27.2.3 相似三角形应用举例 讲义2025-2026学年人教版数学九年级下册

本讲义聚焦相似三角形应用这一核心知识点，系统梳理利用相似测量物体高度（影子、标杆、平面镜反射）、测量距离（如河流宽度）及构造相似解决其他实际问题的方法，搭建从相似三角形性质到实际应用的学习支架。 该资料以题型为纲，结合古塔、电视塔等生活实例设计典型例题与变式练习，通过构造相似三角形培养学生用数学眼光观察现实世界，用数学思维推理解决问题，用数学语言建立比例模型。课中辅助教师教学，课后助力学生巩固知识，查漏补缺。

27.2.3 相似三角形应用举例 目录 题型01 利用相似测量物体的高度 3 题型02 利用相似测量距离 5 题型03 构造相似三角形解决其他实际问题 7 建体系 新知廊 知识点1： 用相似测量物体的高度 测量不能直接到达顶部的物体的高度，一般都是构造两个相似三角形，利用“相似三角形对应边成比例”解决． 1．利用影子测量物体的高度 （1）测量原理：利用太阳光是平行光线构造相似三角形． （2）测量方法： ①测量出参照物的高度； ②测量出太阳光下参照物的影长和被测物体的影长； ③根据太阳光是平行光线推导出两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例，求出被测物体的高度． 注意：运用此测量方法时，要符合下列两个条件： （1）被测物体的底部能够到达； （2）由于影长随着时间的变化而变化，因此要在同一时刻测量参照物与被测物体的影长． 2．借助标杆测量物体的高度 （1）测量原理：利用标杆与被测物体平行构造相似三角形 （2）测量方法： ①测量出标杆的长度、观测者眼睛到地面的高度； ②让标杆竖直立于地面，调整观测者的位置，使观测者的眼睛、标杆的顶端和被测物体的顶端恰好在一条直线上，测量出观测者的脚距标杆底端的水平距离和距被测物体底端的水平距离； ③根据标杆与被测物体平行推导出两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例求出被测物体的高度． 注意：运用此测量方法时，被测物体的底部必须可到达． 3．利用平面镜的反射测量物体的高度 （1）测量原理：利用平面镜的反射，根据“反射角等于入射角”构造相似三角形． （2）测量方法： ①在观测者与被测物体之间的地面上平放一面平面镜，在平面镜上做一个标记E； ②测出观测者眼睛到地面的高度CD； ③观测者看着平面镜来回走动，直至看到被测物体顶端在平面镜中的像与平面镜上的标记重合，此时测出平面镜上的标记位置到观测者脚底的水平距离DE及到被测物体底端的水平距离BE；④根据“两角分别相等的两个三角形相似”推导出两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例求出被测物体的高度AB． 注意：测量时被测物体与人之间不能有障碍物，且平面镜要水平放置． 知识点2： 利用相似测量宽度 问题类型：测量不能直接到达的两点间的距离（如河流宽度）． 测量原理：构造相似三角形，利用“相似三角形对应边成比例”的性质求解． 求甚解 相似三角形的实际应用主要包括： （1）利用相似三角形的性质测量不能直接到达的河的宽度； （2）利用相似三角形的性质计算不能直接测量的物体的高度． 注意：被测的长度（高度、角度）在实际中可以测量． 练题型 题型01 利用相似测量物体的高度 典型例题 　（2025秋•黔江区期末）在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为1米的竹竿的影长为2米，某一高楼的影长为40米，那么这幢高楼的高度是（　　）典例 01 A．40米 B．30米 C．20米 D．10米 【答案】C 【分析】根据“同一时刻物体的高度与它在阳光下的影长成正比”这一核心条件，建立比例式求解高楼的高度． 【解答】解：设这幢高楼的高度为x米， ∵同一时刻物体的高度与它在阳光下的影长成正比， ∴， 2x＝40， 解得x＝20， ∴这幢高楼的高度是20米． 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2025秋•赵县期末）元氏县开化寺塔是一座具有重要历史文化价值的古塔，创建于北魏时期．2013年被定为第七批全国重点文物．为更好地了解家乡文物，九年级同学设计了测量塔高的实践活动．记录如下：如图，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A，C、E在一条水平直线上，已知AC＝20m，CE＝10m，CD＝9.2m，EF＝1.2m．人从点F远跳塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D．根据以上信息，计算塔的高度为（　　） A．12m B．24m C．25.2m D．20m 【变式练2】　（2025秋•海门区期末）南通市海门区电视塔是海门标志性建筑，兼具广播电视信号发射与城市景观功能，某次社会实践中，小华想利用自己的身高来测量电视塔的高度，如图，小华身高DE＝1.8米，测得BE＝198米，EC＝2米，且A，D，C在一条直线上，则电视塔AB的高度为（　　） A．200米 B．198米 C．180米 D．178米 【变式练3】　（2025秋•衡南县期末）学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑AB的高度（如图1）．如图2，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为2m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为23m，并且古建筑AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处，从D处观察A点，A，F，D三点成一线；从标杆GH后退4m到C处，从C处观察A点，A，H，C三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度． 题型02 利用相似测量距离 典型例题 　（2025秋•霸州市期末）嘉嘉和淇淇决定利用所学知识测量河的宽度，如图，河的两岸l1，l2是平行的．已知l1上的点B，C处有两个标志物，测得它们之间的距离BC＝70米．嘉嘉在如图所示的点A处站定，AB⊥BC于点B，AB与l2交于点D，测得AD＝20米．淇淇在l2上移动，当淇淇移动到点E时（点A，E，C在一条直线上），测得DE＝25米，则这条河的宽度BD为（　　）典例 02 A．30米 B．36米 C．40米 D．56米 即学即练 【变式练1】　（2025秋•丹江口市期末）某学校数学兴趣小组利用周末时间测量樱花树下的石碑与远处一座实验楼之间的距离（石碑与实验楼之间被小樱花树林隔开，不能直接测量）他们采用以下方法：如图．把支架EF放在石碑旁水平地面上的点F处，再把一面平面镜水平放在支架EF上的点E处（平面镜大小忽略不计），然后沿着直线BF移动至点D处，这时恰好在镜子里看到实验楼的顶端A的像，已知DF＝2米，EF＝0.5米，实验楼的高度AB＝4.1米，观测者的目高CD＝1.7米，已知CD⊥BD，EF⊥BD，AB⊥BD，图中所有的点都在同一平面内，求石碑与实验楼之间的距离BF． 【变式练2】　（2025秋•安国市期末）为了测量学校旗杆上旗帜的宽度MN，如图，点P、G．C、A在同一水平直线上，MG⊥PA，小红在C处竖立一根标杆BC（BC⊥PA），地面上的点A、标杆顶端B和点N在一条直线上（N在MG上），BC＝1.5米，AC＝1米，AG＝8米；小明手持自制直角三角纸板DEF（DF⊥EF），其中EF＝0.1米，DF＝0.2米，使长直角边DF与水平地面平行，调整位置，恰好在P点时点D、E、M在一条直线上，DP⊥PA，DP＝1.5米，PG＝23.6米，请你根据上述信息求出旗帜的宽度MN． 【变式练3】　（2025秋•兰山区期末）如图，河的南北两岸有一段为平行直线，北岸每隔4米有一棵树，为了测量河的宽度，在南岸l上取一点P，从南岸一侧离l垂直距离为10米的点A处朝P点看去，视线AP延长后恰好看到北岸的树C，沿与l平行的直线前进4米至点B，再次朝P点看去，视线BP延长后恰好看到北岸的树D，树C与树D之间还有1棵树，求河的宽度． 题型03 构造相似三角形解决其他实际问题 典型例题 　（2025秋•天府新区期末）中国西部国际博览城是天府新区标志性建筑，其主展厅采用独特的波浪形金属屋顶．某综合实践小组想利用标杆测量其屋顶最高点到地面的距离．如图，观察员小明在C处立一根标杆CD，且CD＝3m，然后小明走到E处，且CE＝2m，此时他的眼睛所处位置为F，与屋顶最高处A和标杆顶端D在一条直线上．已知∠ABC＝∠DCE＝∠FEB＝90°，BC＝50m，点B，C，E在同一条水平线上，小明眼睛到地面的距离EF＝1.6m，请你帮助该实践小组求出中国西部国际博览城屋顶最高点到地面距离AB的长．典例 03 【答案】38m． 【分析】过F作FG⊥AB于G，交CD于H，根据相似三角形的判定得出△FDH∽△FGA，进而利用比例解答即可． 【解答】解：过F作FG⊥AB于G，交CD于H， ∵∠ABC＝∠DCE＝∠FEB＝90°， ∴AB∥DC∥EF， ∴△FDH∽△FGA， ∴， 由题意可知，四边形FECH是矩形，四边形HCBG是矩形， ∵CD＝3m，CE＝2m，BC＝50m， ∴CE＝HF＝2m，BC＝GH＝50m，BG＝EF＝HC＝1.6m， ∴， ∴AG＝36.4m， ∴AB＝BG+AG＝1.6+36.4＝38（m）， 答：AB的长为38m． 即学即练 【变式练1】　（2025秋•广阳区期末）综合与实践． 一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm． 【特例初探】 （1）若把它加工成正方形零件如图（a），使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB和AC上．这个正方形零件的边长是多少？ 【迁移运用】 （2）若把它加工成矩形零件，如图（b），当宽EG为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？ 【变式练2】　（2025秋•林州市期末）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数．当x＝8时，y＝3． （1）求y关于x的函数表达式； （2）若物距（小孔到蜡烛的距离）为4cm，求火焰的像高； （3）若火焰的像高不得超过5cm，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？ 【变式练3】　（2025秋•锦江区校级期末）如图是凸透镜成像示意图，蜡烛AB通过凸透镜MN所成的像是CD，点O是凸透镜的中心，光线AE∥BO，点F是凸透镜的焦点，已知焦距OF的长为10cm，蜡烛AB的长为8cm，点D，B，O，F在同一条直线上． （1）如图1，当蜡烛AB通过该凸透镜成正立放大的虚像CD时，若OB＝6cm． （ⅰ）填空：的值为 　　 ； （ⅱ）求此时虚像CD的高度； （2）如图2，当蜡烛AB通过该凸透镜成倒立缩小的实像CD，且时，求物距OB的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.2.3 相似三角形应用举例 目录 题型01 利用相似测量物体的高度 3 题型02 利用相似测量距离 7 题型03 构造相似三角形解决其他实际问题 11 建体系 新知廊 知识点1： 用相似测量物体的高度 测量不能直接到达顶部的物体的高度，一般都是构造两个相似三角形，利用“相似三角形对应边成比例”解决． 1．利用影子测量物体的高度 （1）测量原理：利用太阳光是平行光线构造相似三角形． （2）测量方法： ①测量出参照物的高度； ②测量出太阳光下参照物的影长和被测物体的影长； ③根据太阳光是平行光线推导出两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例，求出被测物体的高度． 注意：运用此测量方法时，要符合下列两个条件： （1）被测物体的底部能够到达； （2）由于影长随着时间的变化而变化，因此要在同一时刻测量参照物与被测物体的影长． 2．借助标杆测量物体的高度 （1）测量原理：利用标杆与被测物体平行构造相似三角形 （2）测量方法： ①测量出标杆的长度、观测者眼睛到地面的高度； ②让标杆竖直立于地面，调整观测者的位置，使观测者的眼睛、标杆的顶端和被测物体的顶端恰好在一条直线上，测量出观测者的脚距标杆底端的水平距离和距被测物体底端的水平距离； ③根据标杆与被测物体平行推导出两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例求出被测物体的高度． 注意：运用此测量方法时，被测物体的底部必须可到达． 3．利用平面镜的反射测量物体的高度 （1）测量原理：利用平面镜的反射，根据“反射角等于入射角”构造相似三角形． （2）测量方法： ①在观测者与被测物体之间的地面上平放一面平面镜，在平面镜上做一个标记E； ②测出观测者眼睛到地面的高度CD； ③观测者看着平面镜来回走动，直至看到被测物体顶端在平面镜中的像与平面镜上的标记重合，此时测出平面镜上的标记位置到观测者脚底的水平距离DE及到被测物体底端的水平距离BE；④根据“两角分别相等的两个三角形相似”推导出两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例求出被测物体的高度AB． 注意：测量时被测物体与人之间不能有障碍物，且平面镜要水平放置． 知识点2： 利用相似测量宽度 问题类型：测量不能直接到达的两点间的距离（如河流宽度）． 测量原理：构造相似三角形，利用“相似三角形对应边成比例”的性质求解． 求甚解 相似三角形的实际应用主要包括： （1）利用相似三角形的性质测量不能直接到达的河的宽度； （2）利用相似三角形的性质计算不能直接测量的物体的高度． 注意：被测的长度（高度、角度）在实际中可以测量． 练题型 题型01 利用相似测量物体的高度 典型例题 　（2025秋•黔江区期末）在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为1米的竹竿的影长为2米，某一高楼的影长为40米，那么这幢高楼的高度是（　　）典例 01 A．40米 B．30米 C．20米 D．10米 【答案】C 【分析】根据“同一时刻物体的高度与它在阳光下的影长成正比”这一核心条件，建立比例式求解高楼的高度． 【解答】解：设这幢高楼的高度为x米， ∵同一时刻物体的高度与它在阳光下的影长成正比， ∴， 2x＝40， 解得x＝20， ∴这幢高楼的高度是20米． 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2025秋•赵县期末）元氏县开化寺塔是一座具有重要历史文化价值的古塔，创建于北魏时期．2013年被定为第七批全国重点文物．为更好地了解家乡文物，九年级同学设计了测量塔高的实践活动．记录如下：如图，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A，C、E在一条水平直线上，已知AC＝20m，CE＝10m，CD＝9.2m，EF＝1.2m．人从点F远跳塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D．根据以上信息，计算塔的高度为（　　） A．12m B．24m C．25.2m D．20m 【答案】C 【分析】如图，过F作FQ⊥AB于Q，交CD于H，可得DH＝9﹣1.2＝8，证明△FDH∽△FBQ，利用相似三角形的性质求出塔的高度即可． 【解答】解：过F作FQ⊥AB于Q，交CD于H， 已知AC＝20m，CE＝10m，CD＝9.2m，EF＝1.2m， 则FH＝CE＝10m，QH＝AC＝20m， ∴FQ＝AE＝AC+CE＝30（m），EF＝CH＝AQ＝1.2m， ∴DH＝9﹣1.2＝8（m）， ∵DC∥BA， ∴△FDH∽△FBQ， ∴， ∴， 解得：QB＝24， ∴AB＝AQ+QB＝1.2+24＝25.2（米）． 故选：C． 【变式练2】　（2025秋•海门区期末）南通市海门区电视塔是海门标志性建筑，兼具广播电视信号发射与城市景观功能，某次社会实践中，小华想利用自己的身高来测量电视塔的高度，如图，小华身高DE＝1.8米，测得BE＝198米，EC＝2米，且A，D，C在一条直线上，则电视塔AB的高度为（　　） A．200米 B．198米 C．180米 D．178米 【答案】C 【分析】证明△DEC∽△ABC，利用相似三角形的性质列式求得AB的长即可． 【解答】解：由题意得△DEC∽△ABC， ∴DE：AB＝EC：BC， ∵DE＝1.8米，BE＝198米，EC＝2米， ∴BC＝BE+EC＝198+2＝200（米）， ∴1.8：AB＝2：200， 解得：AB＝180， 答：电视塔AB的高度为180米． 故选：C． 【变式练3】　（2025秋•衡南县期末）学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑AB的高度（如图1）．如图2，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为2m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为23m，并且古建筑AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处，从D处观察A点，A，F，D三点成一线；从标杆GH后退4m到C处，从C处观察A点，A，H，C三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度． 【答案】该古建筑的高度为25米． 【分析】设BE＝ym，由题意可知两组三角形相似，利用相似比找出关于y的方程，即可求出建筑物AB的高度． 【解答】解：设BE＝ym，由题意可知， △ABD∽△FED，△ABC∽△HGC， ∴，， ∵EF＝HG＝2， ∴， ∴， 解得：y＝23， 则，即， 解得：AB＝25， 答：该古建筑的高度为25米． 题型02 利用相似测量距离 典型例题 　（2025秋•霸州市期末）嘉嘉和淇淇决定利用所学知识测量河的宽度，如图，河的两岸l1，l2是平行的．已知l1上的点B，C处有两个标志物，测得它们之间的距离BC＝70米．嘉嘉在如图所示的点A处站定，AB⊥BC于点B，AB与l2交于点D，测得AD＝20米．淇淇在l2上移动，当淇淇移动到点E时（点A，E，C在一条直线上），测得DE＝25米，则这条河的宽度BD为（　　）典例 02 A．30米 B．36米 C．40米 D．56米 【答案】B 【分析】先利用平行线的性质可得∠ADE＝∠ABC，∠ACB＝∠AED，从而可得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵l1∥l2， ∴∠ADE＝∠ABC，∠ACB＝∠AED， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， 解得：BD＝36， ∴这条河的宽度BD为36米， 故选：B． 即学即练 【变式练1】　（2025秋•丹江口市期末）某学校数学兴趣小组利用周末时间测量樱花树下的石碑与远处一座实验楼之间的距离（石碑与实验楼之间被小樱花树林隔开，不能直接测量）他们采用以下方法：如图．把支架EF放在石碑旁水平地面上的点F处，再把一面平面镜水平放在支架EF上的点E处（平面镜大小忽略不计），然后沿着直线BF移动至点D处，这时恰好在镜子里看到实验楼的顶端A的像，已知DF＝2米，EF＝0.5米，实验楼的高度AB＝4.1米，观测者的目高CD＝1.7米，已知CD⊥BD，EF⊥BD，AB⊥BD，图中所有的点都在同一平面内，求石碑与实验楼之间的距离BF． 【答案】6米． 【分析】过点E作HG∥BD，HG交AB于点G，交CD于点H，求出DH＝EF＝GB＝0.5米，证明△CHE∽△AGE，，即可得到答案． 【解答】解：过点E作HG∥BD，HG交AB于点G，交CD于点H，如图， ∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD， ∴EH＝DF＝2米，EG＝FB，DH＝EF＝GB＝0.5米， ∴CH＝CD﹣DH＝1.7﹣0.5＝1.2（米）， AG＝AB﹣BG＝4.1﹣0.5＝3.6（米）， 根据题意，得∠CEH＝∠AEG，∠CHE＝∠AGE＝90°， ∴△CHE∽△AGE， ∴，即， 解得EG＝6（米）， ∴BF＝EG＝6米， ∴石碑与实验楼之间的距离为6米． 【变式练2】　（2025秋•安国市期末）为了测量学校旗杆上旗帜的宽度MN，如图，点P、G．C、A在同一水平直线上，MG⊥PA，小红在C处竖立一根标杆BC（BC⊥PA），地面上的点A、标杆顶端B和点N在一条直线上（N在MG上），BC＝1.5米，AC＝1米，AG＝8米；小明手持自制直角三角纸板DEF（DF⊥EF），其中EF＝0.1米，DF＝0.2米，使长直角边DF与水平地面平行，调整位置，恰好在P点时点D、E、M在一条直线上，DP⊥PA，DP＝1.5米，PG＝23.6米，请你根据上述信息求出旗帜的宽度MN． 【答案】1.3米． 【分析】如图，延长DF交MG于Q，则DQ⊥MG，DQ＝PG＝23.6米，证明△ABC∽△ANG和△DEF∽△DMQ，可得MQ和GN的值，最后由线段的和差可得结论． 【解答】解：如图，延长DF交MG于Q，则DQ⊥MG，DQ＝PG＝23.6， ∵BC⊥AP，MG⊥AP， ∴BC∥MG， ∴△ABC∽△ANG， ∴，即， ∴NG＝12米， 同理得：△DEF∽△DMQ， ∴， ∵EF＝0.1米，DF＝0.2米， ∴DF＝2EF， ∴MQDQ23.6＝11.8（米）， ∴MN＝MQ+QG﹣GN＝11.8+1.5﹣12＝1.3（米）． 答：旗帜的宽度MN是1.3米． 【变式练3】　（2025秋•兰山区期末）如图，河的南北两岸有一段为平行直线，北岸每隔4米有一棵树，为了测量河的宽度，在南岸l上取一点P，从南岸一侧离l垂直距离为10米的点A处朝P点看去，视线AP延长后恰好看到北岸的树C，沿与l平行的直线前进4米至点B，再次朝P点看去，视线BP延长后恰好看到北岸的树D，树C与树D之间还有1棵树，求河的宽度． 【答案】河的宽度为20米． 【分析】过点P作l的垂线，与DC的延长线交于点F，与BA的延长线交于点E，利用相似三角形的判定与性质，列出方程，求解即可． 【解答】解：过点P作l的垂线，与DC的延长线交于点F，与BA的延长线交于点E， ∵南岸与北岸相互平行， 即CD∥AB， ∴△PCD∽△PAB， ∵三角形的高线之比等于相似比， ∴， 由题意得CD＝8米，AB＝4米，PE＝10米， ∴， 解得PF＝20， 答：河的宽度为20米． 题型03 构造相似三角形解决其他实际问题 典型例题 　（2025秋•天府新区期末）中国西部国际博览城是天府新区标志性建筑，其主展厅采用独特的波浪形金属屋顶．某综合实践小组想利用标杆测量其屋顶最高点到地面的距离．如图，观察员小明在C处立一根标杆CD，且CD＝3m，然后小明走到E处，且CE＝2m，此时他的眼睛所处位置为F，与屋顶最高处A和标杆顶端D在一条直线上．已知∠ABC＝∠DCE＝∠FEB＝90°，BC＝50m，点B，C，E在同一条水平线上，小明眼睛到地面的距离EF＝1.6m，请你帮助该实践小组求出中国西部国际博览城屋顶最高点到地面距离AB的长．典例 03 【答案】38m． 【分析】过F作FG⊥AB于G，交CD于H，根据相似三角形的判定得出△FDH∽△FGA，进而利用比例解答即可． 【解答】解：过F作FG⊥AB于G，交CD于H， ∵∠ABC＝∠DCE＝∠FEB＝90°， ∴AB∥DC∥EF， ∴△FDH∽△FGA， ∴， 由题意可知，四边形FECH是矩形，四边形HCBG是矩形， ∵CD＝3m，CE＝2m，BC＝50m， ∴CE＝HF＝2m，BC＝GH＝50m，BG＝EF＝HC＝1.6m， ∴， ∴AG＝36.4m， ∴AB＝BG+AG＝1.6+36.4＝38（m）， 答：AB的长为38m． 即学即练 【变式练1】　（2025秋•广阳区期末）综合与实践． 一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm． 【特例初探】 （1）若把它加工成正方形零件如图（a），使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB和AC上．这个正方形零件的边长是多少？ 【迁移运用】 （2）若把它加工成矩形零件，如图（b），当宽EG为多少时，矩形有最大面积，最大面积是多少？ 【答案】（1）48mm； （2）当EG＝40mm时，此时矩形EGHF面积最大，最大面积是2400mm2． 【分析】（1）设正方形EFHG的边长为xmm，根据正方形的性质和相似三角形的性质进行计算即可解答； （2）设EG＝amm，利用相似三角形的性质求出EF，根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值． 【解答】解：（1）∵四边形EFHG是正方形， ∴EF∥GH，即EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， 在锐角三角形ABC中，边BC＝120mm，高AD＝80mm．设正方形EFHG的边长为xmm，则EF＝KD＝xmm，AK＝AD﹣KD＝（80﹣x）mm， ∴， 解得：x＝48， ∴加工成的正方形零件的边长是48mm； （2）设EG＝amm， ∵四边形EGHF是矩形， ∴EF∥GH，即EF∥BC，KD＝EG＝amm， ∴△AEF∽△ABC，AK＝AD﹣KD＝（80﹣a）mm， ∴，即， 解得：， ∴矩形EGHF面积， 当a＝40时，此时S最大，最大值为2400， ∴当EG＝40mm时，此时矩形EGHF面积最大，最大面积是2400mm2． 【变式练2】　（2025秋•林州市期末）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数．当x＝8时，y＝3． （1）求y关于x的函数表达式； （2）若物距（小孔到蜡烛的距离）为4cm，求火焰的像高； （3）若火焰的像高不得超过5cm，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？ 【答案】（1）y； （2）火焰的像高为6cm； （3）小孔到蜡烛的距离至少是4.8厘米． 【分析】（1）根据题意可设y，然后把x＝8，y＝3代入y中，从而进行计算即可解答； （2）把x＝4代入y中，进行计算即可解答； （3）利用（2）的结论进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）设y， 把x＝8，y＝3代入y中得：3， 解得：k＝24， ∴y关于x的函数表达式为：y； （2）把x＝4代入y中得：y6， ∴火焰的像高为6cm； （3）当火焰的像高为5cm，5 解得：x＝4.8， ∴小孔到蜡烛的距离至少是4.8厘米． 【变式练3】　（2025秋•锦江区校级期末）如图是凸透镜成像示意图，蜡烛AB通过凸透镜MN所成的像是CD，点O是凸透镜的中心，光线AE∥BO，点F是凸透镜的焦点，已知焦距OF的长为10cm，蜡烛AB的长为8cm，点D，B，O，F在同一条直线上． （1）如图1，当蜡烛AB通过该凸透镜成正立放大的虚像CD时，若OB＝6cm． （ⅰ）填空：的值为 　　 ； （ⅱ）求此时虚像CD的高度； （2）如图2，当蜡烛AB通过该凸透镜成倒立缩小的实像CD，且时，求物距OB的长． 【答案】（1）（ⅰ）； （ⅱ）20cm； （2）22.5cm． 【分析】（1）（ⅰ）先证明四边形ABOE为矩形得到OB＝AE＝6cm，然后证明△CAE∽△COF得到； （ⅱ）先证明△OAB∽△OCD得到，再利用比例的性质得，所以CDAB； （2）易得四边形ABOE为矩形，则OE＝AB＝8cm，再证明△CDF∽△EOF，利用相似比求出DF＝8cm，则OD＝18cm，接着证明△AOB∽△COD，然后利用相似三角形的性质可求出OB． 【解答】解：（1）（ⅰ）∵AE∥OB，AB∥OE， ∴四边形ABOE为平行四边形， ∵∠BOE＝90°， ∴四边形ABOE为矩形， ∴OB＝AE＝6cm， ∵AE∥OF， ∴△CAE∽△COF， ∴； 故答案为：； （ⅱ）∵AB∥CD， ∴△OAB∽△OCD， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴CDAB8＝20（cm）， 答：此时虚像CD的高度为20cm； （2）由（1）得四边形ABOE为矩形，OE＝AB＝8cm， ∵CD∥OE， ∴△CDF∽△EOF， ∴， ∴DF10＝8（cm）， ∴OD＝OF+DF＝10+8＝18（cm）， ∵AB∥CD， ∴△AOB∽△COD， ∴， ∴OB18＝22.5（cm）． 答：物距OB的长为22.5cm． 学科网（北京）股份有限公司 $