高二数学上学期期中模拟（范围：人教B版选择性必修第一册全部）

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 4 5 6 8 B C D A A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 CD BCD ACD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.93 2 V15 13. 14. 3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【详解】(1)：圆心C在直线x-2y=0上，设C2t,t,设圆C半径为r,则CA=CB=r, 2t-1P+t-12=2t-22+t2, …2分 化简展开得2t=2,解得t=1, 。。。。。。。。。。 …3分 :C2,1,半径r=CA=2-12+1-1=1, …5分 “圆C的方程为：x-2}+y-12=1. …6分 (2),直线的倾斜角为45°，∴.直线l的斜率k=1, 设直线的方程为x-y+b=0, 7分 :CD⊥CE,则△CDE是等腰直角三角形，“DE=V1+1=2, …8分 第1页共7页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由弦长公式得DE=2r2-d=21-=2,解得d= V2 2 …10分 圆心C2,1到直线的距离：d=2-1+b_1+b_ 92 V22 ,解得b=0或b=-2, …12分 .直线的方程为X-y=0或x-y-2=0. ………13 分 F 16.(15分) 【详解】(1)因为PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,所以PA⊥AB, …2分 由底面ABCD是正方形，可得AB⊥AD, …4分 又PAn AD=A,且PA,ADC平面PAD, 根据线面垂直的判定定理，可得AB⊥平面PAD 7分 (2)设PA=AB=1, 以A为原点，分别以AB、AD、AP的方向为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系， 则A0,0,0,P0,0,1,D0,1,0,C1,1,0: ……… 9分 PD=0,1,-1AP=0,0,1AC=1,1,0 ……………10 分 设平面PAC的法向量为n=x,y,z小则： np=0,即0 n·AC=0 x+y=0' 令x=1,得y=-1,z=0,即平面PAC的一个法向量为n=1,-1,0 …12分 PD·n 设直线PD与平面PAC所成角为0，则sin8 -- PDn 第2页共7页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为PD-n=0x1+1×-1+-1x0=1, PD=02+12+-1P=2 n=-1+0=2, 1 1 所以sin0= 2x22, …14分 e0,引 所以0=亚 6 …15分 D 17.(15分) 【详解】(1)由抛物线定义得QP=FQ,又因为FP=FQ, 所以△PQF为等边三角形，所以<PF0=∠QPT=号 …2分 设准线为l与x轴交于点N - 且P的纵坐标为2V3, 所以PN=2P3,FN=p, …4分 所以tan∠PFO=tan -23-5 3 p 5分 所以p=2: …6分 (2)设m:x=y+4,AX3,y3,BX4,y4, 第3页共7页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 联立得 y2=4x x=y+4·y2-40y-16=0, 由韦达定理得y3+y4=4t,y3y4=-16, …8分 所以AD=V1+ty3,BD=1+ty4, …9分 所以AD1BD=1+x16=24,所以t-克则t= 2 2 …11分 由韦达定理得y3+y4=±22，y3y4=-16, 所+y- ·13分 y3y4 2 所以总+出+2= ya y3 所以 2 +引1=0，m号-2 IADIy1ADI-2. 所以BD.方或BD AD 所以8D的值为2或2. …15分 18.(17分) 【详解】(1)因为AP2⊥AB,DP4⊥CD,所以AB⊥PA,CD⊥PD …2分 因为AB∥CD,所以AB⊥PD. ………4分 又PAO PD=P,PA,PDC平面PAD,所以AB⊥平面PAD. …5分 (2)过点P作PO⊥AD,垂足为O,过点O作OF/1AB,交BC于点F ZA B FG) 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD, 所以PO⊥平面ABCD. 第4页共7页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 …6分 以O为坐标原点，OF,OD,OP所在直线分别为X轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 在△PAB中，PA=V32-2=5, 在PAD中，P02+A02=5,P02+(3-AO2=8,则A0=1,P0=OD=2, 所以P0,0,2,A0,-1,0. …8分 因为成成1，所以点G与点r重合，G20叫 3 设Eλ，2,0,0≤1≤2，则PE=,2,-2」 因为AG=2,1,0,所以cos(PE,AG= P2·AG_2λ+2 PEAG +8.95 …9分 2λ+2 2 1 令+1=t∈1,3，则V2+85店0t-1P+8店 因为1≤t≤3，月 g1,是e tP∈ …10 21+2 V10V15 1015 所以+85 10 5 则所求取值范围为 10’5 …11分 (3)设四棱锥P-ABCD外接球的球心为O2,半径为R 得矩形ABCD对角线的交点为O1L,,0,则O,O,土底面A …12分 设o1,m 由0，A=0P,得1+是+m-1++(m-2.解得m 2 …15分 则o, R=0,A=4 2 因%0，=2-10-0- …16 分 第5页共7页 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V6+V14 所以G与Q两点之间的距离的最大值为O2G+R= 2 …17分 19.(17分) 【详解】(1)：MF21x轴，.F2横坐标与M相同，即c=3,F2(3,0), 由椭圆关系：a2=b2+c2=b2+3, … …1分 12 将M3,2 代入椭圆方程： (32 3+1 6 1 即：+461， …2分 3+1 把a=+3代入：6+3十461， 整理得：12b2+b2+3=4b2(b2+3, 即4b4-b2-3=0,.(4b2+3b2-1)=0, .b2>0,∴.b2=1,a2=1+3=4, 4分 前网C标准方程：千+y=1 …5分 (2))设P(x1,y1),Q(x2,y2),两点在椭圆上： 则，灯8+-y好-0. 4 …7分 .(x-xx+x+yy2(y+2=0. 4 :X+x=2×1=2,y1+y,=2×}=1 2 两边同除以X米，记k0=光二当。 X1-X2 子+ko1-0,ko号 …9分 ·直线过 N.yx-1 化简得：x+2y-2=0: …10分 第6页共7页 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (m由椭圆方程：A(-2,0),B(2,0), Pi=λN0,则：N-P=λ(Q-N) N纵坐标yN=0,则0-yp=λ(yg-0),yp=-入yo ∴S,=56mABx4y=2y S2=SAPBQ ,△PBQ以BF2为底，P,Q纵坐标差为高： S,-.IBFl-Iy,-yobIBF,I-2-Y3, 21ypl S2 2-01, …12分 代入yp=-yo:Iypl=yol,lyp-yol=|-入yo-yol=(a+1)|yal S 2.alyol 41 .S2 2-3-a+1。 1=2+3 2-3+1),化简：2-93 42-8+41 S, …14分 西效川2刘入产在入13]年调港缩。 当=1： =8+43))=4+23。 S, 当λ=3： =8+45)子=6+38阳， S, …16分 是ca+25+3 。。。。。。。。 …17分 第7页共7页 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版（2019）选择性必修第一册第1章~第2章。 5．难度系数：0.7 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知直线恒过定点，则以点为圆心，半径长为1的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 2.已知空间直角坐标系中，，，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 3.从点射出的光线经轴反射后到达点，则光线从到所经过的路程为（   ） A． B． C．4 D．5 4.已知直线和圆，动圆与直线、圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D． 5.在正四面体ABCD中，M，N分别为AB，AD的中点，连接CM，BN，若正四面体的边长为2，则直线CM与直线BN所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6.古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于的平分线．若坐标原点到切线的距离为，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 7.已知正方体的棱长为，是的中点，点在侧面（含边界）内，若，则面积的最小值为（     ） A． B． C． D． 8.双曲线左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，直线与双曲线左支交于点，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知直线l过点，与抛物线相交所得弦长为8，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 10.已知向量，，，则下列结论正确的是（   ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量，共面 11.椭圆：（）且，上、下顶点为，，过坐标原点的直线交于，两点，其中在第一象限，轴于点，直线交于点，交轴正半轴于点，的面积是的面积的倍，则（    ） A．的离心率为 B．，，，四点可能共圆 C．为直角三角形 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知平面经过点，其法向量为，则点到平面的距离为______． 13.已知圆：，直线：，点在直线上，若过点存在直线交圆于，两点，使得点为线段的中点，则点的横坐标的取值范围是______． 14.设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线l与双曲线C的左支交于点A，与双曲线C的右支交于点B，点D满足，，则双曲线C的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）圆过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若倾斜角为的直线与圆交于两点，且，求直线的方程． 16．（15分）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 17．（15分）已知抛物线的焦点为，准线为，直线与，的交点分别为，，且. (1)求； (2)若过点的直线交于，两点，且，求的值. 18．（17分）如图，四边形为矩形，，，，，，将矩形四周的三角形沿该矩形的边向上折起，使，，，四点重合于点P，得到四棱锥．已知． (1)证明：平面． (2)若E为棱上的动点，求异面直线与所成角的余弦值的取值范围． (3)设Q为四棱锥外接球球面上的动点，求G与Q两点之间的距离的最大值． 19．（17分）椭圆分别为的左右焦点，点在上，且轴． (1)求的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点， （ⅰ）若是的中点，求直线的方程； （ⅱ）若是椭圆的右焦点，且，为椭圆的左、右顶点，设和的面积为，当时，求的取值范围. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知直线恒过定点，则以点为圆心，半径长为1的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【详解】由题意可得， 所以无论取多少，当时， 为 所以，以点为圆心，半径长为1的圆的方程是. 2.已知空间直角坐标系中，，，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求线面角、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、线面角的向量求法 【分析】根据直线与平面所成角的向量求法，计算直线AB的方向向量与平面α法向量夹角余弦的绝对值即可得到结果. 【详解】由，，得， 线面角的向量计算规则：设直线与平面所成角为，，则， 所以，故， 又，，因此， 代入计算得：，因线面角正弦值非负，排除A、B，最终选C. 3.从点射出的光线经轴反射后到达点，则光线从到所经过的路程为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点 【分析】由光的反射原理可知，点关于轴的对称点到点的距离即为光线从到所经过的路程. 【详解】由光的反射原理可知，可作点关于轴的对称点，连接， 则，光线从到所经过的路程为. 故选：D. 4.已知直线和圆，动圆与直线、圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】求平面轨迹方程 【分析】利用两圆内切或外切，与直线相切建立等式，化简可得方程. 【详解】设，当动圆与圆内切时，有，化简得； 当动圆与圆外切时，有，化简得. 故选：C 5.在正四面体ABCD中，M，N分别为AB，AD的中点，连接CM，BN，若正四面体的边长为2，则直线CM与直线BN所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的坐标表示、异面直线夹角的向量求法 【分析】以正四面体底面中心为原点建系，由边长得到各个顶点的坐标，利用异面直线所成角的向量表示求解. 【详解】以底面的中心为原点，分别以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系， 由正四面体的边长为2，则底面的外接圆半径， 则由题意得高． 故，，，， 由M、N分别为AB、AD的中点，所以，同理得， 故，， 设直线与所成角为，则 ． 6.古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于的平分线．若坐标原点到切线的距离为，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】借助椭圆光学性质以及梯形中位线定理确定焦点三角形中的大小，结合椭圆定义与余弦定理建立的等量关系，最终求出椭圆离心率. 【详解】记是的平分线，设点处的切线为直线，则. 设，则，所以根据椭圆光学性质， 点处切线与、的夹角均为，即. 过点作，过点作，过点作，则， 点、到切线的距离分别为， . 因为为的中点，，由梯形中位线性质得， 原点到切线的距离为：. 由题知，解得，即，故. 在中，由余弦定理得： ， 结合椭圆定义，将右边变形为： ， 代入，，得，整理得，即. 椭圆离心率. 7.已知正方体的棱长为，是的中点，点在侧面（含边界）内，若，则面积的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形面积公式及其应用、线面垂直证明线线垂直、求空间向量的数量积、空间位置关系的向量证明、立体几何中的轨迹问题 【分析】建立空间直角坐标系，设出点坐标，求出的最小值，即可得到面积的最小值. 【详解】以为原点，分别以所在方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 则， 因为，所以， 即，由，即，得， 因为在正方体中，侧面，且， 又因为， 因为，所以当时，取到最小值为， 此时面积取到最小值为，故选A. 8.双曲线左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，直线与双曲线左支交于点，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】利用双曲线定义表示出，结合等腰三角形性质求出，然后利用圆的几何性质及余弦定理建立等式，又利用三点共线，建立等式，联立求解得出离心率. 【详解】由题意知，双曲线半焦距为，， 设，则，所以， 又，所以，所以， 因为，所以是等腰三角形， 过作于点，所以， 在中，， 因为三点共线，所以即为，即， 因为点在以为直径的圆上，所以，即， 在中，， 在中，由余弦定理得，， 所以，化简整理得，①， 在中，由余弦定理得，， 因为三点共线，所以，即， 所以，化简整理得，②， 联立①②得，， 因为，所以，将代入①式得，， 所以双曲线离心率为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知直线l过点，与抛物线相交所得弦长为8，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】本题已知直线与抛物线相交所得弦长，求直线方程，只需联立利用弦长公式进行求解. 【详解】当直线l的斜率不存在时，直线与抛物线交于，弦长为4，不合题意． 当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线为，联立 消去y，得，． 弦长为，解得，得， 所以直线l的方程为或．故选CD. 10.已知向量，，，则下列结论正确的是（   ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量，共面 【答案】BCD 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、求投影向量、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量的坐标运算、判定空间向量共面 【分析】对于A选项，根据向量的夹角公式进行求解； 对于B选项，根据向量垂直的判断条件进行求解； 对于C选项，根据投影向量的定义进行求解； 对于D选项，根据向量的共面定理进行求解. 【详解】对于A选项，已知向量，，， 则，，， 所以， 又因为两个向量的夹角取值范围为，故向量与向量的夹角为，选项A错误； 对于B选项，已知向量，，，则，，故，选项B正确； 对于C选项，由选项A的计算结果可知，，，则向量在向量上的投影向量为，选项C正确； 对于D选项，已知向量，，，因为，所以，满足共面向量定理，故向量与向量，共面，选项D正确.故选BCD 11.椭圆：（）且，上、下顶点为，，过坐标原点的直线交于，两点，其中在第一象限，轴于点，直线交于点，交轴正半轴于点，的面积是的面积的倍，则（    ） A．的离心率为 B．，，，四点可能共圆 C．为直角三角形 D．的最小值为 【答案】ACD 【知识点】三角形面积公式及其应用、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的最值问题 【分析】对A直接由椭圆的几何性质计算可得；对B根据点的对称可知，若四点共圆则圆心必在原点，再由，再结合对称性可知四点不共圆；对C，设，由三角形面积关系得，再通过解方程可得，进而可得，从而可判断C，再由直角三角形中边角关系可得 ，由基本不等式可得最小值，可判断D选项. 【详解】对选项A，因为椭圆（）满足 ，结合椭圆关系， 代入得：，即，所以，因此离心率，选项A正确. 对选项B，，若四点共圆， 则圆心必在弦的垂直平分线 轴上，也在弦的垂直平分线上，且的垂直平分线过原点， 因此圆心必在轴与弦的垂直平分线的交点，即原点. 所以圆的半径，圆的方程为. 又因为在椭圆上，也在圆上， 联立，显然方程组无解，故不存在， 所以，，，四点不可能共圆，故B错误. 对选项C，设，由椭圆关于原点对称得 ；轴则. 所以​，由题意. 设 ，的面积也可表示为， 所以，得，即. 由，椭圆方程可写为， 又因为直线过和，斜率， 直线方程为，代入椭圆方程，， 结合，得，即， 即，即， 即，即， 即，即， 解得或；所以， 代入得，即， 所以 ， 又因为，所以，即，因此， 所以为直角三角形，故C正确. 对选项D，由是直角，所以在直角三角形中， 又因为， ， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，因此的最小值为，D正确；故选ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知平面经过点，其法向量为，则点到平面的距离为______． 【答案】 【知识点】求点面距离、空间向量的坐标运算、平面法向量的概念及辨析、点到平面距离的向量求法 【详解】，则点到平面的距离为： ． 13.已知圆：，直线：，点在直线上，若过点存在直线交圆于，两点，使得点为线段的中点，则点的横坐标的取值范围是______． 【答案】 【知识点】圆的弦长与中点弦、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】取中点，根据中位线可得，的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，则为圆与圆的交点，利用圆与圆的位置关系即可求解. 【详解】取中点，因为为线段的中点，所以， 所以的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 设坐标为，可得， 代入化简得的轨迹方程， 过点存在直线交圆于，即圆与圆要有交点，需满足， 代入可得：， 即，解得：. 14.设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线l与双曲线C的左支交于点A，与双曲线C的右支交于点B，点D满足，，则双曲线C的离心率为______. 【答案】/ 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】通过向量条件确定点的位置及垂直关系，结合直线与双曲线联立后的韦达定理，建立、、的关系，进而求得离心率. 【详解】设，，直线的方程为. 设，，由，得为的中点，故. 由，得，即. 因，故，即，化简得. 将，代入上式， 得，解得，则. 将直线与双曲线联立：， 整理得. 由韦达定理，，约去得， 化简得，即，得. 此时，即渐近线的斜率大于直线的斜率， 直线与双曲线左右两支相交，符合题意. 因，代入得，化简得，故离心率. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）圆过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若倾斜角为的直线与圆交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1)；(2)或 【知识点】直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）根据圆心在直线上，设，设圆半径为，根据求解；（2）设直线的方程为，根据△是等腰直角三角形求出，利用求出，再根据求出. 【详解】（1）∵圆心在直线上，设，设圆半径为，则， ∴， ·········································································2分 化简展开得，解得， ···············································································3分 ∴，半径， ·················································5分 ∴圆的方程为：． ···································································6分 （2）∵直线的倾斜角为，∴直线的斜率， 设直线的方程为， ···············································································7分 ∵，则△是等腰直角三角形，∴， ·····································8分 由弦长公式得，解得， ·········································10分 圆心到直线的距离：，解得或 ， ·······················12分 ∴直线的方程为或． ··································································13分 16．（15分）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)见详解；(2) 【知识点】证明线面垂直、求线面角、线面角的向量求法 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明垂直于平面内的两条相交直线与，即可推得结论； （2）建系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量公式计算角度. 【详解】（1）因为平面 ，平面 ，所以， ·······························2分 由底面 是正方形，可得， ·········································································4分 又，且 平面 ， 根据线面垂直的判定定理，可得 平面 ·····························································7分 （2）设， 以为原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则， ·········································································9分 ，，， ····························································10分 设平面的法向量为，则： ，即， 令，得，即平面的一个法向量为 ， ·····························12分 设直线与平面所成角为，则， 因为， ， ， 所以， ··························································································14分 又，所以. ··························································································15分 17．（15分）已知抛物线的焦点为，准线为，直线与，的交点分别为，，且. (1)求； (2)若过点的直线交于，两点，且，求的值. 【答案】(1)2；(2)或. 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数、抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】（1）由抛物线定义可得进而得到为等边三角形，从而求得，结合图形特征及角的正切即可求解； （2）设直线：,联立直线与抛物线可得，则由韦达定理得，，计算弦长代入中即可求得，再列方程结合弦长公式求值. 【详解】（1）由抛物线定义得，又因为， 所以为等边三角形，所以， ·······················································2分 设准线为与x轴交于点，且的纵坐标为， 所以， ·····················································································4分 所以， ···············································································5分 所以； ··············································································································6分 （2）设： ，，， 联立得，， 由韦达定理得，， ···································································8分 所以 ， ···································································9分 所以，所以，则， ···································11分 由韦达定理得，， 所以， ································································································13分 所以，所以，所以或， 所以 或， 所以的值为或. ································································································15分 18．（17分）如图，四边形为矩形，，，，，，将矩形四周的三角形沿该矩形的边向上折起，使，，，四点重合于点P，得到四棱锥．已知． (1)证明：平面． (2)若E为棱上的动点，求异面直线与所成角的余弦值的取值范围． (3)设Q为四棱锥外接球球面上的动点，求G与Q两点之间的距离的最大值． 【答案】(1)见详解；(2)；(3) 【知识点】多面体与球体内切外接问题、线面垂直证明线线垂直、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）利用线线垂直可证平面； （2）过点作，垂足为，过点作，交于点，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，可求得，利用换元法可求得异面直线与所成角的余弦值的取值范围； （3）设四棱锥外接球的球心为，半径为，可得矩形对角线的交点为，可得，计算可求得G与Q两点之间的距离的最大值． 【详解】（1）因为，，所以，． ·····································2分 因为，所以． ·····················································································4分 又，平面，所以平面． ·················································5分 （2）过点作，垂足为，过点作，交于点． 因为平面平面，平面平面， 所以平面． ································································································6分 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示． 在中，， 在中， ，，则，， 所以，． ·····················································································8分 因为，所以点G与点F重合，则． 设，，则． 因为，所以． ·················································9分 令，则． 因为，所以，则， ······················································10分 所以，则所求取值范围为． ······················································11分 （3）设四棱锥外接球的球心为，半径为． 可得矩形对角线的交点为，则底面． ···································12分 设． 由，得，解得， ···································15分 则，． 因为， ····························································16分 所以G与Q两点之间的距离的最大值为． ···············································17分 19．（17分）椭圆分别为的左右焦点，点在上，且轴． (1)求的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点， （ⅰ）若是的中点，求直线的方程； （ⅱ）若是椭圆的右焦点，且，为椭圆的左、右顶点，设和的面积为，当时，求的取值范围. 【答案】(1);(2)（ⅰ）; （ⅱ） . 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】（1）先根据垂直轴的条件得到椭圆半焦距，再结合椭圆中的关系，将已知点坐标代入椭圆标准方程，通过解方程求出，最终确定椭圆的标准方程； （2）(i)先设出直线与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程作差变形，再结合中点坐标公式求出直线斜率，最后利用点斜式即可求出直线方程；(ii)先利用向量共线条件得到两点纵坐标的关系，再根据三角形面积公式，将面积比值转化为含参数 λ 的函数，结合参数的取值范围，利用函数单调性求出面积比值的取值范围. 【详解】（1） 轴， 横坐标与 相同，即 ，， 由椭圆关系：， ·········································································1分 将 代入椭圆方程：，即：， ···········································2分 把 代入：， 整理得：， 即，， ，，， ·········································································4分 椭圆 标准方程：. ···············································································5分 （2）(i)设 ，两点在椭圆上： 则，∴ ， ···································································7分 ， ， 两边同除以 ，记 ： ，， ····················································································9分 ∵直线过 ，∴ 化简得：； ··························································································10分 (ii)由椭圆方程：，，则： 纵坐标 ，则 ，∴， ∴， ， ∵ 以 为底， 纵坐标差为高：∴ ································································································12分 代入 ： ∴，化简：， ∴ ， ····························································14分 函数 在 单调递增， 当：， 当：， ········································································16分 . ····················································································17分 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学·全解全析 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.已知直线x-ay+2a-4=0恒过定点M,则以点M为圆心，半径长为1的圆的方程是() A.(x+4)2+y+2)2=1 B.(x-42+y-2)2=1 C.(x+2)2++1)2=1 D.(x-2)2+y-1)2=1 【答案】B 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【详解】由题意可得，x-ay+2a-4=0→x-a0y-2)-4=0, 所以无论a取多少，当y=2时，x=4, M为(4,2)， 所以，以点M为圆心，半径长为1的圆的方程是(x-4④2+y-2)2=1 2.已知空间直角坐标系中，A(1,0,2),B(2,1,1),平面a的一个法向量为元=（-1,1，V2,则直线AB与平面@ 所成角的正弦值为() A-冷 B.-5 3 C. 【答案】C 【知识点】求线面角、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、线面角的向量求法 【分析】根据直线与平面所成角的向量求法，计算直线AB的方向向量与平面α法向量夹角余弦的绝对值即 可得到结果 【详解】由A(1,0,2),B(2,1,1),得AB=(2-1,1-0,1-2)=(1,1,-1) 线面角的向量计算规则：设直线与平面所成角为0,0E[0,],则s血9=1c0s4B,=d A 所以AB·n=1×(-1)+1×1+(-1)×V2=-V2,故AB·1=V2, 又1AB=√2+12+(-1=V3,=(-1)2+12+(W22=V4=2,因此AB同=V3×2=23, 代入计算得：s血0=是-气因线面角正弦值非负，排除A、8,最终徒C 3.从点P(3,1)射出的光线经x轴反射后到达点Q(0,3),则光线从P到Q所经过的路程为() A.V13 B.V21 C.4 D.5 【答案】D 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点 第1页共16页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】由光的反射原理可知，点P关于x轴的对称点P到点Q的距离即为光线从P到Q所经过的路程 【详解】由光的反射原理可知，可作点P(3,1)关于x轴的对称点P'(3,-1),连接PQ, 则PQ1=√3-0)2+(-1-3)7=√25=5，光线从P到Q所经过的路程为5. 故选：D 4.已知直线：x=-2和圆C:(x-2)+y2=1,动圆M与直线、圆C都相切，则动圆圆心M的轨迹方程为() A.y2=6x-3 B.y2=10x+5 C.y2=10x+5或y2=6x-3 D.y2=2x-3 【答案】c 【知识点】求平面轨迹方程 【分析】利用两圆内切或外切，与直线相切建立等式，化简可得方程， 【详解】设M(x,y),当动圆M与圆C内切时，有√x-2)2+y2+1=x+2,化简得y2=6x-3: 当动圆M与圆C外切时，有， (x-2)2+y2-1=x+2,化简得y2=10x+5. 故选：C 5.在正四面体ABCD中，M,N分别为AB,AD的中点，连接CM,BN,若正四面体的边长为2，则直线CM 与直线BN所成角的余弦值为() 号 C.-g 【答案】D 【知识点】空间向量的坐标表示、异面直线夹角的向量求法 【分析】以正四面体底面中心为原点建系，由边长得到各个顶点的坐标，利用异面直线所成角的向量表示 求解 【详解】以底面△BCD的中心为原点，分别以OD,OA所在直线为，z轴，建立如图空间直角坐标系， B 由正四面体的边长为2，则底面△BCD的外接圆半径0D-×号×2= 则由题意得高40=2-()- 故A(0.0,)B(1.0）c(9,-1,0）D(g,0.0) 第2页共16页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由MN分别为AB、AD的中点，所以M(吾)，同理得N(停0,9 放cW=(停9BN=(9,-19) 设直线CM与BN所成角为0，则cos6= CM-BN 1 ICMIIBNI 6古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质，从椭凤C:号+=1(a>b>0)的一个焦点F1发 出的光线经过椭圆上的P点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点F2,且在P点处的切线垂直于LF1PF2 的平分线.若坐标原点0到切线的距离为，且PFPF2=ab,则C的离心率为() A.5 4 c号 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数 或范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】借助椭圆光学性质以及梯形中位线定理确定焦点三角形中∠F1PF2的大小，结合椭圆定义与余弦定 理建立a,b的等量关系，最终求出椭圆离心率 【详解】记PM是∠F,PF,的平分线，设点P处的切线为直线l,则PM⊥L. 设∠F1PF2=20,则∠F1PM=∠MPF2=6,所以根据椭圆光学性质， 点P处切线与PF1、PF2的夹角均为5-0，即LAPF1=∠BPF2=?-. 过点F1作F1A⊥L,过点F2作F2B1l,过点O作ON1l,则AF1//ON/BF2, 点F1、Fz到切线的距离分别为AFl=|PFlsin(5-0)=IPFlcose0, IBF2I=IPF2lsin (-0=IPF2Icos0. 因为O为F1F2的中点，AF1/ON/BF2,由梯形中位线性质得 原点0到切线的距离为：ION=(PF1cos0+PF2lcos0)=2a·cos6=acos8. 由题知acos0=分，解得cos0=行，即0=于故F,PF2=号 在△FPF2中，由余弦定理得：F1F,P=IPFP+PF2P-2PFPF2lcos号， 结合椭圆定义PF+IPF2l=2a,将右边变形为： 0PFl+PF2l)2-2PFl·IPF2l-2IPFl·IPF2l·(-)=4a2-IPFl IPF2:l, 代入F1F2l=2c,1PFPF2l=ab,得4c2=4a2-ab,整理得ab=4(a2-c2)=4b2,即a=4b. 第3页共16页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 椭圆离心率e=￡ 1-1= 4 7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P是AA1的中点，点M在侧面AA1B1B(含边界)内，若D1M1CP, 则△BCM面积的最小值为() A号 B. c.5 D.8/3 5 【答案】A 【知识点】三角形面积公式及其应用、线面垂直证明线线垂直、求空间向量的数量积、空间位置关系的向 量证明、立体几何中的轨迹问题 【分析】建立空间直角坐标系，设出M点坐标，求出|BM川的最小值，即可得到△BCM面积的最小值， 【详解】以D为原点，分别以DA,DC,DD1所在方向为x,y,z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， ZA D ·M 则P1,0,),C(0,1,0),D1(0,0,1),B(1,1,0),设M(1,a,b)(a,be[0,1), 则DM=(1,a,b-1),CP=(1,-1,) 因为D1M1CP,所以D1:CF=1×1+a×(-1)+b-1)×号-a+=0, 即b=2a-1,由0≤b≤1，即0≤2a-1≤1，得≤a≤1， 因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC⊥侧面AA1B1B,且BC=1, 又因为BM1=√(a-1)2+b2=√(a-1)2+(2a-1)7=V5a2-6a+2= 5(a -)2+ 因为≤a≤1，所以当a=时，BM取到最小值为、后=号 此时△BCM面积取到最小值为×1x号- ,故选A &双曲线C:茶-三-1(a>0,b>0)左、右焦点分别为P,F2,以0，为直径的圆与双曲线C在第一象限交于 点M,直线MF2与双曲线C左支交于点W,IMF1=WF1l,则双曲线C的离心率为() A.V14 B.7 C.V19 D.2V7 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取 值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】利用双曲线定义表示出lMN|,结合等腰三角形性质求出cosLF1MH,然后利用圆的几何性质及余 弦定理建立等式，又利用M,N,F2三点共线，建立等式，联立求解得出离心率. 第4页共16页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】由题意知，双曲线半焦距为c,c2=a2+b2, 设1MF1=lNF=m,则|MF-lMF2l=2a,所以MF2l=m-2a, 又IWF2l-lWFl=2a,所以INF2l=m+2a,所以IMN=lWF2l-lMF2l=(m+2a)-(m-2a)=4a, 因为MF1l=NFl=m,所以△MF1N是等腰三角形， 过F1作F1H1MN于点H,所以IMHl=lMN=3×4a=2a, 在△MF,肿，cos∠FMH=-白 因为M,N,F2三点共线，所以∠F1MH即为LF1MF2,即coszF1MF2= m 因为点M在以OF2为直径的圆上，所以∠OMF2=90°，即MF21OM, 在A0M,中，c0∠MF,F1=- c 在△MF1F2中，由余弦定理得，cos∠MF2E1=w2+I-1=m-2a2+a2-m2=2-am+a 2MF2l-F1F2l 2(m-2a)-2c c(m-2a) 所以_am+a2=m-2,化简整理得，c2=m2-3am+3a2①， c(m-2a) 在△NF1F2中，由余弦定理得，cos∠NF2F1=WF+5W_-m+2@2+o2-m _amta2+c2 2INF2l-IF F2l 2(m+2a)-2c c(m+2a) 因为M,N,F2三点共线，所以∠NF2F1=LMF2F1:即cos∠NF2F1=cos∠MF2F1 所以m+a2+上=m-2a,化简整理得，c2=m2-am-5a2② c(m+2a) 联立①②得，m2-3am+3a2=m2-am-5a2,-2am=-8a2, 因为a>0,所以m=4a,将m=4a代入①式得，c2=(4a)2-3a(4a)+3a2=7a2, 所以双曲线离心率为= 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知直线1过点B(-1,0),与抛物线y2=-4x相交所得弦长为8，则直线1的方程为() A.y=0 B.X=-1 C.y=x+1 D.y=-x-1 【答案】CD 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】本题已知直线与抛物线相交所得弦长，求直线方程，只需联立利用弦长公式进行求解 【详解】当直线1的斜率不存在时，直线：x=-1与抛物线交于(-1，-2)，(-1,2)，弦长为4，不合题意. 第5页共16页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当直线1的斜率存在时，设斜率为k,直线为y=k(x+1),联立 y=kx+1), y2=-4x 消去y,得k2x2+(2k2+4)x+k2=0,x1+X2=- 2k2+4 2,X1x2=1. 弦长为T+×2+-4 k2 =8,解得k2=1,得k=士1， 所以直线1的方程为y=x+1或y=-x-1.故选CD. 10.己知向量a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,2,1),则下列结论正确的是() A.向量与向量的夹角为号 B.1(a-b) c.向量d在向量上的投影向量为万 D.向量与向量a,b共面 【答案】BCD 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、求投影向量、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量的坐标运算、 判定空间向量共面 【分析】对于A选项，根据向量的夹角公式进行求解： 对于B选项，根据向量垂直的判断条件进行求解： 对于C选项，根据投影向量的定义进行求解： 对于D选项，根据向量的共面定理进行求解. 【详解】对于A选项，已知向量a=(1,1,0),b=(0,1,1),元=(1,2,1)， 则a·万=1×0+1×1+0×1=1，=V2+12+02=2,=02+12+1卫=V2, 所以osa=品- 又因为两个向量的夹角取值范围为[0，川，故向量与向量五的夹角为，选项A错误： 对于B选项，已知向量a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,2,1),则a-b=(1,0,-1),c.(a-=1×1+2× 0+1×(-1)=0,故1(G-b,选项B正确： 对于C选项，由选项A的计算结果可知，a石=1，同-同=反，则向量a连向量6上的投影向量为智6-场， 选项C正确： 对于D选项，已知向量a=(1,1,0),万=(0,1,1)，=(1,2,1)，因为a+b=(1,2,1),所以元=a+b,满足共 面向量定理，故向量与向量a,b共面，选项D正确.故选BCD 11椭圆6：号+三=1(a>b>0)且a=2b,上、下顶点为B1,B2,过坐标原点0的直线交E于P,Q两点， 其中P在第一象限，PHIx轴于点H,直线QM交E于点N,交x轴正半轴于点M,△QOM的面积是△POH的 面积的3倍，则() AE的离心率为 B.P,B1,Q,B2四点可能共圆 C.△PQN为直角三角形 D.tan∠PNQ的最小值为 第6页共16页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】ACD 【知识点】三角形面积公式及其应用、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的最值问题 【分析】对A直接由椭圆的几何性质计算可得：对B根据点的对称可知，若四点共圆则圆心必在原点，再 由|OP|>IOB,再结合对称性可知四点不共圆：对C,设P(xo,yo)(xo>0,yo>O),由三角形面积关系得 M(3xo,0),再通过解方程可得N xa(4x6+7y6yo6y-2x】 46+y%’4场+y6 进而可得kpw·kpQ=-1,从而可判断C,再由直角 三角形中边角关系可得am∠PNQ=贸一（停+）由基本不等式可得最小值，可判断D途项 【详解】对选项A,因为椭圆酷+号=1(a>b>0)满足Q=2b,结合椭圆关系a2=2+c2, 代入得：4b2=b2+2,即c=V3b,所以c=亭a,因此离心率e==号选项A正确 2 对选项B,B1(0,b),B2(0,-b),若P,B1,Q,B2四点共圆， 则圆心必在弦B1B2的垂直平分线x轴上，也在弦PQ的垂直平分线上，且PQ的垂直平分线过原点， 因此圆心必在x轴与弦PQ的垂直平分线的交点，即原点0(0,0). 所以圆的半径r=10B1=b,圆的方程为x2+y2=b2 又因为P(xo%)在椭圆三+y2=2上，P(o.)o也在圆x2+y2=bB2上. x6+y6=b2 联立 +y=b2 显然方程组无解，故P(xo,yo)不存在， 4 所以P,B1,Q,B2四点不可能共圆，故B错误。 B H M B2 对选项C,设P(xo,yo)(xo>0,yo>0),由椭圆关于原点对称得Q(-xo,-yo):PH1x轴则H(xo,0) 所以S△P0H=xoy0，由题意S△Q0M=3S△P0H-2xoy0 设M(m,0)(m>0),△Q0M的面积也可表示为S△QoM=m:yal=yo, 所以xoo=myo,得m=3x0:即M(3xo,0). 由a=2b,椭圆方程可写为x2+4y2=4b2, 又因为直线QM过Q(-x0,一yo)和M(3xo.0),斜率w=8二 =0 3x0-（-x0)4x0 直线方程为y=(x-3xo,代入椭圆方程，x2+42(x-3x)=42, 结合6+4奶=4h,得+4院x-3x=号+46，即x-号+4(x-3xo)-4奶=0. 即6c-0c+x0+4x-3--0,即c-o6c+分+-0， 第7页共16页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即c-c+0)+80=0,即6c+xk-x)+6=0, 4xo 即(x+xo) (4x6+y6x-xo(4x6+7y] 4x6 0,即(x+xo)(4x+y)x-xo(4x+7y)]=0, 解得x=-x0或x=o+验 4xo+yo 所以xw=(6+ 46+y6 代入y=c-3xo)得yw=u32,即N(6+通6-2通 4xo 4场+话 4x+y后，4x6+y后 y0(0哈-2x) y0 所以kpN=o监= 4x+y6 =也.+6)-6好-2=业.66 X0一XW 00码+丽 46+(46+70-6=一 4r6什6 又因为kpg=号所以kpw=一2即kpN·kQ=-1,因此PN1P0, 所以△PQN为直角三角形，故C正确. 对选项D,由LNPQ是直角，所以在直角三角形中taniPNQ=P 又因为PQ1=、 (x0-(-xo)2+(y-(-yo)=26+y, PNI=(xo-XN)2+yo-yN) x(4+7y) Yo06-2x) 4x0+yo +yo 4x+y6 () +(》 6xo0场+6 4x+y6 所以tanzPNQ= IPQl 6x0Y0+y3 -(（只+9）×24-专 3x0y0 46+y6 当且仅当=9，即yo=2xo时等号成立，因此tan/PNQ的最小值为，D正确；故选ACD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知平面经过点A(1,0,0),其法向量为n=(1,1,1),则点P(2,1,1)到平面a的距离为 【答案】3 【知识点】求点面距离、空间向量的坐标运算、平面法向量的概念及辨析、点到平面距离的向量求法 【详解】AP=(1,1,1),则点P(2,1,1)到平面a的距离为： d=园=#划-子=V5, √1+1+1 13.已知圆C:(x-2)2+y2=4,直线l:2x+y+2=0,点P在直线上，若过点P存在直线交圆C于M,N 两点，使得点M为线段PN的中点，则点P的横坐标的取值范围是一。 【答案】[兰， 【知识点】圆的弦长与中点弦、由圆的位置关系确定参数或范围 第8页共16页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】取PC中点G,根据中位线可得GM=1,M的轨迹是以G为圆心，1为半径的圆，则M为圆C与圆G 的交点，利用圆与圆的位置关系即可求解 【详解】取PC中点G,因为M为线段PW的中点，所以GM=CW=1, 所以M的轨迹是以G为圆心，1为半径的圆， 设P坐标为o,-2-2),可得G(空，2g产). 代入2xo+y0+2=0化简得G的轨迹方程2x+y-1=0, 过点P存在直线交圆C于M,即圆C与圆G要有交点，需满足r1-r2I≤ICG≤r1+r2, 代入可得：1≤(2-2)°+(2}'≤9， 即1≤x02+0+2≤9，解得：-号≤0≤2 14.设FP,F,分别为双曲线c三-器-1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F,且斜率为的直线1与双曲线C的 左支交于点A,与双曲线C的右支交于点B,点D满足BD=BA,BD·F2D=0,则双曲线C的离心率为 【答案】V压 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】通过向量条件确定点D的位置及垂直关系，结合直线与双曲线联立后的韦达定理，建立α、b、c的 关系，进而求得离心率， 【详解】设F1(-c,0),F2(c,0),直线的方程为y=(x+c), 设4y小，B(x2),由BD=A,得D为AB的中点，故D(,) 由BD.F2D=0,得BD1F2D,即kBD·kF2D=-1. 因kD=k=克故k,0=-2,即 即0-2，化简得+y2=-20x1+为-20 2 将y=1+d),y2=x2+c)代入上式， 得x1++20=-26x1+x2-20),解得x1+=号则y1+2=号 将直线yc+0)与双曲线联立：三-密-1 整理得(4b2-a2)x2-2a2cx-a2c2-4a2b2=0 第9页共16页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由韦达定理，x1十=-各约去c得品管 化简得10a2=24b2-6a2,即16a2=24b2,得2a2=3b2 此时片-治=>分即渐近线y=x的斜率大于直线的斜率， 直线与双曲线左右两支相交，符合题意 因b2=c2-a2,代入得2a2=3(c2-a2),化简得5a2=3c2,故离心率e=￡ 故答案为：四 3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)圆C过点A(1,1),B(2,0),且圆心C在直线x-2y=0上. (1)求圆C的方程： (2)若倾斜角为45的直线与圆C交于D,E两点，且CD1CE,求直线的方程. 【答案】(1(x-2)2+y-1)2=1;(2)x-y=0或x-y-2=0 【知识点】直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、 已知圆的弦长求方程或参数 【分析】(1)根据圆心C在直线x-2y=0上，设C(2t,t),设圆C半径为r,根据|CA=ICB=r求解：(2) 设直线的方程为x-y+b=0,根据△CDE是等腰直角三角形求出|DE=√2，利用1DE=2√r2-d亚求出 d=号再根据d=求出6， 【详解】(1)，圆心C在直线x-2y=0上，设C(2t,t),设圆C半径为r,则CA=ICB=r, .(2t-1)2+(t-1)2=(2t-2)2+t2, ………2分 化简展开得2t=2,解得t=1, 。…3分 ∴C(2,1),半径r=1CA=(2-1)2+(1-1)2=1, …5分 ∴.圆C的方程为：(x-2)2+(-1)2=1. …6分 (2),直线的倾斜角为45，∴.直线的斜率k=1, 设直线的方程为x-y+b=0, …7分 ,CD L CE,则△CDE是等腰直角三角形，∴.DE=V12+1z=√2 …8分 由弦长公式得DE=2VF-正-2V-正-V2,解得d-号 …10分 第10页共16页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 圆心C(2,1)到直线的距离：d=2-+=+=,解得b=0或b=-2, V2-V2-2 …12分 .直线的方程为x-y=0或x-y-2=0. …13分 E 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA1平面ABCD,底面ABCD是正方形，且PA=AB, D (1)证明：AB1平面PAD: (2)求直线PD与平面PAC所成角的大小. 【答案】()见详解：2 【知识点】证明线面垂直、求线面角、线面角的向量求法 【分析】(1)利用线面垂直的判定定理，证明AB垂直于平面PAD内的两条相交直线PA与AD,即可推得结论； (2)建系，求出直线PD的方向向量和平面PAC的法向量，利用线面角的向量公式计算角度 【详解】(1)因为PAI平面ABCD,ABC平面ABCD,所以PA L AB, 2分 由底面ABCD是正方形，可得AB⊥AD, …4分 又PA∩AD=A,且PA,ADC平面PAD, 根据线面垂直的判定定理，可得ABI平面PAD …7分 (2)设PA=AB=1, 以A为原点，分别以AB、AD、AP的方向为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0),P(0,0,1),D(0,1,0),C(11,0): ……9分 PD=(0,1,-1),AP=(0,0,1),AC=(1,1,0) …10分 设平面P4C的法向量为京=么动.则：·-0千P0 Z=0 n·AC=0 令x=1,得y=-1,z=0,即平面PAC的一个法向量为n=(1,-1,0), …12分 PD-n 设直线PD与平面PAC所成角为6，则sin6 因为PD,=10×1+1×(-1)+(-1)×01=1, 第11页共16页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P0l-02+12+(-12=2, 同=12+(-12+02=2， 所以sn0==去 …14分 又0e[o,月，所以0=君 15分 ZA BI- 17.(15分)己知抛物线C:y2=2px(>0)的焦点为F,准线为l,直线y=2V3与l,C的交点分别为P,Q, 且IFPI=IFQL. (1)求p: (2)若过点D(4,0)的直线m交C于A,B两点，且IAD·BD1=24,求D的值. 【答案】(12：(2域2 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数、抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦 点或准线 【分析】(1)由抛物线定义可得QP川=IFQ进而得到△PQF为等边三角形，从而求得LPF0=∠QPF=号 结合图形特征及角的正切即可求解p: (2)设直线m:x=ty+4,联立直线与抛物线可得y2-4ty-16=0,则由韦达定理得y⅓+y4=±2V2, yy4=-16,计算弦长代入AD01·BD川=24中即可求得t=±号再列方程结合弦长公式求值。 【详解】(1)由抛物线定义得引QPI=IFQl,又因为FPI=FQI, 所以△PQF为等边三角形，所以∠PF0=∠QPF= …2分 设准线为与x轴交于点N(-,O ,且P的纵坐标为2V3, 所以IPN|=2V3,IFN=p, …4分 所以tan∠PF0=tan5=2y3=V5, p …5分 所以p=2: …6分 第12页共16页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 YA (2)设m:x=ty+4,A(x3,y3),B(x4y4, 民立4-y16=0, 由韦达定理得y3+y4=4t,y3y4=-16, …8分 所以ADl=√1+t2y3l,IBDl=V1+t2y4, …9分 所以AD:BD1=1+tx161=24,所以2=多则t=±号 …11分 由韦达定理得y3+y4=±2V2,y3y4=-16, 所以0+4)2 y3y4 - …I3分 所以婴+兴+2=一克所以(+月)+1=0，所以竖一找竖-2， y43 y42y4 所以的值为或2. ……15分 CBDI 18.(17分)如图，四边形ABCD为矩形，AP2⊥AB,DP41CD,AB=2,DP4=2V2,BC=BP2=3,将 矩形ABCD四周的三角形沿该矩形的边向上折起，使P1,P2,P3,P4四点重合于点P,得到四棱锥P-ABCD.己 知BC=BC. P B P: G (1)证明：ABI平面PAD (2)若E为棱CD上的动点，求异面直线AG与PE所成角的余弦值的取值范围. (3)设Q为四棱锥P一ABCD外接球球面上的动点，求G与Q两点之间的距离的最大值. 【容案】见详解：2僵得，严 【知识点】多面体与球体内切外接问题、线面垂直证明线线垂直、异面直线夹角的向量求法 【分析】(1)利用线线垂直可证ABI平面PAD: (2)过点P作PO1AD,垂足为O,过点O作OF//AB,交BC于点F,以O为坐标原点，OF,OD,OP所在直 第13页共16页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设E以，20)，可求得|os(PE,AG=+2 2+85 利用换元法可 求得异面直线AG与PE所成角的余弦值的取值范围： (3)设四棱锥P-ABCD外接球的球心为02，半径为R,可得矩形ABCD对角线的交点为01(1，，0)可得 1++m2= 1++m-2)2,计算可求得G与0两点之间的距离的最大值. 【详解】(1)因为AP21AB,DP41CD,所以AB1PA,CD1PD ………2分 因为AB/CD,所以AB1PD …4分 又PA∩PD=P,PA,PDc平面PAD,所以AB⊥平面PAD: …5分 (2)过点P作PO⊥AD,垂足为O,过点O作OF/AB,交BC于点F. ZA B 因为平面PADI平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以P0I平面ABCD. 6分 以0为坐标原点，OF,OD,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示 在△PAB中，PA=V32-27=V5 在PAD中，P02+A02=5,P02+(3-A0)2=8,则A0=1,P0=0D=2, 所以P(0,0,2),A(0,-1,0) 。。。。。。。。。。。。。。。 …8分 因为c引BC=1,所以点G与点F重合，则c(20,0). 设E(儿，2,0)，0≤1≤2，则PE=(1,2,-2) 因为AG=（21,0),所以川cos(PE,AG= PE.AG 21+2 …9分 √2+8V5 令1+1=te1,3引，则2a+2 2 t 2 1 7a2+85-店'7e-+8 因为1≤t≤3，所以本1，则1-+c售8 …10分 所以21+2 TV10V15 √2+8V5 105 则所求取值范国为侣，写 …11分 (3)设四棱锥P-ABCD外接球的球心为O2,半径为R 可得矩形ABCD对角线的交点为01(1,2,0)，则01021底面ABCD, …12分 设02(1.5m） 第14页共16页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由02A=02P,得1++m2= 1++(m-22,解得m= …15分 则0，(1》R=04=受 因为06=√2-12+(0-)°+(0-)}-9 16分 所以G与0两点之间的距离的最大值为02G+R=5+国 …17分 19.(17分)椭圆C:三+=1(a>b>0),F,F2分别为C的左右焦点，点MN3,)在C上，且MF,1x轴， (1)求C的标准方程： (2)过点N的直线与椭圆C交于P,Q两点， (i)若N(L,月是PQ的中点，求直线PQ的方程； (ii)若N是椭圆C的右焦点F2,且PN=NO,A,B为椭圆的左、右顶点，设△APB和△PBQ的面积为S1,S2, 当乳∈[1,3]时，求的取值范围. 【答案】片+y2-12(i)x+2y-2=0:(i)号e4+286+3同. 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数 或范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】(1)先根据垂直x轴的条件得到椭圆半焦距，再结合椭圆中α，b,c的关系，将己知点坐标代入椭圆标 准方程，通过解方程求出α2，b,最终确定椭圆的标准方程： (2)()先设出直线与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程作差变形，再结合中点坐标公式求出直线斜率，最后 利用点斜式即可求出直线方程：()先利用向量共线条件得到两点纵坐标的关系，再根据三角形面积公式， 将面积比值转化为含参数入的函数，结合参数的取值范围，利用函数单调性求出面积比值的取值范围. 【详解】(1)MF2⊥x轴，-F2横坐标与M相同，即c=V3,F2(3,0), 由椭圆关系：a2=b2+c2=b2+3, …I分 将从6)代入桶方程：受+食=1，即：是+壶-1 3 …2分 把a2=2+3代入：4+=1， 整理得：12b2+b2+3=4b2(b2+3), 即4b4-b2-3=0,÷(462+3)b2-1)=0, b2>0,∴b2=1,a2=1+3=4, ……4分 “椭圆C标准方程：+y=1 …5分 (2)()设P(x1,y1),Q(x2,y2),两点在椭圆上： +1=1，“过+听-疗=0 则{ …7分 +=1“ 4 第15页共16页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =2+2+y1-2)0y1+2)=0, 4 x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×5=1, 两边同除以x-x2,记kpQ=兰 x1-x2 +kp01=0,kpo=- 1 …9分 :直线过(1)y---) 化简得：x+2y-2=0: …10分 (i由椭圆方程：A(-2,0),B(2,0),PN=1N0,则：N-P=(Q-N) N纵坐标yN=0,则0-yp=1y0-0),yp=-yQ S1=S△APg=lAB·bynl=×4bypl=2Iypl, S2=S△PBQ: △PBQ以BF2为底，P,Q纵坐标差为高：S2=1BFyp-yQl,IBF2l=2-3: 多=2-w0 2lypl 12分 52 yp =-Ayo:lypl alyol,lyp -yol =I-aye -yol =(a+1)lyol * 2.alyol 4 化简：=2+8， 1 ·是=42+5)品=8+4同)(1-) …14分 函数f0)=在在1[1,3]单调递增。 当A=1:号=8+4W同4+23， 当2=3：-(8+4W3)·是=6+33， …16分 毫e4+25,6+3同 ……17分 B 第16页共16页命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C A W 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 10 11 CD BCD ACD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.3 13.,2 14.ys 3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【详解】(1)，圆心C在直线x-2y=0上，设C(2t,t),设圆C半径为r,则CA=|CB=r, ∴.(2t-1)2+(t-1)2=(2t-2)2+t2, …2分 化简展开得2t=2,解得t=1, …3分 ∴.C(2,1),半径r=1cA=(2-1)2+(1-1)2=1 …5分 .圆C的方程为：(x-2)2+0y-1)2=1. …6分 (2),直线的倾斜角为45°，∴.直线的斜率k=1, 设直线的方程为x-y+b=0, …7分 ,CD1CE,则△CDE是等腰直角三角形，∴.DE=V12+1=√2， ……8分 由弦长公式得D=2v-亚=2V1-正=V2,解得d-号 …10分 圆心c(2,1)到直线的距离：d==#=生=，解得b=0或b=-2, …12分 ,直线的方程为x-y=0或x-y-2=0. …l3分 第1页共5页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D 16.（15分) 【详解】(1)因为PA1平面ABCD,ABC平面ABCD,所以PA L AB, 2分 由底面ABCD是正方形，可得AB1AD: …4分 又PA∩AD=A,且PA,ADC平面PAD, 根据线面垂直的判定定理，可得ABI平面PAD …7分 (2)设PA=AB=1, 以A为原点，分别以AB、AD、AP的方向为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0),P(0,0,1),D(0,1,0),C(1,1,0), …9分 PD=(0,1,-1),AP=(0,01),AC=(1,1,0), …l0分 设平面PAC的法向量为n=(x,y,z),则： Ap=0,即x千y=0 2=0 n·AC=0 令x=1,得y=-1,z=0,即平面PAC的一个法向量为n=(1,-1,0), …12分 PD. 设直线PD与平面PAC所成角为0，则sin6= Po阿 因为PD.=10×1+1×(-1)+(-1)×01=1, lP0l-J02+12+(-1)2=V2, =12+(-12+02=V2, 所以sin6=万= ·14分 又8e[o,引所以0=君 …15分 ZA A 5---- 17.(15分) 【详解】(1)由抛物线定义得1QP=IFQl,又因为FPI=IFQ, 第2页共5页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以△PQF为等边三角形，所以LPF0=∠QPF= …2分 设准线为与x轴交于点N(-,0 ,且P的纵坐标为23， 所以IPW|=2V3,IFW|=p, …4分 =25=V5 所以tanLPF0=tan写= 。。。。。。。 …5分 所以p=2; …6分 (2)设m:x=ty+4,A(x3,y3),B(x4y4) 联立得y24比 x=ty+4'y2-4y-16=0, 由韦达定理得y3+y4=4t,yy4=-16, 8分 所以ADI=V1+tIy3l,lBD|=V1+t2y4l, …9分 所以AD1,1BD1=(1+2)×116=24,所以2=方则t=±号 …11分 由韦达定理得y3+y4=士22，y3y4=-16, 所以3+)2 …13分 y3y4 所以2++2=子所以(+() +1=0,所以=-或类=-2， y4 y42y4 所以品-时-片或品--2， 所以的值为或2 15分 18.(17分) 【详解】(1)因为AP21AB,DP41CD,所以AB1PA,CD1PD. …2分 因为AB/CD,所以AB1PD. …4分 又PAOPD=P,PA,PDC平面PAD,所以AB⊥平面PAD. …5分 (2)过点P作PO1AD,垂足为O,过点O作OF/AB,交BC于点F. F(G) 第3页共5页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为平面PADI平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以PO⊥平面ABCD, 6分 以O为坐标原点，OF,OD,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 在△PAB中，PA=V32-22=V5, 在PAD中，P02+A02=5,P02+(3-A0)2=8,则A0=1,P0=0D=2, 所以P(0,0,2),A(0,-1,0) …8分 因为C引8C=1,所以点G与点F重合，则c(2,00). 设E(1,2,0),0≤1≤2，则P元=(0,2，-2) 因为AG=(2,1,0),所以cos(PE,AGl= PE.AG 21+2 PAG√2+8V51 …9分 令1+1=t∈[1,3]，则2+2 2 V2+8V5-店'c-1)2+8- 店- 因为1≤t≤3，所以≤1，则1-+∈[信8， …10分 所以5悟胃则所求取值范国为悟，得 …11分 (3)设四棱锥P一ABCD外接球的球心为O2,半径为R 可得矩形ABCD对角线的交点为01(1，，0)，则01021底面ABCD. …12分 设02(1，m) 由02A=02P, 得1+程+m2 1+4+(0m-2)2,解得m= …15分 则0，(，5》R=0,A-9 因为0,6=2-12+(0-)+(0-)=， …l6分 所以G与0两点之间的距离的最大值为02G+R=6+ …17分 19.(17分) 【详解】(1)MF2⊥x轴，F2横坐标与M相同，即c=V3,F2(W3,0), 由椭圆关系：a2=b2+c2=b2+3, …l分 将Ma)代入箱颜方程：g+但1，：是十京1， a2+ …2分 把2=b2+3代入：+点=1， 整理得：12b2+b2+3=4b2(b2+3), 即4b4-b2-3=0,(462+3)(b2-1)=0, b2>0,b2=1,a2=1+3=4, …4分 椭圆C标准方程：兰+2=1. …5分 第4页共5页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)(0设P(x1,y1),Q(x2,y2),两点在椭圆上： 则厚+= 号递+y-y=0, …7分 里+呢=1 4 :1-2t2+01-y2)0y1+y2)=0, x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×号=1， 两边同除以1一红，记k0=器 4+kp01=0,kp0=- …9分 :直线过N(1,)y-=-x-1) 化简得：x+2y-2=0: 10分 (i)由椭圆方程：A(-2,0),B(2,0), PN=N0,则：N-P=(Q- N纵坐标ywN=0,则0-yp=yQ-0),∴yr=-yQ; S1=SAAPB=lAB·bypl=2×4ypl=2Iypl, S2=S△PBQ, ·△PBQ以BF2为底，P,Q纵坐标差为高： S2=BF2l lyp-yol,IBF2l=2-V3: 小是w网 2lypl 。。。。。。。。。。 …12分 yp =Aye:lypl alyol,lyp -yol =I-lye-yol (a+1)lyol 是wa-成可 2.ayol 化简：=2+V5, ·是=42+同点=8+4同)(1-) …14分 函数f0)-产在1E[1,3)单调递增， 当A=1:是=(8+4⑤)4+25， 当1=3：号=(8+4W)是6+33， …16分 e[4+2W5,6+3同. 17分 第5页共5页………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版（2019）选择性必修第一册第1章~第2章。 5．难度系数：0.7 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知直线恒过定点，则以点为圆心，半径长为1的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 2.已知空间直角坐标系中，，，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 3.从点射出的光线经轴反射后到达点，则光线从到所经过的路程为（   ） A． B． C．4 D．5 4.已知直线和圆，动圆与直线、圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D． 5.在正四面体ABCD中，M，N分别为AB，AD的中点，连接CM，BN，若正四面体的边长为2，则直线CM与直线BN所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6.古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于的平分线．若坐标原点到切线的距离为，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 7.已知正方体的棱长为，是的中点，点在侧面（含边界）内，若，则面积的最小值为（     ） A． B． C． D． 8.双曲线左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，直线与双曲线左支交于点，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知直线l过点，与抛物线相交所得弦长为8，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 10.已知向量，，，则下列结论正确的是（   ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量，共面 11.椭圆：（）且，上、下顶点为，，过坐标原点的直线交于，两点，其中在第一象限，轴于点，直线交于点，交轴正半轴于点，的面积是的面积的倍，则（    ） A．的离心率为 B．，，，四点可能共圆 C．为直角三角形 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知平面经过点，其法向量为，则点到平面的距离为______． 13.已知圆：，直线：，点在直线上，若过点存在直线交圆于，两点，使得点为线段的中点，则点的横坐标的取值范围是______． 14.设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线l与双曲线C的左支交于点A，与双曲线C的右支交于点B，点D满足，，则双曲线C的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）圆过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若倾斜角为的直线与圆交于两点，且，求直线的方程． 16．（15分）如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 17．（15分）已知抛物线的焦点为，准线为，直线与，的交点分别为，，且. (1)求； (2)若过点的直线交于，两点，且，求的值. 18．（17分）如图，四边形为矩形，，，，，，将矩形四周的三角形沿该矩形的边向上折起，使，，，四点重合于点P，得到四棱锥．已知． (1)证明：平面． (2)若E为棱上的动点，求异面直线与所成角的余弦值的取值范围． (3)设Q为四棱锥外接球球面上的动点，求G与Q两点之间的距离的最大值． 19．（17分）椭圆分别为的左右焦点，点在上，且轴． (1)求的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点， （ⅰ）若是的中点，求直线的方程； （ⅱ）若是椭圆的右焦点，且，为椭圆的左、右顶点，设和的面积为，当时，求的取值范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $: : 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) ! 注意事项： : 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教B版（2019)选择性必修第一册第1章~第2章。 5.难度系数：0.7 : 第一部分（选择题共58分） : 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 : 求的 1.己知直线x-ay+2a-4=0恒过定点M,则以点M为圆心，半径长为1的圆的方程是() .: A.(x+4)2+y+2)2=1 B.(x-492+(y-2)2=1 ·: : C.(x+2)2+y+1)2=1 D.(x-2)2+0y-1)2=1 2.己知空间直角坐标系中，A(1,0,2),B(2,1,1),平面a的一个法向量为元=（-1,1，V2,则直线AB与平面所 成角的正弦值为() A.-6 6 B.-6 3 c.9 . O 3.从点P(3,1)射出的光线经x轴反射后到达点Q(0,3),则光线从P到Q所经过的路程为() A.V13 B.V21 C.4 D.5 : 4.已知直线：x=一2和圆C:(x-2)2+y2=1,动圆M与直线L、圆C都相切，则动圆圆心M的轨迹方程为() A.y2=6x-3 B.y2=10x+5 C.y2=10x+5或y2=6x-3 D.y2=2x-3 : : 5.在正四面体ABCD中，M,N分别为AB,AD的中点，连接CM,BN,若正四面体的边长为2，则直线CM .: 与直线BN所成角的余弦值为() : : A.5 6 B.2 c.-8 0.8 6古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质，从椭圆C:号+三=1(Q>D>0)的一个焦点r1发 出的光线经过椭圆上的P点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点F2,且在P点处的切线垂直于LF1PF2 的平分线.若坐标原点0到切线的距离为号，且IPF1HPF2l=ab,则C的离心率为( ) A. 4 B. c号 o.日 : 7.己知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P是AA1的中点，点M在侧面AA1B1B(含边界)内，若D1M1CP, 则△BCM面积的最小值为() : A. c.5 D. 8v5 10 5 试题第1页（共4页) : : 6学科网·上好课 &双曲线C:兰若=1a>0,b>0)左、右焦点分别为F,F,以0F,为直径的圆与双曲线C在第一象限交于 点M,直线MF2与双曲线C左支交于点N,IMFl=INF1,则双曲线C的离心率为() A.14 B.7 c.v19 D.2W7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知直线1过点B(-1,0),与抛物线y2=-4x相交所得弦长为8，则直线1的方程为() A.y=0 B.x=-1 C.y=x+1 D.y=-x-1 10.已知向量a=(1,1,0),b=(0,1,1),元=(1,2,1)，则下列结论正确的是（) A.向量与向量的夹角为磐 B.L(a-b) C.向量a在向量五上的投影向量为b D.向量与向量a,b共面 1,椭圆E:三+岁-1(a>b>0)且a=2b,上、下顶点为84：B:过坐标原点0的直线交6于P,Q两点， 其中P在第一象限，PH1x轴于点H,直线QM交E于点N,交x轴正半轴于点M,△QOM的面积是△POH的面 积的3倍，则() A.E的离心率为9 B.P,B1,Q,B2四点可能共圆 C.△PQN为直角三角形 D.tan_PNQ的最小值为 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面α经过点A(1,0,0),其法向量为元=(1,1,1)，则点P(2,1,1)到平面a的距离为 13.已知圆C:(x-2)2+y2=4,直线L:2x+y+2=0,点P在直线l上，若过点P存在直线交圆C于M,N 两点，使得点M为线段PN的中点，则点P的横坐标的取值范围是 14.设F1,F2分别为双曲线C三-器=1(Q>0,b>0)的左、右焦点，过F1且斜率为的直线1与双曲线C的左 支交于点A,与双曲线C的右支交于点B,点D满足BD=BA,BD·F2D=0,则双曲线C的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)圆C过点A(1,1),B(2,0),且圆心C在直线x-2y=0上. (1)求圆C的方程； (2)若倾斜角为45的直线与圆C交于D,E两点，且CD1CE,求直线的方程. 试题第2页（共4页） 6学科网·上好课 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA1平面ABCD,底面ABCD是正方形，且PA=AB. (1)证明：AB1平面PAD: (2)求直线PD与平面PAC所成角的大小. 17.(15分)己知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,直线y=2V3与l,C的交点分别为P,Q, 且IFPI=IFQL. (1)求p: (2若过点D(40)的直线m交C于A,B两点，且AD1·BD1=24,求0的值， 18.(17分)如图，四边形ABCD为矩形，AP21AB,DP4⊥CD,AB=2,DP4=2V2,BC=BP2=3,将 矩形ABCD四周的三角形沿该矩形的边向上折起，使P1,P2,P3,P4四点重合于点P,得到四棱锥P一ABCD.己 知BG=BC. (1)证明：AB1平面PAD. (2)若E为棱CD上的动点，求异面直线AG与PE所成角的余弦值的取值范围， (3)设Q为四棱锥P一ABCD外接球球面上的动点，求G与Q两点之间的距离的最大值. D B G 试题第3页（共4页） 19.(17分)椭圆C等+茶-1(a>b>0),F,F分别为C的左右焦点，点M(3,)在C上，且MF,1x轴. (1)求C的标准方程： (2)过点N的直线与椭圆C交于P,Q两点， (i)若N(1,)是PQ的中点，求直线PQ的方程： (i)若N是椭圆C的右焦点F2,且PN=NQ,A,B为椭圆的左、右顶点，设△APB和△PBQ的面积为S1,S2, : 卡 张 河 当λ∈[1,3]时，求2的取值范围。 52 游 封 些 试题第4页（共4页）命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教B版（2019)选择性必修第一册第1章~第2章。 5.难度系数：0.7 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.已知直线x-y+2a-4=0恒过定点M,则以点M为圆心，半径长为1的圆的方程是() A.(x+4)2+y+2)2=1 B.(x-42+0y-2)2=1 C.(x+2)2+(y+1)2=1 D.(x-2)2+(y-1)2=1 2.已知空间直角坐标系中，A(1,0,2),B(2,1,1),平面a的一个法向量为7=（-1,1，√2，则直线AB与平面a 所成角的正弦值为() A-号 8.-9 C. .9 3.从点P(3,1)射出的光线经x轴反射后到达点Q(0,3),则光线从P到Q所经过的路程为() A.√13 B.V21 C.4 D.5 4.已知直线：x=-2和圆C:(x-2)2+y2=1,动圆M与直线l、圆C都相切，则动圆圆心M的轨迹方程为() A.y2=6x-3 B.y2=10x+5 C.y2=10x+5或y2=6x-3 D.y2=2x-3 5.在正四面体ABCD中，M,N分别为AB,AD的中点，连接CM,BN,若正四面体的边长为2，则直线CM 与直线BN所成角的余弦值为() A. B.品 c.- D.8 6古希腊数学家在研究圆雏曲线时发现了椭圆的光学性质，从椭圆C号+三=1(a>b>0)的一个焦点F1发 出的光线经过椭圆上的P点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点F2,且在P点处的切线垂直于LF1PF2 的平分线.若坐标原点0到切线的距离为，且IPFIPF2l=ab,则C的离心率为( A四 B. c.号 0.日 7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P是AA1的中点，点M在侧面AA1B1B(含边界)内，若D1M1CP, 则△BCM面积的最小值为() 第1页共4页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A治 8 C.V5 D.8/5 5 8双曲线C:兰-=1(a>0,b>0)左、右焦点分别为P,F2,以0F,为直径的圆与双曲线c在第一象限交于 点M,直线MF2与双曲线C左支交于点N,IMF1l=NF1,则双曲线C的离心率为() A.V14 B.V万 c.19 D.2W7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知直线1过点B(-1,0),与抛物线y2=-4x相交所得弦长为8，则直线1的方程为（) A.y=0 B.X=-1 C.y=x+1 D.y=-x-1 10.已知向量a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,2,1),则下列结论正确的是() A.向量a与向量的夹角为号 B.L(a-b) c.向量在向量五上的投影向量为 D.向量与向量a,b共面 1.椭圆6：等+茶=1(a>b>0)且a=2b,上、下顶点为B1,B2,过坐标原点0的直线交E于P,Q两点， 其中P在第一象限，PH1x轴于点H,直线QM交E于点N,交x轴正半轴于点M,△QOM的面积是△POH的 面积的3倍，则() AB的离心率为9 B.P,B1,Q,B2四点可能共圆 C.△PQN为直角三角形 D.tan/PNQ的最小值为 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面a经过点A(1,0,0),其法向量为元=(1,1,1)，则点P(2,1,1)到平面a的距离为 13.已知圆C:(x-2)2+y2=4,直线l:2x+y+2=0,点P在直线l上，若过点P存在直线交圆C于M,W 两点，使得点M为线段PN的中点，则点P的横坐标的取值范围是 14.设r1,F,分别为双曲线c:器-器=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1且斜率为的直线1与双曲线C的 左支交于点A,与双曲线C的右支交于点B,点D满足BD=BA,BD.F2D=0,则双曲线C的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)圆C过点A(1,1),B(2,0),且圆心C在直线x-2y=0上. (1)求圆C的方程： (2)若倾斜角为45的直线l与圆C交于D,E两点，且CD1CE,求直线的方程. 第2页共4页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PAI平面ABCD,底面ABCD是正方形，且PA=AB, (1)证明：AB1平面PAD: (2)求直线PD与平面PAC所成角的大小. 17.(15分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,直线y=2V3与l,C的交点分别为P,Q, 且IFPI=IFQ. (1)求p: (2)若过点D(4,0)的直线m交C于A,B两点，且IAD·|BD1=24,求D的值 IBDl 18.(17分)如图，四边形ABCD为矩形，AP2⊥AB,DP41CD,AB=2,DP4=2V2,BC=BP2=3,将 矩形ABCD四周的三角形沿该矩形的边向上折起，使P1,P2,P3,P4四点重合于点P,得到四棱锥P-ABCD.己 知BC-BC (1)证明：AB1平面PAD (2)若E为棱CD上的动点，求异面直线AG与PE所成角的余弦值的取值范围. (3)设Q为四棱锥P一ABCD外接球球面上的动点，求G与Q两点之间的距离的最大值. P P B B G 第3页共4页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(17分)椭圆C:等+兰=1a>b>0),F,F2分别为C的左右焦点，点M(W3,在C上，且M,1x轴. (1)求C的标准方程： (2)过点N的直线与椭圆C交于P,Q两点， (1)若N(1,)是PQ的中点，求直线PQ的方程； (ii)若N是椭圆C的右焦点F2,且P=1NQ,A,B为椭圆的左、右顶点，设△APB和△PBQ的面积为S1,S2, 当孔∈[1,3]时，求的取值范围 第4页共4页