第十二讲 正切函数的图像与性质-2023年上海市高一下数学沪教版必修二寒假精品讲义

第十二讲 正切函数的图像与性质 【教学目标】 1. 了解正切函数图像的绘制过程； 2. 掌握正切函数的周期性、值域与最值、奇偶性和单调性等性质； 3. 运用正切函数的周期性、值域与最值、奇偶性和单调性等性质解决相关问题. 知识梳理与典型例题 【难度系数：★★ 参考时间：20 min】 由正切的定义可知，对于任意一个角，只要（），都有唯一确定的正切值与之对应. 按照这个对应法则所建立的函数叫做正切函数，表示为. 正切函数的定义域是且(). 一、正切函数的图像 我们知道，正切值可以用角的终边所在直线与直线的交点的纵坐标表示， 如右图所示. 类似于做正弦函数图像的方法，利用单位圆并结合描点法我们可以作出，的大致图像. 因为 ，，所以函数当，，•••时的图像向右平移、、•••就可得到；同理，函数当，，•••时的图像向左平移、、•••就可得到. 这样，就可以得到函数的整个图像. 因为的定义域是且()，其图像由无穷多支曲线所组成，它们被直线，，，•••即（）所隔开. 二、正切函数的性质 1. 周期性：（），最小正周期为. 2. 值域：. 3. 奇偶性：奇函数，其图像关于坐标原点对称. 4. 单调性：（）严格增. 【证明】由于正切函数是以为最小正周期的函数，可以先在区间上研究其单调性. 对于区间中任意给定的满足的实数、，有 由，易知，所以，，. 故，即，从而正切函数在区间上为严格增函数. 又因为正切函数是以为最小正周期的函数，所以正切函数在区间（）上为严格增函数. 【例1】求函数的定义域和单调区间. 【解析】由正切的定义，该函数的自变量满足，即（）. 所以，该函数的定义域为，，. 由正切函数的单调性可知，当（），即（）时，函数为严格增函数. 因此，函数的单调增区间是（）. 【例2】求函数的最小正周期. 【解析】记，有 ， 可知函数的一个正周期. 此外，也是函数的最小正周期. 事实上，令，原来的函数可改写为，其以为自变量的最小正周期为. 返回到变量，因为，故原来函数的最小正周期为. 【小结】函数的最小正周期. A组 双基过关 【难度系数：★★   参考时间：20 min】 1. 函数的定义域为 .【答案】 2. 函数的增区间为 .【答案】 3. 函数，的值域为 .【答案】 4. 在上的解集为 .【答案】 5. 已知函数，若，则 . 【答案】2 6. 函数在上是严格增函数，则正实数的取值范围是 . 【答案】 7. 若将函数的图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的，则所得到的图像对应的函数表达式为（ B ） A. ； B. C. D. 8. 写出下列不等式的解集. （1）； （2） 【答案】（1），；（2）， B组 巩固提高 【难度系数：★★★   参考时间：20 min】 1. 函数的定义域是 .【答案】 2. 函数的单调增区间是 .【答案】（） 3. 函数的奇偶性是 .【答案】奇函数 4. 函数的定义域为 .【答案】（） 5. 下列函数：①；②；③；④中，最小正周期为的所有函数序号为 .【答案】③④ 6. 函数，若，则 .【答案】0 7. 与函数的图像不相交的一条直线是（ D ） A. B. C. D. 8. 求证：，在上是严格增函数. 【答案】略 9. 已知函数（，），的部分图像如下图. （1）求函数A，，的值； （2）求的单调增区间. 【答案】（1）半周期为，.图像过定点，（）又，所以，又图像过定点，所以.综上可知 （2）的单调增区间为（） C组 拓展延伸 【难度系数：★★★★    参考时间：30 min】 1. 与x轴平行的直线与的图像相交，其相邻两交点间的距离为2，则的值为 .【答案】 2. 函数和在上的交点个数为 .【答案】5 3. 已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 .【答案】 4. 在上，利用单位圆，得到成立的x的取值范围是（ C ） A. B. C. D. 5. 函数的最小正周期为（ C ） A. ； B. C. ； D. . 6. 关于函数有下述四个结论： ①是偶函数； ②在区间上是严格增函数 ③在有3个零点； ④的最小正周期为. 其中所有正确结论的编号是（ A ） A. ①② B.