1.1幂的乘除寒假预习讲义-2025-2026学年北师大版七年级下学期数学（知识点梳理+题型精讲+强化巩固）

1.1幂的乘除寒假预习讲义（北师大版） ☟ 预习内容概览： 1.课前预习◆内容 2重点知识◆梳理归纳 3.核心考点◆精讲精练 4.强化巩固◆单元闯关 💦 课前预习内容 预习目标：（1）初步理解幂的乘方、同底数幂除法的定义，能区分幂的乘方与同底数幂的乘法的差异； （2）尝试推导幂的乘方、同底数幂除法的运算法则，熟记核心公式； （3）能运用基础法则解决简单的计算问题，识别运算中的易错点。 预习重点：（1）幂的乘方法则的推导过程与文字、符号表达； （2）同底数幂除法法则的适用条件（底数相同，指数为正整数） （3）零指数幂、负整数指数幂的规定及意义。 ✅ 重点知识梳理 【知识点1】同底数幂的乘法 （1） 同底数幂相乘运算：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即(其中m、n都是正整数)； （2） 同底数幂相乘逆运算：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数，即(其中m、n都是正整数) 【知识点2】幂的乘方 （1）幂的乘方运算：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 即（其中都是正整数 （2）幂的乘方逆运算公式：根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题． 【知识点3】积的乘方 （1）积的乘方运算：   （其中n是正整数）．即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （2）积的乘方逆运算：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便． 【知识点4】同底数幂除法 （1）同底数幂相除运算：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（a≠0，m.n都是正整数，并且m>n） （2）同底数幂相除逆运算： （3）零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1．即（≠0） 【知识点5】注意事项 (1) 底数不同，指数不同时，不能直接套用法则； (2) 乘除是指数加减，勿与幂的乘方（指数相乘）混淆； (3) 底数带负号时，先判断符号规律，再算指数； （4）含数字系数的幂，系数先乘除，再算幂的部分； （5）若被除数指数小于除数，结果为负指数幂. ✏ 核心考点精讲精练 题型1同底数幂相乘 【例1】．若，则的值为（    ） A．2 B．7 C．9 D．14 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是计算的关键． 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ ． 故选：C． 【变式1】．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】．已知：，，，求a，b，c三者之间的数量关系． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘的应用，理解题意，整理得，又因为，故，运用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得，即可作答． 【详解】解：，， ∴， ∵， ． 则 题型2用科学计数法表示数的乘法 【例2】．世界上最大的金字塔——胡夫金字塔，用了许多大石块，每块大石块重约，块这样的大石块总重约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法以及同底数幂的乘法法则进行计算和表示即可． 【详解】解：； 故选B． 【变式1】．计算： （用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和科学记数法，先计算系数的乘积，再计算同底数幂的乘法，最后将结果化为标准科学记数法形式． 【详解】解： 由于科学记数法要求系数 满足 ，   . 故答案为： ． 【变式2】．太阳系的形状像一个以太阳为中心的大圆盘，光通过这个圆盘半径的时间约为，光的速度约为．求太阳系的直径． 【答案】km 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，根据光通过太阳系半径的时间，利用距离公式（距离 = 速度 × 时间）求出半径，再乘以2即可得到直径． 【详解】解：圆盘半径 ． 直径 ． 答：太阳系的直径为 ． 题型3幂的乘方运算 【例3】．已知，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，将4和8转化为2的幂，利用指数运算性质结合已知等式求解． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 【变式1】．计算：，其中，第一步运算的依据是 法则．（选填“积的乘方”、“幂的乘方”、“同底数幂的乘法”或“同底数幂的除法”） 【答案】幂的乘方 【分析】本题主要考查幂的乘方运算，关键是熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．根据题意可知，第一步运算的依据是幂的乘方运算法则即底数不变，指数相乘，公式为． 【详解】解：计算，其中第一步运算的依据是幂的乘方， 故答案为：幂的乘方． 【变式2】．计算下列各式，并用幂的形式表示结果． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方运算，根据幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘，逐个计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型4幂的乘方的逆用 【例4】．已知，，则的值是（） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题考查幂的乘方，掌握幂的乘方的计算方法是正确解答的关键． 利用指数运算性质，将已知条件转化为同底数幂，然后利用幂的乘法法则求解． 【详解】解：， 故选：D． 【变式1】．当时，则 ． 【答案】81 【分析】此题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂的乘法的运算法则是关键． 将27和9分别化为以3为底的幂，利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则，结合已知条件求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵ ， ∴ ， ∴， 故答案为：81 【变式2】．已知，求的值． 【答案】 【分析】先将、转化为以为底数的幂，再结合已知条件求出指数的和，进而计算幂的值． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法及负整数指数幂，解题关键是将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件求出指数的代数和，进而计算幂的结果． 题型5积的乘方运算 【例5】．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则． 根据相关运算法则，逐项计算判断，即可解题． 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意； 选项B：，故B错误，不符合题意； 选项C：，故C正确，符合题意； 选项D：，故D错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1】． ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方运算和指数法则，处理时需注意负号的影响和同底数幂相乘的法则． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2】．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握相应的运算法则是解题的关键．（1）先计算幂的乘方和积的乘方，再按照同底数幂相乘的法则求解即可； （2）先计算幂的乘方和积的乘方，然后将化为，再按照同底数幂相乘的法则求解即可； （3）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 题型6同底数幂的除法运算 【例6】．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的乘除运算，包括幂的乘方、同底数幂的乘除法等性质，需逐一验证每个选项的计算是否正确． 【详解】解：A∶ ，∴ A计算错误，不符合题意． B∶ ，∴ B计算错误，不符合题意． C∶ ，∴ C计算错误，不符合题意． D∶ ，与右边相等，∴ D计算正确，符合题意． 故选D． 【变式1】．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则．利用同底数幂的除法法则，将指数相减转化为幂的除法，再代入已知值计算 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：． 【变式2】．（1）已知：，求：①的值；②的值； （2）已知，求x的值． 【答案】 （1）①72；② （2）8 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、除法运算，幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则和除法法则求解即可； （2）把各个数字化为以3为底数的形式，按照同底数幂的乘法法则，求解即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴； ②∵，， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 题型7零指数幂 【例7】．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是零指数幂，熟知非零数的零次幂等于1是解题的关键．根据零指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， ， 解得． 故选：B． 【变式1】．的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查零指数幂，根据零指数幂的法则，任何非零实数的零次幂都等于1，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：1． 【变式2】．计算：； 【答案】9 【分析】本题考查了乘方，零指数幂，先运算乘方以及零指数幂，然后运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 题型8负整数指数幂 【例8】．计算（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负整数指数化简．熟练掌握负整数指数的意义性质，是解题的关键． 利用负指数法则，将表达式转化为正指数的倒数形式，然后计算平方. 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ . 故选：A． 【变式1】．现规定一种新运算“”：，例如，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算． 根据新定义，先计算括号内的，再计算即可． 【详解】解：， 则． 故答案为：． 【变式2】．计算：． 【答案】12 【分析】本题考查有理数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先化简绝对值，计算乘方、零指数幂和负整数指数幂，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】解： ． 题型9用科学计数法表示绝对值大于1的数 【例9】．中国药学家屠呦呦发明的青蒿素为保护人类健康做出了重大贡献，荣获2015年诺贝尔生理学或医学奖，奖金约为3020000元人民币．将3020000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，掌握科学记数法的形式是解题关键． 根据科学记数法要求的形式表示数据即可． 【详解】解：根据科学记数法的形式，，为整数， 可得， 故选：C． 【变式1】．新疆乌尉高速公路（）的天山胜利隧道于2025年12月26日正式通车，天山隧道通车让穿越天山只需20分钟，打破了南北疆的交通屏障，这一刷新世界纪录的工程奇迹，让无数新疆儿女倍感自豪．天山隧道全长公里，若将其长度换算成米（1公里米），则用科学记数法可表示为 米． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：公里米米， 故答案为：． 【变式2】．现有某种浓度的瓶装葡萄糖溶液，每瓶中大约有滴葡萄糖溶液，每滴中大约有个葡萄糖分子．请问5瓶这样的葡萄糖溶液中大约有多少个葡萄糖分子？ 【答案】5瓶这样的葡萄糖溶液中大约有个葡萄糖分子. 【分析】利用同底数幂的乘法计算即可. 【详解】解：1瓶葡萄糖溶液中大约有葡萄糖分子（个）， （个）． 故5瓶这样的葡萄糖溶液中大约有个葡萄糖分子． 【点睛】本题考查科学记数法和同底数幂的乘法，解题关键是明确同底数幂的乘法和法则. 题型10用科学计数法表示绝对值小于1的数 【例10】．如图，石墨烯作为一种具有革命性的二维材料，在半导体、新能源等领域展现巨大潜力．其碳原子排列成独特的六方晶格结构，原子间距极小．已知石墨烯中相邻碳原子间的键长约为，该数值用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中，为整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此进行判断即可． 【详解】解：； 故选：C． 【变式1】．某种细胞的直径约为0.00000095米，若将0.00000095这个数字用科学记数法表示，可表示为，这里的n值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：， 则， 故答案为： ． 【变式2】．用科学记数法表示下列各数：． 【答案】；；． 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 根据科学记数法表示即可． 【详解】解：；；． 题型11同底数幂乘法的逆用 【例11】．若,,则的值为（   ） A．15 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，利用指数运算法则，将表示为，再代入已知值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A． 【变式1】．若，，则的值为 ． 【答案】 15 【分析】本题考查了同底数幂相乘，利用同底数幂相乘的法则，将转化为，再代入已知值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：15． 【变式2】．已知计算： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2)216 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，解题的关键是熟练掌握计算公式． （1）根据逆用同底数幂的乘法得到，再代入即可求解； （2）根据逆用幂的乘方得到，再代入即可求解． 【详解】（1）解： （2） 解：． 题型12积的乘方的逆用 【例12】．计算的结果是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查逆向运用积的乘方运算法则，正确掌握运算法则是解题关键． 先将式子化简，再根据逆向运用积的乘方运算得，最后求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：B． 【变式1】．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了积的乘方的逆运算，根据积的乘方的逆运算法则求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【变式2】．阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算、幂的大小的比较以及有理数的混合运算等知识，解答的关键是熟练掌握相关的运算法则． （1）根据“对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有”比较大小即可； （2）将与化为指数相同的幂，然后再根据“当同指数时，底数大的幂也大”即可进行比较大小； （3）首先将和化为指数相同的幂，将和也化为指数相同的幂，再根据积的乘方逆运算进行运算，然后进行减法运算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，对于同指数，不同底数的两个幂和， 当时，则有， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴； （3）原式 ． 题型13同底数幂除法的逆用 【例13】．在算式中，□内的式子应是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，根据指数运算法则，将除法转化为乘法，然后利用同底数幂相除，指数相减的性质求解． 【详解】解：∵， ∴. ∴□内的式子应是 ， 故选：A． 【变式1】．若，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了幂的运算法则，准确的计算是解决本题的关键． 逆用幂的运算法则，将表示为，进而得出，再代入已知值计算即可． 【详解】解：由题意得， ． 故答案为：． 【变式2】．已知，，． (1)求的值； (2)写出，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂乘法及除法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法及除法的逆用是解题的关键； （1）根据同底数幂乘法及除法的逆用可进行求解； （2）根据同底数幂乘法的逆用可进行求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴ ． （2）解：∵， 又， ∴， ∴． 题型14幂的混合运算 【例14】．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项及幂的运算，正确理解合并同类项法则及幂的运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则及幂的运算法则即可判断答案． 【详解】选项A，，所以A选项错误，不合题意； 选项B，，所以B选项错误，不合题意； 选项C，，所以C选项错误，不合题意； 选项D，计算正确，符合题意． 故选D． 【变式1】．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的混合运算是解题的关键．根据积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为: ． 【变式2】．按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 【答案】(1)64 (2)56 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用幂的乘方，同底数幂的乘法法则，整理，再将整体代入运算即可； （2）利用积的乘方，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】（1）解： 当， 则原式． （2）解： 当， 则原式． ✍ 强化巩固单元闯关 一、单选题 1．下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方，同底数幂的乘法；掌握幂的运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘除法、幂的乘方以及同底数幂的乘法运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、 ，故本选项错误，不符合题意. B、，故本选项错误，不符合题意. C、 ，故本选项错误，不符合题意. D、，故本选项正确，符合题意. 故选：D 2．天文学上计算天体之间的距离常用“光年”作为单位，1光年就是光在真空中沿直线传播一年所经过的距离．光在真空中的速度约为，1年约为，则1光年约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．根据路程速度时间的公式，代入光速和时间的数值，利用同底数幂的乘法法则计算1光年的距离，再选择正确选项． 【详解】解：1光年约为 （）， 故选：B． 3．下列计算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、零指数幂，熟练掌握运算法则是解题关键．根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、零指数幂逐项判断即可得． 【详解】解：A、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项正确，符合题意； 故选：D． 4．计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的混合运算，掌握幂的运算性质是解题的关键；先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后把负整数指数幂化为正整数指数幂即可． 【详解】解：； 故选：C． 5．计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方，逆用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则是解题的关键．将化为分数形式，再逆用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则简便计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 6．2025年长征二号F遥二十运载火箭成功发射神舟二十号载人飞船，首次将一种拥有强大再生能力的扁形动物涡虫送上太空．据了解，涡虫是具有520000000年进化史的再生生物．将数据520000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 7．下列各式：①；②；③；④；⑤，其中运算正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了负整数指数幂，同底数幂的乘法与除法，积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 逐一判断每个式子的正确性，基于指数运算法则和代数运算规则． 【详解】解：①∵，∴错误， ②∵是加法，不能合并指数，∴错误， ③∵，∴错误， ④∵，∴正确， ⑤∵，∴错误， 综上，只有④正确，故正确个数为1， 故选：A． 8．下列各式中，计算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别对各选项进行运算，然后进行判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能进行计算，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C． 9．如图，下列数轴上的四个点，能表示的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了负整数指数幂和在数轴上表示有理数．先计算出数值，再根据数值确定位置即可． 【详解】解：， ∵在和1之间且靠近1， ∴数轴上的四个点，能表示的点是， 故选：C． 10．已知，，则（    ） A．50 B．45 C．11 D．43 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用以及幂的乘方的逆用，解题的关键是熟练掌握运算法则． 由于，所以分解为，再代入计算即可． 【详解】解：，， ． 故选B． 二、填空题 11．已知，，则 ． 【答案】 71 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和除法的逆用， 利用指数运算法则，将所求表达式分解为已知值的组合，然后代入计算． 【详解】解：因为，， 所以，， 所以． 故答案为：71． 12．计算： ． 【答案】 10 【分析】本题考查实数的混合运算，包括负整数指数幂、零指数幂和绝对值的计算．正确计算是解题的关键．先计算负整数指数幂、零指数幂、绝对值，然后进行加减运算． 【详解】计算：， ， ． 因此，原式故答案为：10. 13．若，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，逆用幂的乘方和同底数幂的除法是解题的关键．利用指数运算法则，将转化为，再代入已知值计算． 【详解】解：由，得， 由，得． 故答案为． 14．已知，，则的值是 ． 【答案】 75 【分析】本题主要考查了求代数式的值．熟练掌握幂的乘方法则逆用，同底数幂的乘法法则逆用，是解题的关键．利用指数运算法则，将 分解为 ，再代入已知值计算 【详解】解：由已知 ，， 根据指数运算法则，．其中 ， 代入得 ． 故答案为：75． 15．若，则 ． 【答案】 【分析】主要考查幂的混合运算，负整数指数幂，熟练掌握同底数幂的乘法法则和除法法则是解题的关键． 先运算，再化简方程，推出，代入即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 将代入得：． 故答案为：． 16．某种感冒病毒的直径是米，该数值用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n与小数点移动的位数相同，解题的关键是注意的形式以及指数的确定方法． 【详解】解：米米． 故答案为：． 17．若，（为整数），则的值是 ．（用含、的代数式表示结果） 【答案】 【分析】根据题意，得，公式变形后代入计算解答即可． 本题考查了幂的运算，完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式，正确变形是解题的关键． 【详解】解：由，得 ， 故， 又， 所以，， 故， 故答案为：． 18．若，，，，则a，b，c，d的大小关系是 ．（提示：，n为正整数，那么） 【答案】/ 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，有理数大小的比较；熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键．先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴． 故答案为：． 三、解答题 19．计算 (1)； (2)已知，，求 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算； （1）根据指数运算法则进行化简计算； （2）化为同底数幂形式，通过指数相等建立方程组求解． 【详解】（1）解： ； （2）∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又 ∵ ，， ∴ ， ∴ ， 将 代入 ， 得 ， ， 解得：， ∴ ， ∴ ． 20．已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)32 (2)25 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用． （1）根据同底数幂乘法的逆用计算即可． （2）根据同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 21．新定义：两数，之间的一种运算记作，若，则．我们称为“雅对”．例如：因为，所以． (1)①____________； ②若，则____________． (2)若，，，探究，，之间的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查的是有理数的乘方运算和同底数幂的乘法，本题是新定义型，掌握新定义的规定，并熟练运用是解题的关键． （1）①②利用“雅对”定义解答即可； （2）利用“雅对”定义得到，，，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，即可得到，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：①，②． 【提示】①， ； ②， ， ， ，即． （2）解：由题意可知，，，， ， 即， ． 22．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方法则，绝对值的性质计算后再算乘法，最后算加减即可； （2）利用幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂乘法及除法法则计算后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．已知．，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，结合，，解答即可． （2）根据得到，后解答即可． 本题考查了同底数幂的乘法，除法，幂的乘方的逆应用，熟练掌握公式的逆应用是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ． （2）解：， ， ， 又， ． 24．定义一种幂的新运算：．如：．请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值． (2)若，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方、新定义的运算；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：当，，时， ． 25．科学研究发现，一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子所构成，已知一个氢原子的质量是m千克，一个氧原子的质量是n千克，一个水分子的质量是Q千克． (1)用含m，n的代数式表示Q； (2)若一个氧原子的质量是，一个氢原子的质量是，用科学记数法表示Q的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，科学记数法—表示较小的数，读懂题意是解题的关键． （1）根据一个水分子的质量=两个氢原子的质量+一个氧原子的质量列式即可； （2）将，代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ； （2）解：∵，， ∴ ． 26．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 当m，都是正整数． ①若，当时，；当时，；当时，． ②若，，当时，；当时，；当时，． 【理解知识】例如： ①若，求的值． 解：法一：． 法二：． ②比较与的大小． 解：． 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题． (1)若，求的值． (2)比较与的大小． (3)定义两个正数之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：．求的值． 【答案】(1)3 (2)相等 (3)4 【分析】本题考查了幂的运算，涉及幂的乘方运算，同底数幂的乘法和除法运算等知识点． （1）先由幂的乘方得到，再由同底数幂的乘法运算法则得到，则，解方程即可； （2）将化为，再由幂的乘方化简比较即可； （3）设，则，设，则，再根据通过幂的运算性质推导求值． 【详解】（1）解： ， 解得； （2）解：，故相等； （3）解：设，则， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 所以，即． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1幂的乘除寒假预习讲义（北师大版） ☟ 预习内容概览： 1课前预习◆内容 2重点知识◆梳理归纳 3.核心考点◆精讲精练 4.强化巩固◆单元闯关 💦 课前预习内容 预习目标：（1）初步理解幂的乘方、同底数幂除法的定义，能区分幂的乘方与同底数幂的乘法的差异； （2）尝试推导幂的乘方、同底数幂除法的运算法则，熟记核心公式； （3）能运用基础法则解决简单的计算问题，识别运算中的易错点。 预习重点：（1）幂的乘方法则的推导过程与文字、符号表达； （2）同底数幂除法法则的适用条件（底数相同，指数为正整数） （3）零指数幂、负整数指数幂的规定及意义。 ✅ 重点知识梳理 【知识点1】同底数幂的乘法 （1） 同底数幂相乘运算：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即(其中m、n都是正整数)； （2） 同底数幂相乘逆运算：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数，即(其中m、n都是正整数) 【知识点2】幂的乘方 （1）幂的乘方运算：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 即（其中都是正整数 （2）幂的乘方逆运算公式：根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题． 【知识点3】积的乘方 （1）积的乘方运算：   （其中n是正整数）．即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （2）积的乘方逆运算：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便． 【知识点4】同底数幂除法 （1）同底数幂相除运算：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（a≠0，m.n都是正整数，并且m>n） （2）同底数幂相除逆运算： （3）零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1．即（≠0） 【知识点5】注意事项 (1) 底数不同，指数不同时，不能直接套用法则； (2) 乘除是指数加减，勿与幂的乘方（指数相乘）混淆； (3) 底数带负号时，先判断符号规律，再算指数； （4）含数字系数的幂，系数先乘除，再算幂的部分； （5）若被除数指数小于除数，结果为负指数幂. ✏ 核心考点精讲精练 题型1同底数幂相乘 【例1】．若，则的值为（    ） A．2 B．7 C．9 D．14 【变式1】．计算： ． 【变式2】．已知：，，，求a，b，c三者之间的数量关系． 题型2用科学计数法表示数的乘法 【例2】．世界上最大的金字塔——胡夫金字塔，用了许多大石块，每块大石块重约，块这样的大石块总重约为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．计算： （用科学记数法表示）． 【变式2】．太阳系的形状像一个以太阳为中心的大圆盘，光通过这个圆盘半径的时间约为，光的速度约为．求太阳系的直径． 题型3幂的乘方运算 【例3】．已知，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式1】．计算：，其中，第一步运算的依据是 法则．（选填“积的乘方”、“幂的乘方”、“同底数幂的乘法”或“同底数幂的除法”） 【变式2】．计算下列各式，并用幂的形式表示结果． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 题型4幂的乘方的逆用 【例4】．已知，，则的值是（） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式1】．当时，则 ． 【变式2】．已知，求的值． 题型5积的乘方运算 【例5】．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】． ． 【变式2】．计算： (1)． (2)． (3)． 题型6同底数幂的除法运算 【例6】．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．已知，则的值为 ． 【变式2】．（1）已知：，求：①的值；②的值； （2）已知，求x的值． 题型7零指数幂 【例7】．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．的值为 ． 【变式2】．计算：； 题型8负整数指数幂 【例8】．计算（    ） A． B．1 C． D． 【变式1】．现规定一种新运算“”：，例如，则 ． 【变式2】．计算：． 题型9用科学计数法表示绝对值大于1的数 【例9】．中国药学家屠呦呦发明的青蒿素为保护人类健康做出了重大贡献，荣获2015年诺贝尔生理学或医学奖，奖金约为3020000元人民币．将3020000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．新疆乌尉高速公路（）的天山胜利隧道于2025年12月26日正式通车，天山隧道通车让穿越天山只需20分钟，打破了南北疆的交通屏障，这一刷新世界纪录的工程奇迹，让无数新疆儿女倍感自豪．天山隧道全长公里，若将其长度换算成米（1公里米），则用科学记数法可表示为 米． 【变式2】．现有某种浓度的瓶装葡萄糖溶液，每瓶中大约有滴葡萄糖溶液，每滴中大约有个葡萄糖分子．请问5瓶这样的葡萄糖溶液中大约有多少个葡萄糖分子？ 题型10用科学计数法表示绝对值小于1的数 【例10】．如图，石墨烯作为一种具有革命性的二维材料，在半导体、新能源等领域展现巨大潜力．其碳原子排列成独特的六方晶格结构，原子间距极小．已知石墨烯中相邻碳原子间的键长约为，该数值用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．某种细胞的直径约为0.00000095米，若将0.00000095这个数字用科学记数法表示，可表示为，这里的n值为 ． 【变式2】．用科学记数法表示下列各数：． 题型11同底数幂乘法的逆用 【例11】．若,,则的值为（   ） A．15 B．8 C．4 D．2 【变式1】．若，，则的值为 ． 【变式2】．已知计算： (1)； (2)． 题型12积的乘方的逆用 【例12】．计算的结果是（   ）． A． B． C． D． 【变式1】．计算： ． 【变式2】．阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 题型13同底数幂除法的逆用 【例13】．在算式中，□内的式子应是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．若，，则 ． 【变式2】．已知，，． (1)求的值； (2)写出，，之间的数量关系． 题型14幂的混合运算 【例14】．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．计算： ． 【变式2】．按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． ✍ 强化巩固◆单元闯关 一、单选题 1．下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．天文学上计算天体之间的距离常用“光年”作为单位，1光年就是光在真空中沿直线传播一年所经过的距离．光在真空中的速度约为，1年约为，则1光年约为（   ） A． B． C． D． 3．下列计算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 4．计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 5．计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 6．2025年长征二号F遥二十运载火箭成功发射神舟二十号载人飞船，首次将一种拥有强大再生能力的扁形动物涡虫送上太空．据了解，涡虫是具有520000000年进化史的再生生物．将数据520000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 7．下列各式：①；②；③；④；⑤，其中运算正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．下列各式中，计算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，下列数轴上的四个点，能表示的点是（    ） A． B． C． D． 10．已知，，则（    ） A．50 B．45 C．11 D．43 二、填空题 11．已知，，则 ． 12．计算： ． 13．若，，则 ． 14．已知，，则的值是 ． 15．若，则 ． 16．某种感冒病毒的直径是米，该数值用科学记数法表示为 ． 17．若，（为整数），则的值是 ．（用含、的代数式表示结果） 18．若，，，，则a，b，c，d的大小关系是 ．（提示：，n为正整数，那么） 三、解答题 19．计算 (1)； (2)已知，，求 20．已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 21．新定义：两数，之间的一种运算记作，若，则．我们称为“雅对”．例如：因为，所以． (1)①____________； ②若，则____________． (2)若，，，探究，，之间的数量关系． 22．计算： (1)； (2)． 23．已知．，，． (1)求的值； (2)求的值． 24．定义一种幂的新运算：．如：．请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值． (2)若，，，求的值． 25．科学研究发现，一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子所构成，已知一个氢原子的质量是m千克，一个氧原子的质量是n千克，一个水分子的质量是Q千克． (1)用含m，n的代数式表示Q； (2)若一个氧原子的质量是，一个氢原子的质量是，用科学记数法表示Q的值． 26．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 当m，都是正整数． ①若，当时，；当时，；当时，． ②若，，当时，；当时，；当时，． 【理解知识】例如： ①若，求的值． 解：法一：． 法二：． ②比较与的大小． 解：． 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题． (1)若，求的值． (2)比较与的大小． (3)定义两个正数之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：．求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $