心概念：矩形的定义于丛属关系】 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。 2.关键细节 定义本质：矩形是“特殊的平行四边形”，满足平行四边形的所有判定条件，额外增加“一个角为直角”的限定。 从属关系：矩形⊂平行四边形，即所有矩形都是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形。 定义的双向应用：① 已知平行四边形+一个角是直角→可判定为矩形（判定用法）；② 已知矩形→可直接得出它是平行四边形（性质用法）。 【知识点02.矩形的性质】 分为继承平行四边形的性质和矩形特有性质两类 1. 继承平行四边形的性质 性质类型 具体内容 边的性质 对边平行且相等 角的性质 对角相等；邻角互补 对角线性质 对角线互相平分 对称性 中心对称图形，对称中心为对角线交点 2. 矩形特有的性质 (1) 角的特性：矩形的四个角都是直角。 (2) 对角线的特性：矩形的对角线相等。 (3) 对称性：矩形是轴对称图形，有 2 条对称轴（对边中点连线所在直线）。 【知识点03.矩形的判定定理】 · 定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 · 对角线法：对角线相等的平行四边形是矩形。 · 内角法：有三个角是直角的四边形是矩形。 判定方法选择技巧 1.题干明确给出“平行四边形”→ 用定义法（证一个直角）或对角线法（证对角线相等）。 2.题干只给出“四边形”，无平行四边形提示→ 用角判定法（证三个直角）。 3.题干涉及“对角线”相关条件→ 优先考虑对角线法（注意前提是否为平行四边形） 【知识点04.预习易错点】 1.性质与判定混淆 易错点：把“矩形的性质”当“判定条件”用（如已知矩形，说“因为对角线相等，所以是矩形”，逻辑倒置）。 规避方法：牢记“性质→已知矩形推结论”，“判定→满足条件证矩形”，先明确题干是“证矩形”还是“用矩形性质解题”。 2.矩形判定的条件遗漏 易错点：① 忽略“平行四边形”前提，直接说“对角线相等的四边形是矩形”；② 用角判定时，只证两个角是直角就判定为矩形。 规避方法：判定前先判断题干是否为平行四边形，非平行四边形需证三个角为直角；对角线法必须绑定平行四边形。 3.直角三角形斜边中线推论的误用 易错点：① 对任意三角形的中线都用此推论（如直角边上的中线）；② 逆用推论时忽略“斜边中线”条件。 规避方法：先确认“中线是否在斜边上”，仅直角三角形斜边上的中线才有“等于斜边一半”的性质；逆用时需明确“中线在斜边，且中线=½斜边”。 4.矩形对称性的误区 易错点：认为矩形的对称轴是对角线所在直线。 规避方法：矩形的对称轴是“对边中点连线所在直线”，共2条；对角线所在直线不是对称轴（折叠后两边不重合）。 【题型1.矩形的基本性质梳理】 【典例】下列性质中，矩形不一定具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角相等 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质：矩形的对边相等，对角线相等而且互相平分、四个角等于，对选项逐一进行判断即可． 【详解】解：根据矩形的性质可知，矩形的对边相等，对角线相等而且互相平分、四个角等于，但矩形的邻边不一定相等， 故A符合题意，B不符合题意，C不符合题意，D不符合题意， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，，为边上任意一点，则阴影部分面积和矩形面积的比是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段中线的性质，掌握三角形的中线性质是解题关键，连接，根据题意得出，，． 【详解】解：连接，如图所示， ， ， ， ， ， ， 空白部分和阴影部分的面积相等， 阴影部分面积和矩形面积的比是； 故答案为： ． 【跟踪专练2】如图，在长方形的中，已知，，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以，C，Q为顶点的三角形全等，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2或1 D．4或3 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，分类讨论全等三角形的对应边关系是解题的关键．设点P，Q运动的时间为，依题意得：，，得到，，①当，时，则当时，则，根据题意列方程即可得到结论 【详解】解：设点P，Q运动的时间为， 依题意得：， 四边形是长方形，且，， ， 当以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等时，有以下两种情况： ①当时，则， 由，得：， 解得：； ②当时，则， 由，得：， 解得：， 由， 得：， 将代入， 得：， 综上所述：的值为4或3． 故选：D． 【题型2.矩形性质的应用:角度计算】 【典例】在矩形中，对角线、相交于点，若，则的度数为 ． 【答案】70 【分析】本题考查矩形的性质以及等腰三角形的性质，解题关键是熟练掌握矩形性质和等腰三角形性质是解题的关键． 依据矩形对角线相等且互相平分的性质，得出，确定为等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角，得到，根据三角形内角和，结合已知，通过计算出的度数． 【详解】解：如图： ∵四边形是矩形， ∴． 在中，， 则是等腰三角形， ∴ ． ∵， ∴． ∴． 故答案为：70． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线相交于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握矩形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选A． 【跟踪专练2】.如图，在长方形中，，将沿所在直线折叠，使点A落在E处，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、图形的翻折变换等知识点，弄清楚图形折叠后是解题的关键． 由长方形的性质可得，易得的度数，再根据折叠方法可得，然后用即可解答． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的方法可得：， ∴． 故答案为：． 【题型3.矩形性质的应用:线段长度计算】 【典例】如图，在矩形中，若，则的长为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，能熟记矩形的对角线相等是解此题的关键． 根据矩形的对角线相等，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴． 故选：A 【跟踪专练1】一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是 ． 【答案】 【分析】该题考查了列代数式，根据矩形的性质求面积，根据矩形的面积是长宽即可解答． 【详解】解：根据题意可得矩形的面积是， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，矩形的边上有一动点E，以为边作平行四边形，且边过点D，若，，则平行四边形的面积为 （用含a，b的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 连接，根据与平行四边形同底同高，进行计算求解即可． 【详解】解：连接，如图： 四边形是矩形， 、， ， 令以边为底上的高为， ， 平行四边形与三角形同底同高， 平行四边形以边为底上的高为， ， ， 即平行四边形的面积为， 故答案为：． 【题型4.矩形性质的应用:面积计算】 【典例】已知四边形是矩形，对角线，相交于点，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：∵矩形的四个角都是直角， ∴； 故A正确，不符合题意； ∵矩形的对角线相等且互相平分， ∴，， ∴； 故B、D正确，不符合题意； C错误，符合题意； 故选：C 【跟踪专练1】如图内，P点是长方形内任意的一点．阴影部分的总面积与空白部分的总面积比较（　　） A．阴影部分的面积大 B．空白部分的面积 C．一样大 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了矩形，三角形面积．熟练掌握矩形性质，三角形面积公式，是解题的关键． 为了便于表示添加了两条线段和四个点（如图），要比较阴影部分的总面积与空白部分总面积，需要利用三角形的面积公式空白部分总面积＝三角形的面积+三角形的面积，阴影部分的总面积＝三角形的面积+三角形的面积，然后进行比较． 【详解】解：根据题意和三角形的面积公式得： 空白部分的总面积＝三角形的面积+三角形的面积 ； 阴影部分的总面积＝三角形的面积+三角形的面积 ； 由题意和图可知：， 所以阴影部分的总面积＝空白部分的总面积； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，P是上的动点，于E，于F，则的值是 ． 【答案】 【分析】连接，根据矩形的性质求出，根据勾股定理得到，然后根据解答即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理，矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型5.矩形性质的应用:几何证明】 【典例】如图，、是矩形的两条对角线，E是的延长线上一点，连接，若，，则的度数是 °． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角和底角的关系是解题的关键． 根据矩形的性质得，，由平行线性质得出，再结合已知条件得，进而得出，由此即可解题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在矩形中进行如下操作：①以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接；②再以为圆心，长为半径作弧交于点，连接．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是理解作图过程，熟练运用矩形的性质解题．根据作图过程和矩形的性质可以证明，进而可得线段与线段的位置关系以及与的数量关系，进一步推导与，与的数量关系即可． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形中，，，，， ∴， 由题意得，， ∴，，故A正确， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，，故B、D正确． 无法证明；C不一定成立； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，将长方形纸片沿其对角线折叠，使点落在点的位置，与交于点． 若，求图中阴影部分的周长 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的折叠问题及矩形的性质．熟记翻折前后两个图形能够重合找出相等的线段是解题的关键．阴影部分的周长为，即矩形的周长计算解题． 【详解】证明：∵四边形为矩形， ∴，， 由翻折可得， ∴阴影部分的周长为 ， 故答案为：． 【题型6.矩形与折叠的综合求解】 【典例】如图，将矩形沿折叠，点B落在边上的点F处．若，，则的长度为 （    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．根据矩形的性质得出，，，根据折叠得出，，，根据勾股定理求出，设，则，，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， 根据折叠可知：，，， ∴， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点坐标分别为点，点，点，点，点是上的点，将沿所在的直线折叠，若点的对应点刚好落在上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形翻折的性质以及勾股定理，熟练掌握其性质是做题的关键．利用翻折的性质，结合勾股定理进行解答即可． 【详解】解：因为，， 所以，， 在中，， 因为点恰好落在上，所以， 所以， 设，则， 在中，， 所以， 解得， 所以点的坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，，是斜边上的中线．若，则的长为（   ） A．6 B． C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键．根据直角三角形的性质解决此题即可． 【详解】解：在中，，是斜边上的中线， ． ∵， ． 故选：C． 【题型7.直角三角形斜边中线定理】 【典例】直角三角形斜边上的高和中线分别为4厘米和6厘米，则此三角形面积为 平方厘米． 【答案】24 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、三角形的面积等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 利用直角三角形斜边上的中线性质求斜边长，再根据面积公式计算即可 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线为6厘米， ∴斜边长为厘米． 又∵斜边上的高为4厘米， ∴三角形面积为平方厘米． 故答案为24． 【跟踪专练1】若平行四边形的一个内角是直角，则其他三个角 ； 【答案】都是直角 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，掌握矩形的判定和性质是关键，根据题意，运用矩形的判定和性质求解即可． 【详解】解：若平行四边形的一个内角是直角，则该四边形是矩形， ∴其他三个角都是直角， 故答案为：都是直角 ． 【跟踪专练2】根据下列图形提供的角度，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及作图，直角三角形斜边中线的性质，三角形外角的性质等知识，确定分割三角形中的哪一个角是解题的关键． 根据相关知识分别进行判断即可． 【详解】解：A．如图，能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意； B．如图，能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意； C．如图，取的中点，作直线，则，直线能把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意； D．不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，符合题意； 故选：D． 【题型8.矩形判定定理的理解与辨析】 【典例】在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（   ） A．测量其中三个角是否为直角 B．测量两组对边是否相等 C．测量对角线是否相互平分 D．测量对角线是否相等 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形的判定定理，根据矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定为矩形；符合题意； B、测量两组对边是否相等，只能判定为平行四边形；不符合题意； C、测量对角线是否相互平分，只能判定为平行四边形；不符合题意； D、测量对角线是否相等，不能判定其为矩形（如等腰梯形的对角线也相等），不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练1】已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定， 根据判定定理逐项判断即可. 【详解】解：∵， ∴是菱形，则A不符合题意； ∵， ∴是矩形，则B符合题意； 当四边形是时，，则C不符合题意； ∵， ∴是菱形，则D不符合题意. 故选：B. 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，点从点出发，向点以的速度匀速运动，点以的速度从点出发，在、两点之间往返匀速运动，两点同时出发，点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．设运动时间为，这段时间内，当的值为 时，以、、、为顶点的四边形是矩形． 【答案】2.4或4或7.2 【分析】首先由矩形得到，，然后得到，则四边形是矩形，然后根据题意分情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】根据题意，当点从点运动到点的过程中，点将按照运动． 四边形是矩形， ，． ． 若，则四边形是矩形． 根据题意，得． 当时，， ∴， 解得． 当时，， ∴， 解得．当时，， ， 解得． 当时，， ， 解得，此时无法构成矩形，故舍去． 综上所述，当或4或7.2时，以、、、为顶点的四边形是矩形． 故答案为：2.4或4或7.2． 【点睛】此题考查了矩形动点问题，矩形的性质和判定，一元一次方程的应用，解题的关键是分情况讨论． 【题型9.补全条件:判定四边形为矩形】 【典例】在平行四边形中，对角线，相交于点O，请添加一个适当的条件，使平行四边形成为一个矩形，你添加的条件是 (添一个即可)． 【答案】(答案不唯一) 【分析】此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理，难度不大． 根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可． 【详解】解：添加， 理由是：∵四边形是平行四边形，又 ∴平行四边形是矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】如图，在中，，交于点，添加下列一个条件，仍不能判定是矩形，该条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，根据矩形的判定方法进行分析即可，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、添加不能判定是矩形，符合题意； 、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，不符合题意； ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，不符合题意； 故选：． 【跟踪专练2】学习矩形时，我们从它的边、角、对角线等方面进行了研究，可以发现并证明矩形的对角线相等．小明参考平行四边形判定方法的研究过程，得出下面的猜想：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相平分且相等的四边形是矩形；③对角线互相垂直且相等的四边形是矩形．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据矩形的判定逐个判断即可． 【详解】对角线相等的四边形不一定是矩形，所以①不正确； 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以②正确； 对角线互相垂直且相等的四边形是不一定是矩形，所以③不正确． 所以正确的是②． 故答案为：②． 【题型10.四边形为矩形的证明方法】 【典例】如图在中，，，以为圆心，长为半径作弧，以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定，根据题意正确作图是解题的关键； 根据题意作图，易得，，可证四边形是平行四边形，又，，可证四边形是矩形． 【详解】解：依题意作图如下： 连接，，由作图知，， 四边形是平行四边形， 又，， 四边形是矩形． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；再次折叠纸片，使点B，P分别落在与上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，．有如下5个结论：①四边形是矩形；②；③；④；⑤．其中一定正确的有 ． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的判定和性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质，矩形的判定和性质逐一判定即可． 【详解】在矩形中，， ∵B，P两点重合，折痕为， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，①是正确的； ∵点B，P的对应点分别为，，折痕为l， ∴，②是正确的； 由第一次折叠可得：， 由矩形得：， ∴， ∴，④是正确的； 由第一次折叠可得：， 由第二次折叠可得：， ∴，⑤是正确的； 不能判定③，正确的有：①②④⑤， 故答案为：①②④⑤． 【跟踪专练2】如图，在中，，点D从点A出发沿着线段运动到点B，过点D作于于F，连接，在整个运动过程中，下列关于线段长度变化的描述中，正确的是（   ） A．先变短后变长 B．先变长后变短 C．一直变短 D．始终保持不变 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质．连接，证明四边形是矩形，可得，由垂线段最短可得当时，最短，则线段的值最小，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得当时，最短，则线段的值最小， ∴点D从点A出发沿着线段运动到点B的过程中，则线段的值大小变化情况是先变短后变长． 故选：A． 【题型11.根据矩形的性质与判定求线段长】 【典例】如图，在中，，，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点，于点，连接，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理等知识，垂线段最短；利用矩形的性质转化为求的最小值是解题的关键．连接，证明四边形是矩形，则，当取得最小值时，取得最小值，此时，利用面积相等即可求得的最小值，从而求解． 【详解】解：连接，如图所示； ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 当取得最小值时，取得最小值，此时； ∵，，， ∴由勾股定理得：； ∵， ∴， 即的最小值为， ∴的最小值为； 故答案为：． 【跟踪专练1】.如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，若，，则折痕的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，矩形的判定和性质，等角对等边，勾股定理； 过作于，设，根据勾股定理求出，进而得出的长，再证明，四边形是矩形，求出的长，再在中运用勾股定理即可得到的长． 【详解】解：过作于，在矩形中，， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， ∵在矩形中，， ∴， 由折叠可知， ， ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ∴在中，， 故选：C． 【跟踪专练2】矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明． 根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解． 【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【题型12.根据矩形的性质与判定求面积】 【典例】如图是一个矩形，在上各取一点G、H，使得，再取的中点E、F．连接，已知，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，根据题意可得、为等边三角形，结合E、F为的中点可推出四边形为矩形，据此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵ ∴、为等边三角形， ∴， ∵E、F为的中点， ∴垂直平分，垂直平分，， ∴ ∴四边形为矩形， 又， ∴ ∴，， ∴四边形的面积为：。 故答案为： 【跟踪专练1】如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质、矩形的性质，根据平移的性质求出空白部分的长和宽，根据矩形的面积公式计算，得到答案．解题的关键是掌握平移的性质：平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置；图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等． 【详解】解：∵将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形， ∴，， ∴空白部分是平行四边形， ∵， ∴空白部分是矩形，且长为：，宽为：， ∴阴影部分的面积为：， 即阴影部分的面积为． 故选：D． 【跟踪专练2】下面性质中，矩形不一定具有的是（   ）． A．对角线相等 B．四个角都相等 C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、矩形的对角线平分、相等，故A正确，不符合题意； B、矩形的四个角都是直角，故B正确，不符合题意； C、矩形是轴对称图形，故C正确，不符合题意； D、矩形对角线相等，不一定互相垂直，故D错误，符合题意． 故选D． 1．如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形的性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据角的和差关系可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； 故选D． 2．的对角线相交于点O，当满足 时，四边形是矩形．（只添加一个条件） 【答案】或或或等（答案不唯一） 【分析】本题考查了由平行四边形判定矩形．熟练掌握由平行四边形判定矩形的定理，是解题的关键． 根据矩形的判定定理推出即可． 【详解】添加，由对角线相等的平行四边形是矩形可判定是矩形； 添加，由有一个角是直角的平行四边形是矩形可判定是矩形（答案不唯一）； 添加，由有一个角是直角的平行四边形是矩形可判定是矩形（答案不唯一）； 添加，由有一个角是直角的平行四边形是矩形可判定是矩形（答案不唯一）． 故答案为：或或或 3．如图，为了检查平行四边形书架是否为矩形，工人师傅用一根绳子比较了其对角线，的长度，若二者长度相等，则该书架就是矩形，请你说出其中的数学原理 ． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形），解题的关键是明确已知图形为平行四边形，再结合对角线相等的条件，匹配对应的矩形判定定理． 先确定书架是平行四边形，工人师傅测量得其对角线与长度相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”这一判定定理，即可判断该平行四边形书架为矩形，由此得出所用的数学原理． 【详解】解：已知书架是平行四边形，工人师傅通过测量发现其对角线；   根据矩形的判定定理，当平行四边形的对角线相等时，该平行四边形为矩形；   因此，所用的数学原理是“对角线相等的平行四边形是矩形”．   故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 4．如图，在矩形中，，，，点为边上任意一点，则阴影部分面积和矩形面积的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的面积，首先根据，可得和的面积相等，然后根据，可得和的面积相等；最后根据，可得和的面积相等；所以空白部分和阴影部分的面积相等，因此阴影部分面积和长方形的面积的比是，据此解答即可． 【详解】解：连接，如图所示． ∵， ∴和的面积相等； ∵， ∴和的面积相等； ∵， ∴和的面积相等； ∴空白部分和阴影部分的面积相等， ∴阴影部分面积和矩形的面积的比是． 故选：C． 5．如图，在四边形中，， E为对角线的中点，连接．若， 则的度数为 °． 【答案】35 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即，由等边对等角可得，设，则，再根据三角形外角的性质以及角的和差可得，最后根据等边对等角以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， E为对角线的中点， ∴，即 ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：35． 6．如图，已知矩形面积为，，，，，则阴影部分的面积（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质和割补法求不规则图形面积．通过割补法将阴影面积转化为四个直角三角形的面积和是解题的关键． 根据四个直角三角形的面积和即可求得阴影部分面积． 【详解】解：设矩形的长，宽， 矩形面积， ，，，，如图， ， 阴影部分的面积 ， 故选B． 7．如图，在矩形中，E为边上的一点，连结，过点D作，垂足为F，若，，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，矩形的性质和勾股定理，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键； 连接，可证，得，利用的面积推出，然后在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】如图，连接， 四边形为矩形，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 由勾股定理得，， 即，解得， ， 故选：A． 8．如图，现将一张矩形的纸片一角折叠，若能使点D落在边上中点F处，折痕为，延长交的延长线于点G．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质及勾股定理，解题的关键是利用折叠性质得到相等线段，结合勾股定理建立方程求解． 先根据矩形和折叠的性质，得出、，结合F是中点得；再用勾股定理求出的长度；最后设为x，在中利用勾股定理列方程，求解即可． 【详解】∵四边形是矩形，，是中点， ∴，，． 由折叠性质可得，． 在中，根据勾股定理得 ，将，代入可得： ， ∴． 设，则， ． 在中，根据勾股定理得 ， ． 解得，即． 故答案为：． 9．如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设，，利用中点坐标公式，建立等式，根据矩形的对角线相等，利用两点间距离公式建立新等式，解答即可． 本题考查了坐标的特点，中点坐标公式，两点间距离公式，矩形的性质，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解：由轴，，， 不妨设，， 由矩形， 故点E是与的中点，且， 故，或， 同一点的坐标是相同的， 故， 故， 故 故， 解得， 故， 故选：A． 10．在数学“折向未来”的活动课上，小明用如图所示的长方形纸片折四边形，，点E，F分别是，边上的中点，G为边上任意一点，将，分别沿，翻折，使点D，点B分别落在长方形内的点，处，当点D落在线段上时，则 ，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】由矩形的性质得，，，，再由点E，F分别是，边上的中点，进一步证明四边形和四边形都是矩形，则，，由翻折得，，，当点在上，由勾股定理得出，再利用勾股定理解出即可；连接，则，由，得，即可得出的最小值． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， ∵点E，F分别是，边上的中点， ∴， ， ∴，，，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， 由翻折得，，， ∵点在上， ∴， ∴， ∵， 即， 解得：； 连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：，．    【点睛】本题主要考查了矩形的判定以及性质，翻转的性质，三角形的三边关系，勾股定理的应用，掌握翻转的性质是解题的关键． 11．如图，在中，，延长至点，过点作，使，连接BF交CE于点D． (1)求证：； (2)若是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角和边的关系构造全等三角形． (1) 利用垂直得直角，结合对顶角和已知边相等，证，得； (2) 由推出，证，得． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）解：，证明如下： 由（1）得 ， ， ， 在和中， ， ， ． 12．如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案． (1)猜想：______度． (2)请证明你的猜想． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定. 解题的关键是根据已知条件证出是等腰直角三角形． 根据矩形的性质得出，，，根据可证出，由全等的性质可得出∠，，进而证出是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】（1）猜想：． 故答案为． （2）∵四边形和四边形是全等的矩形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，1 ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 13.．如图，点在的边上，，请从以下四个选项中，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形． ①；②为的中点；③；④平分；平分． (1)你选择的条件是___________；（填序号，填写一种即可） (2)添加条件后，求证：为矩形． 【答案】(1)③或② (2)见详解 【分析】本题考查了三线合一，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，选择的条件是③，为矩形． （2）先运用平行四边形的性质，证明，则，根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形，即可作答．如果选②为的中点，则先证明，再根据三线合一性质，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，选择的条件是③，为矩形．或选择的条件是②，为矩形． （2）解：由（1）得选择的条件是③， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为矩形． 当选择②为的中点，过程如下： ∵为的中点； ∴延长至点，， 连接， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴三线合一得， ∴为矩形． 14．如图，在中，对角线、相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟记判定与性质是解题的关键． （1）根据已知条件推知四边形是平行四边形，则，依据等量代换得到，则平行四边形是矩形； （2）利用“矩形的对角线相等且相互平分”的性质可证是等边三角形，得出，再利用勾股定理求得的长度，然后用矩形的面积公式列式计算即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ． 又点在的延长线上， ． 又， 四边形是平行四边形， ． 又∵， ， 平行四边形是矩形； （2）解：在矩形中，，， 是等边三角形， ， ， ∴， 四边形的面积． 15．如图，在中，为线段的中点，延长交的延长线于点，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)在边上有一点，沿翻折，使得点的对应点落在上，用无刻度尺子和圆规作出折痕，保留作图痕迹，不写作图过程， (3)在（2）的基础上，若，连接，求的长度，直接写出答案． 【答案】(1)见解析 (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再证明，得到，且，由矩形的判定方法即可求证； （2）根据折痕平分，或根据角平分线的性质定理尺规作图即可； （3）由勾股定理得到，连接，过点B作于点，由等面积法得到，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，为线段的中点， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴，且， ∴四边形是矩形； （2）解：根据折叠得到，折痕平分，则尺规作的角平分线即可，如图所示， ； 或根据折叠得到，，以点D为圆心，以为半径画弧交于点，过点F作的垂线即可，如图所示， ； （3）解：∵， ∴， ∵点O是中点， ∴， 如图所示，连接，过点B作于点， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，尺规作角平分线，尺规作垂线，勾股定理等知识的综合运用，掌握矩形的判定和性质，尺规作图的方法，勾股定理的计算是关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $