河南信阳市2025-2026学年上学期期末考试高一数学试题

机密★启用前 2025一2026学年上学期期末考试 高一数学 本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答題前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡 上的指定位置， 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效， 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内，写在试卷、草稿纸和答题卡的非 答題区城均无效 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.已知全集U=R,集合A={x|y=lgx},集合B={yly=√x+1},那么A∩(CuB)= A.☑ B.(0,1] C.(0,1) D.(1,+∞) 2.指数函数f(x)=a(a>0且a≠1)，在R上是减函数，则函数g(x)=(a一2)x3在R上的单 调性为 A.单调递增 B.在(0，十∞)上递减，在（一∞，0）上递增 C.单调递减 D.在(0，十∞)上递增，在（一∞，0）上递减 3.函数f(x)=2*-22的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是 A.(1,3) B.（1,4) C.(0,3) D.（1,2) 4.函数f(x)=（ 1-e 1+e ·cosx的部分图象大致形状是 2025一2026学年上学期期末考试高一数学第1页共4页 -x2+(1-a)x-5,x≤1 5.已知函数f(x)= 且对任意，≠，都有f)二f2>1,则。的 x+x>1 x1-x2 取值范围是 A.（-∞，-2] B.(-∞，0) C.(-3,-2] D.[-3,-2] 6.将函数y=2sin(x+)cos(z+)的图象向左平移p(p>0)个单位，所得图象对应的函数恰为 奇函数，则φ的最小值为 A是 B晋 c D. log.b,a≤b, 7.设a,b∈(0,1)U(1,+∞)，定义运算：a⊙b= ,则 logsa,a>b, A.8⊙(2Θ4)>(4⊙8)⊙2>(2⊙8)⊙4 B.(2⊙4)⊙8>(2⊙8)⊙4>(4⊙8)⊙2 C.(4⊙8)©2>(2⊙8)⊙4>8⊙(2⊙4) D.(4⊙8)⊙2>(2⊙4)⊙8>(2⊙8)⊙4 8.狄利克雷函数是高等数学中的一个常见函数，若f(x)= 1,x∈Q ,则称f(x)为狄利克雷函 0,x∈CRQ 数.对于狄利克雷函数f(x),给出下面4个命题：①对任意x∈R,都有f[f(x)]=1;②对任意 x∈R,都有f(一x)十f(x)=0;③对任意x1∈R,都有x2∈Q,f(x1十x2)=f(x1);④对任意a, b∈（一∞，0），都有{x|f(x)>a}={xlf(x)>b}.其中所有真命题的序号是 A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④ 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分 9.下列式子化简正确的是 Asin8sin52°-sin82reos52r=号 B.sin15°-√3cos15°=√2 C.sin15°sin30°sin75°-8 D志温器=- 10.函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+y)+f(x一y)=2f(x)f(y),f(4)=一1，则下列结论 正确的有 A.f(0)=0 B.f(2)=0 C.f(x)为偶函数 D.f(x)的图象关于(1,0)对称 1.已知a>1,6>1a21=261=1og:b,则以下结论正确的是 Aa+2=b+1og:bB+og6=l ca-6<号 D.a+6>4 2025一2026学年上学期期末考试高一数学第2页共4页 机密★启用前 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填写在答题卡上的相应位置. 12.若角a的终边经过点P(3,4),则sin2a= 13.若正实数x、y满足1og2x十log2y=1,则x十2y的最小值为 1-|2x-3|,1≤x≤2 14.已知函数f(x)= 3r)x>2 ,关于x的方程f(x)一0=0有 个不同的 解；不等式xf(x)一1≤0的解集是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)已知函数f(a)=sin(r二a)cosa+sin(π+a)cos(2x-a) sin(爱-ad cosatan(一a) (1)化简f(a); (2)若fa)=号-<a<0,求sina·coa,sina-cosa的值. 16.(本小题满分15分)据气象中心的观察和预测，发生于M地的沙尘暴 v(km/h) R 30 一直向正南方向移动，其移动速度v(kmh)与时间t(h)的函数图象 如图所示.过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,则梯形OABC 在直线1左侧部分的面积即为时间t(h)内沙尘暴所经过的路程O1020 t凸h) S(km). (1)当t=4时，求S的值； (2)将S随t变化的规律用数学关系式表示出来； (3)若N城位于M地正南方向，且距M地为650km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城. 如果会，在沙尘暴发生多长时间后它将侵袭到N城；如果不会，请说明理由. 2025一2026学年上学期期末考试高一数学第3页共4页 17.(本小题满分15分)已知函数f(x)=3aeog受+_asinw.x-a (w >0,a>0)在一个周期内的图象如图所示，其中点A为图象上的最高 点，点B,C为图象与x轴的两个相邻交点，且△ABC是边长为4的正 三角形. (1)求ω与a的值； (2若fa)=8g,且∈(-号，号》，求+1D的值 18.(本小题满分17分)已知函数f(x)=1og4(4十1)十kx(k∈R)是偶函数. (1)求k的值； (2)若函数f(x)的图象与直线y=x+a没有交点，求a的取值范围； (3)若函数h(x)=4+r+m·2一1，x∈[0，log23],是否存在实数m使得h(x)最小值为0， 若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 19.(本小题满分17分)设函数f(r)=”-（-卫(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数. (1)求t的值； (2)若f(1)>0,求使不等式f(kx一x2)十f(x一1)<0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范 围； (3)若函数f(x)的图象过点(1，号），是香存在正数m(m≠1)，使函数g(x)=log[ar+a 一mf(x)]在[1，log23]上的最大值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 2025一2026学年上学期期末考试高一数学第4页共4页2025一2026学年上学期期末芳试 高一数学参考答案及评分标准 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B B D B A D 1.C解析：A={xy=lgx}=(0,+∞)，B={yly=√+1}=[1，+∞)，CuB=(-∞，1)，所以 A∩(CuB)=(0,1) 2.C解析：指数函数f(x)=a(a>0且a≠1)，在R上是减函数，所以0<a<1,故a一2<0，所 以g(x)=(a-2)x3在R上单调递减. 3.B解析：函数fx)=25-2的-个零点在区间1,2)内，故a>0,所以函教f()=2-在 (1,2)单调递增，由零点存在性定理可知f(1)=2一2a<0,f(2)=4-a>0,解得1<a<4. 4B解析：)=（十）eax为R上是专西数，t#除AC,当0受时子e1,o0> D:所以fz)=1eD0s>0,故选B 5.D解析：由）>1，不坊设>，可得：f()-f(,)>西-，→(x)-x1> 2x1-x2 -x2-ax-5,x≤1 f(x2)-x2,故y=f(x)一x在R上单调递增，即y= a,x>1 在R上单调递增，有 ,解得：-3≤a≤-2. a<0 -1-a-5≤a 6.B解析：函散)=2sim(x+5)cos(x+）=sin(2x+）,向左平移g(p>0)个单往得y sin(2x+2g+）,因为y=sim2x+29+）为奇画数，故sin(2g+）=0,2g+-x,9 -号+，k∈Z,当及=1时g=8 7.A解析：由题意可知204=10g,4=2,208=10g,8=3,408=1og,8=号，80(204)=10g:8=3, (408)02-202=log号2，(208)04=304=log:4,显然80(204)最大，log2=log4>1og,4. 2025一2026学年上学期期末考试高一数学参考答案及评分标准第1页共6页 8.D解析：对于①：若x∈Q,则f(x)=1都有f(1)=1,若x∈C.Q,则f(x)=0都有f(0)=1, 故正确；对于②：对x∈Q,则-x∈Q,f(一x)=f(x)=1,f(-x)十f(x)=2≠0，故不正确；对 于③：对任意x1∈Q,都有x2=1,x1十1∈Q,使f(x1+1)=f(x1)=1,对任意x1∈CQ,都有 x2=1,x1十1∈CRQ,使f(x1十1)=f(x1)=0,故正确；对于④：对任意x∈R,都有f(x)=1或 f(x)=0,对任意a,b∈（-∞，0)，{xlf(x)>a}={x|f(x)>b}=R. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 题号 9 10 11 答案 CD BC ABD 9.CD解析：对于A:sin8°sin52°-sin82°cos52°=sin8°sin52°-cos8°cos52°=-cos(8°+52)= -cos60=-2故A错1对于B:sml5°-5cos15=2(sinl5.}-60s15°，图）=2sin(15° 60)=-2,故B错：a对于C:sinl5“sin30'sin75°=2sinl5°sin75°= 2sin15 o5°-sin30,故 C正确：对于Dg48n48am2=tan(48+72)=tanl20=3,故D正确. 10.BC解析：法一：利用赋值法求函数的周期 令x=4,y=0,则2f(4)=2f(4)f(0),得f(0)=1,故A错 令x=2,y=2,则f(4)十f(0)=2f(2)f(2),得f(2)=0,故B正确 令x=0,可得f(y)=f(一y),得f(2)=0,故C正确 若f(x)的图象关于(1,0)对称，则函数f(x)满足f(0)+f(2)=0,而f(2)=0,f(0)=1,显然 f(0)+f(2)≠0故D错.令x=2,可得f(2+y)+f(2-y)=2f(2)f(y)=0,f(x)的图象关 于(2,0)对称. 法二：由f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)与cos(x+y)+cos(x-y)=2 coszcosy,可以令 f(x)=ac0wx,易知a=1,又f(4)=-1,故cos4a=-1,即w=平，则f(x)=c0s牙，故BC 正确. I1.ABD解析：对于选项A:a,b分别可以看作函数f(x)-产与g() y=logx =2不h()=0g:x图象交点的横坐标，函教()-z名的图象关于 Y=2: D y=f(x) 直线y=x对称，g(x),h(x)的图象也关于直线y=x对称，所以两个交 0 点C(a,2),D(b,log2b)也关于直线y=x对称，所以a=log2b,b=2,故 选项A正确. 对于感项B:向吕2=-6，到a十6a6,即日言1，所以十61，此速项B三德。 对于选项C:a-言-a十日-1≥2a·日-1=1，由图象可知，ae(1,2),所以a-名>1，故选 a 项C错误. 对于选项D:a十6=a十》（日十6）=2+日+8≥4，当且仅当a=6=2时取等号.但是a≠2， 所以等号不能取，故选项D正确.故选ABD. 2025一2026学年上学期期末考试高一数学参考答案及评分标准第2页共6页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 解析：若角&的终边经过点P(3,4),则sina 12.25 4=4 W32+425,c0sa= 3=3 32+425,sin2a= 2 a=2X号×号-2岩 13.4 解析：由题意得log2x十log2y=log2xy=1,可得xy=2,由x>0,y>0,根据基本不等式可 知x十2y≥2√x·2y=4,当且仅当x=2y,即x=2,y=1时，等号成立，所以x十2y的最小值 为4. 146{女1<x<1+或≥1号 解析：当1≤x≤时，f()-2x-2, 当受<<2时，)-4-2， 当1<≤号时，即2<x≤3， fx）=3f)=3(2×受-2)=3(x-2),且f3)=3, <登≤2时，即3<≤4， 当 2 f)=3f号)=号(4-2x)=34-), 当2<号≤3时，即4Kx≤6， f)=315)=3×3(号-2)=3（登-2），且f6)=, 当3<≤4时，即6<x≤8，)=号爱)=号×(4-爱)=3(4-， 当4受≤6时，即8<x≤12，(x)=3f(5)=(-2,且f12)=, 当6<受≤8时，即12<≤16，)=3（受）=(4-)， 当8<受≤12时，即16<≤24，f(x)-3f()-(g-2),且f24)-, 依次类推，作出函数f(x)的图象， 11 y=f(x) y=10■ 012345678910元 由图可知y一)与y品交点个数是6。 所以关于x的方程f()-0=0有6个不同的解： 当1≤≤2时，令1-2x-3到=，解得x=1+)5或x=2士2 2 21 2025一2026学年上学期期末考试高一数学参考答案及评分标准第3页共6页 此时满足要求的工的范周：1≤≤1+或2≤x≤2由f(3)=青，(6)=f3X2)=京， 2 2 f12)=f3×2)=3f24)=f3×2)=3,,f3×2-1)=(m≥1，n∈N, 任意实数x∈[2，十∞)，不等式xf(x)-1≤0恒成立，即f(x)≤恒成立， 由图知函数f)在x∈[2，十0)的年-个上预点的纵坐标为f3X2≥lmE, 11 且f3X2)-33X3可≤3X2,即f(x)≤恒成立， 综上所达，解集为：1≤<1，成≥1+号 2 故答案为：1长<1，成x≥1+ 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.解：(1)f(a)=sina+cosa …………5分 (2)由f(a)=sina+cosa=5,平方可得：sin2a+2 sinacosa+-cosa=25, 即2 sinacosa= 12 25,所以singcosa=一 25 7分 因为(sina-cosa)2=1-2 sinacosa= 25… 49 10分 又-7<a<0,所以sina<0,cosa>0,所以sina-cosa<0,四 12分 故：sina-cosa=一7 13分 16.解：(1)由图可知，OA对应的解析式为v=3t,所以当t=4时， v=3×4=12,所以S= 2×4X12=24(km）.… 4分 20当0E1≤10时，5-号×X3=号， ……5分 当10<4≤20时，5=号×10×30+30(4-10)=304-150； …6分 当20<t≤35时， S=2×10×80+10×80+4-20)×30号×-20)×2u-20)=-1+701-530.…7分 ,e[0,101, 所以S= 30t-150,t∈(10,20]， 8分 -t2+70t-550,t∈(20,35]， (3)当[0,10]时，5=号×102=150<650： 10分 当t∈（10,20]时，Smax=30X20-150=450<650;…12分 当t∈(20,35]时，令一t+70t-550=650,…14分 2025一2026学年上学期期末考试高一数学参考答案及评分标准第4页共6页 解得t=30或t=40,因为20<t≤35，所以t=30. 故沙尘暴发生30h后会侵袭到N城。………15分 17,解：(1)由已知可得f(x)=acosw 3 2 sinwx -asin(oz+ ………3分 因为BC=召=4T=8,u=2-西 6分 84 由图象可知，正三角形ABC的高即为函数f(x)的最大值a,得a=BC=23. 2 …7分 (2)由1)知f)=2sin(骨+）=8g,即m(至+5）=告 ……9分 x,(9号引7+(-受引，+）=1-(-号 …13分 ∴fx,+1)=25sin(经++）-2,3sim[(经+5）+ =23sin(，+)cos+cos,+sin =23x(停×号+×》-26 5 15分 18.解：(1).f(一x)=f(-x),即1og4(4x+1)一kx=log4(42+1)十x对于任意x∈R恒成立. 2hzog44中D）-1og+D=1og4k=号… 2 (2)由题意知方程1og(4+1)一2x=号x十a即方程a=log,(4+1)一x无解。…6分 令g(x)=1og4(4+1)-x, 则函数y=g(x)的图象与直线y=a无交，点. “gx)=1og,(4+iD-x=1og,1=log,1+) 任取x1,x,∈R,且x<x2,则0<45<4心45>4行 1、1 ∴gx)-g(,)=log(1+)-1og,(1+)>0, g(x)在(-∞，十o∞)上是单调减函数.… 8分 1+>1gx)=log,(1+)>0.a的取值范周是(-∞，0].…10分 (3)由题意h(x)=4+mX2,x∈[0，log23], 令t=2∈[1,3]，p(t)=t2+mt,t∈[1,3]…11分 :开口向上，对称轴t= 2 当-≤1，pm≥-2，g()=9(1)=1十m=0,m=-1…13分 当1<-受<3，即-6<m<-2,g0m=9(-罗)=--0，m=0(含去).14分 2025一2026学年上学期期末考试高一数学参考答案及评分标准第5页共6页 当一罗3，即m<-6,g(）m=g(3)=9十3m=0,m=3(含去)… 15分 .存在m=一1得h(x)最小值为0.…17分 19.解：(1)f(x)是定义域为R的奇函数，f(0)=0,∴.t=2;…2分 (2)由(1)得f(x)=a-a由f(1)>0得a-1>0又a>0,a>1, a 由f(kx一x2)十f(x-1)<0得f(kx-x2)<-f(x-1),…3分 又f(x)为奇函数，∴f(kx一x2)<f(1一x),…4分 又，a>1,.f(x)=a-ax为R上的增函数， ∴.kx-x2<1一x对一切x∈R恒成立，即x2-（k十1)x十1>0对一切x∈R恒成立，… …………5分 故△=(k十1)2一4<0解得-3<k<1；… 6分 (3)假设存在正数m(m≠1)符合题意，由a=2得 g(x)=logn.[a*+a-2-mf(x)]=lOgn[22+2-2-m(2*-2-*)] =l0gm[(22-22)2-m(2-22)十2]，… 8分 设t=22-2x,则(2-2x)2-m(2-2x)十2=t-mt十2， xE[1,log23],tE[,]记h(0）=-mt+2, 9分 函数g(x)=logm[a2+ax-mf(x)门在[1，log23]上的最大值为0， (1)若0<m1,则画数()=-m+2在[多]有最小值为1， :对称轴1=公号A0=a(号》-子昌m=1→m=号不合超意， ……11分 ()若m>1,则函数0=-+2>0在[受，]上恒成立，且最大值为1，设小位大 1<m≤25 于0，① 73 →m= a(0.=h(g）-1m- 73 24 24 又此时受是e[层】又A0狼)<0，故g)无唐又，所以m爱应合去：…1分 2- m、25 25 2>12 m> 6 ② → →m无解， 13 6 综上所述：故不存在正数m(m≠1)，使函数g(x)=logm[a2x十a2x-mf(x)]在[1，log23] 上的最大值为0.………………17分 2025一2026学年上学期期末考试高一数学参考答案及评分标准第6页共6页