17.1第5课时 与平行四边形有关的面积计算问题 课件 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 互动设计 17.1第5课时 与平行四边形有关的 面积计算问题 1 学 习 目 标 明确课堂学习目标对学生的学习效果和教师的教学效率都有重要意义。它帮助学生明确方向、提升效率、增强动机，同时为教师设计教学和评估效果提供依据。通过清晰、具体的学习目标，师生可以更好地实现教学目标，提高课堂质量 返回主页 能够利用平行四边形的性质（如对角线性质、边角关系）解决与面积相关的综合问题。 1 掌握并熟练运用平行四边形面积公式：S = 底 × 高。 2 理解平行四边形的面积可以通过转化为三角形或矩形的面积来求解。 3 情 境 引 入 情境引入是教学中的重要策略，它通过创设生动、相关的情境，激发学生的学习兴趣，促进知识理解，培养问题解决能力，并增强知识的实用性。合理设计情境引入，能够有效提升课堂教学效果，帮助学生更好地掌握和应用知识 返回主页 情境：社区绿地改造 已知底边长15米，这条底边上的高为8米。 2. 已知两条邻边的长度分别为12米和10米，以及它们夹角为60°。 15米 8米 12米 10米 60° 提问： “作为社区规划员，你能用不同的方法计算出这块绿地的面积吗？ 平行四边形的面积不只是“底×高”，有时还需要利用其他条件间接求解。 A B C D 面积 今天我们就来研究如何灵活计算平行四边形的面积。 互 动 设 计 将课堂从一个“知识传输的场所”，转变为一个“思维生长的生态场”。在这里，学生不仅是知识的消费者，更是知识的建构者、质疑者和创造者。他们在对话中理解世界，在合作中认识自我，在解决真实问题的过程中，为未来储备不可或缺的心智习惯与核心能力。 返回主页 活动1：面积公式的再发现（小组合作） 每个小组准备两个全等的平行四边形纸片和剪刀。 任务： 1. 尝试用剪刀剪拼，将一个平行四边形转化为一个长方形，并说明转化前后面积不变。 2. 观察转化前后的图形，找出长方形的长和宽与原平行四边形的底和高之间的关系。 3. 根据长方形面积公式，推导出平行四边形的面积公式。 得出结论：平行四边形面积 = 底 × 高。 活动2：寻找隐藏的高（探究活动） 在黑板上画出一个平行四边形ABCD，其中AB为底边，过点C作AB的垂线段CE（高）。 C B A D E 问题链： 1. 如果以BC为底，这个平行四边形的高在哪里？请画出来。 F 2. 同一个平行四边形，用不同的底和高计算面积，结果一样吗？为什么？ 3. 如何根据已知条件选择最合适的底和高？ 探 求 新 知 在数学课堂中学习新知识时，学生需要专注听讲、积极参与、及时巩固，而教师则需要设计合理的教学流程、注重互动和反馈。双方共同努力，才能确保新知识的有效掌握和灵活应用。 返回主页 平行四边形面积公式 基本公式： S = a · h（其中a为底边长，h为该底边上的高）。 公式推导： 通过割补法将平行四边形转化为等积的长方形。 关键： 计算时必须明确“底”和它对应的“高”。同一个平行四边形，不同的底对应不同的高，但面积唯一。 平行四边形的面积与三角形面积的关系 平行四边形的对角线将其分成两个全等的三角形，每个三角形的面积是平行四边形面积的一半。 即：S▱ABCD = 2S△ABC = 2S△ABD。 平行四边形的面积与其他元素的关系 面积与周长： 面积和周长是两种不同的度量，没有直接公式关系。但已知周长和一边长可求另一边长，再结合高可求面积。 面积与对角线： 一般平行四边形面积与对角线没有直接简单公式。但对于菱形（特殊的平行四边形），面积等于对角线乘积的一半（S = d₁d₂）。 面积与夹角： 如果知道两条邻边a、b及其夹角θ，则面积 S = a · b · sinθ（此公式初中作为了解，可用直角三角形知识推导）。 等积变换思想 等底等高的平行四边形面积相等。 平行线间的距离处处相等，因此在两条平行线间，所有同底（或等底）的平行四边形面积相等。 典 例 铺 路 例题讲解是教学中的关键环节，它帮助学生理解知识、掌握解题方法、培养逻辑思维和问题解决能力，同时增强学习信心和应试能力。通过精心设计的例题讲解，教师可以有效提升教学效果，促进学生的全面发展。 1.直接应用 例1（直接应用公式）： 如图，在▱ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，AE⊥BC于点E，AE=6cm。求▱ABCD的面积。 C B A D E 【分析】已知底BC=8cm，及BC边上的高AE=6cm，可直接用公式。 【解】S▱ABCD = BC × AE = 8 × 6 = 48 (cm²)。 2.选择不同的底和高 例2（选择不同的底和高）： 如图，在▱ABCD中，AB=12，AD=10，∠A=30°。求▱ABCD的面积。 D A B C 【分析】已知AB和AD及其夹角，可过D作AB边的高，利用三角函数求出高。 【解】过点D作DE⊥AB于点E。 在Rt△ADE中，∠A=30°，AD=10， ∴ DE = AD · sin30° = 10 × = 5。 ∴ S▱ABCD = AB × DE = 12 × 5 = 60。 3.利用对角线性质求面积 例3（利用对角线性质求面积）： 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6。求菱形ABCD的面积和边长。 A B C D 【分析】菱形是特殊的平行四边形，其面积可用对角线乘积的一半计算。 【解】S菱形ABCD = × AC × BD = × 8 × 6 = 24。 ∵ 菱形对角线互相垂直平分， ∴ OA=4，OB=3。 在Rt△AOB中，AB = = 5。 4.面积平分问题 例4（面积平分问题）： 如图，在▱ABCD中，点E是BC上任意一点。求证：S△ABE + S△CDE = S▱ABCD。 【分析】△ABE和△CDE的底和高与平行四边形有关，可通过面积公式建立关系。 D A B C E 【证明】过点E作EF⊥AB于点F，延长FE交CD于点G。 则EF和EG分别是△ABE和△CDE的高，且FG是平行四边形的高。 设AB = CD = a，则S▱ABCD = a · FG。 S△ABE = · AB · EF = a · EF， S△CDE = · CD · EG = a · EG。 ∴ S△ABE + S△CDE = a (EF + EG) = a · FG = S▱ABCD。 随 堂 演 练 返回主页 随堂演 1. 基础题： ▱ABCD中，AB=5，BC=7，AE⊥BC，垂足为E，AE=4。求▱ABCD的面积。 1. 解： S = BC × AE = 7 × 4 = 28。 随堂演 2. 提高题： ▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD。若AC=6，BD=8，求▱ABCD的面积。 （提示：此时平行四边形是菱形吗？不一定，但可分成四个直角三角形计算） 2. 解： 因为AC⊥BD，所以S▱ABCD = S△ABC + S△ADC = AC·OB + AC·OD = AC·(OB+OD) = AC·BD = ×6×8 = 24。因此，对角线互相垂直的平行四边形（不一定是菱形）面积等于对角线乘积的一半。 随堂演 3. 综合题： 在▱ABCD中，E、F分别在边AB、CD上，且BE=DF。连接AF、CE。求证：S△ADF = S△BCE。 3. 证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB∥CD，AB=CD，AD=BC。 ∵ BE=DF， ∴ AE=AB-BE=CD-DF=CF。 又AD=BC，∠DAF=∠BCE（可通过平行和等量代换证明）， ∴ △ADF≌△CBE（SAS）。 ∴ S△ADF = S△BCE（全等三角形面积相等）。 （或通过等底等高证明：连接DE、BF，利用四边形BEDF是平行四边形等性质，也可证明面积相等） 随 堂 检 测 返回主页 随堂测 A组（基础计算，共40分）： 1. （10分）平行四边形一边长为6cm，该边上的高为4cm，则其面积为 ______ cm²。 随堂测 2. （10分）如图，在▱ABCD中，AB=8，AD=6，∠B=150°，则▱ABCD的面积为 ______。 随堂测 3. （10分）菱形两条对角线长分别为5和12，则菱形的面积为 ______。 答案与评分标准： 1. 24（S=6×4=24） 2. 24（∵∠B=150°，∴∠A=30°。过A作AE⊥BC于E，则AE=AB·sin30°=8×0.5=4。S=BC×AE=6×4=24） 3. 30（S=0.5×5×12=30） 课 堂 小 结 课堂小结是教学过程中不可或缺的环节，它不仅帮助学生巩固知识、提升学习效果，还能促进教师反思教学、优化课堂设计。通过有效的课堂小结，师生可以共同实现教学目标，提高教学效率和学习质量。 返回主页 1 2 3 4 认真领会 面积计算方法体系： 平行四边形面积 ├── 基本方法：S = a·h（底×对应高） ├── 特殊图形 │ ├── 菱形：S = 1/2 d₁d₂（对角线乘积的一半） │ └── 矩形：S = ab（邻边乘积） ├── 间接求法 │ ├── 分割求和或补形法 │ ├── 利用三角形面积（S = 2S△） │ └── 利用夹角：S = a·b·sinθ（拓展） └── 面积关系 ├── 等底等高面积相等 └── 过对称中心的直线平分面积 37 数学思想总结： - 等积变换： 割补法推导公式，图形变换保持面积不变。 - 模型思想： 识别基本图形（三角形、矩形、菱形），利用其面积模型。 - 方程思想： 通过面积关系建立方程求解未知量。 易错点提醒： 1. 计算面积时，必须使用底和它对应的高。 2. 平行四边形对角线互相垂直时，面积 = × 对角线乘积（适用于所有对角线垂直的四边形，不限于菱形）。 3. 平行四边形的面积与周长没有直接关系。 $