第2讲 一元一次不等式组及其应用 培优讲义 2025--2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册

本讲义聚焦一元一次不等式组及其应用核心知识点，系统梳理不等式组的概念、解集及解法步骤，构建从概念理解到解法掌握再到实际应用的学习支架，帮助学生逐步形成完整知识体系。 资料通过分层设计（知识梳理+真题精讲+随堂检测+课后巩固），结合跨学科实例（如物理天平称重问题），培养学生运算能力与模型意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的能力。

第2讲 一元一次不等式组及其应用 (知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义 本节课主要针对第15章一元一次不等式组进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了一元一次不等式组的解法及应用相关概念、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。 知识点一 不等式组的概念 定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如，等都是一元一次不等式组． 要点： (1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上． (2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数． 知识点二 解一元一次不等式组 1.一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集． 2.一元一次不等式组的解法 解一元一次不等式组的方法步骤： （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集． （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集． 注意： (1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分． (2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况． 知识点三 一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答． 要点： (1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系． (2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数． 1．下列不是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 2．下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 3．写出一个解集为﹣1≤x＜2的一元一次不等式组 　 　 ． 4．写出一个解集是﹣2＜x≤1的一元一次不等式组：　 　 ． 5．有甲、乙、丙三个同学在一起讨论一个一元一次不等式组，他们各说出该不等式组的一个性质： 甲：它的所有的解为非负数； 乙：其中一个不等式的解集为x≤8； 丙：其中一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向． 请试着写出符合上述条件的一个不等式组 　 　 ． 6． 写出一个解集在数轴上如图所示的不等式组：　 　 ． 7．一元一次不等式组 一般地，由几个含有　 　 的　 　 所组成的不等式组，叫作一元一次不等式组． 二．解一元一次不等式组（共8小题） 8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 9．若关于x的不等式组无解，则a的值为（　　） A．a≥3 B．a≤3 C．a＞3 D．a＜3 10．不等式组的解集正确的是（　　） A．x＜2 B．1＜x＜2 C．x＜1 D．无解 11．关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜2，则a﹣b的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1 12．不等式组的解集是 　 　 ． 13．不等式组解集为　 　 ． 14．（1）解方程组：； （2）解不等式组：． 15．解不等式组：，并写出所有整数解． 解：解不等式①得　 　 ， 解不等式②得　 　 ， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为　 　 ， 所以，原不等式组的整数解为　 　 ． 三．一元一次不等式组的整数解（共7小题） 16．已知关于x的不等式组，甲、乙两位同学分别得出以下结论： 甲：若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是5≤a＜6； 乙：若它无解，则a≤2． 其中下列判断正确的是（　　） A．甲、乙都对 B．甲对，乙错 C．甲错，乙对 D．甲、乙都错 17．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则a的取值范围是（　　） A．﹣4≤a＜﹣3 B．﹣4＜a≤﹣3 C．﹣3≤a＜﹣2 D．﹣3＜a≤﹣2 18．不等式组的整数解为　 　 ． 19．若不等式组有5个整数解，则a的取值范围是　 　 ． 20．求不等式组：的所有整数解之和． 21．（1）解不等式2x+4≥4x，并在下图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式2﹣x＜5，并在下图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集并写出最小整数解． 22．若一个不等式组P有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称为P的“解集中点值”，若P的解集中点值是不等式组Q的解，则称不等式组Q对于不等式组P“中点包含”． （1）已知关于x的不等式组A：以及不等式组B：﹣1＜x≤5，请判断不等式组B是否对于不等式组A中点包含，并写出判断过程． （2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． （3）已知关于x的不等式组E：和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为14，求n的取值范围． 四．一元一次不等式组的应用（共13小题） 23．用若干载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空．设有x辆货车，3位同学分别列出了关于x的不等式组，则正确的是（　　） ①0＜8x﹣（4x+20）＜8；②8（x﹣1）＜4x+20＜8x；③0＜4x+20﹣8（x﹣1）＜8． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 24．莲花血鸭是江西十大赣菜之一，为确保肉质鲜嫩、入味均匀，对鸭子的选择有特定要求．鸭子的推荐重量x（kg），要求不低于1kg，不高于1.5kg．下面用不等式表示这一范围正确的是（　　） A．1＜x＜1.5 B．1≤x≤1.5 C．1＜x≤1.5 D．1≤x＜1.5 25．☆跨学科物理小明用天平称一个物体的质量，天平调节平衡后，他将两个该物体放在天平的左边，右边分别放两个、三个50g的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量m的范围是（　　） A．m＞50g B．m＜75g C．50g≤m≤75g D．50g＜m＜75g 26．一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（　　） A． B． C． D． 27．爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格x（元）所在的范围是　 　 ． 28．如图是高速公路的限速标志，该标志表明在此道路上行驶的小客车的最低车速为90km/h，最高车速为120km/h．