1.3.4乘法公式(第4课时 完全平方公式的应用)知识清单2025-2026学年北师大版数学七年级下册

1.3.4乘法公式(第4课时 完全平方公式的应用) 复习回顾： 1.平方差公式： 2.完全平方公式： 情景1. 怎样计算下列两式更简单呢？ (1) 1022 (2) 1992 · 完全平方公式用于简便运算时，关键是找到与原数接近的类似整十、整百的数，再将原数变形成(a＋b)2或者(a－b)2的形式，使之符合公式的特点，再用完全平方公式进行求解． 例1：计算 (1)(x＋3)2－x2； (2)(a＋b＋3)(a＋b－3)； (3)(x＋5)2－(x－2)(x－3)； (4)[(a＋b)(a－b)]2 练习1. 1. 若m＋n＝3，则代数式2m2＋4mn＋2n2－6的值为( ). A.12 B.3 C.4 D.0 2. 运用完全平方公式计算99.82的最佳方法是( ). A.(99＋0.8)2 B.(90＋9.8)2 C.(100－0.2)2 D.(101－1.2)2 3. 已知a－b＝3，ab＝10，a2＋b2＝_ _. 4. 若a＋b＝5，ab＝6，求a2＋b2. 5. 若a＋b＝6，a－b＝4，求ab. 情景2. 分别用两种不同的方法表示阴影部分的面积，并得出等式. 方法一：S阴影部分＝ 方法二：S阴影部分＝ 所以得到等式： 方法一：S阴影部分＝ 方法二：S阴影部分＝ 所以得到等式： 方法一：S阴影部分＝ 方法二：S阴影部分＝ 所以得到等式： · 归纳总结 完全平方公式 变形 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 ①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab ②2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2) (a－b)2＝a2－2ab＋b2 ①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab ②2ab＝(a2＋b2)－(a－b)2 ③(a－b)2＝(a＋b)2－4ab ④(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab · 观察·思考 观察下图，你认为(m＋n)×(m＋n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵中的点数之和一样多吗? 请用所学的公式解释自己的结论. 练习2. 1. 我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此恒等式是( ). A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2 C．(a－b) 2＝a2－2ab＋b2 D．(a＋b) 2＝a2＋2ab＋b2 2. 若(a＋b) 2＝49，ab＝6，则a－b的值为( ). A.－5 B.±5 C.5 D.±4 3. 如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1＋S2＝40，则图中阴影部分面积为 . 4. 利用乘法公式计算. (1)962； (2)(a－b－3)(a＋b＋3). 5. 计算. (1)(x－2)(x＋2)－(x＋1)(x－3)； (2)(ab＋1)2－(ab－1)2； 6. 若a＋b＝6，a－b＝4，求ab. 7. 若a＋b＝5，ab＝2，求a2＋b2，(a－b)2的值． 8. 若a＋b＝5，ab＝－6，求a2＋b2，a2－ab＋b2. 巩固练习： 1. 已知x2＋kxy＋64y2是一个完全平方式，则k的值是( ). A．8 B．±8 C．16 D．±16 2. 若4a2＋18ab＋m是一个完全平方式，则m等于( ). A．9b2 B．18b2 C．81b2 D．b2 3. 若一个正方形的边长增加2cm，则面积相应增加了32cm2，那么这个正方形的边长为( ). A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 4. 著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图是由四个长为a，宽为b的长方形拼摆而成的正方形，其中a＞b＞0．根据图形写出一个正确的等式，可以表示为 ． 5. 如图，将边长为(a＋b)的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形(阴影部分)．观察图形，解答下列问题： (1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法1： ， 方法2： ； (2)从中你得到什么等式？ 　； (3)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知x＋y＝6，xy＝3，求x2＋y2的值； ②已知(19－x)2＋(x－20)2＝49，求(19－x)(x－20)的值． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3.4乘法公式(第4课时 完全平方公式的应用) 复习回顾： 1.平方差公式： (a＋b)(a－b)＝a2－b2 2.完全平方公式： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2 情景1. 怎样计算下列两式更简单呢？ (1) 1022 (2) 1992 解：(1)1022＝(100＋2)2 ＝1002＋2×100×2＋22 ＝10000＋400＋4 ＝10404 (2)1972＝(200－3)2 ＝2002－2×200×3＋32 ＝40000－1200＋9 ＝38809 · 完全平方公式用于简便运算时，关键是找到与原数接近的类似整十、整百的数，再将原数变形成(a＋b)2或者(a－b)2的形式，使之符合公式的特点，再用完全平方公式进行求解． 例1：计算 (1)(x＋3)2－x2； (2)(a＋b＋3)(a＋b－3)； (3)(x＋5)2－(x－2)(x－3)； (4)[(a＋b)(a－b)]2 解：(1)6x＋9；(2)a2＋2ab＋b2－9；(3)15x＋19；(4)a4－2a2b2＋b4. 练习1. 1. 若m＋n＝3，则代数式2m2＋4mn＋2n2－6的值为( A ). A.12 B.3 C.4 D.0 2. 运用完全平方公式计算99.82的最佳方法是( C ). A.(99＋0.8)2 B.(90＋9.8)2 C.(100－0.2)2 D.(101－1.2)2 3. 已知a－b＝3，ab＝10，a2＋b2＝___29___. 4. 若a＋b＝5，ab＝6，求a2＋b2. 解：a2＋b2＝13 5. 若a＋b＝6，a－b＝4，求ab. 解：ab＝5 情景2. 分别用两种不同的方法表示阴影部分的面积，并得出等式. 方法一：S阴影部分＝ S两个小正方形＝a2＋b2 方法二：S阴影部分＝ S大正方形－S两个小长方形＝(a＋b)2－2ab 所以得到等式： a2＋b2＝(a＋b)2－2ab 方法一：S阴影部分＝ S大正方形＝a2 方法二：S阴影部分＝ S左上角正方形＋S两个大长方形－S右下角正方形＝(a－b)2＋2ab－b2 所以得到等式： a2＋b2＝(a－b)2＋2ab 方法一：S阴影部分＝ S小正方形＝(a－b)2 方法二：S阴影部分＝ S大正方形－4·S小长方形＝(a＋b)2－4ab 所以得到等式： (a－b)2＝(a＋b)2－4ab · 归纳总结 完全平方公式 变形 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 ①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab ②2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2) (a－b)2＝a2－2ab＋b2 ①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab ②2ab＝(a2＋b2)－(a－b)2 ③(a－b)2＝(a＋b)2－4ab ④(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab · 观察·思考 观察下图，你认为(m＋n)×(m＋n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵中的点数之和一样多吗? 请用所学的公式解释自己的结论. 解：m×m点阵中的点数：m2；n×n点阵中的点数：n2；m×m点阵、n×n点阵中的点数之和：m2＋n2； (m＋n)×(m＋n)点阵中的点数：(m＋n)2. (m＋n)2－(m2＋n2)＝m2＋2mn＋n2－m2－n2＝2mn. 所以(m＋n)×(m＋n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵中的点数之和不一样多. 练习2. 1. 我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此恒等式是( C ). A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2 C．(a－b) 2＝a2－2ab＋b2 D．(a＋b) 2＝a2＋2ab＋b2 2. 若(a＋b) 2＝49，ab＝6，则a－b的值为( B ). A.－5 B.±5 C.5 D.±4 3. 如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1＋S2＝40，则图中阴影部分面积为 6 . 4. 利用乘法公式计算. (1)962； (2)(a－b－3)(a＋b＋3). 解：(1)9 216；(2) a2－2ab＋b2－9 5. 计算. (1)(x－2)(x＋2)－(x＋1)(x－3)； (2)(ab＋1)2－(ab－1)2； 解：(1)2x－1；(2)4ab 6. 若a＋b＝6，a－b＝4，求ab. 解：ab＝5 7. 若a＋b＝5，ab＝2，求a2＋b2，(a－b)2的值． 解：a2＋b2＝21；(a－b)2＝17. 8. 若a＋b＝5，ab＝－6，求a2＋b2，a2－ab＋b2. 解：a2＋b2＝37；a2－ab＋b2＝43 巩固练习： 1. 已知x2＋kxy＋64y2是一个完全平方式，则k的值是( D ). A．8 B．±8 C．16 D．±16 2. 若4a2＋18ab＋m是一个完全平方式，则m等于( D ). A．9b2 B．18b2 C．81b2 D．b2 3. 若一个正方形的边长增加2cm，则面积相应增加了32cm2，那么这个正方形的边长为( C ). A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 4. 著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图是由四个长为a，宽为b的长方形拼摆而成的正方形，其中a＞b＞0．根据图形写出一个正确的等式，可以表示为 　(a＋b)2－4ab＝(a－b)2　． 5. 如图，将边长为(a＋b)的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形(阴影部分)．观察图形，解答下列问题： (1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法1：　 a2＋b2　 ， 方法2：　 (a＋b)2－2ab　； (2)从中你得到什么等式？ 　 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab 　　； (3)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知x＋y＝6，xy＝3，求x2＋y2的值； ②已知(19－x)2＋(x－20)2＝49，求(19－x)(x－20)的值． 解：(3)①x2＋y2＝24；②(19－x)(x－20)＝－24. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $