河南方城县第一高级中学2025-2026学年高二上学期1月第3次周测数学试题

2025-2026学年高二上学期1月第3次周测数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．设复数，则（   ） A． B． C．2 D．1 3．已知P是△ABC所在平面内的一点，若，其中λ∈R，则点P一定在（　　） A．AC边所在的直线上 B．BC边所在的直线上 C．AB边所在的直线上 D．△ABC的内部 4．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 5．下面情况中，更适合用抽样调查的有（   ） ①某学校全体学生体质健康检测    ②某小区全体住户燃气、水电设施安全检查 ③一批待售袋装牛奶的细菌数调查    ④调查一个县各村的粮食播种面积 ⑤调查一条河流的水质    ⑥某连锁酒店顾客满意度的调查 A．②③④ B．②③⑤⑥ C．③④⑤⑥ D．③⑤⑥ 6．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线：的焦点到其渐近线的距离为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 8．已知偶函数在上单调递减且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．的其中一条对称轴为 C．函数在上的值域为 D．函数的图象向右平移单位长度后可以得到函数的图像 10．如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（   ） A． B．三棱锥的体积是 C．的最小值为 D．不存在点使直线与直线夹角的余弦值为 11．已知是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（   ） A．时，的面积为 B． C．的周长为8 D．的最小值为2 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知函数，若，则 ． 13．一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为 ． 14．已知分别为锐角三个内角的对边，的面积，则的取值范围是 . 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．随机从0，1，2，3，4五个数字中任取两个不同的数字组成一个两位数. (1)请写出样本空间并求样本点个数； (2)设事件：所得的两位数为奇数，事件：所得的两位数大于40，判断事件与是否相互独立. 16．已知直线的方程为. (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 17．如图，在中，，点在上，点在上，，将沿翻折至，使得二面角的大小为. (1)若为的中点，点在上，，证明：平面； (2)求平面与平面所成的二面角的正弦值. 18．在中，内角的对边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若是线段上的一点，且满足，求的面积． 19．已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，经过，两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)经过点作直线与椭圆交于另一点，求的面积的最大值，并求出取到最大值时的坐标； (3)不经过点作斜率为的直线与椭圆交于，两点，记直线与直线的斜率分别为，，且，，成等差数列，证明：直线过定点． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年高二上学期1月第3次周测数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A D D D D D BCD ACD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】由，可将集合中的元素逐个代入方程，验证是否成立，再结合交集的定义即可得解. 【详解】易知，故只需验证元素是否在集合中即可. 若，则，等式不成立，因此； 若，有，等式成立，因此； 若，有，等式成立，因此； 若，则，等式不成立，因此. 综上，元素，元素， 因此. 故选：C. 2．D 【分析】由复数乘除法运算化简复数，即可由模长公式得解. 【详解】复数，所以. 故选：D 3．A 【分析】根据向量的线性运算整理可得，再结合向量共线分析即可. 【详解】 ∵， ∴，则，则 ∴ ∴P点在AC边所在直线上． 故选：A． 4．D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正实数满足，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：D 5．D 【分析】根据抽样调查与全面调查（普查）的适用条件，判断各情况适合的调查方式即可. 【详解】①某学校全体学生体质健康检测学校学生人数有限，且体质健康检测需要准确结果，适合普查； ②某小区全体住户燃气、水电设施安全检查关系到住户生命财产安全，必须确保全覆盖，适合普查； ③一批待售袋装牛奶的细菌数调查检测细菌数需要破坏牛奶样本（具有破坏性），无法对所有牛奶进行检测，适合抽样调查； ④调查一个县各村的粮食播种面积数据需要精确统计，且县内村庄数量有限，适合普查； ⑤调查一条河流的水质河流范围广，无法对全部水体进行检测，只需抽取不同点位的水样即可推断整体水质，适合抽样调查； ⑥某连锁酒店顾客满意度的调查 连锁酒店顾客数量庞大，全面调查成本高，只需抽取部分顾客即可反映整体满意度，适合抽样调查. 故选：D. 6．D 【分析】利用同角三角函数的基本关系式以及诱导公式、二倍角公式，计算求解. 【详解】解法一：因为，所以. 因为， 所以. 解法二：令，则，， 所以. 故选：D. 7．D 【分析】由双曲线的定义直接可得离心率的值. 【详解】由双曲线的方程，得渐近线方程， 设焦点，其中，由题意得， 所以，，. 故选：D. 8．D 【分析】根据题意，由偶函数的性质可得，结合函数的单调性分析可得与的解集，又由或，分析可得x的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，为偶函数且，则， 又因为在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以的解集为的解集为； 或，即或， 解得：或， 故不等式的解集为； 故选：D． 9．BCD 【分析】根据图象可求出周期，利用周期求判断A，根据图象过点，代入解析式求出，代入验证，判断B，根据正弦函数的性质求值域判断C，利用图象平移判断D. 【详解】A中，由图，得，解得，故A错误； B中，因为函数的图象经过点，所以，即. 因为，所以，解得，所以， 当时，， 所以的其中一条对称轴为，故B正确； C中，当时，，故C正确； D中，函数的图象向右平移个单位长度后可以得到，故D正确. 故选：BCD 10．ACD 【分析】设，对A，证明；对B，由求解；对C，将表示为的函数求最值；对D，求两异面直线夹角的范围判断. 【详解】以为坐标原点，，，分别为，，轴， 建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，， 所以，，，设，，则. 对于A：因为，故，故A正确； 对于B：因为，平面，平面， 则平面，所以三棱锥的体积为，故B错误； 对于C：因为， 所以， ， 当时，取得最小值为，故C正确； 对于D：因为，， 所以，， 设与的夹角为，则， 故D正确. 故选：ACD. 11．ABD 【分析】利用椭圆的定义、余弦定理及三角形面积公式计算即可判断A；根据离心率公式计算判断B，再根据椭圆的定义结合焦距可得的周长判断C；通过换元结合，运用二次函数性质计算判断D. 【详解】由可得故，， 对于A，因点在椭圆上，故有，故， 由余弦定理得：， 解得，故的面积为，故A正确； 对于B，，故B项正确； 对于C，因点在椭圆上，则的周长为，故C错误； 对于D，因，记，则， 则， 因，即， 故当或时，取得最小值，故D正确. 故选：ABD. 12． 【分析】根据函数的奇偶性，可得答案. 【详解】由，则其定义域为，且，即为奇函数， . 故答案为：. 13． 【分析】先根据题意得出入射光线的方程，求出入射光线与x轴的交点，结合反射的性质得出反射光线的斜率，即可得出答案. 【详解】由题意知，入射光线所在直线的斜率为， 则入射光线方程为，化简整理可得， 则入射光线和轴交点为， 由对称性知反射光线的斜率为，所以反射光线的方程为， 化简整理可得. 故答案为： 14． 【分析】利用余弦定理、三角形面积公式求出，再利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换及三角函数性质求出范围. 【详解】在中，由及三角形面积公式，得， 由余弦定理得，则， 而，解得，， 由正弦定理得 ，锐角由确定， 而为锐角三角形，则，即，， 显然，而， ，因此，， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】思路点睛：涉及求三角形边长比的范围问题，时常利用三角形正弦定理，转化为关于某个角的函数，再借助三角函数的性质求解. 15．(1)样本空间为；16个样本点 (2)事件与不相互独立 【分析】（1）根据题意列举出符合要求的样本空间及样本点的个数即可； （2）分别列举出事件所包含的样本点，并分别求出各个事件的概率，验证是否成立，即可判断事件与是否相互独立. 【详解】（1）由题意可知，样本空间为， 共16个样本点； （2）由题意知事件包含共6个样本点，所以； 事件包含共3个样本点，所以； 既是奇数又大于40的事件包含共2个样本点，所以， 因为，即， 所以事件与不相互独立. 16．(1)证明见解析， (2)，最大距离为 【分析】（1）将方程变形成，再由，即可求解出定点，再利用点到直线的距离公式，即可求解； （2）根据条件可得当时，点到直线的距离最大，再利用两点间的距离公式及斜率公式，即可求解. 【详解】（1）将直线的方程整理得， 令，解得，所以直线l恒过点， 所以定点到直线的距离为. （2）由（1）可得直线过定点，设定点为， 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为， 此时，而直线的斜率， 所以，解得. 17．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取的中点，通过线段之间的长度关系与平行关系，证明四边形是平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面与平面的法向量，再运用向量夹角公式可求得两个平面所成二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系求得正弦值即可. 【详解】（1）如图，取的中点，连接   ，，且. 分别为的中点，，且， 又由题可知，，且， 因此，且， 因此四边形为平行四边形，因此有， 又因为平面，平面， 因此平面； （2）由可知，由（1）可知， 故，因此， 由折叠关系可知，又因为平面平面， 平面，平面，则即为二面角的平面角， 因此， 不妨设，则， ，解得， 又因为，故. 因为，，平面， 故平面，又因为平面，故， 又因为，平面， 因此平面.    过点作垂直于平面的直线，易证两两互相垂直， 因此可以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，. 因为平面，因此为平面的法向量； 设平面的法向量为， 则有，即，取，则， 即. 设平面与平面所成的二面角的大小为， 则， 又因为，故，则， 即平面与平面所成的二面角的正弦值为. 18．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求解即可； （2）利用向量的线性运算可得，结合题意由数量积的运算律求得，进而代入三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以，即， 所以，即， 所以，又，故. （2）因为，所以， 所以， 所以， 所以，化简得，解得或（舍去）， 故. 19．(1) (2)最大值为，的坐标为 (3)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的性质直接得，，可解问题； （2）直线的方程为，设，求出到直线的距离，求出面积再求最值； （3）设的方程为，联立方程组，根据根于系数的关系表述出，，，再根据，，成等差数列，所以，即，所以，代入直线方程即可得解. 【详解】（1）依题意知椭圆的焦点在轴上，设椭圆的方程为， 则，，所以椭圆的方程为． （2）因为，，所以， 直线的方程为，即． 因为在椭圆上，所以可设， 则到直线的距离， 所以的面积， 当且仅当时，等号成立， 所以， 此时的坐标为， 所以．面积的最大值为，取到最大值时的坐标为． （3）依题意，设的方程为， 由消去得， 则，即． 设，，则由韦达定理得，． 因为，， 所以，（*） 把，代入（*），化简整理得． 因为，，成等差数列，所以，即，所以， 此时直线的方程为，所以直线过定点．    答案第2页，共12页 答案第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $