2026年中考数学重难点一轮复习：与圆有关的位置关系

与圆有关的位置关系 一、选择题（共8小题） 1．（2025•凉州区二模）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，点P是的中点，连接AP，若∠BAP＝30°，BC＝6，则AC的长为（　　） A．4 B．3 C． D．3.5 2．（2025•海州区校级模拟）如图，AC切⊙O于点C，AB过点O，若∠CAB＝40°，则∠ACB的度数是（　　） A．100° B．105° C．110° D．115° 3．（2025•南京）下列图形中，一定有外接圆的是（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 4．（2025•石家庄模拟）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（　　） A．70° B．50° C．40° D．20° 5．（2025•巴彦县一模）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB＝25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（　　） A．40° B．50° C．60° D．30° 6．（2025•兴庆区校级三模）已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2﹣2x+d＝0没有实数根，则点P（　　） A．在⊙O的内部 B．在⊙O的外部 C．在⊙O上 D．在⊙O上或在⊙O的内部 7．（2025•丽水一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝50°，则∠CAD的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 8．（2025秋•广阳区期末）若半径为6cm的⊙O与直线l没有公共点，则圆心O到直线l的距离可以是（　　） A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm 二、填空题（共8小题） 9．（2025秋•靖边县期末）已知⊙O的半径为6cm，点A到圆心O的距离为4.5cm，则点A在圆　 　 ．（填“上，外或内”） 10．（2025秋•桥东区期末）如图，在△ABC中，∠A＝64°，点I是内心，则∠I＝　 　 ． 11．（2025•任城区校级模拟）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③BD＝DE；④若点G为BC的中点，则BG⊥GD，其中一定正确的序号是 　 　 ． 12．（2025•泸县校级模拟）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3．点D为平面上一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为 　 　 ． 13．（2025•徐州校级模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAO＝24°，则∠ACB＝ 　 　 °． 14．（2025•宁夏）如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠A＝54°，则∠BOC＝ 　 　 °． 15．（2025•西宁）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝9，CD＝15，则四边形ABCD的周长为　 　 ． 16．（2025•大庆二模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD，CD分别与扇形BAF相切于点A，E．若AB＝15，BC＝17，则AD的长为 　 　 ． 三、解答题（共4小题） 17．（2025•龙沙区二模）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD＝∠BAC，连接OD交BC于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线． （2）若CE＝OA，BC＝4，AB＝5，求OE的长度． 18．（2025•余杭区校级自主招生）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，连接BO并延长交⊙O于点D，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，点F在BD的延长线上，连接AF，使∠FAE＝2∠ABD． （1）判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若DE＝1，BC＝4，求⊙O的半径． 19．（2025•临渭区模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交⊙O于点D，连接BD，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E． （1）求证：∠ECB＝∠EAC； （2）若，BE＝3，求CE的长． 20．（2025•定西模拟）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD． （1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由． （2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC＝2，⊙O的半径是3，求BE的长． 参考答案 一、选择题（共8小题） 1．【答案】B 【分析】连接OA，OP，BP，依题意得OB＝OC＝OA＝OPBC＝3，弧PA＝弧PB，进而得∠PBA＝∠BAP＝30°，再根据圆心角和圆周角定理得∠AOP＝∠BOP＝60°，继而得∠AOC＝60°，由此得△OAC是等边三角形，然后根据等边三角形性质即可得出AC的长． 【解答】解：连接OA，OP，BP，如图所示： ∵BC是⊙O的直径，点P是弧AB的中点，且BC＝6， ∴OB＝OC＝OA＝OPBC＝3，， ∵∠BAP＝30°， ∴∠PBA＝∠BAP＝30°， 根据圆心角和圆周角定理得：∠AOP＝∠BOP＝60°， ∴∠AOC＝180°﹣（∠AOP+∠BOP）＝60°， 又∵OC＝OA， ∴△OAC是等边三角形， ∴AC＝OC＝3． 故选：B． 2．【答案】B 【分析】先由切线的性质得∠ACO＝90°，再运用直角三角形的两个锐角互余，得∠COA＝50°，又因为半径相等以及三角形的外角性质，得∠BCO＝25°，即可作答． 【解答】解：连接CO，如图所示： 由题意可得：∠ACO＝90°， ∵∠CAB＝40°， ∴∠COA＝50°， ∵CO＝BO， ∴∠BCO＝∠CBO， ∵∠BCO+∠CBO＝∠COA， ∴∠BCO＝50°÷2＝25°， 即∠ACB＝∠ACO+∠BCO＝90°+25°＝105°， 故选：B． 3．【答案】A 【分析】根据有四边形外接圆的性质可得：四边形必须对角互补，三角形都有外接圆，即可得出答案． 【解答】解：根据有四边形外接圆的性质，四边形必须对角互补， ∴只有矩形、等腰梯形有外接圆， ∵三角形都有外接圆． 故选：A． 4．【答案】C 【分析】连接OA、OB，根据圆周角定理求出∠AOB，根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，根据四边形内角和等于360°计算，得到答案． 【解答】解：连接OA、OB， ∵∠ACB＝70°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝140°， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°， 故选：C． 5．【答案】A 【分析】连接OC，由CE为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CE，由OA＝OC，利用等边对等角得到一对角相等，再利用外角性质求出∠COE的度数，即可求出∠E的度数． 【解答】解：连接OC， ∵CE为圆O的切线， ∴OC⊥CE， ∴∠OCE＝90°， ∵∠CDB与∠BAC都对，且∠CDB＝25°， ∴∠BAC＝∠CDB＝25°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝25°， ∵∠COE为△AOC的外角， ∴∠COE＝50°， 则∠E＝40°． 故选：A． 6．【答案】B 【分析】利用由已知条件方程x2﹣2x+d＝0没有实数根，可得出一元二次方程根的判别式，Δ＝b2﹣4ac＜0，求出d的取值范围，结合圆的半径是1，得出d与r大小关系，当d＝r，点P在⊙O上；当d＜r，点P在⊙O的内部，根据点与圆的位置关系得出p与圆的位置关系． 【解答】解：∵方程x2﹣2x+d＝0没有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4d＜0， ∴d＞1， ∵⊙O的半径为1， ∴d＞r； ∴点P在⊙O的外部， 故选：B． 7．【答案】A 【分析】根据直角所对的圆周角是直角得到∠ABD的度数，则可求出∠CBD的度数，据此可得答案． 【解答】解：△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连接BD， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∵∠ABC＝50°， ∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝40°， ∴∠CAD＝∠CBD＝40°， 故选：A． 8．【答案】A 【分析】根据直线与圆的位置关系判定求解． 【解答】解：∵半径为6cm的⊙O与直线l没有公共点， ∴圆心O到直线l的距离＞6cm， 故选：A． 二、填空题（共8小题） 9．【答案】内． 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点A到圆心O的距离与圆的半径大小即可判断． 【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，点A到圆心O的距离为4.5cm，4.5＜6， ∴点A在⊙O内． 故答案为：内． 10．【答案】122°． 【分析】先根据三角形的内角和定理求得∠ABC+∠ACB＝116°，再根据内心定义求得∠IBC+∠ICB＝58°，然后再根据三角形的内角和定理求解即可． 【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝64°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝116°， ∵点I是△ABC的内心， ∴BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB， ∴，， ∴， ∴∠I＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°﹣58°＝122°， 故答案为：122°． 11．【答案】①②③④ 【分析】利用三角形内心的性质得到∠BAD＝∠CAD，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；通过证明∠DEB＝∠DBE得到DB＝DE，对③进行判断；根据垂径定理则可对④进行判断． 【解答】解：①∵E是△ABC的内心， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD，故结论①正确； ②如图，连接BE，CE， ∵E是△ABC的内心， ∴∠EBC∠ABC，∠ECBACB， ∵∠BAC＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝120°，故结论②正确； ③如图，连接BE，OB，OC，OD， ∴BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD， ∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴DB＝DE，故结论③正确； ④∵∠BAD＝∠CAD， ∴， ∴BD＝DC，OD⊥BC， ∵点G为BC的中点， ∴G一定在OD上， ∴∠BGD＝90°， ∴BG⊥GD，故结论④正确． 综上所述，一定正确的结论为①②③④， 故答案为：①②③④． 12．【答案】 【分析】根据∠ADB＝45°，AB＝2，作△ABD的外接圆O，连接OC，当O、D、C三点共线时，CD的值最小．将问题转化为点圆最值．可证得△AOB为等腰直角三角形，OB＝OA，同样可证△OBE也为等腰直角三角形，OE＝BE＝1，由勾股定理可求得OC的长为，最后CD最小值为OC﹣OD． 【解答】解：如图所示． ∵∠ADB＝45°，AB＝2，作△ABD的外接圆O（因求CD最小值，故圆心O在AB的右侧），连接OC， 当O、D、C三点共线时，CD的值最小． ∵∠ADB＝45°， ∴∠AOB＝90°， ∴△AOB为等腰直角三角形， ∴AO＝BO＝sin45°×AB． ∵∠OBA＝45°，∠ABC＝90°， ∴∠OBE＝45°，作OE⊥BC于点E， ∴△OBE为等腰直角三角形． ∴OE＝BE＝sin45°•OB＝1， ∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2， 在Rt△OEC中， OC． 当O、D、C三点共线时， CD最小为CD＝OC﹣OD． 故答案为：． 13．【答案】66． 【分析】根据等腰三角形的性质求出∠ABO，根据三角形内角和定理求出∠AOB，再根据圆周角定理计算即可． 【解答】解：∵OA＝OB，∠BAO＝24°， ∴∠ABO＝∠BAO＝24°， ∴∠AOB＝180°﹣24°×2＝132°， 由圆周角定理得：∠ACB∠AOB＝66°， 故答案为：66． 14．【答案】117． 【分析】根据⊙O是△ABC的内切圆，得出，，进而得出∠ABC+∠ACB＝126°，即可得出答案． 【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴，， ∵∠A＝54°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝126°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°（∠ABC+∠ACB） ＝117°， 故答案为：117． 15．【答案】48． 【分析】根据切线长定理得到AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，得到AD+BC＝AB+CD＝24，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形， ∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG， ∴AD+BC＝AB+CD＝24， ∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝24+24＝48， 故答案为：48． 16．【答案】9． 【分析】连接BE，作DH⊥BC于点H，则∠BHD＝∠CHD＝90°，AD，CD分别与扇形BAF切于点A，E，AB＝15，BC＝17，得AB＝EB＝15，AD⊥AB，CD⊥EB，AD＝ED，求得，再证明四边形ABHD是矩形，则BH＝AD，DH＝AB＝15，由勾股定得理152+（17﹣AD）2＝（8+AD）2，求得AD＝9，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接BE，作DH⊥BC于点H，则∠BHD＝∠CHD＝90°， 由条件可知AB＝EB＝15，AD⊥AB，CD⊥EB，AD＝ED， ∴∠BAD＝∠BEC＝90°， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠ADH＝∠CHD＝90°， ∵∠BAD＝∠ADH＝∠BHD＝90°， ∴四边形ABHD是矩形， ∴BH＝AD，DH＝AB＝15， ∴CH＝BC﹣BH＝17﹣AD， 由条件可得152+（17﹣AD）2＝（8+AD）2， 解得：AD＝9， 故答案为：9． 三、解答题（共4小题） 17．【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）连接OC，证明OC⊥CD即可； （2）过点O作OH⊥BC于点H，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据勾股定理得到AC3，根据垂径定理得到CH＝BH＝2，求得OA＝OBAB，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵∠BCD＝∠BAC， ∴∠OCB+∠DCB＝90°， ∴OC⊥CD， ∵OC为⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：过点O作OH⊥BC于点H． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵BC＝4，AB＝5， ∵OA＝OBAB， ∴CE＝OA， ∴OHAC， ∴EH＝CE﹣CH， ∴OE． 18．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用圆周角定理，直角三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）延长AE交⊙O于点H，连接BH，利用垂径定理的推理得到BD为AH的垂直平分线，利用等弦对等弧的性质得到AH＝BC＝4；设⊙O的半径为r，则OE＝OD﹣DE＝r﹣1，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：（1）直线AF与⊙O相切，理由： ∵∠FAE＝2∠ABD，∠FOA＝2∠ABD， ∴∠FAE＝∠FOA， ∵AE⊥BD， ∴∠AEO＝90°， ∴∠FOA+∠EAO＝90°， ∴∠FAE+∠EAO＝90°． 即∠FAO＝90°， ∴OA⊥FA． ∵OA为⊙O的半径， ∴直线AF与⊙O相切； （2）延长AE交⊙O于点H，连接BH，如图， ∵BD为⊙O的直径，AE⊥BD， ∴BD平分AH， 即BD为AH的垂直平分线， ∴BA＝BH， ∵AB＝AC， ∴BH＝AC， ∴， ∴， ∴AH＝BC＝4． ∴AEAH＝2． 设⊙O的半径为r，则OE＝OD﹣DE＝r﹣1， 在Rt△OAE中， ∵AE2+OE2＝OA2， ∴22+（r﹣1）2＝r2， 解得：r＝2.5． ∴⊙O的半径为2.5． 19．【答案】（1）证明见解析； （2）． 【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CE，得到∠ECB+∠OCB＝90°，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，得到∠EAC+∠OBC＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OBC＝∠OCB，等量代换即可证明； （2）连接AD，根据圆心角、弧、弦的关系得到AD＝BD，根据勾股定理求出AB，证明△ECB∽△EAC，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【解答】（1）证明：如图，连接OC， ∵CE是⊙O的切线， ∴OC⊥CE， ∴∠ECB+∠OCB＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠EAC+∠OBC＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠ECB＝∠EAC； （2）解：如图，连接AD， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ACD， ∴， ∴△ECB∽△EAC， ∴，即， ∴EC（负值舍去）． 20【答案】见试题解答内容 【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA＝90°，求出∠CDA+∠ADO＝90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据勾股定理求出DC，根据切线长定理求出DE＝EB，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切， 理由是：连接OD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB+∠DBA＝90°， ∵∠CDA＝∠CBD， ∴∠DAB+∠CDA＝90°， ∵OD＝OA， ∴∠DAB＝∠ADO， ∴∠CDA+∠ADO＝90°，即OD⊥CE， 已知D为⊙O的一点，∴直线CD是⊙O的切线， 即直线CD和⊙O的位置关系是相切； （2）∵AC＝2，⊙O的半径是3， ∴OC＝2+3＝5，OD＝3， 在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD＝4， ∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B， ∴DE＝EB，∠CBE＝90°， 设DE＝EB＝x， 在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2＝BE2+BC2， 则（4+x）2＝x2+（5+3）2， 解得：x＝6， 即BE＝6． 学科网（北京）股份有限公司 $