精品解析：江西省九江市同文中学2025-2026学年 上学期期末考试 九年级数学试卷

九江市同文中学2025-2026学年度上学期期末考试 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页．考试时间：120分钟；试卷满分：120分 2．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 3．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角函数的定义．利用三角函数定义逐项判断即可． 【详解】解：A、在中，，故此选项不符合题意． B、在中，，故此选项不符合题意； C、在中，，原结论错误，故此选项符合题意； D、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 已知反比例函数，下列说法正确的是（    ） A. 图象经过点 B. y随x的增大而减小 C. 图象在第一、三象限内 D. 图象是轴对称图形但不是中心对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征，可判断A选项；根据反比例函数图象和增减性，可判断B、C、D选项． 【详解】解：A、当时，，即图象经过点，原说法错误，不符合题意； B、由可知，图象在第一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小，原说法错误，不符合题意； C、由可知，图象在第一、三象限，原说法正确，符合题意； D、反比例函数图象是中心对称图形，也是轴对称图形，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 3. 如图，在中，是边上的中线，且，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查斜边上的中线，根据斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出结果． 【详解】解：∵是边上的中线，且， ∴； 故选D． 4. 元旦联欢会上，有一个开盲盒的游戏：电脑屏幕上出现两个一模一样的盲盒，参加游戏的同学随机点开其中一个．打开其中一个，会获得奖品，打开另一个，会获得表演节目的机会．李明、王曼、张峰三名同学参加这个游戏，刚好有两人会表演节目的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及刚好有两人会表演节目的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将会获得奖品的盲盒记为A，会获得表演节目的机会的盲盒记为B， 画树状图如下： 由树状图可知，共有8种等可能的结果，其中刚好有两人会表演节目的结果有：（A，B，B），（B，B，A），（B，A，B），共3种结果， ∴刚好有两人会表演节目的概率为． 故选：C． 5. 如图，一张等腰三角形纸片，底边．若用这张等腰三角形纸片制作一个棱长为的正方体的纸盒，阴影部分为正方体展开图，则这个纸片的高的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 证明，根据相似比等于高之比得到，即可求解． 【详解】解：为的高， ， ， ，， ， ， ， 故选：B． 6. 已知二次函数的图象如图所示，则以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 方程的正根在2到3之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数的图象得到，，根据对称轴得到，可判断A、B，根据二次函数的对称性可判断D，当时，，根据可判断C． 【详解】解：∵开口向上， ∴， ∵二次函数交轴于负半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即，，B正确； 即，A正确； 由图可知方程的负根在到0之间， ∵对称轴为直线， ∴方程的正根在2到3之间，D正确； 当时，， ∵， ∴，C正确； 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．根据得出，故，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 即， 整理得， 因此， 故答案为：． 8. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧，小美家有如图1的中国结装饰，其主体部分可抽象成如图2所示的菱形，测得，则该菱形的面积为____________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是关键．根据菱形的性质得到，再计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的面积为， 故答案为：24 ． 9. 已知、是方程的两个实数根，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，方程的解的含义，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 利用根与系数的关系得到，并由方程的解得到，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴， ∴ ∴ ． 故答案为：． 10. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1．点都在格点上，连接，交于点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．取格点M，连接，根据题意可得：，从而可得，证明，从而可得，进而可得结论． 【详解】解：取格点M，连接， 由图知，， ， ， ， ，是直角三角形， ， ， 故答案为：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形与矩形是位似图形，位似中心在轴上，对应点的坐标分别为，，则位似中心的坐标为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的性质，熟记位似中心的概念是解题的关键． 连接，交于，根据位似中心的概念得到点为位似中心，证明∽，根据相似三角形的性质求出，进而求出，得到点的坐标． 【详解】解：如图，连接，交于，则点为位似中心， 由题意可知：，，， ∵矩形与矩形是位似图形， ∴， ∴∽， ∴， ∴， ∴位似中心点的坐标为， 故答案为：． 12. 如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，C，若在经过B，C两点的抛物线的对称轴上有一点M（点M在第一象限），使为等腰三角形，点P为抛物线的顶点，则点M的坐标为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理等知识与方法，注意分类讨论是解题关键． 先由直线与轴、轴分别交于点、点，求出点和点的坐标，再将点、点的坐标代入列方程组求出、的值，然后由抛物线的解析式求出其顶点坐标和对称轴，再按或或为底边进行分类讨论，根据勾股定理或等腰三角形的性质分别求出的长即可求得点的坐标． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点、点， 当时，由得；当时，， ，， 把，代入，得，解得， 该抛物线的解析式为； ， 该抛物线的顶点为，对称轴为直线， 设， ①等腰三角形以为底边，如图1所示： ， 由得，或（不符合题意，舍去）， ∴； ②等腰三角形以为底边，作于点，如图2所示： ， ， ， ， ； ③等腰三角形以为底边，作，交直线于点，如图3所示： ， ， ， ， ，， ， 解得， ， ， 综上所述，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）3 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程等知识点，能正确求出每一部分的值，利用公式法求解方程是解此题的关键． （1）先计算乘方与开方，并化简绝对值，代入三角孙函数值，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）利用公式法求出方程的解即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）， ，，，， ， ，． 14. 如图，在中，点是的边上的一点． （1）请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） （2）选择一种正确的方法求证：． 【答案】（1）小星和小红对，小亮错 （2） 证明：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）见解析（1）． 【小问1详解】 解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由不能证明， ∴小星和小红对，小亮错； 【小问2详解】 略 15. 十二生肖是我国历史悠久的民俗文化符号，是十二地支的形象化代表．小明收集了如图所示的四张不透明的生肖图片，除正面图案不同外，其余完全相同，将其洗匀，背面朝上放置． （1）小明从这四张图片中随机抽取一张，恰好抽到“马”的概率是 ． （2）小明从这四张图片中随机抽取一张，不放回，小强再从剩下的三张中随机抽取一张，请用画树状图（或列表）的方法，求他们两人抽到的图片中有一张是“马”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据题意求解即可； （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及两张图片中有一张是“马”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：小明从中随机抽取一张，恰好抽到“马”的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如下 共有12种等可能的结果，其中两人抽到的图片中有一张是“马”的结果有6种， （两人抽到的图片中有一张是“马”）． 16. 如图，已知抛物线过原点O，格点A是该抛物线的顶点． （1）求出该二次函数表达式． （2）点，都在该抛物线上，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的图像与性质， （1）设该抛物线解析式为，将点代入并求解即可； （2）根据题意可知，进而可知，N关于对称轴对称，易得，求解即可获得答案． 【小问1详解】 解：是顶点， ∴设该抛物线解析式为，将点代入，得：， 解得， ∴该二次函数表达式为； 【小问2详解】 ， ，N关于对称轴对称， ， ， ． 17. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺画图按要求保留作图痕迹． （1）在图1中作出边上的高； （2）在图2中作出边上的点，使得． 【答案】（1） 如图，高即为所求； （2） 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】此题考查了作图——应用与设计作图、三角形的高、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （）取格点，连接，与交于点，则即为所求； （2）取格点，连接，交网格线于点，再连接，交于点，此时，，，可得． 【小问1详解】 如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是边上的高； 【小问2详解】 如图，连接． ∵， ∴，， ∴． 由图可知， ∴， ∴． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图1，是某学校教学楼正厅摆放的“学校平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度，他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，，请帮助数学小组回答下列问题．（结果精确到，参考数据：，） （1）求此时该展板点B到地面的距离； （2）展板的最高点A到地面的高度是多少？ 【答案】（1）该展板点B到地面的距离为 （2）展板的最高点A到地面的高度是． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，属于中档题，理解题意，构造直角三角形是解答的关键． （1）通过构造直角三角形，利用角的正弦值求出对应的竖直高度，再加的长度，得到B到地面的距离为； （2）解直角三角形求的高度即可． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N， ∴四边形，四边形均为矩形， ∴，cm，， ∴， 由图可得：B到地面的距离为， 在中， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 故B到地面的距离为； 【小问2详解】 解：最高点A到地面的高度为， ∵， ∴， 同理得， ∴， 故展板的最高点A到地面的高度是． 19. 如图，在中，，D为中点，E为中点，交于点F，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点F作于点G，若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，点D是的中点， ∴， ∵， ∴是矩形； （2）2 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明四边形是平行四边形，最后证明是矩形； （2）设，则，，可得．由勾股定理可得．在中，，可得，再求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 设，则，， ∴． 在中，，． ． ∴， ∴， ∴的值为2． 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握矩形的判定和性质是关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的边在一次函数图象上．且点在反比例函数的图象上．轴，点． （1）求一次函数及反比例函数的解析式； （2）若将向下平移个单位长度，点恰好落在图象上，求的值． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数的解析式为 （2）a的值为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，平移的性质，掌握一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据平行四边形的性质，得到点A的纵坐标为2，再根据点在一次函数图象上，求出点的横坐标，从而得到点，设点向下平移的距离为a，则平移后的点，再利用反比例函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：点在一次函数图象上， ，解得， 一次函数解析式为， 点在反比例函数图象上， ，解得， 【小问2详解】 解：四边形为平行四边形， ， 轴， 轴， 点， 点A的纵坐标为2， 当时，， ， ， 点， 向下平移，当点C落在图象上， 设点向下平移的距离为a，则平移后的点， ， 解得． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. “秋风起，吃腊味”，某腊肠店销售A，B两类腊肠．A类腊肠进价元/件，B类腊肠进价元/件．已知购买2件A类腊肠和1件B类腊肠需元，购买3件A类腊肠和5件B类腊肠需元． （1）求A类腊肠和B类腊肠每件的售价各是多少元？ （2）A类腊肠供货充足，按原价销售每天可售出件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出件（每件售价不低于进价）．设每件A类腊肠降价x元，每天的销售量为y件，请直接写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，设该店每天销售A类腊肠的利润为w元，请求出w与x的函数关系式，并求出每天每件A类腊肠降价多少元时利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）A类腊肠的售价为元/件，B类腊肠的售价为元/件 （2）（） （3）²，每件A类腊肠降价2元时利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，一元一次方程的应用，根据实际问题列一次函数关系式，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数或一元一次方程． （1）根据题意设每件类腊肠的售价为元，则每件类腊肠的售价为元，进一步得到关于的一元一次方程求解即可； （2）根据降价1元，每天可多售出件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到得取值范围； （3）结合（2）中类腊肠降价元与每天的销售量件，得到类腊肠的利润，整理得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每件类腊肠的售价为元，则每件类腊肠的售价为元， 根据题意得， 解得， 则每件类腊肠的售价（元， 答：类腊肠的售价为元件，类腊肠的售价为元件； 【小问2详解】 解：由题意得， 类腊肠进价元件，售价为元件，且每件售价不低于进价， ， 答：； 【小问3详解】 解： ， ， 当时，有最大值， 答：类腊肠每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为元． 22. 【问题探究】 （1）如图1，在中，，，点P在边上，点E、F分别在边、上，连接、，，点G为上一点，连接，且；求证：； 【问题解决】 （2）如图2，某地拟建造一个形如四边形的露营基地，其中，，为考虑露营客人娱乐休闲的需求，计划沿线段修建隔离防护栏，将区域设立成花卉观赏区，分别在线段、、上取点P、E、F，将区域设立成烧烤区，，已知，米，求烧烤区的面积． 【答案】（1）见解析；（2）烧烤区的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定方法，利用三角形相似的判定和性质解决问题，还涉及到正方形的性质和判定；解题关键是根据已知条件找到相似的两个三角形； （1）由已知条件得出，由得出角相等，利用外角定义得出，再由已知条件，得出角相等，利用两角对应相等的两个三角形相似，得出结论即可． （2）首先过点作两条垂线，构造直角三角形，再根据已知条件判定四边形是正方形，得出45度角，利用两角相等判定出相似三角形有两对，利用比例的传递性得出的长度，从而求出三角形的面积即可． 【详解】解：（1）证明，， ， ， ， ，． ， ， ， ； （2）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 烧烤区的面积． 六、（本大题12分） 23. 阅读与思考阅读下列材料，并完成相应的任务． 对称衍生抛物线 【定义】对于抛物线，以轴上的点为中心，作抛物线关于点对称的抛物线，则我们称是的“对称衍生抛物线”，点为“对称衍生中心”． 【问题1】抛物线以原点为“对称衍生中心”的“对称衍生抛物线”为___________． 【问题2】求抛物线以点为“对称衍生中心”的“对称衍生抛物线”． 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴点关于点的对称点为， ∵抛物线与轴的交点为， ∴点关于点对称的点为， ．．．．．． 任务： （1）抛物线以原点为“对称衍生中心”的“对称衍生抛物线”为___________； （2）完成问题中的剩余解答过程； （3）若抛物线以点为“对称衍生中心”的“对称衍生抛物线”为，且与这两条抛物线有交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查抛物线的对称变换、抛物线的顶点式与交点问题．掌握关于轴上某点对称的点的坐标变化规律，熟练运用抛物线的顶点式，熟练运用判别式判断交点情况，是解题的关键． （1）抛物线的顶点坐标，与轴交点坐标，得到其关于原点对称的点的坐标，进而根据对称衍生抛物线的形状不变，开口方向相反，得到对称衍生抛物线的表达式． （2）根据对称衍生抛物线的形状不变，开口方向相反，得到对称衍生抛物线的表达式． （3）联立两个抛物线的表达式得到一个一元二次方程，根据交点情况得到判别式的取值范围，进而得到的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴点关于原点的对称点为， ∵抛物线与轴的交点为， ∴点关于原点对称的点为， ∵抛物线关于原点的对称衍生抛物线的形状不变，开口方向相反， ∴对称衍生抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴点关于点的对称点为， ∵抛物线与轴的交点为， ∴点关于点对称的点为， ∵抛物线关于点的对称衍生抛物线的形状不变，开口方向相反， ∴对称衍生抛物线的表达式为； 【小问3详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线关于点的对称衍生抛物线为， ∴， ∵抛物线和抛物线有交点， ∴方程有解， 整理得, ， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江市同文中学2025-2026学年度上学期期末考试 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页．考试时间：120分钟；试卷满分：120分 2．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 3．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知反比例函数，下列说法正确的是（    ） A. 图象经过点 B. y随x的增大而减小 C. 图象在第一、三象限内 D. 图象是轴对称图形但不是中心对称图形 3. 如图，在中，是边上的中线，且，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 4. 元旦联欢会上，有一个开盲盒的游戏：电脑屏幕上出现两个一模一样的盲盒，参加游戏的同学随机点开其中一个．打开其中一个，会获得奖品，打开另一个，会获得表演节目的机会．李明、王曼、张峰三名同学参加这个游戏，刚好有两人会表演节目的概率是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，一张等腰三角形纸片，底边．若用这张等腰三角形纸片制作一个棱长为的正方体的纸盒，阴影部分为正方体展开图，则这个纸片的高的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数的图象如图所示，则以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 方程的正根在2到3之间 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知，那么的值是______． 8. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧，小美家有如图1的中国结装饰，其主体部分可抽象成如图2所示的菱形，测得，则该菱形的面积为____________． 9. 已知、是方程的两个实数根，则的值是_______． 10. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1．点都在格点上，连接，交于点，则___________． 11. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形与矩形是位似图形，位似中心在轴上，对应点的坐标分别为，，则位似中心的坐标为 ______． 12. 如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，C，若在经过B，C两点的抛物线的对称轴上有一点M（点M在第一象限），使为等腰三角形，点P为抛物线的顶点，则点M的坐标为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解方程：． 14. 如图，在中，点是的边上的一点． （1）请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） （2）选择一种正确的方法求证：． 15. 十二生肖是我国历史悠久的民俗文化符号，是十二地支的形象化代表．小明收集了如图所示的四张不透明的生肖图片，除正面图案不同外，其余完全相同，将其洗匀，背面朝上放置． （1）小明从这四张图片中随机抽取一张，恰好抽到“马”的概率是 ． （2）小明从这四张图片中随机抽取一张，不放回，小强再从剩下的三张中随机抽取一张，请用画树状图（或列表）的方法，求他们两人抽到的图片中有一张是“马”的概率． 16. 如图，已知抛物线过原点O，格点A是该抛物线的顶点． （1）求出该二次函数表达式． （2）点，都在该抛物线上，求m的值． 17. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺画图按要求保留作图痕迹． （1）在图1中作出边上的高； （2）在图2中作出边上的点，使得． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图1，是某学校教学楼正厅摆放的“学校平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度，他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，，请帮助数学小组回答下列问题．（结果精确到，参考数据：，） （1）求此时该展板点B到地面的距离； （2）展板的最高点A到地面的高度是多少？ 19. 如图，在中，，D为中点，E为中点，交于点F，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点F作于点G，若，求的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的边在一次函数图象上．且点在反比例函数的图象上．轴，点． （1）求一次函数及反比例函数的解析式； （2）若将向下平移个单位长度，点恰好落在图象上，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. “秋风起，吃腊味”，某腊肠店销售A，B两类腊肠．A类腊肠进价元/件，B类腊肠进价元/件．已知购买2件A类腊肠和1件B类腊肠需元，购买3件A类腊肠和5件B类腊肠需元． （1）求A类腊肠和B类腊肠每件的售价各是多少元？ （2）A类腊肠供货充足，按原价销售每天可售出件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出件（每件售价不低于进价）．设每件A类腊肠降价x元，每天的销售量为y件，请直接写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，设该店每天销售A类腊肠的利润为w元，请求出w与x的函数关系式，并求出每天每件A类腊肠降价多少元时利润最大，最大利润是多少元？ 22. 【问题探究】 （1）如图1，在中，，，点P在边上，点E、F分别在边、上，连接、，，点G为上一点，连接，且；求证：； 【问题解决】 （2）如图2，某地拟建造一个形如四边形的露营基地，其中，，为考虑露营客人娱乐休闲的需求，计划沿线段修建隔离防护栏，将区域设立成花卉观赏区，分别在线段、、上取点P、E、F，将区域设立成烧烤区，，已知，米，求烧烤区的面积． 六、（本大题12分） 23. 阅读与思考阅读下列材料，并完成相应的任务． 对称衍生抛物线 【定义】对于抛物线，以轴上的点为中心，作抛物线关于点对称的抛物线，则我们称是的“对称衍生抛物线”，点为“对称衍生中心”． 【问题1】抛物线以原点为“对称衍生中心”的“对称衍生抛物线”为___________． 【问题2】求抛物线以点为“对称衍生中心”的“对称衍生抛物线”． 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴点关于点的对称点为， ∵抛物线与轴的交点为， ∴点关于点对称的点为， ．．．．．． 任务： （1）抛物线以原点为“对称衍生中心”的“对称衍生抛物线”为___________； （2）完成问题中的剩余解答过程； （3）若抛物线以点为“对称衍生中心”的“对称衍生抛物线”为，且与这两条抛物线有交点，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $