专题7.3 函数y=Asin（ωx+φ）的图像（2大知识点+8大题型+强化训练）寒假班预修提升讲义-2025-2026学年高一数学沪教版

2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题7.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 知识点01 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ φ 2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x － － － ωx＋φ 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 知识点02 函数的性质 函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到： （1） 定义域：； （2）值域：； （3）单调区间：求形如与函数的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数和余弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数；对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数． （5）周期：函数及函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为． （6）对称轴和对称中心 与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出． 题型01：“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ) 【例1】已知函数. (1)利用“五点法”完成下面表格，并画出在区间上的图象； 0 (2)解不等式. 【答案】(1)答案见解析；(2) 【解析】（1）由题意，列表如下： 0 画出在区间上的图象如图： （2）不等式，即，所以， 所以，即， 故的解集为. 【跟踪训练】 1．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x 0 5 0 根据表格中的数据，函数的解析式可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数最值，可求得A值，根据周期公式，可求得值，代入特殊点，可求得值，即可得答案. 【解析】由题意得最大值为5，最小值为-5，所以A=5， ，解得，解得， 又，解得， 所以的解析式可以是 故选：A. 2.已知函数，其中，（，） (1)若，，在用“五点法”作出函数，的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表： 0 0 (2)若，，写出函数的最小正周期和单调增区间 (3)若的频率为，且恒成立，求函数的解析式. 【答案】(1)答案见详解 (2)；， (3) 【分析】（1）根据题意，可得，完成五点法列表； （2）利用解析式结合正弦函数的单调递增区间，即可求出的单调递增区间； （3）根据题意可得，求得，又恒成立，可得，求得，得解. 【详解】（1）若，，则，，五点法列表如下： 0 0 1 0 0 （2）若，，则，所以最小正周期， 由的单调性可知，，即， 所以的单调增区间为，. （3）由题意可得的周期，则， 所以，又恒成立， 所以，即，即， 又，所以， 所以. 3.已知函数，．在用“五点法”作函数的图象时，列表如下： x 完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间上的图象；    【答案】填表见解析；作图见解析 【分析】由五点作图法的步骤：列表（此题找特殊点），描点，连线（用一条光滑的曲线连接）. 【解析】由题意列出以下表格： 0 x 0 0 2 0 函数图象如图所示：    题型02：函数y=Asin(ωx+φ)的周期、振幅、频率、初始相位、相位 【例2】1.函数的周期为 ，振幅为 ，初始相位为 . 【答案】 2 【分析】根据函数解析式结合正弦函数的周期，振幅及初始相位的定义即可得解. 【解析】由题意，函数的周期为，振幅为，初始相位为. 故答案为：；；. 2.函数的初始相位是 ． 【答案】 【分析】由初始相位的定义可得结论. 【详解】因为， 所以函数的初始相位是， 故答案为：. 【跟踪训练】 1.函数的初始相位为 . 【答案】 【分析】根据给定函数,结合三角函数的初始相位定义可得. 【详解】函数的初始相位为. 故答案为：. 2.已知函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是： (1)求的值 (2)求函数的表达式． 【答案】(1)，，. (2) 【分析】（1）由振幅、初始相位定义以及最小正周期公式即可得解. （2）由（1）即可得解. 【详解】（1）由题得，即. （2）由（1）得函数的表达式为. 3．已知，分别表示下面两个简谐振动：，，求复合振动的振幅、周期和频率和圆频率． 【答案】振幅为2、周期为6、频率为、圆频率． 【分析】利用两角和与差的正弦公式化简可得，再根据的物理意义即可得答案． 【解析】 振幅为2、周期为、频率为、圆频率． 题型03：三角函数间的图象变换 【例3】要得到函数的图象，只要将函数的图象  （     ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】根据平移前后解析式判断图象平移过程即可. 【详解】将向右平移个单位，则，其它平移过程都不满足. 故选：D 【例4】为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【分析】先将两个三角的名字根据诱导公式化为相同，然后再平移即可. 【详解】 将函数向左平移个单位得： 故选：B 【跟踪训练】 1. 要得到的图象，只要把函数的图象（    ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 【答案】C 【分析】先将变形为，再结合平移变换的左加右减原则即可得解. 【详解】因为， 所以只要把函数的图象向左移个单位即可得到的图象. 故选：C. 2. 函数是由（    ）得到的 A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移 【答案】B 【分析】根据题意，由三角函数的平移变换，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以函数是由向右平移得到的. 故选：B 3. 把函数的图像经过变换得到图像，这个变换是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程、三角恒等变换的化简问题 【分析】根据两角和的正弦函数，将表达式化为一个三角函数的形式，然后根据左加右减的原则，判断平移的方向与单位. 【详解】 ， 则， 将向右平移个单位可得到， 故选：D. 4. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（       ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】 先通过诱导公式将化为，设平移了个单位，从而得到方程，求出，得到答案. 【详解】 ， 设平移了个单位，得到， 则，解得：， 即向右平移了个单位. 故选：B 5. 把函数的图像适当变动就可以得到图像，这种变动可以是（    ） A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移 【答案】D 【分析】根据图象变换的规则及三角公式先将变成，再提取系数3，由平移的规则研究即可. 【详解】，， 函数的图象向左平移可以得到的图象. 故选：D 题型04：求图象变化前（后）的解析式 【例5】把函数的图象向右平移个单位，得到的解析式是 . 【答案】 【分析】根据三角函数图象的平移变换规律，可得到答案. 【详解】把函数的图象向右平移个单位， 得到函数的图象，即得到函数解析式为， 故答案为： 【跟踪训练】 1. 将函数图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数图像伸缩变化和平移变化的规律，求函数解析式. 【详解】函数图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得函数的图像， 再将所得图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则. 故选：D 2.将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得图像的解析式为 ． 【答案】 【分析】横坐标缩短到原来的，将变为即可. 【详解】将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得图像的解析式为. 故答案为：. 题型05：由部分图象求函数解析式 【例6】下图是函数的部分图像，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象先求出函数的周期和ω，利用五点法求出函数的φ的值，结合三角函数的诱导公式进行转化求解即可. 【详解】解：由图象知函数的周期 ， 即 即   当 时，，解得， 所以， ， 当 时， ，解得， 所以， 故选： C. 【跟踪训练】 1.函数（其中，，的部分图象如图所示，则的解析式是　　 A． B． C． D． 【分析】结合三角函数的图像读出，求出，，代入的值，求出，从而求出的解析式． 【解答】解：结合图像：，，则，， 故，当时，，而，故， 故， 故选：． 【点评】本题考查了三角函数的性质，考查求三角函数的解析式，是中档题． 2.如图所示为的部分图像，点和点之间的距离为5，那么　　． 【分析】根据，两点之间的距离为5可得函数的周期，得到的值，再根据图像与轴交于点，可求出，即可求值． 【解答】解：根据图像连接，过点，作轴的垂线和平行线，交于点． 在直角三角形中，，，可得，即函数的周期， 所以，所以， 又图像与轴交于点．即，且，则， 所以，则． 故答案为：． 【点评】本题考查根据三角函数的图像求函数表达式，考查三角函数的图像性质，属于中档题． 3.函数的部分图象如图所示，其中，，．则的解析式为 　　． 【分析】由函数图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式． 【解答】解：由函数的部分图象可知：， 因为的个最小正周期为，所以，则， 根据五点法作图，得，解得，适合， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查由的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力，属于中档题． 4.函数的图象如下，求它的解析式 . 【答案】 【分析】根据最高点可确定，利用周期，将代入即可求解. 【详解】由图象最高点可知,由点和可得周期,此时 将代入得,由于 ，所以取，故 故答案为：. 5.下图是根据某港一天中记录的潮汐高度y（cm）与相应时间t（h）的有关数据绘制的简图，若选择函数来近似刻画y与t之间的关系，则此函数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用周期可求，由图象可求，进而利用图象过点，可求，进而可得解析式. 【详解】由图象可得周期，所以，所以， 所廖以，由图象和各选项可得， 所以，由图象过点， 所以，所以， 所以，所以， 所以. 故选：D. 题型06：由三角函数的性质求函数解析式 【例7】函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是，则它的解析式为 . 【答案】 【分析】根据的物理意义求解． 【解析】由题意，，，， 所以解析式为． 故答案为：． 【跟踪训练】 1.函数的相邻两条对称轴之间的距离为，则 . 【答案】 【分析】利用正弦函数的性质得到周期，代入周期公式计算即可. 【解析】由正弦函数的对称性与周期性知，解得. 故答案为： 2．已知，若函数的图象关于直线对称，则的值为 . 【答案】 【分析】结合正弦型函数图象的性质与的范围即可得. 【解析】因为函数的图象关于直线对称， 所以，，解得，， 又，所以. 故答案为：. 3．已知函数的最大值为4，最小值是0，最小正周期是，直线是其图象的一条对称轴，若，，，则函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据函数的最值求出和，根据周期求出，根据对称轴求出，则可得函数解析式. 【解析】依题意可得，， ，所以， 所以，，即，， 因为，所以. 所以函数解析式为. 故答案为： 题型07：由图象及变换分析三角函数的性质 【例8】将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是________ (1)图象关于直线对称 (2)曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为 (3)的一个单调递增区间为 (4)图象关于点成中心对称 【答案】(2)(3) 【解析】因为， 所以向右移个单位得函数解析式为， 又图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象， 所以， 对于(1)，因为，所以直线不是图象的对称轴，故(1)错误； 对于(2)，因为， 所以由函数图象性质可知曲线与直线的所有交点中， 相邻交点距离的最小值为，故(2)正确； 对于(3)，令， 所以当时的单调递增区间为，故(3)正确； 对于(4)，因为，所以直线不是图像的对称中心，故(4)错误. 故选：(2)(3). 【跟踪训练】 1.已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列正确的是________ A．函数的周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上的最小值为 【答案】(1)(4) 【解析】，， 故数的周期为，(1)正确， 对于(2). 函数，故不关于直线对称，(2)错误， 对(3). 当则，故函数在区间不是单调递减，(3)错误， 对于(4). 则，故当时，取最小值故(4)正确， 故选：(1)(4) 2.函数的图象为，现有三个论断： （1）图象关于直线对称； （2）函数在区间内是增函数； （3）由函数的图象向右平移个单位长度可以得到图象. 以上三个论断中，正确结论的序号为 . 【答案】（1） 【分析】根据三角函数的对称性、单调性、三角函数图象变换等知识求得正确答案. 【详解】（1），，所以（1）正确. （2），， 根据正弦函数的单调性可知，在区间内不是增函数. 所以（2）错误. （3）函数的图象向右平移个单位长度得到， 所以（3）错误. 故答案为：（1） 3.已知函数，将f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（　　） A．g（x）在上单调递增 B．g（x）的最小正周期是 C．g（x）的图象关于原点对称 D．g（x）的图象关于直线对称 【解题思路】根据三角函数图像变换的性质，求解函数g（x）的解析式，再根据三角函数的性质分析各选项得出答案． 【解答过程】解：因为f（x）＝cos（2x）+sin2xcos2xsin2xsin（2x）， 则g（x）＝f（x）sin[2（x）]sin（2x）， 所以其最小正周期为π，选项B错误； 根据g（x）的解析式知，g（x）的对称中心为（，0），k∈Z，选项C错误； 令2kπ2x2kπ，k∈Z，解得kπx≤kπ，k∈Z， 当k＝﹣1时，x， 因为[﹣π，]⊊[，]， 所以g（x）在[﹣π，]上单调递增，选项A正确； 令2xkπ，k∈Z，解得x，k∈Z， 因为k∈Z， 所以x，选项D错误． 故选：A． 题型08： 三角函数图象与性质的综合应用 【例9】已知. (1)化简为形式； (2)求函数的单调减区间； (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)； (2)； (3)最大值和最小值分别为2和1. 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、二倍角的余弦公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简即得. （2）利用正弦函数的单调性列出不等式，求出单调递减区间. （3）求出相位所在区间，再利用正弦函数的性质求出最大值和最小值. 【详解】（1）依题意，. （2）由（1）知，，解得， 所以函数的单调减区间是. （3）当时，，则当，即时，， 当，即时，. 【例10】已知函数，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为 (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间； (3)当时，方程恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、辅助角公式、二倍角的余弦公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再由给定对称性求出即可得到的解析式； （2）由（1）知，写出函数单调减区间即可； （3）根据，求出的范围，结合图象，根据与图象有2个交点，即可求解. 【详解】（1）由已知，， 因为的图象上相邻两条对称轴之间的距离为， 则的最小正周期，解得， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知， 令， 解得， 故的单调递减区间为． （3）由（1）知， 因为时，所以． 令， 则， 方程恰有两个不同的实数解， 即函数的图像与直线恰有两个不同的交点， 如下图： 结合图像可知，即， 综上，实数的取值范围是． 【跟踪训练】 1.已知. (1)求函数的最小正周期和单调减区间； (2)若关于x的方程在上有解，求实数m的取值范围. 【答案】(1)函数的最小正周期为，单调减区间为（） (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用正弦函数的周期性和单调性，可得结果； （2）先由关于x的方程在上有解，可得方程在上有解，求出函数在上的值域，即得结果. 【详解】（1），所以函数的最小正周期为， 由，得：， 所以函数的单调减区间为（）. （2）由，可得， 即，由，可得， 则，，即. 所以的取值范围为. 2.已知 ． (1)设 ，若对任意的，不等式 成立，求的取值范围； (2)画出函数 的大致图象，并写出满足 的的集合． 【答案】(1) (2)函数图象见解析； 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、反三角函数、辅助角公式、给值求角型问题 【分析】（1）求函数在上的最值，解不等式问题转化为且，由此可得结果. （2）利用辅助角公式化简函数解析式即可画出函数图象.利用反三角函数可表示的集合. 【详解】（1）∵，∴， ∴，故. ∵，∴， ∴， ∵对任意的，不等式 成立， ∴，且， 由得，，， ∴，即的取值范围是. （2）由题意得， ， 令， ∵时，，时，， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∵，，， ∴在上的大致图象为： 由得，，故， ∵，∴， 令，则在上单调递增，在上单调递减， 又∵， ∴或， ∴或， ∴满足的的集合为. 3.已知函数的部分图像如图所示. (1)求的解析式及对称中心； (2)若，求的值； (3)若方程在上恰有个不相等的实数根，求的取值范围. 【答案】(1)，对称中心： (2)或 (3). 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由图象确定正（余）弦型函数解析式、特殊角的三角函数值、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】（1）由函数的图像得到和周期，然后求得，通过点坐标，得到，即求得函数解析式，由余弦函数的对称中心得到函数的对称中心； （2）由（1）得到方程，结合题目给到的区间求得对应的的值； （3）整体题中方程得，由取值范围求得的范围，由题意得到最大值的不等式，解得的取值范围. 【详解】（1）由函数的图像，可得，周期， 则，∴． 将点代入函数解析式可得， 解得，∵，∴， ∴； 令，解得， 的对称中心为 （2）由（1）知：，又， ∴，， ∴或 解得：或 又∵， ∴或. （3）由（1）知，则， 由函数在上恰有5个零点， 即在上恰有5个解， 即在上恰有5个解， ∵，∴， 即函数与在区间有5个交点， 由图像知，只需即可，解得， 故. 4．已知函数. （1）求的值； （2）若，求的最大值和最小值； （3）将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数图象与函数的图象重合，求实数的最小值. 【答案】（1）；（2）最小值为，最大值为1；（3） 【解析】（1）利用二倍角公式、差的余弦公式和辅助角公式化简函数可得，代入可求； （2）由可得，在利用正弦函数的性质即可求解； （3）求出平移后的解析式，可得，即可解出，得出最小值. 【解析】（1） ， ； （2）当时，， 则当，取得最小值为， 当，取得最大值为1； （3）将函数的图象向左平移个单位长度，可得， 则和的图象重合， ，解得， ，则当时，取得最小值为. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简求三角函数性质，解题的关键是利用二倍角公式、差的余弦公式和辅助角公式化简函数可得. 一、选择题 1．（24-25高一下·上海黄浦·期中）将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，，从而可求得，结合平移后的函数图象可确定的取值范围，继而可得的值，最后得函数的解析式． 【详解】解：函数的图象向左平移个单位，为， 由图象得：①， 解得：，又有图可知，最小正周期满足，即② 结合①②得： 平移后的图象所对应的函数的解析式为：. 故选：C． 2.（24-25高一下闵行·期中）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，可以得到函数（    ）的图象 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据三角函数的变换规则计算可得. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到， 将向右平移个单位得到. 故选：D 3．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）函数，，的部分图象如图所示，则函数表达式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象直接求出，再利用图象过点，即可求出，即可解决问题. 【详解】因为一个图象对应的函数具有唯一性，故此处不妨设 由函数的图象可知，，又，得到， 又因为函数的图象经过，所以，得到， 所以，又，所以， 所以函数的解析式为， 故选：C． 4.（2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中，实数，下列选项中正确的是（    ） A．若，函数关于直线对称 B．若，函数在上是增函数 C．若函数在上最大值为1，则 D．若，则函数的最小正周期是 【答案】C 【分析】求出即可判断选项A；由正弦函数的单调性即可判断B；由正弦函数的性质可得关于的不等式，从而可求出的取值范围，即可判断C；判断，即可判断D． 【详解】对于A，若，则， ，不是最值， 所以不关于直线对称，故A错误； 对于B，若，则， 当时，，因为正弦函数在上不单调， 所以函数在上不是增函数，故B错误； 对于C，，则， 因为函数在上最大值为1， 所以，解得，故C正确； 对于D，若，函数， 因为， 所以函数的最小正周期不是，故D错误． 故选：C． 二、填空题 5. 用五点法画出y＝2sin（2x）在[，]内的图象时，应取的五个点为 　　； 【解题思路】由题意利用五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象． 【解答过程】解：在[，]内，2x∈[0，2π]，列表如下： x 2x 0 π 2π y 0 2 0 ﹣2 0 作图： 由列表可得，应取的五个点为 （，0）、（，2）、（，0）、（，﹣2）、（，0）， 故答案为：（，0）、（，2）、（，0）、（，﹣2）、（，0）． 6．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向 平移 个单位． 【答案】 左 / 【分析】直接利用函数的关系式的变换和函数的图象的平移变换求解. 【解析】， 所以要得到该函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位即可. 故答案为：左；. 7．将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则 ． 【答案】 【分析】因要求变换之前的函数解析式，故应逆向考虑，将函数进行先横向伸长再向左平移即得所求函数解析式. 【解析】把函数的图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数， 再向左平移个单位，得到函数，即的图象. 故答案为：. 8．将函数的图象向左平移半个最小正周期，得到函数的图象，则函数的一个对称中心为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先求出函数的最小正周期，在根据平移变换及诱导公式求出，最后根据的对称中心列式求解. 【解析】因为函数的最小正周期为， 故， 令，解得， 当时，可得函数的一个对称中心为. 故答案为：（答案不唯一，满足即可）． 9.（2024秋•徐汇区期末）设函数f（x）＝cos（ωx）（0＜ω＜2），若将f（x）图像向左平移个单位后，所得函数图像的对称轴与原函数图像的对称轴重合，则ω＝　　． 【解题思路】先求出变换后所得函数图象对应的函数解析式为y＝cos（ωxω），再由所得函数图象对称轴与原函数图象对称轴重合，可得ω（k2﹣k1），k1，k2∈Z，结合ω的范围，可得ω 的值． 【解答过程】解：将f（x）图像向左平移个单位后， 所得函数图象对应的函数解析式为y＝cos[ω（x）]＝cos（ωxω）， 其中函数f（x）＝cos（ωx）（0＜ω＜2）的对称轴为x（k1π），k1∈Z， y＝cos（ωxω）的对称轴为x（k2πω），k2∈Z， 再由所得函数图象对称轴与原函数图象对称轴重合，可得k1πk2πω， ∴ω（k2﹣k1），k1，k2∈Z， ∵0＜ω＜2， ∴ω． 故答案为：． 10.（24-25高一下·上海·期中）如图是函数图象的一部分，则函数的解析式为：    【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】先由图像可得，然后将代入解析式可得，即可得到结果. 【详解】由图像可知，，，则，所以， 即， 将代入可得，即， 解得，且， 当时，， 所以. 故答案为： 11.（2024·上海市实验学校高三阶段练习）已知函数（，）的部分图形如图所示，求函数的解析式_________． 【答案】. 【分析】根据函数的图象，得到，求得，再根据和，列出方程求得的值，即可求解. 【解析】由函数的图象，可得，即可，所以， 所以， 又由，可得， 即，且，可得，解得， 又由，即，解得， 所以函数的解析式为. 故答案为：. 3、 解答题 12．某同学用“五点法”画函数 在某一周期，内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx+φ 0 x 0 0 0 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式和单调递减区间； (2)若函数 求函数在上的最小值. 【答案】(1)见解析；；；(2) 【分析】（1）根据五点法完成表格，根据五点法即可求和单调减区间； （2）由三角恒等变换得，由得，进而求得. 【解析】（1）由题意有： ωx+φ 0 x 0 0 0 由五点法得：，单调减区间为； （2）， 由有：， 所以当时，， 所以在上的最小值为. 13.（24-25高一下·上海·期中）已知（，，），函数的部分图象如图所示. (1)求，，，的值； (2)求函数的值域. 【答案】(1)，，， (2) 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求含sinx（型）的二次式的最值、二倍角的余弦公式 【分析】（1）根据函数图象可知函数的最大值和最小值，代入解析式，解方程组可得和的值，根据图象代入点和，结合图中周期的范围及题中，的范围即可求解； （2）由（1）可得函数的解析式，代入，利用诱导公式和二倍角公式化简可得，利用换元法，令，则，，根据二次函数性质即可求解. 【详解】（1）由图可知：，解得， . 又，∴. ∵，∴，∴. ∵，∴， ∴，解得. 由图可知函数周期，∴. ∵，∴，∴，. 综上，，，，. （2）由（1）知， ∴. 令，则，. 由二次函数性质可知函数的图象开口向上，对称轴为， 故函数在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，函数取得最小值，最小值为； 当时，函数取得最大值，最大值为. 综上，函数的值域为. 【点睛】本题第（1）问的解题关键是根据函数图象可知周期求解的值； 本题第（2）问的解题关键是与的关系，利用诱导公式和二倍角公式化简可得后，利用换元法和二次函数的性质即可求解，注意新元的范围. 14．（23-24高一下·上海·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式与单调增区间； (2)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，写出图象的对称中心的坐标，并求当时，的最值. 【答案】(1)， (2)对称中心坐标为，， 【分析】（1）利用函数图象列出，解得，，结合函数的周期，求解，利用函数的最大值求解，然后得到函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解函数的单调增区间即可； （2）根据三角函数的变换规则求出解析式，根据正弦函数的性质求出对称中心坐标，通过的范围，求出的范围，结合正弦函数性质计算可得． 【详解】（1）由图象可知，解得， 又由于，可得，又，所以， 由图象知，，又因为，则， 所以，则，所以． 由，，解得，． 函数的单调递增区间是，． （2）将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到： ， 令，解得， 所以的对称中心坐标为， 因为，所以， 所以当，即时； 当，即时. 15.已知函数，， (1)求的单调递减区间； (2)求在闭区间上的最大值和最小值； (3)将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数在上所有零点之和． 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 (3) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求零点的和、求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）通过整体代换法求解即可； （2）先由求出整体角的取值范围，再求得的最大值和最小值； （3）先根据图形变换求出，在求其零点得出结果. 【详解】（1）函数. 令 解得， 所以函数的单调递减区间为， （2）由（1）得， 由于，所以， 所以，故， 当时，函数的取最小值，最小值为， 当时，函数的取最大值，最大值为. （3）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象， 令，，即， 整理得，即或， 当时，或，即，； 当时，，； 当时，； 故所有零点之和为． 16.已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的最小值. (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把纵坐标缩小为原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象，若方程在区间内的解为，求 【答案】(1) (2) 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、求含sinx（型）的二次式的最值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，利用正弦函数的周期性，奇偶性求得函数解析式，令，利用换元法转化为二次函数，求最小值即可. （2）利用三角函数的图象变换规律，求得的解析式，利用方程的解及正弦函数的性质求得，进而求出，讨论的取值范围，利用平方关系即可求解. 【详解】（1）由题意得 因为图象的相邻两对称轴间的距离为， 所以，可得， 又因为为奇函数，可得， 所以，， 因为，所以，所以函数， 所以， 令， 则，， 其对称轴为，在上单调递增，在单调递减， 因为当时，， 当时，， 所以当时，取到最小值， 即的最小值为. （2）因为， 将函数的图象向右平移个单位长度可得， 再把纵坐标缩小为原来的倍（横坐标不变），得到函数， 因为,故， 由题意得，得， 所以，所以， 所以， 因为，， 所以，即， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学寒假班预修提升讲义 专题7.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 知识点01 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ φ 2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x － － － ωx＋φ 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 知识点02 函数的性质 函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到： （1） 定义域：； （2）值域：； （3）单调区间：求形如与函数的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数和余弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数；对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数． （5）周期：函数及函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为． （6）对称轴和对称中心 与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出． 题型01：“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ) 【例1】已知函数. (1)利用“五点法”完成下面表格，并画出在区间上的图象； 0 (2)解不等式. 【跟踪训练】 1．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x 0 5 0 根据表格中的数据，函数的解析式可以是（  ） A． B． C． D． 2.已知函数，其中，（，） (1)若，，在用“五点法”作出函数，的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表： 0 0 (2)若，，写出函数的最小正周期和单调增区间 (3)若的频率为，且恒成立，求函数的解析式. 3.已知函数，．在用“五点法”作函数的图象时，列表如下： x 完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间上的图象；    题型02：函数y=Asin(ωx+φ)的周期、振幅、频率、初始相位、相位 【例2】1.函数的周期为 ，振幅为 ，初始相位为 . 2.函数的初始相位是 ． 【跟踪训练】 1.函数的初始相位为 . 2.已知函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是： (1)求的值 (2)求函数的表达式． 3．已知，分别表示下面两个简谐振动：，，求复合振动的振幅、周期和频率和圆频率． 题型03：三角函数间的图象变换 【例3】要得到函数的图象，只要将函数的图象  （     ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【例4】为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【跟踪训练】 1. 要得到的图象，只要把函数的图象（    ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 2. 函数是由（    ）得到的 A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移 3. 把函数的图像经过变换得到图像，这个变换是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 4. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（       ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 5. 把函数的图像适当变动就可以得到图像，这种变动可以是（    ） A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移 题型04：求图象变化前（后）的解析式 【例5】把函数的图象向右平移个单位，得到的解析式是 . 【跟踪训练】 1. 将函数图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2.将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得图像的解析式为 ． 题型05：由部分图象求函数解析式 【例6】下图是函数的部分图像，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.函数（其中，，的部分图象如图所示，则的解析式是　　 A． B． C． D． 2.如图所示为的部分图像，点和点之间的距离为5，那么　　． 3.函数的部分图象如图所示，其中，，．则的解析式为 　　． 4.函数的图象如下，求它的解析式 . 5.下图是根据某港一天中记录的潮汐高度y（cm）与相应时间t（h）的有关数据绘制的简图，若选择函数来近似刻画y与t之间的关系，则此函数可以是（    ） A． B． C． D． 题型06：由三角函数的性质求函数解析式 【例7】函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是，则它的解析式为 . 【跟踪训练】 1.函数的相邻两条对称轴之间的距离为，则 . 2．已知，若函数的图象关于直线对称，则的值为 . 3．已知函数的最大值为4，最小值是0，最小正周期是，直线是其图象的一条对称轴，若，，，则函数解析式为 ． 题型07：由图象及变换分析三角函数的性质 【例8】将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是________ (1)图象关于直线对称 (2)曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为 (3)的一个单调递增区间为 (4)图象关于点成中心对称 【跟踪训练】 1.已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列正确的是________ A．函数的周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上的最小值为 2.函数的图象为，现有三个论断： （1）图象关于直线对称； （2）函数在区间内是增函数； （3）由函数的图象向右平移个单位长度可以得到图象. 以上三个论断中，正确结论的序号为 . 3.已知函数，将f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（　　） A．g（x）在上单调递增 B．g（x）的最小正周期是 C．g（x）的图象关于原点对称 D．g（x）的图象关于直线对称 题型08： 三角函数图象与性质的综合应用 【例9】已知. (1)化简为形式； (2)求函数的单调减区间； (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 【例10】已知函数，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为 (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间； (3)当时，方程恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【跟踪训练】 1.已知. (1)求函数的最小正周期和单调减区间； (2)若关于x的方程在上有解，求实数m的取值范围. 2.已知 ． (1)设 ，若对任意的，不等式 成立，求的取值范围； (2)画出函数 的大致图象，并写出满足 的的集合． 3.已知函数的部分图像如图所示. (1)求的解析式及对称中心； (2)若，求的值； (3)若方程在上恰有个不相等的实数根，求的取值范围. 4．已知函数. （1）求的值； （2）若，求的最大值和最小值； （3）将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数图象与函数的图象重合，求实数的最小值. 一、选择题 1．（24-25高一下·上海黄浦·期中）将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一下闵行·期中）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，可以得到函数（    ）的图象 A． B． C． D． 3．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）函数，，的部分图象如图所示，则函数表达式为（    ）    A． B． C． D． 4.（2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中，实数，下列选项中正确的是（    ） A．若，函数关于直线对称 B．若，函数在上是增函数 C．若函数在上最大值为1，则 D．若，则函数的最小正周期是 二、填空题 5. 用五点法画出y＝2sin（2x）在[，]内的图象时，应取的五个点为 　　； 6．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向 平移 个单位． 7．将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则 ． 8．将函数的图象向左平移半个最小正周期，得到函数的图象，则函数的一个对称中心为 ． 9.（2024秋•徐汇区期末）设函数f（x）＝cos（ωx）（0＜ω＜2），若将f（x）图像向左平移个单位后，所得函数图像的对称轴与原函数图像的对称轴重合，则ω＝　　． 10.（24-25高一下·上海·期中）如图是函数图象的一部分，则函数的解析式为：    11.（2024·上海市实验学校高三阶段练习）已知函数（，）的部分图形如图所示，求函数的解析式_________． 3、 解答题 12．某同学用“五点法”画函数 在某一周期，内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx+φ 0 x 0 0 0 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式和单调递减区间； (2)若函数 求函数在上的最小值. 13.（24-25高一下·上海·期中）已知（，，），函数的部分图象如图所示. (1)求，，，的值； (2)求函数的值域. 14．（23-24高一下·上海·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式与单调增区间； (2)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，写出图象的对称中心的坐标，并求当时，的最值. 15.已知函数，， (1)求的单调递减区间； (2)求在闭区间上的最大值和最小值； (3)将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数在上所有零点之和． 16.已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的最小值. (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把纵坐标缩小为原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象，若方程在区间内的解为，求 1 学科网（北京）股份有限公司 $