27.1图形的相似（同步讲义）2025-2026学年人教版数学九年级下册

本讲义聚焦“图形的相似”核心知识点，系统梳理相似图形的定义（形状相同、大小不一定相同，全等是特殊情况），相似三角形的条件（对应角相等、对应边成比例），以及相似多边形的性质（对应角相等、对应边成比例、相似比），构建从基础概念到性质应用的学习支架。 该资料题型设计覆盖概念辨析（如判断相似图形）、性质应用（如相似三角形周长比）及综合计算（如菱形相似中的边长求解），通过具体几何问题培养学生的几何直观与推理能力，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺，提升应用意识。

27.1图形的相似（同步讲义）2025-2026学年人教版数学九年级下册 【知识精讲】 1．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 2．相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 【题型演练】 一、单选题 1．下面各组图形中，不是相似形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列图形中，一定相似的是（　　） A．一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形 B．有一个内角为80°的两个等腰三角形 C．两个长方形 D．有一个内角为80°的两个菱形 3．已知两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的周长的比为（　　） A．4：9 B．3：2 C．2：3 D．4：6 4．已知五边形五边形，且，若，则的长为（　　） A．4 B．6 C．9 D．12 5．如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点H，∠E＝60°，若CG＝3，AH＝7，则菱形ABCD的边长为（　　） A．8 B．9 C． D． 6．如图，已知矩形ABCD中，AB=2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（　　） A． B． C．4 D．2 7．如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点.若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．1 D． 8．如图， 点P是平行四边形内部一点， 过P分别作和的平行线交平行四边 形的四边于. 连结分别交于M和N. 若四边形四边形，且四边形的面积是四边形的3倍. 下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．相似多边形的性质：相似多边形的周长之比等于　 　；相似多边形的面积之比等于　 　. 10．若两个相似六边形的周长比是3∶2，其中较大六边形的面积为81，则较小六边形的面积为　 　. 11．如图，四边形四边形，若，，，则的度数为　 　． 12．两个相似多边形的面积比是，其中较小多边形的周长为，则较大多边形的周长为　 　． 13．如图所示，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，则的值为　 　. 三、解答题 14．如图，四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2，问△A1B1C1与△A2B2C2相似吗？为什么？ 15．如图，有一种复印纸，整张称为纸，对折一分为二裁开成为纸，一分为二成为纸…，它们都是相似的矩形． （1）求的值． （2）若纸的周长为286厘米，求纸的周长． 16．如图，在中，，分别为边，上的点，连接．若，，，求的长． 17．如图，四边形四边形，且，，，，，．求，的大小和的长． 18．两个相似多边形的最长边长分别为 6 cm 和8cm ，它们的周长之和为56 cm，面积之差为28 cm2，求较小多边形的周长与面积. 19．将三角形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图(1)所示的图形，变化前后的两个三角形相似吗？如果把三角形改为正方形、长方形呢？(如图(2)(3)) 20．如图所示，系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸. （1）填空：纸面积是纸面积的　 　倍，纸周长是纸周长的　 　倍. （2）根据系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比. （3）设1张纸张的重量为克，试求出1张纸张的质量.(用含的代数式表示) 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】D 【解析】【解答】解：A．平行于三角形一边的一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形各边对应成比例，即相似，不符合题意； B．有一个内角为80°的两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； C．两个长方形不一定相似，不符合题意； D．有一个内角为80°的两个菱形一定相似，符合题意． 故答案为：D． 【分析】根据相似多边形的判定方法分别判断即可. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：因为相似三角形周长的比等于它们的相似比，所以它们的周长的比为2：3。 故答案为：C. 【分析】根据相似三角形的性质，即可得出答案。 4．【答案】A 5．【答案】B 【解析】【解答】解：连接AC． ∵菱形ABCD∽菱形AEFG， ∴∠B＝∠E＝∠AGF＝60°，AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， 设AB＝BC＝AC＝a，则BH＝a﹣7，BG＝a﹣3， ∵∠AGB＝∠AGH+∠BGH＝∠ACG+∠CAG，∠AGH＝∠ACG＝60°， ∴∠BGH＝∠CAG， ∵∠B＝∠ACG， ∴△BGH∽△CAG， ∴， ∴， ∴a2﹣10a+9＝0， ∴a＝9或1（舍去）， ∴AB＝9， 故答案为：B． 【分析】连接AC，根据菱形ABCD∽菱形AEFG，可得出△ABC是等边三角形，再根据AA证得△BGH∽△CAG，推出，设AB＝BC＝AC＝a，则BH＝a﹣7，BG＝a﹣3，即可构建方程，求方程的解即可。 6．【答案】B 【解析】【解答】解：∵沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点， ∴四边形ABEF是正方形， ∵AB=2， 设AD=x，则FD=x﹣2，FE=2， ∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴ 解得x1=1+，x2=1﹣（负值舍去）， 经检验x1=1+是原方程的解． 故选B 【分析】可设AD=x，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可． 7．【答案】B 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AD＝2＝CD，∠DCA＝ ∠BCD＝30°， ∴A'D＝1，A'C＝ DA'＝ ， ∴菱形ABCD的面积＝4× ×A'D×A'C＝2 ， 如图， 由平移的性质得，▱ABCD∽▱A'ECF，且A'C＝ AC， ∴四边形A'ECF的面积是▱ABCD面积的 ， ∴阴影部分的面积＝ ＝ ， 故答案为：B. 【分析】先求出菱形ABCD的面积，由平移的性质可得四边形A'ECF的面积是▱ABCD面积的 ，即可求解. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：∵点P是平行四边形ABCD内部一点， 过P分别作AB和BC的平行线交平行四边形ABCD的四边于E、F、G、H. 四边形四边形， ∴四边形都是平行四边形，且相似， 设， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ∴， ∵四边形的面积是四边形的3倍.设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky， ∴， ∴， ∴、、都不成立， 成立， 故答案为：D. 【分析】易得四边形PFBG、DEPH都是平行四边形，且相似，设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，易得，从而可得GM=x，FN=y，EM=kx，NH=ky，然后推出△CGM≌△NFA，△CNH≌△MAE，则可得，四边形FBCH的面积是四边形AFPE的3倍，设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，进而建立方程求出k的值，从而即可一一判断得出答案. 9．【答案】相似比；相似比的平方 【解析】【解答】解：∵相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积比等于相似比的平方， 故答案为：相似比；相似比的平方. 【分析】根据相似多边形的性质：相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积比等于相似比的平方，即可得出答案. 10．【答案】36 【解析】【解答】解：∵两个相似六边形的周长的比是3﹕2， ∴它们的面积的比为9：4， ∵较大一个六边形的面积为81， ∴较小一个六边形的面积为 故答案为：36. 【分析】根据相似多边形的面积的比等于周长比的平方，即可建立方程求得另一个六边形的面积. 11．【答案】103 【解析】【解答】解：∵四边形四边形 ∴∠A=∠A′=110°， ∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，，， ∴∠D=360°-∠A-∠B-∠C， =360°-110°-65°-82°， =103° 故答案为：103°. 【分析】根据相似图形的性质可得∠A=∠A′=110°，然后根据四边形内角和为360°进行计算可得∠D的度数. 12．【答案】 【解析】【解答】解：由题意可得： 两个相似多边形的面积比是，面积比是周长比的平方 ∴两多边形的周长比为2：3 设大多边形的周长为x 则，解得：x=54 故答案为：54 【分析】根据相似多边形的面积比是周长比的平方即可求出答案. 13．【答案】 【解析】【解答】解：∵四边形EFGH是正方形， ∴EH=EF，∠HEF=90°， ∴∠AEH+∠BEF=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=90°， ∴∠AEH+∠AHE=90°，∠BEF+∠BFE=90°， ∴∠AEH=∠BFE，∠AHE=∠BEF， 又 EH=EF， ∴（ASA） ∴AE=BF， ∴EF=， ∵两个正方形相似，且相似比， ∴， ∴， ∴， ∴， 又 AE＜BE， ∴. 故答案为：. 【分析】题目已知相似比，那么本题的解题思路就是把相似比用AE和BE来表示，其中AB=AE+BE，而EF于BE在同一直角三角形中，很容易联想到用勾股定理，而题目易证AE=BF，而，得，EF也用BE和AE表示出来了，代入相似比得，从而算出，题目告知AE＜BE，因此. 14．【答案】解：△A1B1C1∽△A2B2C2． 理由如下： ∵四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2， ∴=，∠B1=∠B2， ∴△A1B1C1∽△A2B2C2． 【解析】【分析】根据相似多边形的对应边成比例，对应角相等可得=，∠B1=∠B2，再根据对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似解答． 15．【答案】（1） （2） 16．【答案】 17．【答案】，，． 18．【答案】解：设较小相似多边形的周长为x，面积为y，则较大相似多边形的周长为56-x，面积28-y， 根据题意得 解得x=24，y=36， 所以较小相似多边形的周长为24 cm，面积为36 【解析】【分析】根据相似多边形的周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方解答即可. 19．【答案】解：∵三角形、矩形对应边向外平移1个单位后，对应边的比值不一定相等，∴变化前后的两个三角形、矩形都不相似，∵正方形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等，∴变化前后的两个正方形相似． 【解析】【分析】利用相似图形的判定方法：对应角相等，对应边成比例的图形相似，进而判断即可． 20．【答案】（1）2；2 （2）解：设A1的长宽为m、n，则A2的长宽为n、， ∵两个矩形相似， ∴， ∴； （3）解：由（1）可得对裁后的矩形重量是对裁前的，即克. 【解析】【解答】解：（1）设矩形面积分别为A1、A2，A1对裁后得到两张A2，所以A1=2A2；设A2的长宽分别为a、b，则A4长宽为、，所以A2的周长为2a+2b，A4的周长为a+b，因此A2周长是A4周长的2倍； 故答案案为：2；2； 【分析】（1）一个矩形对裁得到2个新矩形，因此新矩形面积是原矩形的一半，即得A1面积是A2的2倍；通过设A2的长宽分别为a、b，得到A4长宽为、，所以A2的周长为2a+2b，A4的周长为a+b，因此A2周长是A4周长的2倍； （2）设A1的长宽为m、n，则A2的长宽为n、，由相似矩形对应边成比例得到，算出； （3）纸张厚度一样，因此重量比即为面积比，通过对裁可得到面积的变化规律为，因此A8纸张的重量为克. 学科网（北京）股份有限公司 $