如果用v（单位：km/h）表示此道路小客车的速度，则v的取值范围是 　 　 ． 29．如图为小丽和小欧依序进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，已知小丽、小欧的重量分别为45公斤、75公斤．若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，则x应满足的条件为　 　 ． 30．某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． （1）若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？ （2）请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案． 31．2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？ 32．2024年度“涟商大会”在国家级地质公园湄江举行，为迎接此次盛会，某初中举办了“湄江焕彩，涟商倾情”的绘画比赛，并购买A、B两种徽章作为奖品．已知购买2个A种徽章和3个B种徽章需156元；购买4个A种徽章和5个B种徽章需284元． （1）每个A种徽章与每个B种徽章的价格分别为多少元？ （2）学校计划购进A、B两种徽章共60个，已知购进的A种徽章数不少于B种徽章数的2倍，且总费用不超过2000元，那么购进A种徽章的个数是多少？ 33．某工人制造机器零件，如果每天比计划多做一件，那么8天所做的零件总数超过100件；如果每天比计划少做一件，那么8天所做的零件总数不足99件，问这个工人每天做多少件？ 34．阅读下列材料： 我们给出如下定义：数轴上给定A，B两点以及一条线段PQ．若线段AB的中点R在线段PQ上（点R能与点P或Q重合），则称点A与点B关于线段PQ径向对称如图（a）所示为点A与点B关于线段P径向对称的示意图．如图（b）所示，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为﹣1，点M表示的数为2． 解答下列问题：如在数轴上，点H，K，L表示的数分别是﹣5，﹣4，﹣3，当点H以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，线段KL同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动，设移动的时间为t（t＞0）秒，问当t在范围 　 　 时，线段KL上至少存在一点与点H关于线段OM径向对称． 35．根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 1．解不等式组，并在数轴上表示解集． 2．解不等式组：． 3．若关于x的不等式组的解集只有3个整数解，则a的取值范围是 　 　 ． 4．如果不等式组的整数解有四个，那么a的取值范围是　 　 ． 5．某汽车销售公司到某汽车制造厂选购A、B两种型号的轿车，用300万元可购进A型轿车10辆，B型轿车15辆，用300万元也可以购进A型轿车8辆，B型轿车18辆． （1）求A、B两种型号的轿车每辆分别为多少万元？ （2）若该汽车销售公司销售1辆A型轿车可获利8000元，销售1辆B型轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A、B两种型号轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，问有几种购车方案？在这几种购车方案中，该汽车销售公司将这些轿车全部售出后，分别获利多少万元？ 1．已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（　　） A．6≤m＜9 B．6＜m≤9 C．6＜m＜9 D．6≤m≤9 2．已知关于x的不等式组无解，则a的值可能为（　　） A．3 B．2 C．4 D．﹣1 3．对a，b定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b．若关于x的不等式组有且只有一个整数解，则m的取值范围是（　　） A．m≥20 B．20＜m≤23 C．20＜m＜23 D．20≤m＜23 4．若，且是最简分数，则x＝　 　 ． 5．关于x的不等式组恰好只有四个整数解，则a的取值范围是 　 　 ． 6．解不等式组：并写出其整数解． 7．求不等式组的非负整数解． 8．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 9．开学之前，学校总务部门安排新生宿舍，如果每间宿舍住4个学生，那么还余20个人没有宿舍可住；如果每间住8人，那么其中一间不满也不空，其余各间全满，试问：要住宿舍的新生共有多少人？一共有多少间宿舍？ 0．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． （1）求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ （2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 11．某校为了更好地开展球类运动，体育组决定用1600元购进足球8个和篮球14个，已知篮球的单价比足球的单价多20元，请解答下列问题： （1）求出足球和篮球的单价； （2）若学校欲用不超过3240元，且不少于3200元再次购进两种球50个，求出有哪几种购买方案？ 12．某研学基地为激发来研学学生参与活动的积极性，经常组织竞赛活动，并购买保温杯和台灯作为奖品奖励学生．该基地在某超市购买保温杯、台灯若干次，其中前两次购买时，均按标价购买；成为老顾客后，从第三次购买开始，保温杯、台灯同时以相同折扣数的打折价购买．前三次购买保温杯、台灯的数量及费用如下表所示： 购买保温杯的数量/个 购买台灯的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 5 4 800 第二次购买 3 7 940 第三次购买 9 8 912 （1）求保温杯、台灯的标价； （2）某日，甲、乙两校师生同时来到该基地研学，基地为两校组织了一次陶泥制作比赛，并颁发奖品20个保温杯和10个台灯（均按打折价购买），甲、乙两校各获得15个奖品，甲校所获奖品的购买金额不低于800元，乙校所获奖品的购买金额不低于750元，求甲、乙两校分别获得保温杯和台灯各多少个？ 13．为了更好治理黄浦江水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． A、B两种型号设备的月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） a 处理污水量（吨/月） 240 180 （1）设A型设备每台的价格为a万元，则B型每台的价格为　 　 万元； （2）求A、B两种型号的设备的价格； （3）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，且每月要求处理黄浦江的污水量不低于1860吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 14．某数码专营店销售甲、乙两种品牌智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示： 甲 乙 进价（元/部） 4300 3600 售价（元/部） 4800 4200 （1）该店销售记录显示．三月份销售甲、乙两种手机共17部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2倍，求该店三月份售出甲种手机和乙种手机各多少部？ （2）根据市场调研，该店四月份计划购进这两种手机共20部，要求购进乙种手机数不超过甲种手机数的，而用于购买这两种手机的资金低于81500元，请通过计算设计所有可能的进货方案． （3）在（2）的条件下，该店打算将四月份按计划购进的20部手机全部售出后，所获得利润的30%用于购买A，B两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买A仪器每台300元，购买B仪器每台570元，且所捐的钱恰好用完，试问该店捐赠A，B两款仪器一共多少台？（直接写出所有可能的结果即可） 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 一元一次不等式组及其应用 (知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义 本节课主要针对第15章一元一次不等式组进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了一元一次不等式组的解法及应用相关概念、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。 知识点一 不等式组的概念 定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如，等都是一元一次不等式组． 要点： (1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上． (2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数． 知识点二 解一元一次不等式组 1.一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集． 2.一元一次不等式组的解法 解一元一次不等式组的方法步骤： （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集． （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集． 注意： (1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分． (2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况． 知识点三 一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答． 要点： (1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系． (2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数． 一．一元一次不等式组的定义（共7小题） 1．下列不是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一元一次不等式组的定义进行解答． 【解答】解：A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； B、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； C、该不等式组中含有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项符合题意； D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组． 2．下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用一元一次不等式组的定义判断即可． 【解答】解：是一元一次不等式组． 故选：B． 【点评】此题考查了一元一次不等式组的定义，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解本题的关键． 3．写出一个解集为﹣1≤x＜2的一元一次不等式组 　　 ． 【分析】根据“大小小大中间找”构造不等式组则可． 【解答】解：当解集为﹣1≤x＜2时， 构造的不等式组为． 答案不唯一 【点评】本题考查了一元一次不等式解集与不等式组之间的关系，解不等式组的简便求法就是用口诀求解，构造已知解集的不等式是它的逆向运用．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 4．写出一个解集是﹣2＜x≤1的一元一次不等式组：　（答案不唯一）　 ． 【分析】利用不等式的性质把﹣2＜x≤1进行变形得到两个不等式即可． 【解答】解：x≤1的解集为x﹣1≤0，﹣2＜x的解集为x+2＞0． 所以解集是﹣2＜x≤1的一元一次不等式组为：． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的定义．能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． 5．有甲、乙、丙三个同学在一起讨论一个一元一次不等式组，他们各说出该不等式组的一个性质： 甲：它的所有的解为非负数； 乙：其中一个不等式的解集为x≤8； 丙：其中一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向． 请试着写出符合上述条件的一个不等式组 　（答案不唯一）　 ． 【分析】由于一元一次不等式组的解集为非负数，所以其中一个不等式的解集必为x≥0，由于一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向，所以其中一个不等式中x的系数为负数，根据这两个条件写出符合条件的一元一次不等式组即可． 【解答】解：∵一元一次不等式组的解集为非负数， ∴其中一个不等式的解集必为x≥0， ∵一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向， ∴其中一个不等式中x的系数为负数， ∴符合条件的一元一次不等式组可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是一元一次不等式组的定义及不等式的基本性质，此题属开放性题目，答案不唯一． 6．写出一个解集在数轴上如图所示的不等式组：　　 ． 【分析】由图示可看出，从﹣1出发向右画出的折线且表示﹣1的点是空心圆，表示x＞﹣1； 从2出发向左画出的折线且表示2的点是空心圆，表示x＜2，所以这个不等式组的解集为﹣1＜x＜2，只要解集为﹣1＜x＜2的不等式组皆可． 【解答】解：． 答案不唯一 【点评】本题考查了不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 7．一元一次不等式组 一般地，由几个含有　未知数相同　 的　几个一元一次不等式　 所组成的不等式组，叫作一元一次不等式组． 【分析】直接根据一元一次不等式组的定义解答即可． 【解答】解：一般地，由几个含有未知数相同的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫作一元一次不等式组． 故答案为：未知数相同，几个一元一次不等式． 【点评】此题考查的是一元一次不等式组，掌握其定义是解决此题的关键． 二．解一元一次不等式组（共8小题） 8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【解答】解：解不等式x﹣1≥0得x≥1， 解不等式2﹣x＞0得x＜2， ∴不等式组的解集为：1≤x＜2， 在数轴上表示如图： ． 故选：D． 【点评】本题考查的是解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解题的关键． 9．若关于x的不等式组无解，则a的值为（　　） A．a≥3 B．a≤3 C．a＞3 D．a＜3 【分析】根据不等式组无解即可得到关于a的不等式，即可求得a的范围． 【解答】解：（1）由x+1≤2，得：x≤1， ∵关于x的不等式组无解， ∴a﹣2≥1， ∴a≥3； 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． 10．不等式组的解集正确的是（　　） A．x＜2 B．1＜x＜2 C．x＜1 D．无解 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【解答】解：解不等式2x＜x+2得：x＜2， 解不等式x+1＜2得：x＜1， ∴不等式组的解集为x＜1， 故选：C． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 11．关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜2，则a﹣b的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1 【分析】首先计算出两个不等式的解集，再根据不等式的解集是﹣1＜x＜2，可得1，a＝2，再解一元一次方程可得答案． 【解答】解：， 由①得：x＜a， 由②得：x， ∵关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜2， ∴1，a＝2， 解得：a＝2，b＝3， 则a﹣b＝2﹣3＝﹣1， 故选：C． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式的解法，关键是正确计算出两个不等式的解集． 12．不等式组的解集是 　　 ． 【分析】先分别求出各不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集． 【解答】解：， 解不等式2x+4≥0，得x≥﹣2， 解不等式4﹣2x＜﹣1，得， 不等式组的解集为． 故答案为：． 【点评】本题考查解一元一次不等式组．熟练掌握该知识点是关键． 13．不等式组解集为　﹣2≤x≤1　 ． 【分析】分别求解每个不等式，然后确定不等式组的解集为两个不等式解集的公共部分即可． 【解答】解：解不等式：2x+1≥x﹣1得：x≥﹣2， 解不等式：4x﹣1≤x+2得：x≤1， 所以不等式组的解集为﹣2≤x≤1． 故答案为：﹣2≤x≤1． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 14．（1）解方程组：； （2）解不等式组：． 【分析】（1）依据题意，设m＝x+1，n＝2y+3，则原方程组化为：，求出m，n然后再代入计算可以得解； （2）依据题意，解不等式组，由①得，3x﹣2x≤1，则x≤1，由②得，7x﹣2＞3﹣3x，则x，从而可以计算得解． 【解答】解：（1）由题意，设m＝x+1，n＝2y+3， ∴原方程组化为：， 对第一个方程两边同乘6，得：2m﹣3n＝6 ①， 对第二个方程两边同除以2，得：2m+n＝2 ②， ∴②﹣①消去m：4n＝﹣4，则n＝﹣1， 代入②得， ∴；2y+3＝﹣1，则y＝﹣2． ∴方程组的解为：； （2）解不等式组， 由①得，3x﹣2x≤1，则x≤1， 由②得，7x﹣2＞3﹣3x，则x． ∴原不等式组的解集为． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组、解二元一次方程组，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 15．解不等式组：，并写出所有整数解． 解：解不等式①得x≤0　 ， 解不等式②得x＞﹣3　 ， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为　﹣3＜x≤0　 ， 所以，原不等式组的整数解为　﹣2，﹣1，0　 ． 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：解不等式①，得x≤0．解不等式②，得x＞﹣3． 在同一数轴上表示不等式①、②的解集： ∴不等式组的解集为﹣3＜x≤0， 它的所有整数解为﹣2，﹣1，0， 故答案为：x≤0；x＞﹣3；﹣3＜x≤0；﹣2，﹣1，0． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 三．一元一次不等式组的整数解（共7小题） 16．已知关于x的不等式组，甲、乙两位同学分别得出以下结论： 甲：若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是5≤a＜6； 乙：若它无解，则a≤2． 其中下列判断正确的是（　　） A．甲、乙都对 B．甲对，乙错 C．甲错，乙对 D．甲、乙都错 【分析】根据不等式组解的情况，对a进行讨论求解． 【解答】解：若它的整数解仅有3个，则4≤a﹣1＜5， 解得：5≤a＜6， 故甲正确； 若它无解，则a﹣1≤1， 解得：a≤2， 故乙正确． 故选：A． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 17．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则a的取值范围是（　　） A．﹣4≤a＜﹣3 B．﹣4＜a≤﹣3 C．﹣3≤a＜﹣2 D．﹣3＜a≤﹣2 【分析】首先解不等式组得到解集为a≤x＜1，由于有且仅有4个整数解，且x＜1，因此整数解为﹣3，﹣2，﹣1，0，为确保仅这些整数解，需满足a≤﹣3，为不包括﹣4，需a＞﹣4． 【解答】解：若关于x的不等式组有且仅有4个整数解， ∵解不等式x﹣a≥0得x≥a， 解不等式3﹣2x＞1得x＜1， ∴不等式组的解集为a≤x＜1， ∵有且仅有4个整数解，且x＜1， ∴整数解为﹣3，﹣2，﹣1，0， 为确保﹣3被包括，需a≤﹣3， 为确保﹣4不被包括，需a＞﹣4， ∴a的取值范围是﹣4＜a≤﹣3． 故选：B． 【点评】本题考查解不等式组，易错点是a的取值边界，正确进行计算是解题关键． 18．不等式组的整数解为　3　 ． 【分析】分别求解两个不等式，进而求出不等式组的解集，再确定整数解即可． 【解答】解：， 解不等式①，得x≥3； 解不等式②，得x＜4； 所以不等式组的解集为3≤x＜4， 所以不等式组的整数解为3； 故答案为：3． 【点评】本题考查求不等式组的整数解，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 19．若不等式组有5个整数解，则a的取值范围是　﹣4＜a≤﹣3　 ． 【分析】先求出不等式组的解集，再根据原不等式有5个整数解，写出这5个整数解，即可得到a的取值范围． 【解答】解：由不等式组得：， ∵不等式组有5个整数解， ∴这5个整数解为1，0，﹣1，﹣2，﹣3， ∴﹣4＜a≤﹣3， 故答案为：﹣4＜a≤﹣3． 【点评】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法． 20．求不等式组：的所有整数解之和． 【分析】先根据一元一次不等式组的解法求出不等式组的解集，再在解集中找出符合要求的整数解，然后将这些整数相加即可． 【解答】解：， 解不等式①，得x＜5， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为， ∴该不等式组整数解是：1，2，3，4， ∵1+2+3+4＝10， ∴不等式组的所有整数解之和为10． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，会求一元一次不等式组的解集是解题的关键． 21．（1）解不等式2x+4≥4x，并在下图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式2﹣x＜5，并在下图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集并写出最小整数解． 【分析】（1）根据移项、合并同类项、系数化为1等步骤，求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （3）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【解答】解：（1）原不等式移项得2x﹣4x≥﹣4， 合并同类项得﹣2x≥﹣4， 系数化为1得x≤2， 数轴表示如下所示： （2）原不等式移项得：﹣x＜5﹣2， 合并同类项得：﹣x＜3， 系数化为1得：x＞﹣3， 数轴表示如下所示： （3）解不等式2x+4≥4x得：x≤2， 解不等式2﹣x＜5得：x＞﹣3， ∴原不等式组的解集为﹣3＜x≤2，最小整数解为﹣2． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，熟知解不等式和解不等式组的方法是解题的关键． 22．若一个不等式组P有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称为P的“解集中点值”，若P的解集中点值是不等式组Q的解，则称不等式组Q对于不等式组P“中点包含”． （1）已知关于x的不等式组A：以及不等式组B：﹣1＜x≤5，请判断不等式组B是否对于不等式组A中点包含，并写出判断过程． （2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． （3）已知关于x的不等式组E：和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为14，求n的取值范围． 【分析】（1）先求不等式组A的解集，然后求得A的中点值，最后判断； （2）先求不等式组C的解集和不等式组D的解集，然后求得C的中点值，最后根据定义求得m的取值范围； （3）先求不等式组E和F的解集，再求E的中点值，然后根据定义得到m和n的不等式，最后通过m的条件求出n的取值范围． 【解答】解：（1）不等式B对于不等式组A中点包含，理由如下： 解不等式组得4＜x＜6， ∴A的中点值为x＝5， ∵x＝5在﹣1＜x≤5范围内， ∴不等式B对于不等式组A中点包含； （2）∵D对于不等式组C中点包含， ∴不等式组C和不等式组D有解． 解不等式组C得，不等式组D得， ∴解得m＞﹣4， ∴当m＞﹣4时，C的解集为m﹣3＜x＜3m+5，D的解集为， ∴C的中点值为， ∵D对于不等式组C中点包含， ∴m﹣4＜2m+1． ∴﹣5＜m＜10， 又∵m＞﹣4， ∴﹣4＜m＜10． （3）解E得2n＜x＜2m，解F得， ∴E的中点值为n+m， ∵F对于E中点包含， ∴，解得：n＜m＜6， ∵由题意可得，所有符合要求的整数m之和为14， ∴m可取2、3、4，5，或m可取﹣1、0、1、2、3、4、5． ∴1≤n＜2或﹣2≤n＜﹣1． 【点评】本题考查了两数的中间值、解一元一次不等式的整数解，解题的关键是学会解一元一次不等式（组）． 四．一元一次不等式组的应用（共13小题） 23．用若干载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空．设有x辆货车，3位同学分别列出了关于x的不等式组，则正确的是（　　） ①0＜8x﹣（4x+20）＜8；②8（x﹣1）＜4x+20＜8x；③0＜4x+20﹣8（x﹣1）＜8． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据题意可以列出相应的不等式组，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：由题意可得， 0＜8x﹣（4x+20）＜8或8（x﹣1）＜4x+20＜8x或0＜（4x+20）﹣8（x﹣1）＜8， 故正确的是①②③， 故选：D． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组． 24．莲花血鸭是江西十大赣菜之一，为确保肉质鲜嫩、入味均匀，对鸭子的选择有特定要求．鸭子的推荐重量x（kg），要求不低于1kg，不高于1.5kg．下面用不等式表示这一范围正确的是（　　） A．1＜x＜1.5 B．1≤x≤1.5 C．1＜x≤1.5 D．1≤x＜1.5 【分析】根据不低于1kg表示为“1≤x”，不高于1.5kg表示为“1.5x≤1.5”，即可得出答案． 【解答】解：由条件可得1≤x≤1.5． 故选：B． 【点评】本题主要考查了不等式，理解题意是关键． 25．☆跨学科物理小明用天平称一个物体的质量，天平调节平衡后，他将两个该物体放在天平的左边，右边分别放两个、三个50g的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量m的范围是（　　） A．m＞50g B．m＜75g C．50g≤m≤75g D．50g＜m＜75g 【分析】根据题意可知2m＞100g且2m＜150g，解不等式组即可得出答案． 【解答】解：由图可知：， ∴50g＜m＜75g， 故选：D． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，掌握一元一次不等式是解题的关键． 26．一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（　　） A． B． C． D． 【分析】张力平均每天读x页，则李永每天读（x+3）页，根据张力读了一周（7天）还没读完可得不等式7x＜98，根据李永不到一周就已读完可得不等式7（x+3）＞98，再联立两个不等式即可． 【解答】解：设张力平均每天读x页，由题意得： ， 故选：A． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，选准不等号． 27．爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格x（元）所在的范围是　50＜x＜60　 ． 【分析】根据题意，列出不等式组，解答即可得到结果． 【解答】解：∵小胡说：“你们三个都猜错了”， ∴， ∴50＜x＜60． 故答案为：50＜x＜60． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，找出正确理解题意是解题的关键． 28．如图是高速公路的限速标志，该标志表明在此道路上行驶的小客车的最低车速为90km/h，最高车速为120km/h．如果用v（单位：km/h）表示此道路小客车的速度，则v的取值范围是 　90≤v≤120　 ． 【分析】根据图中的信息，可知：90≤v≤120． 【解答】解：由图可得， 90≤v≤120， 故答案为：90≤v≤120． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组． 29．如图为小丽和小欧依序进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，已知小丽、小欧的重量分别为45公斤、75公斤．若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，则x应满足的条件为　　 ． 【分析】根据题意和题目中的数据以及图形中的信息，可以列出相应的不等式组． 【解答】解：由题意可得， ， 整理，得：， 故答案为：． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组． 30．某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． （1）若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？ （2）请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案． 【分析】（1）设只租用36座客车需x辆，则该校七年级共有36x人参加春游，根据租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人，列出一元一次不等式组，求出正整数解，即可解决问题； （2）根据（1）中求得的人数，有3种方案，①只租36座客车；②只租42座客车；③合租两种车；分别求出费用，再比较即可得到结论． 【解答】解：（1）设只租用36座客车需x辆，则该校七年级共有36x人参加春游， 根据题意得：， 解得：， ∴7＜x＜9， ∵x是整数， ∴x＝8， ∴36x＝36×8＝288， 答：只租用36座客车需8辆，该校七年级共有288人参加春游； （2）方案①，租36座车8辆的费用为：8×400＝3200（元）； 方案②，租42座车7辆的费用为：7×440＝3080（元）； 方案③，∵， ∴42座车越多越省钱， 又∵，余下人数正好36座， ∴租42座车6辆和36座车1辆的总费用为：6×440+1×400＝3040（元）； ∵3040＜3080＜3200， ∴租用42座车6辆和36座车1辆最省钱． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用．找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 31．2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？ 【分析】（1）设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元，根据信息一的数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人（10﹣a）台，根据要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【解答】解：（1）设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元； （2）设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人（10﹣a）台， 由题意得：， 解得：5≤a≤6， ∵a为正整数， ∴a＝5，6， ∴该企业购买方案有2种： ①购买A型智能机器人5台，B型智能机器人5台； ②购买A型智能机器人6台，B型智能机器人4台． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． 32．2024年度“涟商大会”在国家级地质公园湄江举行，为迎接此次盛会，某初中举办了“湄江焕彩，涟商倾情”的绘画比赛，并购买A、B两种徽章作为奖品．已知购买2个A种徽章和3个B种徽章需156元；购买4个A种徽章和5个B种徽章需284元． （1）每个A种徽章与每个B种徽章的价格分别为多少元？ （2）学校计划购进A、B两种徽章共60个，已知购进的A种徽章数不少于B种徽章数的2倍，且总费用不超过2000元，那么购进A种徽章的个数是多少？ 【分析】（1）设每个A种徽章的价格为x元，每个B种徽章的价格为y元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设购进m个A种徽章，则购进（60﹣m）个B种徽章，再根据题意列出不等式组并求解即可． 【解答】解：（1）设每个A种徽章的价格为x元，每个B种徽章的价格为y元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A种价格为36元，每个B种价格分别为28元； （2）设购进m个A种徽章，则： ， ∴， ∴m＝40， 答：购进A种徽章的个数是40． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式组应用，理解题意并列出方程和不等式组是解题的关键． 33．某工人制造机器零件，如果每天比计划多做一件，那么8天所做的零件总数超过100件；如果每天比计划少做一件，那么8天所做的零件总数不足99件，问这个工人每天做多少件？ 【分析】先设这个工人每天做x件，根据“8天所做零件的总数超过100件”“8天可做零件的总数不足99件”可列不等式组，求出x的值即可． 【解答】解：设这个工人每天做x件，根据题意得： ， 解得：11x＜13， ∵x取整数， ∴x＝12或13． 答：这个工人每天做12件或13件． 【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，关键是读懂题意，根据题目中的数量关系列出不等式组，要注意x只能取整数． 34．阅读下列材料： 我们给出如下定义：数轴上给定A，B两点以及一条线段PQ．若线段AB的中点R在线段PQ上（点R能与点P或Q重合），则称点A与点B关于线段PQ径向对称如图（a）所示为点A与点B关于线段P径向对称的示意图．如图（b）所示，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为﹣1，点M表示的数为2． 解答下列问题：如在数轴上，点H，K，L表示的数分别是﹣5，﹣4，﹣3，当点H以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，线段KL同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动，设移动的时间为t（t＞0）秒，问当t在范围 　2≤t　 时，线段KL上至少存在一点与点H关于线段OM径向对称． 【分析】当移动的时间为t（t＞0）时，点H表示的数为﹣5+t，点K表示的数为﹣4+3t，点L表示的数为﹣3+3t，进而可得出线段HK的中点表示的数为，线段HL的中点表示的数为，结合线段KL上至少存在一点与点H关于线段OM径向对称，可列出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出t的取值范围． 【解答】解：当移动的时间为t（t＞0）时，点H表示的数为﹣5+t，点K表示的数为﹣4+3t，点L表示的数为﹣3+3t， ∴线段HK的中点表示的数为，线段HL的中点表示的数为， ∵线段KL上至少存在一点与点H关于线段OM径向对称， ∴， ∴2≤t， ∴当2≤t时，线段KL上至少存在一点与点H关于线段OM径向对称． 故答案为：2≤t． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 35．根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 【分析】任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车（8﹣a）辆，根据租用的两种客车的乘载总量不少于305人且租车总费用不超过2900元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出各租车方案； 任务2：利用总租金＝每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，可求出各租车方案所需总费用，比较、作差后，即可得出结论． 【解答】解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车（8﹣a）辆， 根据题意得：， 解得：a， 又∵a为正整数， ∴a可以为2，3， ∴共有2种租车方案， 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆； 方案2：租用A型车3辆，B型车5辆； 任务2：选择方案1所需总租金为450×2+300×6＝2700（元）； 选择方案2所需总租金为450×3+300×5＝2850（元）． ∵2700＜2850，2900﹣2700＝200（元）， ∴花费最少的方案比预算2900元省200元钱． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 1．解不等式组，并在数轴上表示解集． 【分析】根据不等式的性质，分别解不等式，并把解集表示在数轴上，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”得到解集即可． 【解答】解：解不等式2（x+3）﹣4＞3x得，x＜2， 解不等式x﹣1得，x＞﹣4， 不等式组的解集在数轴上表示为： 故不等式组的解集为﹣4＜x＜2． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，掌握求不等式组解集的方法是解题的关键． 2．解不等式组：． 【分析】先分别求出各不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可． 【解答】解：解不等式2（x﹣1）≤﹣x+7可得：x≤3， 解不等式可得：x＞﹣8， 所以该不等式组的解集为：﹣8＜x≤3． 【点评】本题主要考查了解不等式组，掌握解不等式的方法和步骤是解题的关键． 3．若关于x的不等式组的解集只有3个整数解，则a的取值范围是 　10＜a≤12　 ． 【分析】，先求出不等式组的解集，根据不等式组的解集只有3个整数解，列出关于a的不等式组，进行求解即可． 【解答】解：解， 得：， 由题意可得： ，3个整数解为：3，4，5， ∴， ∴10＜a≤12； 故答案为：10＜a≤12． 【点评】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，正确进行计算是解题关键． 4．如果不等式组的整数解有四个，那么a的取值范围是　1≤a＜2　 ． 【分析】根据题意，得出关于不等式组的四个整数解，据此得出a的取值范围即可． 【解答】解：由题知， 因为不等式组的整数解有四个， 则这四个整数解为﹣2，﹣1，0，1， 所以1≤a＜2． 故答案为：1≤a＜2． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，能根据题意得出不等式组的四个整数解，并据此得出a的取值范围是解题的关键． 5．某汽车销售公司到某汽车制造厂选购A、B两种型号的轿车，用300万元可购进A型轿车10辆，B型轿车15辆，用300万元也可以购进A型轿车8辆，B型轿车18辆． （1）求A、B两种型号的轿车每辆分别为多少万元？ （2）若该汽车销售公司销售1辆A型轿车可获利8000元，销售1辆B型轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A、B两种型号轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，问有几种购车方案？在这几种购车方案中，该汽车销售公司将这些轿车全部售出后，分别获利多少万元？ 【分析】（1）设A型号的轿车每辆x万元，B型号的轿车每辆y万元，分析题意可知，题目中给出了两种300万元的购车方案，用未知数写出每一种方案的方程，即可分别列出两个方程，将列出的两个方程联立为一个方程组，求解即可； （2）设购买A型轿车a辆，根据“准备资金不超过400万元”和“总获利不低于20.4万”即可列出关于a的两个不等式，联立两不等式，解不等式则即可得出a的范围；根据a的取值范围，由a为非负整数，即可得出a的所有解，由此即可解答问题． 【解答】解：（1）设A轿车每辆x万元，B轿车每辆y万元，根据题意列方程： ， 解得． 答：A型号的轿车每辆15万元，B型号轿车每辆10万元． （2）设购买A型轿车a辆，则购买的B型轿车数量为（30﹣a）辆． 根据题意有： ， 解得：18≤a≤20， 所以a＝18，19，20． 当a＝18时，获利为8000a+5000（30﹣a）＝20.4（万元）； 当a＝19时，获利为8000a+5000（30﹣a）＝20.7（万元）； 当a＝20时，获利为8000a+5000（30﹣a）＝21（万元）． 答：有3种购车方案，在这几种购车方案中，该汽车销售公司将这些轿车全部售出后，分别获利20.4万元，20.7万元，21万元． 【点评】本题考查二元一次方程组及一元一次不等式组的应用；得到关于总费用和总利润的关系式是解决本题的关键． 1．已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（　　） A．6≤m＜9 B．6＜m≤9 C．6＜m＜9 D．6≤m≤9 【分析】解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出23，解之可得． 【解答】解：解不等式3x﹣m＞0，得：x， 解不等式x﹣1≤5，得：x≤6， ∵不等式组有4个整数解， ∴23， 解得：6≤m＜9． 故选：A． 【点评】本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于m的不等式组是解题的关键． 2．已知关于x的不等式组无解，则a的值可能为（　　） A．3 B．2 C．4 D．﹣1 【分析】根据同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解求解即可． 【解答】解： 解①得x＞1， 解②得x＜a． ∵此不等式组无解， ∴a≤1． 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． 3．对a，b定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b．若关于x的不等式组有且只有一个整数解，则m的取值范围是（　　） A．m≥20 B．20＜m≤23 C．20＜m＜23 D．20≤m＜23 【分析】已知不等式组利用题中的新定义化简，根据不等式组有且只有一个整数解，确定出m的范围即可． 【解答】解：根据题意，原不等式组化为， 解①得：x， 解②得：x， ∵关于x的不等式组有且只有一个整数解， ∴12， 解得：20＜m≤23． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式，定义新运算的题目，弄清题中的新定义是解本题的关键． 4．若，且是最简分数，则x＝　29或31　 ． 【分析】解不等式可得27＜x＜32，又是最简分数，求出x的值． 【解答】解：∵， ∴27＜x＜32， ∵是最简分数， ∴x＝29或31， 故答案为29或31． 【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组以及最简分数的定义． 5．关于x的不等式组恰好只有四个整数解，则a的取值范围是 　2≤a＜3　 ． 【分析】根据题意先解第一个不等式，再对整数解进行分析即可列出关于a的不等式继而得到本题答案． 【解答】解：∵不等式组， ∴解不等式①得：x≤4， 不等式②整理得：x＞a﹣2， ∵不等式组恰好只有四个整数解， ∴0≤a﹣2＜1， ∴2≤a＜3， 故答案为：2≤a＜3． 【点评】本题考查解一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组．熟练掌握解不等式的步骤和方法是关键． 6．解不等式组：并写出其整数解． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而求出整数解． 【解答】解：， 解不等式3x﹣2≤4x﹣5得：x≥﹣1， 解不等式得：x＜2， ∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜2， ∴整数解为：﹣1，0，1． 【点评】本题考查求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握该知识点是关键． 7．求不等式组的非负整数解． 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，求出非负整数解即可． 【解答】解：， 解不等式①得：x≥﹣2， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3． 【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：由4x﹣3≤2x+2得，， 由得，x＞﹣1， 解集在数轴上表示如下： ∴原不等式组的解集是． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 9．开学之前，学校总务部门安排新生宿舍，如果每间宿舍住4个学生，那么还余20个人没有宿舍可住；如果每间住8人，那么其中一间不满也不空，其余各间全满，试问：要住宿舍的新生共有多少人？一共有多少间宿舍？ 【分析】设一共有x间宿舍，则要住宿舍的新生共有（4x+20）人，根据如果每间宿舍住4个学生，那么还余20个人没有宿舍可住；如果每间住8人，那么其中一间不满也不空，其余各间全满，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【解答】解：设一共有x间宿舍，则要住宿舍的新生共有（4x+20）人， 根据题意得：， 解得：5＜x＜7， ∵x是正整数， ∴x＝6， ∴4x+20＝44． 答：要住宿舍的新生共有44人，一共有多6间宿舍． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 10．2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． （1）求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ （2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【分析】（1）设采购一个A种机器人x万元、一个B种机器人y万元，根据题意列出二元一次方程组，即可得出答案； （2）设该公司可以采购A种机器a个，B种机器人（100﹣a）个，根据题意列出不等式组，即可得出答案． 【解答】解：（1）设采购一个A种机器人x万元、一个B种机器人y万元， ， 解得：， 答：采购一个A种机器人60万元、一个B种机器人65万元． （2）设该公司可以采购A种机器a个，B种机器人（100﹣a）个， ， 解得：60≤a≤75， 答：该公司可以采购A种机器人数量的范围60≤a≤75． 【点评】本题主要考查一元一次不等式组的应用及二元一次方程组的应用，找出等量关系和不等关系是解题的关键． 11．某校为了更好地开展球类运动，体育组决定用1600元购进足球8个和篮球14个，已知篮球的单价比足球的单价多20元，请解答下列问题： （1）求出足球和篮球的单价； （2）若学校欲用不超过3240元，且不少于3200元再次购进两种球50个，求出有哪几种购买方案？ 【分析】（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为（x+20）元，则根据所花的钱数为1600元，可得出方程，解出即可； （2）根据题意所述的不等关系：不超过3240元，且不少于3200元，等量关系：两种球共50个，可得出不等式组，解出即可． 【解答】解：（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为（x+20）元， 根据题意，得8x+14（x+20）＝1600， 解得：x＝60，x+20＝80． 即足球的单价为60元，则篮球的单价为80元； （2）设购进足球y个，则购进篮球（50﹣y）个． 根据题意，得， 解得： ， ∵y为整数， ∴y＝38，39，40． 当y＝38，50﹣y＝12； 当y＝39，50﹣y＝11； 当y＝40，50﹣y＝10． 故有三种方案： 方案一：购进足球38个，则购进篮球12个； 方案二：购进足球39个，则购进篮球11个； 方案三：购进足球40个，则购进篮球10个． 【点评】此题考查了一元一次方程及一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细审题，根据题意所述的等量关系及不等关系，列出不等式． 12．某研学基地为激发来研学学生参与活动的积极性，经常组织竞赛活动，并购买保温杯和台灯作为奖品奖励学生．该基地在某超市购买保温杯、台灯若干次，其中前两次购买时，均按标价购买；成为老顾客后，从第三次购买开始，保温杯、台灯同时以相同折扣数的打折价购买．前三次购买保温杯、台灯的数量及费用如下表所示： 购买保温杯的数量/个 购买台灯的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 5 4 800 第二次购买 3 7 940 第三次购买 9 8 912 （1）求保温杯、台灯的标价； （2）某日，甲、乙两校师生同时来到该基地研学，基地为两校组织了一次陶泥制作比赛，并颁发奖品20个保温杯和10个台灯（均按打折价购买），甲、乙两校各获得15个奖品，甲校所获奖品的购买金额不低于800元，乙校所获奖品的购买金额不低于750元，求甲、乙两校分别获得保温杯和台灯各多少个？ 【分析】（1）设保温杯、台灯的标价分别为x元和y元，根据表中给的数量关系列出二元一次方程组解答即可； （2）求出第三次商品购进的打折数，然后利用不等式组解题即可． 【解答】解：（1）设保温杯、台灯的标价分别为x元和y元， ，解得， 答：保温杯、台灯的标价为80元和100元． （2）解：第三次购买的打折数为：折， 设甲校获得保温杯a个，则 ， 解得， 又∵a为整数， ∴a＝8， ∴甲校分别获得保温杯和台灯8个和7个，乙校分别获得保温杯和台灯12个和3个． 【点评】本题考查二元一次方程组和不等式组解应用题，理解题意找出数量关系是解题的关键． 13．为了更好治理黄浦江水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． A、B两种型号设备的月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） a 处理污水量（吨/月） 240 180 （1）设A型设备每台的价格为a万元，则B型每台的价格为　（a﹣2）　 万元； （2）求A、B两种型号的设备的价格； （3）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，且每月要求处理黄浦江的污水量不低于1860吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 【分析】（1）根据购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，即可用含a的代数式表示出B型设备每台的价格； （2）根据购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设购买m台A型设备，则购买（10﹣m）台B型设备，根据“市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，且每月要求处理黄浦江的污水量不低于1860吨”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出m的值，利用总价＝单价×数量，分别求出m取各值时所需费用，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）∵购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，且A型设备每台的价格为a元， ∴B型每台的价格为（a﹣2）万元． 故答案为：（a﹣2）． （2）根据题意得：2a﹣3（a﹣2）＝﹣6， 解得：a＝12， ∴a﹣2＝10（万元/台）． 答：A型设备的价格为12万元/台，B型设备的价格为10万元/台． （3）设购买m台A型设备，则购买（10﹣m）台B型设备， 依题意得：， 解得：1≤m， ∵m为整数， ∴m可以取1或2． 当m＝1时，10﹣m＝9，所需费用为12×1+10×9＝102（万元）； 当m＝2时，10﹣m＝8，所需费用为12×2+10×8＝104（万元）． ∵102＜104， ∴最省钱的购买方案为：购买1台A型设备，9台B型设备． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含a的代数式表示出B型设备的单价；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 14．某数码专营店销售甲、乙两种品牌智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示： 甲 乙 进价（元/部） 4300 3600 售价（元/部） 4800 4200 （1）该店销售记录显示．三月份销售甲、乙两种手机共17部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2倍，求该店三月份售出甲种手机和乙种手机各多少部？ （2）根据市场调研，该店四月份计划购进这两种手机共20部，要求购进乙种手机数不超过甲种手机数的，而用于购买这两种手机的资金低于81500元，请通过计算设计所有可能的进货方案． （3）在（2）的条件下，该店打算将四月份按计划购进的20部手机全部售出后，所获得利润的30%用于购买A，B两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买A仪器每台300元，购买B仪器每台570元，且所捐的钱恰好用完，试问该店捐赠A，B两款仪器一共多少台？（直接写出所有可能的结果即可） 【分析】（1）设售出甲手机x部，乙手机y部，根据销售甲、乙两种手机共17部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2倍，可得出方程组，解出即可； （2）设购进甲手机x部，则购进乙手机（20﹣x）部，根据购进乙种手机数不超过甲种手机数的，而用于购买这两种手机的资金低于81500元，可得出不等式组，解出即可得出可能的购进方案． （3）先求出捐款数额，设捐赠甲仪器x台，乙仪器y台，列出二元一次方程，求出整数解即可． 【解答】解：（1）设售出甲手机x部，乙手机y部， 由题意得，， 解得：． 答：售出甲手机12部，乙手机5部； （2）设购进甲手机x部，则购进乙手机（20﹣x）部， 由题意得，， 解得：12≤x＜13， ∵x取整数， ∴x可取12，13， 则可能的方案为： ①购进甲手机12部，乙手机8部； ②购进甲手机13部，乙手机7部． （3）①若购进甲手机12部，乙手机8部，此时的利润为：12×500+8×600＝10800， 设捐赠甲仪器x台，乙仪器y台， 由题意得，300x+570y＝10800×30%， ∵x、y为整数， ∴x＝7，y＝2， 则此时共捐赠两种仪器9台； ②若购进甲手机13部，乙手机7部，此时的利润为：13×500+7×600＝10700， 设捐赠甲仪器x台，乙仪器y台， 由题意得，300x+570y＝10700×30%， ∵x、y为整数， ∴x＝5，y＝3， 则此时共捐赠两种仪器8台； 综上可得问该店捐赠A，B两款仪器一共9台或8台． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程的应用及二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式求解，难度较大． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $