精品解析：陕西宝鸡市陈仓区2025-2026学年第一学期九年级期末数学试卷

试卷类型：A 2025～2026学年度第一学期九年级期末考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 2. 如图，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，与相交于点G，若，，则的值是（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，点是延长线上的一点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴于点，且，则的值为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 7. 如图，点E是矩形边上任意一点，点F，G，H分别是的中点，若，则的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 5 8. 二次函数的图象是一条抛物线，自变量与函数的部分对应值如表： … 0 1 2 3 … … 0 0 … 则如下结论错误的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 抛物线与轴的交点坐标为 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 一元二次方程的解是________． 10. 如图，五边形与五边形相似，且五边形与五边形的周长之比为．若，则的长为______． 11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的取值范围是______． 12. 如图，菱形的对角线，交于点，，，则该菱形的面积是______． 13. 如图，点、分别在反比例函数和第一象限的图象上，且直线轴，点在轴上，连接、，则的面积为______． 14. 如图，M，N是正方形的边的中点，点E在上，，交于点F，若，则正方形的边长为_____． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．以原点为位似中心，在轴右侧画出的位似图形，使与的相似比为．（点、、分别与点、、对应） 18. 如图，已知，，利用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在中，点在上，，交于点，连接．请你从以下三个选项：①；②；③平分中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形． （1）你选择的补充条件是______（填序号）； （2）根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程． 20. 陕西作为文化大省，有众多非物质文化遗产，某学校开设了非物质文化遗产活动课，分别有：A．西安鼓乐，B．安塞剪纸，C．凤翔泥塑，D．宁强羌绣，要求每名学生从这四种活动课中选出一种进行学习．小玉和小洋两名同学对这四种活动课都很感兴趣，她们找来四个完全相同的小球，分别写上A、B、C、D四个字母（A、B、C、D分别对应西安鼓乐、安塞剪纸、凤翔泥塑和宁强羌绣），放入不透明的盒子中摇匀，小玉先从中随机摸出一个小球，记下所标字母后放回摇匀，小洋再从四个小球中随机摸出一个小球记下所标字母，摸出的小球上字母对应的活动课即为各自选择的活动课． （1）小玉选择的活动课是A（西安鼓乐）的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求小玉和小洋选择的活动课中有（凤翔泥塑）的概率． 21. 人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校计划购买A、B两种型号的机器人模型共40个，A型、B型机器人模型的单价分别为400元/个、240元/个．设学校购买A型机器人个，购买这两种机器人模型共花费元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，问购买A型机器人模型多少个时花费最少？最少费用是多少？ 22. 太平寺塔，为八角九层密檐式砖塔，整个塔体斗拱繁密，形体别致，显得特别秀丽，是陕西关中地区遗存的标准宋塔之一．某数学兴趣小组测量该塔的高度（底部不可达）的活动报告如下： 活动目的 测量太平寺塔的高度 测量工具 皮尺、无人机 活动说明 如图，在阳光下，他们在太平寺塔的影子顶端处，直立一个长为2米的标杆，经测量，同一时刻标杆的影子米，接下来他们沿着方向从点出发走了24米到达点处（即米），利用无人机测得米，并用无人机在处测得点的俯角为，，，，点、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内 测量方案示意图 求太平寺塔的高度．（参考数据：，，） 23. 书籍，是人类智慧的结晶，是我们成长道路上的良师益友．让读书成为习惯，让书香溢满校园，某校为了解学生每周的课外阅读时间（单位：），随机调查了该校部分学生，并绘制了以下两幅不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）补全条形统计图，所调查学生每周课外阅读时间样本数据的众数为______、中位数为______； （2）求所调查学生每周课外阅读时间样本数据的平均数； （3）若该校有1200名学生，估计该校学生每周课外阅读时间为的学生人数． 24. 如图，在中，对角线，相交于点，． （1）求证：四边形是矩形； （2）点在边上，满足，连接．若，，求的长及的值． 25. 从以动画技术革新领跑电影票房的《哪吒2》，到“神农”“天问”等楚才系列人形机器人集中亮相，现象级的科技飞跃成为今年春节的热门符号．某科技公司乘“巳”而上，在科技创新的驱动下，测试一款新研发的植护无人机喷洒农药，如图①，其喷洒轨迹可近似地看作抛物线型．如图②，已知无人机喷头A到水平地面（）的高度为，喷洒的农药覆盖农作物的宽度（）为，以线段所在直线为x轴，垂直于，且过线段的中点O与喷头A的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求喷洒农药的轨迹所在抛物线的函数表达式； （2）为提升效率，保证喷洒农药的均匀程度，要求植护无人机喷洒农药覆盖农作物的宽度要达到，那么测试人员应该如何操作植护无人机（上下移动）才能达到要求？ 26. 【问题探究】 （1）如图1，已知，连接、，相交于点，点在线段上，连接，并延长交于点，求证：； （2）如图2，点为矩形对角线上的动点，连接，已知，，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，校园文创小组计划制作边长为6分米的正方形亚克力装饰牌，为增加装饰性，需在边上设置装饰条，为可滑动的装饰卡扣，延长装饰条至点，要求的长度是的2倍，用笔直的金属丝连接、，两根金属丝的交点记为，现需将点与点用某种特殊的材料连接，为节省材料成本，需使的长度尽可能的短，请你求出的最短长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：A 2025～2026学年度第一学期九年级期末考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 如图，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出从左面看到的图形即可． 【详解】解：该几何体的左视图是一个长方形，并且有一条隐藏的线用虚线表示，如图所示： ， 故选：D． 【点睛】本题考查三视图，具备空间想象能力是解题的关键，注意看不见的线要用虚线画出． 3. 如图，，与相交于点G，若，，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，，， ∴； 故选B． 4. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算（乘方、乘法、除法），解题的关键是掌握幂的运算法则（幂的乘方：底数不变指数相乘；同底数幂相乘：底数不变指数相加；同底数幂相除：底数不变指数相减；积的乘方：各因式分别乘方）． 根据幂的运算法则逐一计算各选项，判断正确性． 【详解】解：A、，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，此选项符合题意； D、，此选项不符合题意； 故选：C． 5. 如图，在中，，，点是延长线上的一点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的计算，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．先根据直角三角形的性质，求出、和的关系，再根据，求出和的关系，最后根据正切函数的定义即可求出的值． 【详解】解：在中，，， ，． ， ， ， 即的值为． 故选：A． 6. 如图，直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴于点，且，则的值为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，根据题意求得点P坐标，再利用待定系数法求解k值即可． 【详解】解：∵轴于点，且， ∴点P的纵坐标为4， ∵直线与双曲线交于点， ∴将代入中，得，解得， ∴点P坐标为， 将代入中，得， 故选：C． 7. 如图，点E是矩形边上任意一点，点F，G，H分别是的中点，若，则的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质．根据三角形中位线定理，可得，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵点G，H分别是的中点，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点F是的中点， ∴． 故选：A 8. 二次函数的图象是一条抛物线，自变量与函数的部分对应值如表： … 0 1 2 3 … … 0 0 … 则如下结论错误的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 抛物线与轴的交点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．由题干函数解析式可知，当时；由表格数据可知抛物线经过点和，且当时，代入函数可求得，，从而得到函数解析式，再根据二次函数的性质判断各选项． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴代入得：， 解得， ∴． A、∵，∴抛物线的开口向上，正确； B、对称轴，正确； C、∵，对称轴，∴当时，随的增大而减小，正确； D、当时，，∴抛物线与轴的交点坐标为，不是，错误． 故选：D． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 一元二次方程的解是________． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， ， 或， 解得，． 10. 如图，五边形与五边形相似，且五边形与五边形的周长之比为．若，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记性质是解题的关键．根据相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：∵五边形与五边形相似，周长比为， ∴，即 ∴． 故答案为：． 11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．根据根的判别式的意义得到，然后求解即可． 【详解】解：由得：， ∵有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 如图，菱形的对角线，交于点，，，则该菱形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和锐角三角函数的知识；通过菱形对角线的性质得出的长度，再通过的正弦值得出菱形边长，勾股定理求得，进而可得的长，再根据菱形的面积即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，与交于点， 与互相垂直平分， ， ， ， ． 菱形的面积为 故答案为：． 13. 如图，点、分别在反比例函数和第一象限的图象上，且直线轴，点在轴上，连接、，则的面积为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，连接，设直线与轴交于点，可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设直线与轴交于点， ∵点、分别在反比例函数和第一象限的图象上， ∴ ∵直线轴 ∴ 故答案为：． 14. 如图，M，N是正方形的边的中点，点E在上，，交于点F，若，则正方形的边长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定，由正方形的性质可得，，可证明四边形是矩形，得到，证明，得到；设，，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵M，N是正方形的边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或， ∴， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，实数的混合运算，将特殊角的三角函数值代入进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴或， ∴，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．以原点为位似中心，在轴右侧画出的位似图形，使与的相似比为．（点、、分别与点、、对应） 【答案】 如图所示． 【解析】 【分析】本题考查了画位似图形，理解题意，根据位似图形的性质，分别找出点、、的对应点、、，顺次连接，即可求解． 【详解】略 18. 如图，已知，，利用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示 【解析】 【分析】此题考查了尺规作角平分线，特殊角的三角函数值， 作出的平分线交于点D即为所求，，即可得到． 【详解】如图所示，点D即为所求． 由作图得， ∴． 19. 如图，在中，点在上，，交于点，连接．请你从以下三个选项：①；②；③平分中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形． （1）你选择的补充条件是______（填序号）； （2）根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程． 【答案】（1）①（或③） （2） 选①，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 选③，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定． （1）根据题意选择条件即可求解； （2）选①或③，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证． 【小问1详解】 解：①（或③） 【小问2详解】 略 20. 陕西作为文化大省，有众多非物质文化遗产，某学校开设了非物质文化遗产活动课，分别有：A．西安鼓乐，B．安塞剪纸，C．凤翔泥塑，D．宁强羌绣，要求每名学生从这四种活动课中选出一种进行学习．小玉和小洋两名同学对这四种活动课都很感兴趣，她们找来四个完全相同的小球，分别写上A、B、C、D四个字母（A、B、C、D分别对应西安鼓乐、安塞剪纸、凤翔泥塑和宁强羌绣），放入不透明的盒子中摇匀，小玉先从中随机摸出一个小球，记下所标字母后放回摇匀，小洋再从四个小球中随机摸出一个小球记下所标字母，摸出的小球上字母对应的活动课即为各自选择的活动课． （1）小玉选择的活动课是A（西安鼓乐）的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求小玉和小洋选择的活动课中有（凤翔泥塑）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，用列表法求概率． （1）直接由概率公式求解即可； （2）根据列表求概率即可求解． 【小问1详解】 解：共有四种活动课，小玉选择的活动课是A（西安鼓乐）的概率为； 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 小玉 小洋 共有16种等可能的结果，其中小玉和小洋选择的活动课中有（凤翔泥塑）的有7种结果， 所以小玉和小洋选择的活动课中有（凤翔泥塑）的概率为． 21. 人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校计划购买A、B两种型号的机器人模型共40个，A型、B型机器人模型的单价分别为400元/个、240元/个．设学校购买A型机器人个，购买这两种机器人模型共花费元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，问购买A型机器人模型多少个时花费最少？最少费用是多少？ 【答案】（1） （2）购买A型机器人10个时花费最少，最少费用为11200元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）购买A型机器人个，则购买B型机器人个，根据题意列出函数关系式，即可求解； （2）根据题意得出，进而根据一次函数的性质，求得函数值的最小值，即可求解． 【小问1详解】 解：购买A型机器人个，则购买B型机器人个， 根据题意，得， ∴与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：根据题意，得，解得， 在中，， ∴随的增大而增大， ∴当时，值最小， 此时． 答：购买A型机器人10个时花费最少，最少费用为11200元． 22. 太平寺塔，为八角九层密檐式砖塔，整个塔体斗拱繁密，形体别致，显得特别秀丽，是陕西关中地区遗存的标准宋塔之一．某数学兴趣小组测量该塔的高度（底部不可达）的活动报告如下： 活动目的 测量太平寺塔的高度 测量工具 皮尺、无人机 活动说明 如图，在阳光下，他们在太平寺塔的影子顶端处，直立一个长为2米的标杆，经测量，同一时刻标杆的影子米，接下来他们沿着方向从点出发走了24米到达点处（即米），利用无人机测得米，并用无人机在处测得点的俯角为，，，，点、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内 测量方案示意图 求太平寺塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，先根据正切的定义求得，再求得的长，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：由题可知，， ∴米， ∴米， 由题意知，，， ∴， ∴，即， ∴米， 答：太平寺塔的高度为米． 23. 书籍，是人类智慧的结晶，是我们成长道路上的良师益友．让读书成为习惯，让书香溢满校园，某校为了解学生每周的课外阅读时间（单位：），随机调查了该校部分学生，并绘制了以下两幅不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）补全条形统计图，所调查学生每周课外阅读时间样本数据的众数为______、中位数为______； （2）求所调查学生每周课外阅读时间样本数据的平均数； （3）若该校有1200名学生，估计该校学生每周课外阅读时间为的学生人数． 【答案】（1） 补全条形统计图如图所示： ， （2） （3）名 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，众数、中位数的定义，样本估计总体； （1）根据扇形统计图和条形统计图，参加课外阅读时间为的情况即可求出总人数，即可求出时间为的情况可得出答案，进而补全统计图，根据众数和中位数的定义，即可求解． （2）根据平均数的定义进行计算即可求解；． （3）根据样本评估总体公式即可求出答案． 【小问1详解】 解：本次接受调查的学生人数为：（人）， 参加课外阅读时间为的学生人数为：（人）， 出现次数最多的是， 众数为， 把课外阅读时间从小到大排列，最中间两数都为， 中位数为， 则所调查学生每周课外阅读时间样本数据的众数为、中位数为 故答案为：，． 【小问2详解】 ， ∴所调查学生每周课外阅读时间样本数据的平均数为． 【小问3详解】 （名）． 答：估计该校学生每周课外阅读时间为的学生有名． 24. 如图，在中，对角线，相交于点，． （1）求证：四边形是矩形； （2）点在边上，满足，连接．若，，求的长及的值． 【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形． （2）， 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理以及求锐角的余弦值． （1）根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可得证； （2）过点作于点，勾股定理求得，进而可得，在中，勾股定理求得，进而求得，；在中，勾股定理求得，再根据余弦的定义，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 即的值为． 25. 从以动画技术革新领跑电影票房的《哪吒2》，到“神农”“天问”等楚才系列人形机器人集中亮相，现象级的科技飞跃成为今年春节的热门符号．某科技公司乘“巳”而上，在科技创新的驱动下，测试一款新研发的植护无人机喷洒农药，如图①，其喷洒轨迹可近似地看作抛物线型．如图②，已知无人机喷头A到水平地面（）的高度为，喷洒的农药覆盖农作物的宽度（）为，以线段所在直线为x轴，垂直于，且过线段的中点O与喷头A的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求喷洒农药的轨迹所在抛物线的函数表达式； （2）为提升效率，保证喷洒农药的均匀程度，要求植护无人机喷洒农药覆盖农作物的宽度要达到，那么测试人员应该如何操作植护无人机（上下移动）才能达到要求？ 【答案】（1） （2）测试人员应该如何操作植护无人机向上移动才能达到要求 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据题意得：点，，可设抛物线的函数表达式为， 利用待定系数法解答，即可求解； （2）设喷洒农药的轨迹所在抛物线的函数表达式为，把点代入，可求出抛物线的函数表达式，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：点，， 可设抛物线的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设喷洒农药的轨迹所在抛物线的函数表达式为， 根据题意得：点在喷洒农药的轨迹所在抛物线上， ∴， 解得：， ∴喷洒农药的轨迹所在抛物线的函数表达式为， 当时，， 即无人机喷头到水平地面的高度为， ∵， ∴测试人员应该如何操作植护无人机向上移动才能达到要求． 26. 【问题探究】 （1）如图1，已知，连接、，相交于点，点在线段上，连接，并延长交于点，求证：； （2）如图2，点为矩形对角线上的动点，连接，已知，，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，校园文创小组计划制作边长为6分米的正方形亚克力装饰牌，为增加装饰性，需在边上设置装饰条，为可滑动的装饰卡扣，延长装饰条至点，要求的长度是的2倍，用笔直的金属丝连接、，两根金属丝的交点记为，现需将点与点用某种特殊的材料连接，为节省材料成本，需使的长度尽可能的短，请你求出的最短长度． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． （2）的最小值为；（3）的最短长度为分米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，垂线段最短； （1）根据得出，，根据相似三角形的性质，即可得证； （2）过点作于点，即与重合时，最小，勾股定理求得，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解； （3）连接并延长，交于，证明，，根据相似三角形的性质结合已知条件得出，根据勾股定理求得，根据当时，有最小值，此时，，证明，进而根据相似三角形的性质求得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵点为矩形对角线上的动点， ∴当时，最小， 如图2，过点作于点，即与重合时，最小， 在矩形中，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即的最小值为． （3）解：如图3，连接并延长，交于， 在正方形中，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，可得点在上运动， ∴当时，有最小值，此时，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故的最短长度为分米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $