精品解析：新疆名校联盟2025-2026学年高三上学期核心模拟（中）数学试卷（一）

2025~2026学年高三核心模拟卷（中） 数学（一） 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用指数函数的单调性求得集合，再由集合的补集定义计算即得. 【详解】由可得，即得， 又，则. 故选：C. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则化简复数，从而可得答案. 【详解】 复数在复平面内对应的点为，在第二象限 故选：B 3. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点是抛物线上一点，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先得到，从而由焦半径公式得到. 【详解】由题意得焦点到准线的距离为，则，则. 故选：B 4. 若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦型函数的对称性进行求解即可. 【详解】因为点是函数的图象的一个对称中心， 所以， 因为，所以由， 所以当时，有最小值. 故选：D 5. 已知，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】得到，，，求出，令，则，故，令，求导，得到函数单调性，从而求出的取值范围为. 【详解】当时，，此时，不合要求，舍去； 当时，，即，不合要求，舍去； 故，， ，解得， 又，故， 又， 令，则， 故， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增， 又，当从负数一侧趋向于0时，趋向于， 所以的取值范围为. 故选：C 6. 若直线与圆有公共点，则实数的值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据直线与圆有公共点得出圆心到直线的距离小于等于半径，再通过距离公式列不等式求解的取值范围，最后判断选项中哪个值不在该范围内. 【详解】由圆的方程为，可得圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离小于等于半径，即，解得：， 对于选项A，，不在范围内； 对于选项B，，在范围内； 对于选项C，，在范围内； 对于选项D，，在范围内； 故选：A. 7. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据为奇函数判断出，函数关于点中心对称，根据为偶函数判断出函数关于直线对称，进而可得出函数的周期为8，然后根据函数解析式求出，进而求得结果. 【详解】因为为奇函数，所以满足， 即函数关于点中心对称，所以. 因为为偶函数，所以满足， 即函数关于直线对称，所以. 所以有，，令，则， 即，进而，故函数的周期为8. 当时，，所以. 由得，；由得. 求和项共有项，因为， 且，，， 所以原式. 故选：D. 8. 如图所示的扇形是某圆锥的侧面展开图，，，，分别是，上一点，且，若阴影部分的面积为，则阴影部分所围成的圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到上底面半径，下底面半径，高，从而得到阴影部分所围成的圆台体积. 【详解】，，故扇形的面积为， 阴影部分的面积为，， 故扇形的面积为，解得，故， 故，， 设阴影部分所围成的圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为， 则，，解得，， 故， 阴影部分所围成的圆台的上底面面积为，下底面面积为， 所以阴影部分所围成的圆台体积为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 在上的投影向量为 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，根据向量垂直得到方程，求出；B选项，根据得到B正确；C选项，由投影向量的公式得到C正确；D选项，举出反例得到D错误. 【详解】A选项，，若， 则，解得，A错误； B选项，，则，故， 所以，B正确； C选项，， 在上的投影向量为，C正确； D选项，， 故，当时，，D错误. 故选；BC 10. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则（ ） A. B. C. 是钝角三角形 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，由三角形面积公式得到方程，求出；B选项，由余弦定理得到方程，求出；C选项，中最大角为，，故为锐角，故为锐角三角形；D选项，计算出，，D正确. 【详解】A选项，由面积公式可得，即，解得，A正确； B选项，由余弦定理得，即，解得，B正确； C选项，由于，故中最大角为， ，故为锐角，故为锐角三角形，C错误； D选项，由于，故，故， 又，故， 故，故，D正确. 故选：ABD 11. 函数，则（ ） A. 当时，在处取得极大值 B. 当时，若在上有最大值，则实数的取值范围为 C. 若有3个零点，则所有零点之和为0 D. 