第28章 解直角三角形 重点强化练习 2025--2026学年人教版九年级数学下册

第28章锐角三角函数 重点强化1三角函数（一）内构双直角三角形 图形 方法：解锐角三角形，常作高，构造两个直角三角形求解 类型一已知两边及夹角 1.如图，在△ABC中，CA=CB,cosC=,则sinB的值为 类型二己知两角一边 2如图，在△ABC中，∠B=30°cosC=寻，AC=10,则BC的长为 类型三已知三边 3.如图，在△ABC中，AB=5,AC=6,BC=7,求cosB的值. 类型四已知两角 4.如图，在△ABC中，tanB=等，∠C=45求an∠BAC的值， 类型五网格与面积法 5.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的每个顶点都在网格的交点处，求 sin∠BAC的值. 重点强化2三角函数（二）外构双直角三角形 图形 方法：解钝角三角形，常向形外作 高，构造两个直角三角形求解。 1.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=10,AC=5,求sin∠ACB的值， 120 2.如图，在△ABC中，∠ABC-135,AB=2,BC-=3V2,求tan∠ACB和sin∠BAC的值， 135 3如图，在△ABC中，∠ABC=150?tanA=青，求是的值 1500 B 4如图，在△ABC中，∠ACB=90,点D在AB的延长线上，若AB=2BD,tan∠BCD=号，求 能的值 重点强化3三角函数（三分类讨论 图形 方法：己知两边及其中一边的对角解三角形，常 常需要分类讨论 1.在△ABC中，若AC=V3AB,∠C=30°则∠ABC的度数为 2在△ABC中，AB=12反，AC=18cosB=号，则BC边的长为一 3.在△ABC中，AB=AC=6,△ABC的面积为9，则∠BAC的度数为 4.在△ABC中，AB=10,AC=2V7,simB=克，求△ABC的面积 5在△ABC中，snC-号，且2AC=V6AB,求∠BAC的度数 重点强化4三角函数（四）等角转换 类型一同角（等角）的余角相等 1.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E在CD上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在 BC边上的点F处，则cos∠CEF的值为 类型二同角（等）的补角相等 2.如图，在正方形纸片ABCD中，E是AB的中点，将正方形纸片沿CE折叠，点B落在 点P处，延长CP交AD于点Q,则sin∠AEP的值为 类型三同弧（等弧）所对圆周角（圆心角）相等 3如图，在⊙O的内接△ABC中，BDLAC于点D.若AB=2tan∠CBD=,则⊙0的半径 为一 D 类型四等量代换 4.如图，在Rt△ABC中 AC=BC=32,∠ACB=90?,点MN在边AB上若 tanBCN= 且∠MCN=45°，则AM的长为 3 类型五平移得等角 5.如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A,B,C,D都在格点处，AB 与CD相交于点P,则cos∠APC的值为一 重点强化5三角函数（五隐直角 类型一对角线隐直角 1如图，在菱形ABCD中，AB=2√5，AC=4,点E在边AD上，且AE=吉AD,连接BE交 AC于点M,求tan∠AME的值 类型二角度关系隐直角 2如图，在四边形ABCD中，tanA=与，∠B=120,∠C=150,AB=4CD=V5,求EC 的长 类型三线段关系隐直角 3如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接ED交AC于点F若sin∠ACB=与，求 5 tan∠CFD的值 类型四“格点”图形隐直角 4.如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格线的交点（格点）处，将△ABC绕点A逆时针 旋转得到△AB'C,若A,C,B'三点共线，则tan∠BCB的值为一 重点强化1三角函数（一）内构双直角三角形 1四285+6 3.解：过点A作AD1BC于点D. 设BD=x,则CD=7-X AB2-BD2=AC2-CD2=AD2 :52-x2=62-(7-x)2 “x=9, c0sB=器=器 4.解：过点A作AD1BC于点D,过点B作BE⊥AC于点E. :tan∠ABC=3,∠C=45 :器-导，AD-DC,BE=CE,设AD4t,则BD-3CD4t,AC=V2AD=42t .BC-BD+CD=3t+4t=7t AB=AC-CB=4N5t.29t=号： atan∠BAC=瞿=7. 5.解：过点C作CELAB于点E 由勾股定理，得AB=AC=2V5,S△ABC-6, 由AB,CB=6得CB=5,sin∠BAC=是=是 5 重点强化2三角函数（二）外构双直角三角形 1解过点B作BD1AC于点D,sin∠DAB=sin60°=器， BD=号AB=55, AD=AB=5,CD=10, :BC=VBD2+CD2=5万， snAC8=器--年 5 7 2解过点A作ADIBC于点D,则AD=BD=号AB=V反，：CD=4反， a2Ac8=3=是=克 过点C作CE⊥AB于点E, 则8B=CB-号8C=3, AC=AE2+CE2=34 s血<8AC=是=房= 3.解：过点C作CDLAB于点D ∠ABC=150°， ∠CBD=30° 器=sin30°= 设CD-a,则BC-2a,BD=V3a, :tanA=器= ∴AD=5CD=5a, ÷AB=AD-BD=(5-V5)a “器- 4.解：过点D作DMLBC,交CB的延长线于点M :∠ACB=∠DMB=90°，即ACIIDM, 器=器=器 AB=2BD, “器=器=器= 即AC=2DM,BC=号CM. 在Rt△CDM中，tan∠MCD=器=寻 ∴设DM=2k,即CM=3k, ..AC=2DM=4k, BC=号CM=2k ∴能=紫=2 重点强化3三角函数（三分类讨论 1.60°或120° 2.7或17 3.30°或150 4.解：过点A作AD1BC于点D, sinB= ∠B=30°， AD=AB=5, BD=ABo930°=10×号-55，CD=Ac2-AD2=V5 ①如图1，当点D在边BC上时， 图1 BC=BD+CD=63, :S△ABc=BCAD=15V3; ②如图2，当点D在边BC的延长线上时， 图2 BC=BD-CD=43, :S△ABc=BCAD=10W5 故S4Bc=15V3或10V5 5.解：过点A作AH1BC于点H 设AC=V6a 则48=后Ac=2阳 :sinc= 2 C=45,AH-AC:sinC=3a. “在Rt△ABH中，sn∠ABH=4盟 AB ==5 2 .∠ABH=-60° ①当点H在边CB上时（如图1）， 图1 ∠BAC=180°-（∠ABH+∠C)=75: ②当点H在边CB延长线上时（如图2）， 图2 ∠BAC=∠ABH-∠C=15 综上，∠BAC的度数为75或15° 重点强化4三角函数（四等角转换 1.V74解：由折叠知AF=AD=BC=8,:BF=VAF2-AB2=2N7,可证∠CEF=∠AFB, cos∠CBF=cos∠AFB=黑=号 4 2.号解：连接EQ.由折叠的性质可证△AEQ兰△PEQL), AQ=PQ iAD=CD=BC=CP=1,AQ-PQ-x, 则DQ1-x,CQ-1+x