精品解析：江苏盐城市伍佑中学等五校2025-2026学年第一学期期末学情调研检测高二数学试题

2025/2026学年度第一学期 期末学情调研检测高二年级数学试题 （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置 ，否则不给分． 2.答题前务必将自己的姓名、准考证号用 0．5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上． 3.作答非选择题时必须用黑色字迹 0.5 毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上 ，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损 。 第Ⅰ卷 (选择题 共 58 分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 圆心，半径的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 若直线始终平分圆的周长，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 直线与上各有一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等比数列的公比，记为数列的前项和，若，则 的公比为（ ） A. 2 B. 1 或 2 C. D. 1 或 6. 已知为抛物线上的动点，为的焦点，点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 设函数是定义在上的奇函数，为其导函数.当时，，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 在正项数列中，，，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线可以表示过点的所有直线 B. 直线在轴上的截距是 C. 直线的倾斜角为 D. 过点并且倾斜角为的直线方程为 10. 数列满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列的前n项和 D. 数列是递增数列 11. 设函数，则（ ） A. 当时，有一个零点 B. 当时，无极值点 C. ，使在上是减函数 D. 图象对称中心的横坐标不变 第Ⅱ卷 (非选择题 共 92 分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设等差数列的前项和为.若，则________ 13. 已知圆：（）与圆：相交，则r的取值范围是________ 14. 已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线与的右支交于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，则点的横坐标的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线过点且倾斜角为，圆的方程为. （1）求直线的方程； （2）已知直线与直线平行，且与圆相交所得弦长为2，求直线的方程. 16. 设数列满足，． （1）证明：数列为等差数列； （2）若数列的前n项和为，证明：． 17. 已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. （1）求的值； （2）求函数的极值. 18. 已知椭圆过点，点A为其左顶点，且的斜率为 （1）求的方程； （2）在椭圆上取一点N，且满足的面积为12，求点的坐标. 19. 已知函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）当时，求证：； （3）求证：对任意的且，都有（其中为自然对数的底数）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025/2026学年度第一学期 期末学情调研检测高二年级数学试题 （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置 ，否则不给分． 2.答题前务必将自己的姓名、准考证号用 0．5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上． 3.作答非选择题时必须用黑色字迹 0.5 毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上 ，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损 。 第Ⅰ卷 (选择题 共 58 分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 圆心，半径的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的标准方程直接下结论即可. 【详解】由题意知，圆的标准方程为. 故选：B 2. 下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本导数法则求出各选项的正确导数值，逐一验证各选项的正确性. 【详解】选项A: ，故A错； 选项B: ，故B对； 选项C：，故C对； 选项D: ，故D对. 故选：A. 3. 若直线始终平分圆的周长，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】依题意直线经过圆的圆心，列出等式即得. 【详解】由题意知圆心在直线上， ∴，整理得， 故选：D 4. 直线与上各有一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目条件计算得两条直线平行，的最小值就是两条平行线间的距离. 【详解】直线 ， ，即的最小值为这两条平行线间的距离， 设为之间的距离，则. 故选：C 5. 已知等比数列的公比，记为数列的前项和，若，则 的公比为（ ） A. 2 B. 1 或 2 C. D. 1 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的前项和公式列出关于公比的方程，求解出符合条件的公比值即可. 【详解】当时，等比数列的前项和，此时，，. 代入中得，，整理得，即. 又等比数列中，所以. 当时，等比数列的前项和， 则，，. 代入中得，. 因为， ，可化为， 整理得，又，所以， 解得或，又且，所以. 故选：A. 6. 已知为抛物线上的动点，为的焦点，点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义将转化为点到准线的距离，结合几何意义，求得的最小值为点到抛物线准线的距离. 【详解】抛物线的准线方程为． 设到准线的距离为到准线的距离为， 则， 则的最小值为6． 故选：C 7. 设函数是定义在上的奇函数，为其导函数.当时，，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，得到其定义域，奇偶性，求导得到其单调性，从而分和两种情况，得到不等式解集，求出答案. 【详解】令，的定义域为，故的定义域为， 则， 当时，，故在上恒成立， 故在上单调递增， 又是定义在上的奇函数，故， 所以， 所以为偶函数，，则，故 在上单调递减， 当时，，即， 由于在上单调递增，故， 当时，，即， 由于在上单调递减，故， 则不等式的解集为. 故选：D 8. 在正项数列中，，，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用递推公式，可得是等比数列，求出通项，分奇偶讨论可得答案. 【详解】由，得，得， 则是首项为，公比为的等比数列， 所以，即． 当为奇数时，为递增数列， 所以，即． 当为偶数时，为递减数列， 所以，所以． 又，所以，所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线可以表示过点的所有直线 B. 直线在轴上的截距是 C. 直线的倾斜角为 D. 过点并且倾斜角为的直线方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AD，通过斜率不存在的直线方程可判断，对于B由可判断，对于C，由斜率可得倾斜角，即可判断. 【详解】对于A，不含这条直线，错误； 对于B，令，得，即直线在轴上的截距是，正确； 对于C，直线斜率为，可知倾斜角为，错误； 对于D，过点并且倾斜角为的直线方程，正确， 故选：BD 10. 数列满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列的前n项和 D. 数列是递增数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助等比数列定义及其性质可得A、B；借助等比数列与等差数列求和公式计算可得C；借助作差法可得，即可得D. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以数列是首项和公比都为2的等比数列，故A正确； 则，所以，故B正确； 因为，所以 ，故C错误； 因为，所以， 因为，所以，所以，即数列是递增数列，故D正确． 故选：ABD． 11. 设函数，则（ ） A. 当时，有一个零点 B. 当时，无极值点 C. ，使在上是减函数 D. 图象对称中心的横坐标不变 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数求出函数的极大值判断A；由恒成立判断B；由的解集能否为R判断C；求出图象的对称中心判断D. 【详解】对于A，当时，， 令，得或， 当时，，当或时，， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又， 因为为三次函数的极大值，且极大值小于，所以只有一个零点，故A正确； 对于B，，若无极值点，则，解得，故B正确； 对于C，要使在上是减函数，则恒成立，显然不等式的解集不是，故C错误； 对于D，由， 得图象对称中心坐标为，图象对称中心的横坐标不变，故D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷 (非选择题 共 92 分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设等差数列的前项和为.若，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式及等差数列的性质求解 【详解】因为， 所以. 故答案为： 13. 已知圆：（）与圆：相交，则r的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】求出两圆的圆心距，根据两圆相交的条件建立关于的不等式求解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为1， 所以， 因为两圆相交，所以， 即，又，所以得， 故答案为： 14. 已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线与的右支交于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，则点的横坐标的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】求出双曲线的焦点，设出直线方程，与双曲线方程联立，得到弦中点坐标，进而得到弦垂直平分线方程，令求出点的横坐标，再求解范围即可. 【详解】设，，弦的中点为， 由题意可得，，则， 设直线的方程为， 联立方程，整理得，，恒成立， 所以，. 因为直线和的右支交于两点，所以，解得， 所以，， 直线的方程为， 令，得， 又，所以，所以， 即点的横坐标的取值范围是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线过点且倾斜角为，圆的方程为. （1）求直线的方程； （2）已知直线与直线平行，且与圆相交所得弦长为2，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可知直线的斜率为1，结合直线的点斜式方程运算求解； （2）设的方程为，，求圆心到直线的距离，结合垂径定理求弦长，运算求解即可. 【小问1详解】 因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为， 且直线过点， 所以直线的方程为，即 【小问2详解】 因为直线与直线平行，可设的方程为，， 因为圆的方程为，可知半径，圆心为， 则圆心到直线的距离为， 且直线与圆相交所得弦长为，解得或， 所以的方程为或. 16. 设数列满足，． （1）证明：数列为等差数列； （2）若数列的前n项和为，证明：． 【答案】（1）证明：由可得：， 所以数列为等差数列，且首项为3，公差为3； （2）证明：由数列为等差数列，，可得, 所以，又因为， 所以， 因为，所以，故． 【解析】 【分析】（1）利用已知的递推关系两边取倒数，即可构造数列的递推关系，从而问题得证； （2）利用等差数列可求数列的通项公式，再由裂项法求和，利用单调性可证明不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. （1）求的值； （2）求函数的极值. 【答案】（1）1 （2）极大值为，极小值为. 【解析】 【分析】（1）求导数，由切线平行于直线可知道的值，建立方程解得的值； （2）由（1）得导数，令，从而得到函数单调递增区间，列表得到函数的极值. 【小问1详解】 由题意得， 曲线在点处的切线平行于直线， ，； 【小问2详解】 由（1）可得， 令得或，列表如下： 1 3 ＋ 0 － 0 ＋ 递增 极大值 递减 极小值 递增 极大值为，极小值为. 18. 已知椭圆过点，点A为其左顶点，且的斜率为 （1）求的方程； （2）在椭圆上取一点N，且满足的面积为12，求点的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意分别求得，的值即可确定椭圆方程； （2）求出后利用面积可得点到直线的距离，则可设出与直线平行的直线，利用两平行线间距离公式计算即可得所需直线方程，再联立椭圆方程求出交点即可得. 【小问1详解】 由题意可知直线的方程为：，即， 当时，解得，所以， 椭圆过点， 可得，解得， 所以椭圆的方程：； 【小问2详解】 由，故，又，故， 由设点到直线的距离为， 由得，解得， 设与直线平行且与椭圆相交的直线方程为：， 由，即，解得或， 当时，联立，得，所以或， 当时，，当时，， 所以或； 当时，联立，得， ，故该方程无解； 综上：或. 19. 已知函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）当时，求证：； （3）求证：对任意的且，都有（其中为自然对数的底数）． 【答案】（1） 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （2） 证明：当时，， 要证明，即证，即， 设，则，令得，． 当时，，当时，， 所以为极大值点，也为最大值点． 所以，即．故； （3） 证明：由（2）知（当且仅当时等号成立）， 令，则， 所以 ， 即， 所以． 【解析】 【分析】（1）先求导得，根据的情况，分类讨论即可求解； （2）要证明，即证，即， 设，利用导数研究单调性求最大值即可得证； （3）由（2）知，令，则，又，最后利用裂项相消法即可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为． ①当时，，所以在上单调递增， ②当时，令，解得． 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增． 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $