精品解析：广东佛山市南海区2025-2026学年上学期期末测试九年级数学试题

九年级数学 试卷说明： 本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟．答题前，考生务必将自己的姓名等信息按要求填写在答题卡上；答案必须写在答题卡各题目指定区域内；考试结束后，只需将答题卡交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若一个菱形的边长为2，则该菱形的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查菱形的性质；熟记菱形的四边相等是解决问题的关键．根据菱形的四边相等即可得出菱形的周长． 【详解】解：∵菱形四条边长相等， ∴该菱形的周长是， 故选C． 2. 一元二次方程的根是（     ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程求出方程的两个根即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴或， 解得， ， 故选：D． 3. 若线段a、b、c、d是成比例线段，且，，，则d的值为（     ） A. B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义，，代入已知值求解d． 本题考查了比例线段，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵线段 a、b、c、d 是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 4. 一个暗箱中放有个球，其中有两个红球，这些球除颜色外都相同． 从中随机摸出一个球，记下颜色后放回暗箱． 通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，那么可以估算m的值是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据频率稳定在概率附近，摸到红球的概率为红球数量与总球数的比值，即，且该概率约为，由此建立方程求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ 摸到红球的频率稳定在左右， ∴ 摸到红球的概率， 又∵ 红球有个，总球数为， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴估算的值为， 故选：． 5. 如图，在中，D、E分别是、上的点，，若，，，则的长是（     ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列式计算即可； 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 将，，分别代入比例式，得， 解得 ． 故选：B． 6. 一天下午小红先参加了校运动会女子100m比赛，过一段时间又参加了女子400m比赛，如图是摄影师在同一位置拍摄的两张照片，那么下列说法正确的是（　　） A. 乙照片是参加100m的 B. 甲照片是参加100m的 C. 乙照片是参加400m的 D. 无法判断甲、乙两张照片 【答案】A 【解析】 【分析】根据根据平行投影的规律：从早晨到傍晚物体的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长，进行判断即可． 【详解】解：根据平行投影的规律：从早晨到傍晚物体的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长；则乙照片是参加100m的，甲照片是参加400m的． 故选A． 【点睛】本题考查平行投影．熟练掌握平行投影的规律，是解题的关键． 7. 观察下列表格，可得出一元二次方程的一个近似解是（     ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0.84 2.29 3.76 5.25 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格确定相邻两个未知数的值使的值为一正一负，即可确定的解的取值范围． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，， 则当时，存在一个x的值，使， 故关于x的方程的一个解x的范围是， 故选：． 8. 点都在反比例函数的图像上，则与的大小关系是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 根据反比例函数的性质，可知：当时，在每个象限内，y随x的增大而减小，据此即可解答． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， 又∵，即， ∴． 故选C． 9. 如图，在矩形中，两条对角线交于点O，，，则长为（     ） A. 2 B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形中，对角线，交于点，，判定是等边三角形，得到，根据直角三角形的性质，勾股定理解答即可． 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵矩形中，对角线，交于点， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，则图中相似而不全等的三角形的对数是（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形相似的判定定理，结合等腰直角三角形的性质解答即可． 本题考查了三角形相似的判定，等腰直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得和是两个全等的等腰直角三角形，， ， ， ， ， 又， ， ， 故有3对， 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 反比例函数图象位于第二、四象限，则k的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的图像位于第二、四象限，比例系数，计算即可求出k的取值范围． 【详解】∵ 位于第二、四象限， ∴ 即． 12. 如图，在中，，D为的中点，，则的长是 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：∵在中，，D为的中点，， ∴． 故答案为：3． 13. 若关于x的一元二次方程有实数根，请写出一个满足条件的a的值：________． 【答案】2（不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程、根的判别式等知识点，考虑二次项系数不能为零是解题的关键． 根据一元二次方程的定义可得，再运用根的判别式确定a的取值范围，然后确定一个符合题意的a的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且． 解得：且． 综上，且时，关于x的一元二次方程有实数根． 故：取 满足条件． 故答案为2（不唯一）． 14. 如图是某校音乐社团购买的一种乐器．乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则A，D之间的距离为________．（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割点，解题的关键在于能够熟练掌握黄金分割比例．根据黄金分割点的定义，得解答即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，得， 解得， 故， 故答案为：． 15. 如图，，，，，，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题重点考查了相似三角形的性质和判定，（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似；（2）两角分别相等的两个三角形相似；（3）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；（4）三边成比例的两个三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．证明，即可完成计算． 【详解】解：，，，， ∴，， ， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 三、解答题：本大题共8小题，题每题7分，题每题9分，22题13分，23题14分，共75分． 16. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题关键． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 17. “低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．南海区某运动商城的自行车销售量自2025年起逐月增加，据统计，该商城2月份销售自行车100辆，4月份销售了144辆．求该商城2月到4月自行车销售量的月均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】设该商城自行车销量的月均增长率为，根据题意得：，解方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用---增长率，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设该商城自行车销量的月均增长率为，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：该商城自行车销量的月均增长率为． 18. 小明想测量学校路灯灯柱的高度．他手持一根标尺，通过调整距离，使标尺刚好挡住灯柱，用此方法可测量路灯灯柱的高度．如图，已知小明与标尺的水平距离，与路灯灯柱的水平距离，标尺长度．请根据这些测量数据，求出路灯灯柱的高度． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，利用三角形相似的性质解答即可． 本题考查了三角形相似的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵和分别是和对应的高 ∴， ， ， 答：路灯的高度为． 19. 甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘A，B平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字，如图1所示．游戏规则：甲转动转盘A一次，乙转动转盘B一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上则无效，要重新转动转盘． （1）用列表或画树状图的方法，求乙获胜的概率； （2）如图2，把质地相同的两个转盘C，D平均分成3份和4份，游戏规则不变，请在转盘C，D中的每一份内分别标上一个自然数，使这个游戏对甲、乙双方公平（不需要写出理由）． 【答案】（1） （2） 填数如下： 【解析】 【分析】（1）画树状图计算即可； （2）根据题意，在C盘中任意填3个自然数，在D盘中填两个奇数和两个偶数即可． 本题考查的是游戏公平性的判断，解题的关键是掌握判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平 【小问1详解】 解：根据题意，画树状图如下： 和有3，4，5，5，6，7一共有6种等可能性，其中是奇数的有4种等可能性， 故乙获胜的概率为：． 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 和有3，10，6，7，9，16，12，13，5，12，8，9，一共有12种等可能性，其中是奇数的有6种等可能性，偶数的有6种等可能性， 故甲获胜的概率为：，乙获胜的概率为：． 这个游戏对甲、乙双方公平． 20. 如图，点E，F，分别是正方形ABCD的边BC，CD的中点，AF与DE交于点G，连接BG． （1）写出线段AF与DE的数量关系和位置关系，并证明； （2）求证：． 【答案】（1） ，， 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴，， ∵点E，F，分别是正方形ABCD的边BC，CD的中点， ∴，． ∴． ∴≌（SAS）． ∴，． ∴． 即． （2） 证明：延长AB、DE交于点H． 由（1）， ∴． ∵四边形ABCD是正方形， ∴，，． ∴，． ∵点E是正方形ABCD的边BC的中点， ∴． ∴≌（AAS）． ∴． ∴B为AH的中点． ∴BG为斜边AH上的中线． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． 即． 【解析】 【分析】（1）证明≌（SAS），即可得到结论； （2）延长AB、DE交于点H．先证明≌（AAS），得到，得到BG为斜边AH上的中线，，由得到 ，结论得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握性质和判定是基础，添加适当的辅助线是关键． 21. 新定义：给定一个矩形A，如果存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半，那么称矩形B是矩形A的 “减半矩形”． （1）阅读探究过程并完成填空： 已知矩形A的相邻两边的长分别为6和1时，小宁同学是这样研究的： 设矩形B的相邻两边的长分别是和，由题意得方程组 ， 消去，化简整理得 ， ∵ ， ∴ _____，_____； 所以矩形B是矩形A的 “减半矩形”； （2）如果已知矩形A的相邻两边的长分别为3和1，请你仿照小宁的方法研究是否存在矩形B； （3）如果矩形A的相邻两边的长分别为 和 ，请你研究 ， 满足什么条件时矩形B存在． 【答案】（1）2； （2） 不存在，理由如下： 设所求矩形B相邻两边的长分别是a和b， 根据题意得：， 消去b，整理得：， ∵， ∴此方程无解， ∴不存在满足要求的矩形B； （3）当时，矩形B存在 【解析】 【分析】（1）根据公式法解方程即可； （2）仿照小宁的方法解答； （3）设矩形B的相邻两边长分别为x，y，根据题意得：， 整理得：，计算方程根的判别式，根据判别式的属性确定是否存在即可． 本题考查了矩形的性质，解方程组，解方程，根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【小问1详解】 解：方程组 ， 消去，化简整理得 ， ∵ ， ∴ ，； 所以矩形B是矩形A的 “减半矩形”， 故答案为：2；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设矩形B的相邻两边长分别为x，y， 根据题意得：， 整理得：， 当， 即时，矩形B存在． 22. （1）如图， 中，，平分，，．求 的长； （2）在（1）的条件下，如图所示，点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、 相交于点． ①如果 ，求 的值； ②如果 是以为腰的等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）①，②或 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明，，解得，故，解答即可； （2）①根据（1）三角形相似，求得，结合已知证明，，， 过点D作，交于点H，证明，求得，证明，计算即可． ②分两种情况解答即可． 本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． 【详解】（1）平分， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， 解得， ∴， ． （2）①解：由（1）可知：，，，． 解得， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ∵， ， ， 过点D作，交于点H， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ②解：当时， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又①可知：， ， ， ， ， ，， ， ， ， 解得， ， ； 当时， 在上取一点M，使得， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为或． 23. 我们知道，利用尺规可以平分任意一个角，从而可以把一个角四等分、八等分……那么，能否用尺规三等分一个任意角呢？ 公元前5世纪，古希腊的学者们就提出了这个问题．为了解决这个问题，数学家们花费了大量的时间和精力．直到1837年，数学家才证明了“三等分任意角”是不可能用尺规完成的．在研究这个问题的过程中，古希腊数学家帕普斯(，)给出了一种方法． 【实践与操作】 步骤1：建立平面直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合． 步骤2：在平面直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与角的另一边交于点． 步骤3：以为圆心，的长为半径作弧，交函数的图象于点． 步骤4：过点和分别作轴和轴的平行线，两线交于点． 步骤5：连接，得到． 【实践探索】 （1）如图1，过点作轴的垂线，交于点，连接，可以得到轴．求证：四边形是矩形． （2）在（1）的条件下，连接，交于点．求证：． （3）如图2，在（1）的条件下，在矩形中，若，点为边上的一个动点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．线段的长度是否存在最小值，若存在，请求出线段的长度最小时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：轴 ∴轴， 轴，轴，轴 ，，， ∴四边形是平行四边形，°， ∴四边形是矩形 （2） 解：∵轴， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、旋转以及全等三角形的判定与性质： （1）先证明四边形是平行四边形，加上其中一个角是直角即可证明是矩形； （2）利用矩形对角线的性质得到，结合推出，再通过等腰三角形的角相等，逐步推导得出结论； （3）通过旋转构造全等三角形，利用 “垂线段最短” 找到最小时的位置，再结合的条件计算出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：线段的长度存在最小值，理由如下： 将绕点逆时针旋转得到，连接， 即， °， 在和中，， ， ，， 垂线段最短， 当时，最小，即最小， 又， 平行于， 延长，过点作，交延长线于点， ， ， ， ， ， ， ，，， 四边形是矩形， ， ，且 点为的中点， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 试卷说明： 本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟．答题前，考生务必将自己的姓名等信息按要求填写在答题卡上；答案必须写在答题卡各题目指定区域内；考试结束后，只需将答题卡交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若一个菱形的边长为2，则该菱形的周长是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 2. 一元二次方程的根是（     ） A. B. C. ， D. ， 3. 若线段a、b、c、d是成比例线段，且，，，则d的值为（     ） A. B. 4 C. 6 D. 8 4. 一个暗箱中放有个球，其中有两个红球，这些球除颜色外都相同． 从中随机摸出一个球，记下颜色后放回暗箱． 通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，那么可以估算m的值是（     ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，D、E分别是、上的点，，若，，，则的长是（     ） A. B. C. D. 1 6. 一天下午小红先参加了校运动会女子100m比赛，过一段时间又参加了女子400m比赛，如图是摄影师在同一位置拍摄的两张照片，那么下列说法正确的是（　　） A. 乙照片是参加100m的 B. 甲照片是参加100m的 C. 乙照片是参加400m的 D. 无法判断甲、乙两张照片 7. 观察下列表格，可得出一元二次方程的一个近似解是（     ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0.84 2.29 3.76 5.25 A. B. C. D. 8. 点都在反比例函数的图像上，则与的大小关系是（     ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，两条对角线交于点O，，，则长为（     ） A. 2 B. C. D. 8 10. 如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，则图中相似而不全等的三角形的对数是（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 反比例函数图象位于第二、四象限，则k的取值范围是___________． 12. 如图，在中，，D为的中点，，则的长是 _____． 13. 若关于x的一元二次方程有实数根，请写出一个满足条件的a的值：________． 14. 如图是某校音乐社团购买的一种乐器．乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则A，D之间的距离为________．（结果精确到） 15. 如图，，，，，，则的长是________． 三、解答题：本大题共8小题，题每题7分，题每题9分，22题13分，23题14分，共75分． 16. 解方程： 17. “低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．南海区某运动商城的自行车销售量自2025年起逐月增加，据统计，该商城2月份销售自行车100辆，4月份销售了144辆．求该商城2月到4月自行车销售量的月均增长率． 18. 小明想测量学校路灯灯柱的高度．他手持一根标尺，通过调整距离，使标尺刚好挡住灯柱，用此方法可测量路灯灯柱的高度．如图，已知小明与标尺的水平距离，与路灯灯柱的水平距离，标尺长度．请根据这些测量数据，求出路灯灯柱的高度． 19. 甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘A，B平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字，如图1所示．游戏规则：甲转动转盘A一次，乙转动转盘B一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上则无效，要重新转动转盘． （1）用列表或画树状图的方法，求乙获胜的概率； （2）如图2，把质地相同的两个转盘C，D平均分成3份和4份，游戏规则不变，请在转盘C，D中的每一份内分别标上一个自然数，使这个游戏对甲、乙双方公平（不需要写出理由）． 20. 如图，点E，F，分别是正方形ABCD的边BC，CD的中点，AF与DE交于点G，连接BG． （1）写出线段AF与DE的数量关系和位置关系，并证明； （2）求证：． 21. 新定义：给定一个矩形A，如果存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半，那么称矩形B是矩形A的 “减半矩形”． （1）阅读探究过程并完成填空： 已知矩形A的相邻两边的长分别为6和1时，小宁同学是这样研究的： 设矩形B的相邻两边的长分别是和，由题意得方程组 ， 消去，化简整理得 ， ∵ ， ∴ _____，_____； 所以矩形B是矩形A的 “减半矩形”； （2）如果已知矩形A的相邻两边的长分别为3和1，请你仿照小宁的方法研究是否存在矩形B； （3）如果矩形A的相邻两边的长分别为 和 ，请你研究 ， 满足什么条件时矩形B存在． 22. （1）如图， 中，，平分，，．求 的长； （2）在（1）的条件下，如图所示，点、分别是边、上的点（点不与点、重合），且，、 相交于点． ①如果 ，求 的值； ②如果 是以为腰的等腰三角形，请直接写出的长． 23. 我们知道，利用尺规可以平分任意一个角，从而可以把一个角四等分、八等分……那么，能否用尺规三等分一个任意角呢？ 公元前5世纪，古希腊的学者们就提出了这个问题．为了解决这个问题，数学家们花费了大量的时间和精力．直到1837年，数学家才证明了“三等分任意角”是不可能用尺规完成的．在研究这个问题的过程中，古希腊数学家帕普斯(，)给出了一种方法． 【实践与操作】 步骤1：建立平面直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合． 步骤2：在平面直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与角的另一边交于点． 步骤3：以为圆心，的长为半径作弧，交函数的图象于点． 步骤4：过点和分别作轴和轴的平行线，两线交于点． 步骤5：连接，得到． 【实践探索】 （1）如图1，过点作轴的垂线，交于点，连接，可以得到轴．求证：四边形是矩形． （2）在（1）的条件下，连接，交于点．求证：． （3）如图2，在（1）的条件下，在矩形中，若，点为边上的一个动点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．线段的长度是否存在最小值，若存在，请求出线段的长度最小时的度数；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $