精品解析：江西南昌市外国语学校2025-2026学年上学期高一期末数学试题

南昌市外国语学校2025-2026学年上学期 高一数学期末试卷 一、单选题 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 3. 临近高考，小强同学把高三6次大考的数学成绩整理如下：122，96，108，130，126，117，则这组数据的第80百分位数是（　　） A. 130 B. 128 C. 126 D. 124 4. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数则的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在R上的函数y＝f(x)对于任意的x都满足f(x＋1)＝－f(x)，当－1≤x＜1时，f(x)＝x3，若函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围是(　　) A. ∪(5，＋∞) B. ∪ C. ∪(5，7) D. ∪[5，7) 二、多选题 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 的图象关于对称 D. 11. 已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式___________． 13. 已知数据、、…、的平均数为3，方差为520，则、、…、的平均数为________． 14. 已知，是关于的方程的解，则___________． 四、解答题 15. 求下列各式的值： （1）； （2）． 16. 已知函数． （1）若恒成立，求的取值范围； （2）若在上的最大值为2，求的值． 17. 一高校承办了某届世乒赛志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求a，b的值； （2）（ⅰ）直接写出这100名候选者面试成绩的中位数所在的分组区间； （ⅱ）估计这100名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （ⅲ）在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率. （3）若落在第四组的平均成绩是80，方差是20，落在第五组的平均成绩为90，方差是5，求这两组成绩的总平均数z和总方差. 参考公式：其中为总样本平均数. 18. 已知函数是上的奇函数，函数． （1）求实数k的值； （2）当时，函数的最小值是关于a的函数，求； （3）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围． 19. 定义两类新函数： ①若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使得成立，则称该函数为“函数”； ②若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使得成立，则称该函数为“函数”． （1）设函数的定义域为，已知是某一类新函数，试判断是“函数”还是“函数”（不需说明理由），并求此时的范围； （2）已知函数在定义域上为“函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌市外国语学校2025-2026学年上学期 高一数学期末试卷 一、单选题 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集运算即可求解. 【详解】由题意可得． 故选：B． 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题否定规则直接写出即可. 【详解】命题为全称命题，则， 故选：C 3. 临近高考，小强同学把高三6次大考的数学成绩整理如下：122，96，108，130，126，117，则这组数据的第80百分位数是（　　） A. 130 B. 128 C. 126 D. 124 【答案】C 【解析】 【分析】借助百分位数定义计算即可得. 【详解】这组数据从小到大排列为：96，108，117，122，126，130， ，故这组数据的第80百分位数是126. 故选：C. 4. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合指数函数与对数函数的图象与性质，结合单调性，即可求解. 【详解】因为函数在上单调递减，所以， 又函数在上单调递增，所以，所以， 因为函数在上单调递减，所以， 综上有. 故选：D． 5. 对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件关系，即可判断选项. 【详解】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确； B.包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确； D.事件与事件是对立事件，所以，故D正确. 故选：B 6. 已知函数则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数为奇函数，再根据函数单调性解抽象不等式即可. 【详解】当时，，，； 当时，，，； 且当时，， 所以为奇函数， 易知为上的递减函数， 则， 所以原不等式的解集为. 故选：A 7. 已知函数，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用定义确定函数的奇偶性，根据对数函数和二次函数的性质确定复合函数的单调性，然后利用单调性解不等式即可. 【详解】因为，所以函数的定义域为，则定义域关于原点对称，且，所以为偶函数， 当时，令其为单调递增函数，而是单调递减函数，所以在区间上是单调递减函数， 根据对称性知，函数在区间上是单调递增函数， 所以函数的函数值随着的增大而减小， 因为，所以，即，或， 当时；当时； 所以实数的取值范围为. 故选：A 8. 已知定义在R上的函数y＝f(x)对于任意的x都满足f(x＋1)＝－f(x)，当－1≤x＜1时，f(x)＝x3，若函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围是(　　) A. ∪(5，＋∞) B. ∪ C. ∪(5，7) D. ∪[5，7) 【答案】A 【解析】 【详解】由f(x＋1)＝－f(x)得f(x＋1)＝－f(x＋2)， 因此f(x)＝f(x＋2)，即函数f(x)是周期为2的周期函数． 函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点可转化成y＝f(x)与h(x)＝loga|x|两函数图象交点至少有6个，需对底数a进行分类讨论．若a＞1，则h(5)＝loga5＜1，即a＞5. 若0＜a＜1，则h(－5)＝loga5≥－1，即0＜a≤. 所以a的取值范围是∪(5，＋∞)．故选A. 点睛： 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 二、多选题 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD 【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养. 10. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 的图象关于对称 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和题设条件，推得是周期为4的周期函数，结合周期函数的性质求值，利用单调性比较大小，逐项判定即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以 ,即函数关于对称，C正确; 由函数关于对称可知, 又因为为偶函数，所以 ，即函数关于对称， 则, 所以,即, 所以,所以是周期为4的周期函数， 所以,又, 所以,所以,所以,B正确; 是偶函数，A错误; 对任意的,且,都有,不妨设, 则,由单调性的定义可得函数在上单调递增， 又由函数关于对称，所以在上单调递增 又,, 所以,得，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数，解题关键是合理利用抽象函数的单调性，奇偶性周期性分析题意，然后逐个选项分析即可． 11. 已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】作出函数的图象，设，则直线与函数的图象个交点横坐标分别为，可得出，再结合对称性与对数运算即可得正确选项. 【详解】函数的图象如图所示， 设，则， 则直线与函数的图象个交点横坐标分别为， 对于A：函数的图象关于直线对称，则，故A正确； 对于B：由图象可知，且， ∴，即，所以，故B正确； 对于C，当时，， 由图象可知，则，故C错误； 对于D，由图象可知， 所以，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 12. 已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数满足求解即可. 【详解】依题意，当时，，故在区间上的解析式. 故答案为： 13. 已知数据、、…、的平均数为3，方差为520，则、、…、的平均数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方差求出、、…、的和后可求它们的均值. 【详解】因为、、…、的平均数为3，方差为520， 故， 故， 故、、…、的平均数为， 故答案为：. 14. 已知，是关于的方程的解，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知等式变形得出，构造函数，分析该函数的单调性，由题意得出，可得出，再利用指数与对数的互化可得出的值. 【详解】由可得， 构造函数，因为函数、均为上的增函数， 故函数为上的增函数， 由可得， 因为是关于的方程的解，则，又因为，故， 所以，所以，所以，故. 故答案为：. 四、解答题 15. 求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 已知函数． （1）若恒成立，求的取值范围； （2）若在上的最大值为2，求的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）分类讨论，分离参数后由基本不等式求最值得解； （2）令，换元后转换为二次函数最值问题，根据对称轴分类讨论即可得解. 【小问1详解】 函数的定义域为， 由，可得，即． 当时，恒成立； 当时，由，可得， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以． 综上，的取值范围为． 【小问2详解】 令，则可化为． 因为，所以． 函数图象的对称轴为直线． ①当，即时，，解得； ②当，即时，，不符合题意． 综上，． 17. 一高校承办了某届世乒赛志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求a，b的值； （2）（ⅰ）直接写出这100名候选者面试成绩的中位数所在的分组区间； （ⅱ）估计这100名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （ⅲ）在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率. （3）若落在第四组的平均成绩是80，方差是20，落在第五组的平均成绩为90，方差是5，求这两组成绩的总平均数z和总方差. 参考公式：其中为总样本平均数. 【答案】（1） （2）；； （3） 【解析】 【分析】（1）根据第三、四、五组的频率之和为列方程可解，再根据第一、二组的频率之和为列方程可解； （2）（ⅰ）根据频率分布直方图，得位于区间的频率和位于区间的频率，即可判断中位数所在的分组区间； （ⅱ）根据频率分布直方图得频率，再利用加权平均数公式计算即可； （ⅲ）根据频率确定比例，可得第四组志愿者人数为4，第五组志愿者人数为1，利用古典概型计算概率即可； （3）根据总样本平均数和总方差公式即可求解. 【小问1详解】 由题意有， 所以； 【小问2详解】 （ⅰ）因为位于区间的频率为， 位于区间的频率为， 所以中位数所在的分组区间为； （ⅱ）平均数为； （ⅲ）在第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，第五组志愿者人数为1，设为． 考虑从这5人中选出2人的试验，其样本空间可记为共10种情况； 记事件为“选出的两人来自不同组”，则共4种情况， 所以； 【小问3详解】 由题意有：第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 所以， . 18. 已知函数是上的奇函数，函数． （1）求实数k的值； （2）当时，函数的最小值是关于a的函数，求； （3）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知函数的性质，利用奇函数的定义列方程求解； （2）先求出在上的值域，利用换元法化简已知函数，再根据二次函数的性质分情况讨论求出； （3）利用（2）的结论结合已知条件，分情况讨论求出实数a的取值范围． 【小问1详解】 函数是上的奇函数， ，即，整理得， 对任意成立，，解得． 【小问2详解】 ，在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递增， ， 在上的值域为， 令，则，函数开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增，最小值为； 当时，在对称轴处取得最小值，最小值为； 当时，在上单调递减，最小值为； ． 【小问3详解】 若对任意的，恒成立，即对恒成立； 当时，，成立； 当时，，解得，又，； 当时，，解得，与矛盾，舍去； 的取值范围是． 19. 定义两类新函数： ①若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使得成立，则称该函数为“函数”； ②若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使得成立，则称该函数为“函数”． （1）设函数的定义域为，已知是某一类新函数，试判断是“函数”还是“函数”（不需说明理由），并求此时的范围； （2）已知函数在定义域上为“函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）是“函数”；；（2） 【解析】 【分析】（1）由，可知对任意的，都不满足，即不可能是“函数”，只能是“函数”；由在内单调递增，可得，进而可得出，从而可得，求出取值范围即可； （2）若图象的对称轴，可推出矛盾，从而在上单调，且，可求出，不等式可转化为，该不等式对任意恒成立，令，由存在使得该不等式成立，可求出实数的取值范围. 【详解】（1）函数在定义域上是“函数”，理由如下： 因为，所以对任意的，都不满足，即不可能是“函数”，而是某一类新函数，只能是“函数”. 函数在内单调递增，且是“函数”， 由定义需满足，即， 因为，所以，， 所以， 所以的范围为. （2）若图象的对称轴，则存在，且，关于对称， 此时，，由条件知存在，使，这与“函数”定义矛盾． 所以，即在上单调，则， ， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，此时在上单调， 所以成立，即. 存在实数，使得对任意的，不等式恒成立， 不等式整理得，该不等式对任意恒成立， 所以，整理得， 由题意知，存在使得该不等式成立， 所以或，解得或. 所以实数的取值范围是. 【点睛】本题考查函数新定义，考查不等式恒成立问题，注意利用函数的单调性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $