河南济源市 2025—2026学年上学期期末学业质量监测 九年级 数学

2025—2026学年上学期期末学业质量监测 九年级 数学 注意事项： 1. 本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。 2. 本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。 一、选择题（每小题3分，共30分。下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，利用新篆书生成器转换出“中华崛起”，其中是中心对称图形的是 2. 如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若°，则的度数为 A.45° B.50° C.60° D.65° 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是 A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 4. 如图，与是位似图形，位似中心为点O。若的面积为m，OB：：5，则的面积是 A. B. C. D. 5. 一个暗箱中装有15张不同颜色的卡片（除颜色外其余均相同），其中有n张红卡。每次摸出一张卡记录下颜色后再放回，统计每次试验红卡出现的频率如图，则n的值最可能是 A.6 B.8 C.9 D.10 6. 已知二次函数的图象上有两点A(，n)和B(3，n)，则n的值等于 A.2025 B.2024 C.2023 D.2022 7. 如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为(，0)，点A为第二象限角平分线上一点，将线段CA绕点C顺时针旋转90°得CB，若的长度为，则旋转后点B的坐标为 A.（2，2） B.（2，2） C.（2，2） D.（3，3） 8. 如图，在□ABCD中，点E是BC的中点，连接AE交对角线BD于点M，交AB于点N。若，则MN的长是 A. B. C. D. 9. 如图，等腰直角三角形 中， ， ， 点 为 边的中点， 过点 作 交 的延长线于点 ， 则线段 的长度为 A. B. C. D. 10. 如图1， 在菱形 中， 点 为对角线 上一动点， 沿路径 以 的速度运动， 同时点 从 出发沿路径 以 的速度运动. 设运动时间为 ， 的面积为 ， 与 的函数图象如图2所示. 若 ， 则图2中 的值为 A.3 B.2 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一条经过原点且开口向上的抛物线的解析式 12. 农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具. 已知手压水井的阻力和阻力臂分别是 和 ， 则动力 （单位：）与动力臂 （单位：）之间的函数表达式是 . 13. 小明在与DeepSeek对话中输入如下的文字， 当敲下回车键后，DeepSeek给出的这个数应该是 . 有没有这样一个正数，先计算它的平方，再减去它的2倍后再减去4，结果等于这个数？ 🔍 深度思考 🔍 联网搜索 🤖 今天有什么可以帮到你？ 14. 如图， 在扇形 中， ， 以 为直径在 上方作半圆， 交 于点 ， 若 ， 则阴影部分的面积是 . 15. 如图， 在 中， ， ， ， 点 为平面内一点， 且 ， 点 为 的中点， 连接 . 将 绕点 在平面内旋转， 则 的最小值和最大值分别为 . 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.（10分）（1） 计算： .（2） 解方程： . 17.（9分） 数学活动课上， 老师在一个暗箱中放入四个小球， 上面分别标注有如下数字， 四个小球除标注数字不同外其他完全相同. （1） 小何从暗箱中随机摸取一个小球， 摸取小球上的数字是无理数的概率是 . （2）现在有一张电影票，老师要分享给小何和小楠中的一位，现制定规则如下：先从暗中随机摸取一个小球，不放回摇匀后再随机摸取一个小球，若两次摸取的小球上的数字都是无理数，电影票给小何，否则给小楠.这个规则公平吗？ 请用所学概率知识说明理由. 18.（9分）悟颖塔（图1）位于河南省驻马店市汝南县莲花广场西门，相传为唐代和尚悟颖所建，是豫南地区现存最古之砖塔.该塔为楼阁式石塔，形制古朴，极具历史与建筑价值，悟颖塔（记为AB）前有一土坡，其斜坡CD的坡比，土坡坡面上有一点E，点A，B，C，D，E在同一平面内.如图2所示，小红从点E处测得悟颖塔顶A处的仰角为37°，测得斜坡坡底点C处与悟颖塔的水平距离m，且CE的长度为12 m.求悟颖塔AB的高度.（结果精确到0.1 m，参考数据，，，）. 19.（9分）如图1，中，，斜边AB与地面在同一水平面内，假设一束阳光垂直照射地面，直角边AC，BC投射在AB上影子分别为AD和BD，则称点D是点C的“投影点”. （1）如图1，猜想线段CD，BD与AD之间的数量关系，并证明. （2）如图2，已知点D在线段AB上，且. ①用无刻度的直尺和圆规作，使得点D为点C的“投影点”（保留作图痕迹，不写作法）； ②在①的基础上，求线段CD的长. 20.（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线与x轴，y轴交于A，B两点，反比例函数的图象经过直线l上的点. （1）求反比例函数的解析式. （2）将直线AB沿y轴向下平移，当AB经过点O时平移停止，AB交反比例函数的图象于点Q，求点Q的坐标. 21.（9分）独轮车（图1）起源于西汉，是中国古代重要的运输工具. 它结构简单、轻便灵活，能适应狭窄田埂与乡村小路，解决了农村零散货物运输难题，助力农业生产与乡村物资流通，是古代劳动人民智慧的结晶. 如图2是从独轮车图片中抽象的几何模型，推车人上肢躯干与车身垂直，车轮圆心在上，为车轮的直径，交圆周于点，连接，且. （1）求证：为的切线. （2）若人的躯干，车身，求车轮的半径. 22.（10分）【问题情境】如图1，果树拉枝是果树栽培管理中的一项重要技术，通过拉枝可以调整枝条生长方向，改善树冠通风透光条件，促进花芽分化和果实发育. 如图2是某果树拉枝后的横截面示意图，其中枝干垂直于地面，作为支撑枝条的主干，以垂直于地面的枝干为轴，水平线为轴建立平面直角坐标系，点，，，在枝条形成的抛物线的最低点到的水平距离为，离地面的距离为，请尝试解决以下问题： （1）设枝条抛物线上某处离地面的距离为，该处离枝干的水平距离为，求与之间的函数关系式. （2）若牵引绳的端点到轴的水平距离为，求点离地面的距离. （3）在（2）的条件下，在抛物线段上取点，过点作轴的平行线交牵引绳于点，若 的长度超过，大风之下枝条有折断的危险，已知点到地面的距离定为，请问在此次牵引下，大风之下的枝条是否有折断的危险？ 请说明理由. 23.（10分）剪拼是平面几何中转化图形、推导性质的实用方法. 它通过裁剪、拼接，将不规则或陌生图形转化为矩形、三角形等熟悉图形；同时，剪拼还可直观验证图形的全等、相似关系，辅助解决面积计算、图形分割与拼接问题，是连接直观操作与几何推理的桥梁. （1）【用数学的眼光观察】如图1，王林任意剪了矩形纸片，在边上任意确定一定，分 别找到，边的中点，，连接，. 分别将和剪下，贴合到和处，进而得到. 连接，则与的关系为__________. （2）【用数学的思维分析】在（1）的基础上继续探究，若的面积为，请用含的代数式表示四边形的面积（写出推理过程）. （3）【用数学的语言表达】如图2，在矩形纸片中，点为边上一点，，分别为，的中点，分别将和剪下，贴合到和处，进而得到. 通过测量发现，，. 求线段，和的长. 参考答案 RJ九年级2025—2026学年上学期期末学业质量监测 数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.A 2.B 3.C 4.C 5.A 6.C 7.D 8.A 9.A 10.C 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. （答案不唯一） 12. 13.4 14. 15. ， ………………………………………………………………………（对1个得2分，两个全对得3分） 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.（1）解：原式 …………………………………………………………………………（3分） . ………………………………………………………………………………………………（5分） （2）解：， ………………………………………………………………………………………（2分） ， ……………………………………………………………………………………（3分） 或， 所以，. …………………………………………………………………………（5分） 17. 解：（1） …………………………………………………………………………………………………………（3分） （2）这个规则不公平， ……………………………（4分） 理由：设四个数字依次为A，B，C，D，画树状图如下： ………………………………………………………………（5分） 由树状图可知，一共有12种等可能的结果，其中两次摸取的小球上的数字都是无理数结果有2种， ∴ 两次摸取的小球上的数字都是无理数的概率， …………………………………（7分） ∴ 小何获得电影票的概率，小楠获得电影票的概率. ∵ ，∴ 这个规则不公平. …………………………………………………………………………（9分） 18. 解：如图，过点E作于点H，于点F， ……………………………………………………（1分） 在中，，，设，则，……………………………………………………（2分） 根据勾股定理得：， 解得（负值已舍去）， 故 EF=6 m，CF=63 m （5分） 由 知，四边形 是矩形， ，. ，. 在 中， ，， ∴AH=HE·tan37°=(16.5+63)×0.75≈20.16, （8分） . ∴ 悟颖塔 AB 的高度约是 26.2 m （9分） 19.(1) 解: CD2=AD·DB, （1分） 理由如下： ，， 和 都是直角三角形. 在 中， ， 又 ， ∴∠A=∠BCD （3分） 在 和 中， ，， ∴∆ACD∼∆CBD，∴CDBD=ADCD，∴CD2=AD·DB （4分） （2） ① ∆ABC 即为所求（答案不唯一，合理即可得分） （7分） ②由作图可知： ， 为 的外接圆， ∴∠ACB=90° （8分） 又 点 在 上， 由（1）可知： ， . 答: CD 的长为 23 （9分） 20. 解：（1） 把点 代入 中， 得 ， 解得 n=2，∴P(2,3) （2分） 点 在反比例函数 的图象上， ， ∴ 反比例函数的解析式为 y=6x(x>0) （3分） （2） 在 中， 令 ， 则 ， 令 ， 则 ， ∴A(-4,0)，B(0,2)，∴OA=4，OB=2 （5分） 如图，过作轴于点，设，，， 由平移的性质可知，，. 在与中，，， ， （8分） ，解得（负值已舍去），， . (9分) 21. （1）证明：连接，如图，，. ，. ，. (3分) ，. 又为的半径，是的切线. （6分） （2）解：设圆的半径为，则， ，. ，， （7分） ，， ，， 故车轮的半径为. （9分） 22. 解：（1）根据题意知，抛物线顶点坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， （1分） 把代入，得， 解得， 抛物线的解析式为. （3分） （2）当时，， ∴ 点离地面的距离为米. …………………………………………………………………………（分） （3）有折断的危险， ………………………………………………………………………………………………（分） 理由如下：由（2）可知，设直线的解析式为，把，代入解析式得： 解得 ∴ 直线的解析式为， ………………………………………………………………（分） ∴ 的长度为直线上点的纵坐标减去抛物线上点的纵坐标， 设点的横坐标为， 即。 ∵ ，抛物线开口向下，对称轴为， 结合点在线段上，的取值范围为， 当时，取得最大值米， ……………………………………………………（分） ∵ ，且， ∴ 在此次牵引下，大风之下的枝条有折断的危险. ……………………………………………………（分） 23. 解：（1） 且 ……………………………………………………………………（分） （2） 由（1）知，， …………………………………………………………（分） ∴ ，， ……………………………………………………（分） 即，。 ……………………………………………………（分） （3） 在中，，，。 易知为的中位线，，，， ∴ 。 在中，，。 在中，，， ∴ ，。 答：线段的长为，的长为，的长为。 ………………………………（分，每个分）。 学科网（北京）股份有限公司 $