当时，在区间上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，求定义域，求导，得到函数单调性，得到A错误；B选项，求导，得到函数单调性，除了外，只有，则实数的取值范围为，B正确；C选项，当时，在R上单调递增，不满足有3个零点，当时，求导，得到函数单调性，要想有3个零点，得到不等式，求出且，设3个零点分别为，从而得到方程，故，C正确；D选项，在C基础上得到函数单调性，，故在区间上单调递增，D正确. 【详解】A选项，时，，定义域为R， ，令得， 令得或，令得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值，A错误； B选项，当时，，定义域为R， ，令得或，令得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 其中，令得或， 即除了外，只有， 若在上有最大值，则实数的取值范围为，B正确； C选项，，定义域为R，， 当时，恒成立，故在R上单调递增，不满足有3个零点， 当时，令得或， 令得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 要想有3个零点， 则需满足， 化简可得，令，，显然， ， 令得，令得或， 故在，上单调递减，在上单调递增， 其中，， 故的解集为且， 设3个零点分别为， 设， 则， 故，则所有零点之和为0，C正确； D选项，当时，在，上单调递增，在上单调递减， 其中，故， 故在区间上单调递增，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在递增的等比数列中，，，则______. 【答案】2025 【解析】 【分析】利用等比数列的性质求出，设公比为，由题设条件求得，写出数列的通项公式，代入所求式，利用对数的运算性质即可. 【详解】由可得，解得， 设等比数列的公比为， 由，可得， 解得或，因数列是递增数列，且，故，则， 于是，，故. 故答案为：2025. 13. 截至到2025年8月中旬，2025年暑期档电影总票房突破100亿元.其中战争历史片《南京照相馆》与《东极岛》，国产动画片《浪浪山小妖怪》与《罗小黑战记II》，国产古装片《长安的荔枝》，类型片《戏台》与《捕风追影》七部电影更是在票房与口碑上收获满满.小明将这七部电影的宣传海报（各1份）分别赠予2名男生和5名女生，每人1份，其中电影《戏台》的宣传海报赠予女生甲，2名男生收到的电影海报不属于同一电影题材，则不同的赠予方案总数为______. 【答案】624 【解析】 【分析】分2名男生收到的电影海报分别为战争历史片和国产动画片，战争历史片和国产古装片，战争历史片和类型片，国产动画片和国产古装片，国产动画片和类型片，国产古装片和类型片6种情况，分别求出每种情况数，相加可得答案. 【详解】当2名男生收到的电影海报分别为战争历史片和国产动画片，则有种情况， 又电影《戏台》的宣传海报赠予女生甲，故剩余的4个人与4张宣传海报进行全排列， 有种情况，故此时共有种情况； 当2名男生收到的电影海报分别为战争历史片和国产古装片，则有种情况， 同理可得此时共有种情况； 当2名男生收到的电影海报分别为战争历史片和类型片，则有种情况， 同理可得此时共有种情况； 当2名男生收到的电影海报分别为国产动画片和国产古装片，则有种情况， 同理可得此时共有种情况； 当2名男生收到的电影海报分别为国产动画片和类型片，则有种情况， 同理可得此时共有种情况； 当2名男生收到的电影海报分别为国产古装片和类型片，则有种情况， 同理可得此时共有种情况； 综上，共有种情况. 故答案为：624 14. 已知双曲线：的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别为，，是上的一个动点，，且的一条渐近线方程为，设的面积为S，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】先由渐近线方程和焦距得到，设，根据余弦定理和同角三角函数关系得到，结合，，从而得到. 【详解】由题意得，故， 的渐近线方程为，即， 又，解得，故，， 设，则，， ，， 由余弦定理得 ， 故， 故， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和. （1）证明：； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）当时，， 当时，， 由于，故对，， 所以，而， 故； （2） 【解析】 【分析】（1）根据得到通项公式，进而得到； （2）得到，由错位相减法求和得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 故①， 则②， 式子①-②得， 故. 16. 某书包品牌代理对，两款书包的受欢迎情况进行调研，现从目标客户群中随机抽取100人，针对他们更喜欢款书包还是款书包做了调查，结果显示：，两款书包的受欢迎的程度相同，且更喜欢款书包的男生与女生人数相等，其中更喜欢款书包的女生占喜欢款书包的总人数的. （1）根据已知条件补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断更喜欢款书包与性别是否有关联； 更喜欢款书包 更喜欢款书包 总计 男生 女生 总计 （2）在样本中，从更喜欢款书包的目标客户中按性别用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人，在这5人中任选2人，其中女生的人数为随机变量，求的分布列与数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.005 2.706 3.841 7.879 【答案】（1） 更喜欢款书包 更喜欢款书包 总计 男生 10 25 35 女生 40 25 65 总计 50 50 100 有关联 （2） 1 2 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）根据题意分别计算出喜欢，两款书包的男生、女生人数即可完善列联表，再计算卡方值，将其与小概率值对应的临界值比较即可判断； （2）根据分层随机抽样确定所抽取的5人中，男生1人，女生4人，则从中任选2人，则的可能值有1，2，利用古典概型概率公式和组合数公式求出对应的概率，列出分布列，求得数学期望即可. 【小问1详解】 根据题意，，两款书包的受欢迎的程度相同，即在随机抽取的100人中，喜欢，两款书包的人各50人， 又因喜欢款书包的男生与女生人数相等，即喜欢款书包的男生25人，女生25人； 因喜欢款书包的女生占喜欢款书包的总人数的，故喜欢款书包的女生有人，男生有人. 则可补全列联表如下： 更喜欢款书包 更喜欢款书包 总计 男生 10 25 35 女生 40 25 65 总计 50 50 100 由， 因此依据小概率值的独立性检验，可认为更喜欢款书包与性别有关联. 【小问2详解】 因喜欢款书包的目标客户中，男生10人，女生40人，男女生比例为， 故分层抽取5人中，男生1人，女生4人，则从这5人中任选2人，其中女生的人数的可能值有1，2. 则，， 于是的分布列为： 1 2 故数学期望为. 17. 如图，在三棱锥中，平面，. （1）证明：平面平面； （2）若，，是上一点，且.，，，在同一个球的表面上，设该球的球心为，过点作球的截面，所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为. （i）求球的表面积； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见答案 （2）（i） (ii) 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质和线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用球的截面性质和空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 将三棱锥补成直三棱柱， 且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球， 记三角形的中心为，设球的半径为，， 则球心到平面的距离为，即， 连接，则，∴. 在中，取的中点为，连接， 则，， 所以.在中，， 由题意得到当截面与直线垂直时，截面面积最小， 设此时截面圆的半径为， 则， 所以最小截面圆的面积为， 当截面过球心时，截面面积最大为， 所以，， 由， 所以，故， 已知平面，， 建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， 则有，取，则， 所以是平面的一个法向量， 因此直线与平面所成角的正弦值为： . 18. 已知椭圆：与椭圆：的离心率相等，且椭圆经过点. （1）求的方程； （2）已知直线与交于，两点（点，异于点）. （i）若原点到直线的距离为，证明：； （ii）若直线过点，且以线段为直径的圆恒过点，求实数的值. 【答案】（1） （2）（i）证明：当直线的斜率不为0时，设为， 原点到直线的距离为，故， 与联立可得， 设，，解得， 则， 所以 ， ， 当直线的斜率为0时，设为， 原点到直线的距离为，故， 不妨令，中，令得， 不妨设， 则， 故，综上，若原点到直线的距离为，则； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据离心率得到方程，结合和得到，，求出的方程； （2）（i）考虑直线的斜率不为0时，设为，由点到直线的距离得到，与联立，得到两根之和，两根之积，计算出，当直线的斜率为0时，计算出点的坐标，得到则，故； （ii）当直线的斜率为0时，不满足点，异于点，设出直线的方程，与联立，得到两根之和，两根之积，求出以线段为直径的圆的方程，将代入上式，可得方程，得到，解得或，排除，得到答案. 【小问1详解】 由题意得， 椭圆：的离心率为， 故椭圆：的离心率为， 又，故，， 所以的方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）若直线过点， 当直线的斜率为0时，直线的方程为，此时直线与交于， 此时点，不异于点，不合要求； 当直线的斜率不为0时，设直线为， 与联立可得， 设，，解得， 则， 所以， 故的中点坐标为， 其中 ， 故以线段为直径的圆的半径为， 以线段为直径的圆的方程为， 又以线段为直径的圆过定点，将其代入上式，可得 ， 化简得， 上式需满足，解得或， 当时，重合（不满足点，异于点），不合要求，舍去； 当时，满足要求， 综上，. 19. 设函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，若函数有唯一零点，求实数的值； （3）若对于，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）求出，求导，得到，由导数的几何意义得到切线方程； （2）当时，得到，故关于对称，则有，解得，验证当时，有唯一零点0，从而得到； （3）参数分离可得在上恒成立，令，换元得到，求导，得到的单调性，，故，实数的取值范围为. 【小问1详解】 时，，， ，， 故在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 当时，，定义域为R， 则， ， 所以，故关于对称， 函数有唯一零点，则有， 即，解得， 验证，当时，， 令，则， 因为定义域为R，且， 所以为偶函数，且， ， 当时，，故恒成立， 当时，，故恒成立， 故当时，，在上单调递增，故， 当时，由对称性可知，， 综上，此时有唯一零点0，所以有唯一零点， 所以； 【小问3详解】 对于，都有， 则，即在上恒成立， 令，，则， 则， 令，，则在恒成立， 故在上单调递增，故， 令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，故，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年高三核心模拟卷（中） 数学（一） 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点是抛物线上一点，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与圆有公共点，则实数的值不可能是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 如图所示的扇形是某圆锥的侧面展开图，，，，分别是，上一点，且，若阴影部分的面积为，则阴影部分所围成的圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 在上的投影向量为 D. 的最小值为 10. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则（ ） A. B. C. 是钝角三角形 D. 11. 函数，则（ ） A. 当时，在处取得极大值 B. 当时，若在上有最大值，则实数的取值范围为 C. 若有3个零点，则所有零点之和为0 D. 当时，在区间上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在递增的等比数列中，，，则______. 13. 截至到2025年8月中旬，2025年暑期档电影总票房突破100亿元.其中战争历史片《南京照相馆》与《东极岛》，国产动画片《浪浪山小妖怪》与《罗小黑战记II》，国产古装片《长安的荔枝》，类型片《戏台》与《捕风追影》七部电影更是在票房与口碑上收获满满.小明将这七部电影的宣传海报（各1份）分别赠予2名男生和5名女生，每人1份，其中电影《戏台》的宣传海报赠予女生甲，2名男生收到的电影海报不属于同一电影题材，则不同的赠予方案总数为______. 14. 已知双曲线：的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别为，，是上的一个动点，，且的一条渐近线方程为，设的面积为S，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和. （1）证明：； （2）若，求数列的前项和. 16. 某书包品牌代理对，两款书包的受欢迎情况进行调研，现从目标客户群中随机抽取100人，针对他们更喜欢款书包还是款书包做了调查，结果显示：，两款书包的受欢迎的程度相同，且更喜欢款书包的男生与女生人数相等，其中更喜欢款书包的女生占喜欢款书包的总人数的. （1）根据已知条件补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断更喜欢款书包与性别是否有关联； 更喜欢款书包 更喜欢款书包 总计 男生 女生 总计 （2）在样本中，从更喜欢款书包的目标客户中按性别用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人，在这5人中任选2人，其中女生的人数为随机变量，求的分布列与数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.005 2.706 3.841 7.879 17. 如图，在三棱锥中，平面，. （1）证明：平面平面； （2）若，，是上一点，且.，，，在同一个球的表面上，设该球的球心为，过点作球的截面，所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为. （i）求球的表面积； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆：与椭圆：的离心率相等，且椭圆经过点. （1）求的方程； （2）已知直线与交于，两点（点，异于点）. （i）若原点到直线的距离为，证明：； （ii）若直线过点，且以线段为直径的圆恒过点，求实数的值. 19. 设函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，若函数有唯一零点，求实数的值； （3）若对于，都有，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $