15.3一元一次不等式组 讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册

本初中数学讲义聚焦一元一次不等式组，系统梳理概念辨析、利用数轴求解集的方法，详解解法（含求解集、整数解、参数取值范围及与方程组组合题）及分配问题、方案选择等应用，搭建从概念到应用的完整学习支架。 资料精选各地期中期末真题为例题，通过真实情境培养数学眼光，结合数轴与“同大取大”等口诀提升几何直观和推理意识，实际应用问题强化模型意识与应用意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识查漏补缺。

沪教版2024七年级数学下册同步教学讲义（知识点梳理+题型归纳+例题讲解+变式训练+过关检测） 15.3 一元一次不等式组 知识梳理 知识点 相关题型 一元一次不等式组的概念 一元一次不等式组的辨析 利用数轴求不等式组的解集 一元一次不等式组的解法 求一元一次不等式组的解集 求一元一次不等式组的整数解 根据不等式组的解集情况求参数取值范围 不等式组与方程组的组合题 一元一次不等式组的应用 一元一次不等式组在分配问题中的应用 一元一次不等式组在方案选择问题中的应用 一元一次不等式组的其他应用 知识点讲解 1. 基本概念 （1）一元一次不等式组 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的一组不等式叫作一元一次不等式组 （2）不等式组的解集 ①不等式组中所有不等式解集的公共部分叫作不等式组的解集. ②利用数轴求不等式组的解集的四种情形 不等式组 图例 解集 归纳 x>8 同大取大 X<-3 同小取小 -3<x<4.5 大于小的 小于大的 空集 大于打的 小于小的 2. 解不等式组 求不等式组解集的过程叫作解不等式组. 解一元一次不等式组的一般步骤： (1)求出不等式组中各个不等式的解集，并分别在数轴上表示出来； (2)确定各个不等式的解集的公共部分，得到不等式组的解集. 同大取大，同小取小， 大小小大中间找，大大小小解不了． 3. 一元一次不等式组的应用 应用一元一次不等式组解决问题的步骤： ①分析题意，寻找表示（不等）数量关系； ②思考探索，列出一元一次不等式（组）； ③计算求解，从而解决实际问题. 例题讲解 【题型1：不等式组的辨析】 【例1】（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可． 【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组．解题的关键是掌握一元一次不等式组的定义． 一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：A、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； B、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； C、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组． 【详解】解：A. 第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     B. 有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     C. 最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     D. 是一元一次不等式组，故本选项符合题意； 故选：D． 【题型2】利用数轴求不等式组的解集 【例2】（（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，数轴上公共部分表示的是某个关于的一元一次不等式组的解集，那么这个不等式组可以是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式组的解集，根据数轴表示的不等式解集求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由数轴知，这个不等式组可以为， 故选：． 【变式1】（2025·山东滨州·一模）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为， 故选：． 【变式2】（24-25八年级上·重庆·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集并在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 故不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 故选：C． 【题型3】求一元一次不等式组的解集 【例3】（24-25九年级下·上海长宁·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是， 不等式组的解集在数轴上表示如下： 【变式1】（24-25九年级下·上海·月考）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：； 由②得：； ∴不等式组的解集为：． 【变式2】（24-25七年级下·上海·月考）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握解法是关键． 先求出两个不等式的解集，再求出公共解，然后在数轴表示即可． 【详解】解：， 由①解得， 由②解得， 故原不等式组的解集为：． 在数轴表示如下： 【题型4：】一元一次不等式组的整数解 【例4】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式组：，并求它的非负整数解． 【答案】，非负整数解为，， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小无解了． 先分别解不等式，求出不等式组的解集，然后找出非负整数解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组的非负整数解为，，． 【变式1】（24-25七年级下·上海松江·期末）利用数轴确定不等式组的整数解． 【答案】见解析，、、、0 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、在数轴上表示不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，根据数轴确定不等式组的解集及整数解． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 将解集表示在数轴上如下： 所以不等式组的解集为， 则其整数解为、、、0． 【变式2】（24-25七年级下·上海·月考）（1）解下列不等式； （2）解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】（1）（2） ，整数解为 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤求解即可； （2）分别解出每个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定其解集，最后找出其中的整数即可． 本题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式和一元一次不等式组的步骤是解题关键． 【详解】解：（1）， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 原不等式组的解集为， 它的整数解为 【题型5】根据一元一次不等式组解集的情况求参数的取值范围 【例5】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查由一元一次不等式组的解集求参数，根据不等式的解集确定a的取值范围是解题的关键． 先求解一元一次不等式组，再根据题意建立关于参数的不等式求解即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组无解， ∴，解得：． 【变式1】（24-25七年级下·上海·月考）解不等式组：． (1)当时，求出此时不等式组的解集并表示在数轴上； (2)要使此不等式组无解，则的取值范围是_____． 【答案】(1)，见解析； (2)． 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，不等式组无解问题； （1）当时，可得，再解不等式组即可； （2）由得：，由得：，结合不等式组无解可得，进一步可得答案. 【详解】（1）解：当时， ， 解得：， 在数轴上表示两个不等式的解集如下： ∴不等式组的解集； （2）解得：， 解得：， 要使此不等式组无解， ∴， ∴； ∴的取值范围是. 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式组、解一元一次方程等知识，读懂题意，理解“关联方程”是解决问题的关键． （1）先解一元一次不等式组，再解一元一次方程，最后由“关联方程”的定义求解即可得到答案； （2）先解一元一次不等式组，再解一元一次方程，最后由“关联方程”的定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为； 解方程得， ， 方程①是不等式组的“关联方程”； 解方程得， ， 方程②是不等式组的“关联方程”； 解方程得， 方程③不是不等式组的“关联方程”； 故答案为：①②； （2）解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为； 解方程得， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， ， 解得． 【题型6】方程组和不等式组的组合题 【例6】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若方程组的解是正数，求m的取值范围； (2)若方程组的解满足不小于0，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，解一元一次不等式组，解题的关键在于熟知解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式的方法． （1）先把m看做常数利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解是正数得到关于m的不等式组，解不等式求出m的取值范围即可； （2）根据（1）所求结合不小于0建立不等式求解即可． 【详解】（1）解方程组， 得， ∵方程组的解是正数， ， 解得． （2）∵方程组的解满足不小于0， ， 解得． 【变式1】（23-24八年级上·湖南长沙·月考）已知关于、的二元一次方程组． (1)若方程组的解、互为相反数．求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）将两个方程相加可得，由相反数的性质知，据此可得关于的方程，解之可得； （2）将两个方程相加可得，即，结合题意得出的不等式组，解之可得． 【详解】（1）解： 得：， 、互为相反数， ， 则， ， 解得； （2） 得：，即， ， ， 解得：． 【变式2】（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知关于的方程组（为常数） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组和方程组，弄清题意，找到解决问题的方法，熟练运用相关知识是解题的关键． （1）两式相加，得，于是有，进而求解即可； （2）两式相减，得，另根据，即可求得求的取值范围． 【详解】（1）解： ，得：，故， 又由，则，得． （2）解： ，得：， 又由，得， 解得． 【题型7】一元一次不等式组在分配问题中的应用 【例7】（24-25七年级下·上海崇明·期中）社会实践活动中，辅导员组织一批进行游戏，若每组人，还剩余人，若每组人，则有一组不满人，问参加游戏的同学的组数和人数． 【答案】参加游戏的同学的组数为、人数为． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设参加游戏的同学的组数为，则人数为，根据若每组人，还剩余人，若每组人，则有一组不满人，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：设参加游戏的同学的组数为，则人数为， 由题意得：， 解得：， 为正整数， ， ， 答：参加游戏的同学的组数为、人数为． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． (1)若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？ (2)请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案． 【答案】(1)只租用36座客车需8辆，该校七年级共有288人参加春游； (2)租42座车6辆和36座车1辆最省钱． 【分析】本题考查了不等式组的应用． （1）设租36座的车辆，则租42座的客车辆．不等关系：租42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人，据此求解即可； （2）根据（1）中求得的人数，进一步计算三种方案的费用：①只租36座客车；②只租42座客车；③合租两种车．再进一步比较得到结论即可． 【详解】（1）解：设租36座的车辆． 据题意得：， 解得：． ． 是整数， ． 则春游人数为：（人）． 答：只租用36座客车需8辆，该校七年级共有288人参加春游； （2）解：方案①：租36座车8辆的费用：元； 方案②：租42座车7辆的费用：元； 方案③：， 座车越多越省钱， 又，余下人数正好36座， 可以得出：租42座车6辆和36座车1辆的总费用：元． ， 租42座车6辆和36座车1辆最省钱． 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期中）把一些奖品分给若干名学生．如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个．问：学生最少有几名？奖品至少有多少个？ 【答案】学生最少有5名，奖品至少有22个 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用，熟练掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键．设学生有x人，则有奖品本，再根据如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个列出不等式组求解即可． 【详解】解：设学生有名，根据题意得： ， 解得：， 因为为学生人数，只能为正整数， 所以或，则学生最少有5名， 当学生最少有5名时，将代入，可得奖品数量为：（个）， 答：学生最少有5名，奖品至少有22个． 【题型8】一元一次不等式组在方案选择问题中的应用 【例8】（24-25七年级下·上海·月考）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？ 【答案】(1)A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元 (2)该企业购买方案有2种：①购买A型智能机器人5台，B型智能机器人5台；②购买A型智能机器人6台，B型智能机器人4台 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用． （1）设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元，根据信息一的数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人台，根据要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元； （2）解：设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人台， 由题意得：， 解得：， ∵a为正整数， ∴，6， ∴该企业购买方案有2种： ①购买A型智能机器人5台，B型智能机器人5台； ②购买A型智能机器人6台，B型智能机器人4台． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球拍数量的，购买费用不超过2535，有几种购买方案？并写出方案． 【答案】(1)乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元 (2)有三种购买方案：学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副；学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副；学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组解应用题，读懂题意，准确列出方程组、不等式组求解是解决问题的关键． （1）设乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元，由等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设学校准备购买乒乓球拍副，则购买羽毛球拍副，由题意列出一元一次不等式组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元，则 ， 解得， 答：乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元； （2）解：设学校准备购买乒乓球拍副，则购买羽毛球拍副，则 ， 解得， 为正整数， 可取， 即有三种购买方案： 学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副； 学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副； 学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副． 【变式2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 【答案】任务1：共有2种租车方案，如下： 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆；方案2：租用A型车3辆，B型车5辆 任务2：花费最少的是方案1，比预算节省了200元 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用——方案问题，熟练掌握并利用一元一次不等式解决实际问题是解题的关键； 任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，根据总载客量不少于305人且总租金不超过2900元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出租车方案； 任务2：求出选择每种租车方案所需总租金，比较后，用2900元减去花费最少的总租金，即可得出结论． 【详解】解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆， 根据题意得， 解得， 又因为a为正整数， 所以a可以为或， 当时，， 当时，， 所以共有2种租车方案， 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆； 方案2：租用A型车3辆，B型车5辆； 任务2：选择方案1所需总租金为（元）； 选择方案2所需总租金为（元）． （元）， 花费最少的是方案1，比预算节省了200元． 【题型9】一元一次不等式组在其他问题中的应用 【例9】（24-25七年级下·上海青浦·期末）一件商品的成本是50元． (1)如果售价是58元，那么盈利率是多少？ (2)如果按原价的八五折销售，至少可获得10%的利润；如果按原价的九折销售，能获得不足20%的利润，那么商品的原价（正整数）是多少元？ 【答案】(1) (2)或元 【分析】本题主要考查了有理数的运算以及一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组解题的关键． （1）根据盈利率等于售价减去成本再比上成本，即可求解； （2）设商品的原价（正整数）是元，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， 答：如果售价是58元，那么盈利率是． （2）解：设商品的原价（正整数）是元，根据题意得， ， 解得：， ∵是正整数，则或， 答：商品的原价（正整数）是或元． 【变式1】（2025·上海闵行·模拟预测）某商店用10000元人民币购进某款服装进行销售，过了一段时间，由于热销，又用24000元人民币购进同款服装，所购服装的数量是第一次购进数量的2倍，但每件的价格比第一次购进的货贵了20元． (1)求该商店第一次购进该款服装的数量； (2)假设该商店两次购进的服装按相同的标价销售，最后剩下的20件按标价的五折优惠销售，如果两次购进的服装全部售完，利润不低于9500元，求每件服装的标价至少是多少元． 【答案】(1)该商店第一次购进100件该款服装 (2)每件服装的标价至少是150元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商店第一次购进x件该款服装，则第二次购进件该款服装，根据第二批购进每件的价格比第一次购进的价格贵了20元，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设每件服装的标价是y元，利用总利润销售单价销售数量进货总价，结合总利润不低于9500元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该商店第一次购进x件该款服装，则第二次购进件该款服装， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：该商店第一次购进100件该款服装； （2）解：设每件服装的标价是y元， 根据题意得：， 解得：， ∴y的最小值为150. 答：每件服装的标价至少是150元． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【答案】(1)采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元 (2)该公司可以采购A种机器人数量的范围 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元，根据“用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人”列出一元一次方程解方程即可； （2）设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元； （2）解：设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个， 根据题意得， 解得， ∴该公司可以采购A种机器人数量的范围． 课后练习 一、单选题 1．不等式组的解在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的解法并把解集表示在数轴上，解题的关键是正确的解不等式；先根据解不等式的步骤分别得到两个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大大小小无解，大小小大取中间”得到不等式组的解集，表示在数轴上即可得到答案； 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得． ∴不等式组的解集为． 故选B． 2．不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解不等式组，先分别求出每一个不等式的解集，可得不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是； 在数轴上表示为： 故选：C． 3．以下是解不等式组：的过程 解：由①得：……第一步 由②得：……第二步 ∴不等式组解集为……第三步 以下判断正确的是（　　） A．第一步开始出错 B．第二步开始出错 C．第三步开始出错 D．解题过程没有错误 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】解：由①得：……第一步， 由②得：……第二步， ∴不等式组解集为……第三步， 故从第二步开始出错， 故选：B． 4．若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组则可．此题考查分式的值，解不等式组，解题关键在于根据题意列出不等式组． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴或， 解得：或. 故选：C． 二、填空题 5．一元一次不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组，解题的关键是掌握不等式组的解法．先求出两个不等式的解集，再求其公共解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 故答案为：． 6．不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组的解法是解题关键． 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）即可． 【详解】解：解不等式组： 解不等式，得：， 所以不等式组的解集为． 故答案为：． 7．若不等式组无解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分别解出两个不等式的解集，根据无解列不等式，算出m范围，即可 【详解】 解①式得： ∵不等式组无解 ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查不等式组的解集；根据不等式组无解判断出是本题解题关键 8．若数k使关于x的不等式组无解，且使关于y的方程的解为整数，则符合条件的所有整数k的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、一元一次方程的解，解不等式组求得其解集，根据不等式组无解得出k的取值范围，解方程得出，由方程的解为整数得出k的取值，综合两者所求最终确定k的范围,据此可得答案． 【详解】解：， 解不等式①，得： 解不等式②，得：， ∵不等式组无解， ， ， 解方程，得， ∵关于y的方程的解为整数，且， 或4或2或1或或或， 或7或5或4或2或1或， 则符合条件的所有整数k的和为， 故答案为： 9．已知关于x，y的方程组，其中，给出下列结论： ①当时，x，y的值互为相反数； ②是方程组的解； ③无论a取何值，x，y恒有关系式； ④若，则． 其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填上） 【答案】③④/④③ 【分析】①先求出方程组的解，把代入求出x、y即可；②把代入，求出a的值，再根据判断即可；③根据原方程组的解，计算即可；④根据和求出，求出，再求出（）的范围即可． 【详解】解：解方程组， 得， ①当时， ，， 故结论①错误； ②把代入， 得， 解得， ∵， ∴此时不符合题意，故结论②错误； ③由原方程组的解可知， ，故结论③正确； ④∵， ∴，即， 由∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论④正确． 故答案为：③④． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程解的定义、解二元一次方程组和解不等式组等知识，根据条件分别求得方程组的解是解题关键． 三、解答题 10．解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为． 11．计算 (1)解不等式 (2)解不等式组 【答案】(1) (2) 【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解； （2）先求出每一个不等式的解集，再取两个不等式解集的公共部分，即是不等式组的解集． 【详解】（1） ； （2）， 解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查了求解不等式（组）的知识，掌握求解不等式组解集的方法是解答本题的关键． 12．解下列不等式（组）： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）按照移项、合并同类项的步骤求解即可； （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 移项得， 解得； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以． 【点睛】本题考查了一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，解题关键是熟练掌握不等式和不等式组的解题步骤，同时理解不等式组解集“同大取大、同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则． 13．解下列一元一次不等式（组）： (1)，并把它的解表示在数轴上． (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2) 【分析】（1）移项，合并同类项，系数化成1即可． （2）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ， ， ， 在数轴上表示为： ； （2）， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集是． 【点睛】本题主要考查对解一元一次不等式组，解一元一次不等式，不等式的性质，在数轴上表示不等式的解集等知识点的理解和掌握，能求出不等式组的解集并能在数轴上表示不等式组的解集是解此题的关键． 14．求使方程组的解都为正数的m的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和解一元一次不等式组，利用加减消元法求得二元一次方程组的解，结合题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：解方程组，得，， 代入得，，则得， ∵方程组的解都为正数， ∴，解得． 15．下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解：由不等式①，得．…第一步 解得．…第二步 由不等式②，得．…第三步 移项，得．…第四步 解得．…第五步 所以原不等式组的解集是．…第六步 任务一： （1）小明的解答过程中，第__________步开始出现错误，错误的原因是__________； （2）第三步的依据是__________； 任务二： （3）直接写出这个不等式组正确的解集是__________． 【答案】（1）五；不等式两边同时除以负数时，不等号方向没有改变 （2）不等式的性质2 （3） 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）由不等式的性质可知，第五步不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向没有发生改变，据此可得答案； （2）根据不等式的性质2即可得出答案； （3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）由解题过程可知，第五步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边同时除以负数时，不等号方向没有改变， 故答案为：五；不等式两边同时除以负数时，不等号方向没有改变； （2）由解题过程可知，第三步是不等式两边同时乘以2去分母，因而第三步的依据是不等式的性质2， 故答案为：不等式的性质2； （3）， 由不等式①，去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； 由不等式②，去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； 不等式组的解集为：， 故答案为：． 16．近年来，机器人技术在各个领域的应用和影响日益显著，它们已经从科幻电影逐渐走入我们的日常生活．某公司计划采购A，B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比每个A种机器人贵5万元，采购5个A种机器人和6个B种机器人共用690万元． (1)采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过3100万元再次采购第二批A，B两种机器人共50个，且种机器人的数量不超过种机器人数量的3倍．该公司最多可以采购种机器人多少个？ 【答案】(1)采购一个A种机器人需60万元，采购一个B种机器人需65万元 (2)最多可以采购B种机器人20个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元，根据题意列出一元一次方程解方程即可； （2）设采购B种机器人a个，则采购A种机器人个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：采购一个A种机器人需60万元，采购一个B种机器人需65万元； （2）解：设采购B种机器人a个，则采购A种机器人个， 根据题意得， 解得， ∵为整数， ∴最大为20． 答：最多可以采购种机器人20个． 17．为了丰富学生的课余生活，某校计划购买一批篮球和足球．已知购买2个篮球和1个足球共需320元；购买3个篮球和2个足球共需540元． (1)求每个篮球和每个足球的售价； (2)该校计划购买篮球和足球共50个，总费用不超过5500元，那么最少需要购买多少个篮球？ (3)在（2）的条件下，若购买足球的数量不少于篮球数量的 ，请直接写出最省钱的购买方案． 【答案】(1)每个篮球100元，每个足球120元 (2)最少需要购买25个篮球 (3)最省钱的方案是购买篮球33个，足球17个 【分析】本题考查“二元一次方程组的应用”“一元一次不等式的应用”，根据题意找到数量关系列出方程与不等式是解题关键． （1）根据题意中两次购买的数量和对应金额，设未知数分别列方程，再求解方程组即可； （2）设购买其中一个的数量为未知数，用未知数表示购买另一个的数量，根据题意列不等式并求解即可； （3）在（2）的条件下，根据数量列不等式，该不等式的解集与（2）中解出的不等式的解集中重合的部分即为满足条件的情况，从中找出最省钱的方案即可． 【详解】（1）解：设每个篮球的售价为x元，每个足球的售价为y元， 由题意，得， 解得， ∴每个篮球的售价为100元，每个足球的售价为120元； （2）解：设购买m个篮球，则购买个足球， 由题意，得， 解得， ∴最少需要购买25个篮球； （3）解：由题意，得， 解得， ∴， ∵购买一个足球需要120元，购买一个篮球需要100元，足球的售价比篮球高， ∴当购买足球数量最少，篮球数量最多时，最省钱， 又为整数，， ∴，即的最大值为33， ， ∴当时，即购买33个篮球，购买17个足球时，为最省钱的购买方案． 18．合肥市50中东校七年级某班36名师生外出秋游，根据学生的喜好分成A、B、C三组分别前往A、B、C三个景点，且A组人数是B组人数的倍少1人，各景点门票单价如下表所示．若B组人数为a人，购买全部景点的总票价是b元． A景点 B景点 C景点 门票元 50 40 30 人数 ______ a ______ (1)先填表，即用含a的代数式表示出A景点和C景点的人数； (2)当时，购买A景点门票花费了______元；C景点门票花费了______元； (3)①用含a的代数式表示b，并化简； ②在购买B景点门票时王老师给售票员6张元，售票员找回了一些零钱，求购买全部景点的总票价 【答案】(1)； (2)； (3)①；②元 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，根据“票价=人数单价”正确列出代数式是解题的关键． 利用题干中的数量关系即可表示出去A景点的人数，用总数A、B组的人数即可得到C的人数； 利用票价=人数单价分别列出代数式，再将代入计算即可得出结论； 求出b的代数式，利用已知条件求得a值，再将a值代入中的代数式b，计算即可得出结论． 【详解】（1）根据题意，可知A组人数：， C组人数：， 故答案为：； （2）当时，A景点门票花费：元， C景点门票花费：元， 故答案为：；；①用含有a的代数式表示b是：， （3）②已知购买B景点门票时付了元，且有一些零钱找回， ， 解得， 是整数 或14， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，， ， 元． 19．某小区决定在小区内安装垃圾分类的提示牌与垃圾箱，若购买2个提示牌和3个垃圾箱共需要550元，且垃圾箱的单价是提示牌的3倍． (1)提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ (2)该小区至少需要安放47个垃圾箱，如果购买提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有的购买方案，并指出哪种方案所需资金最少，最少是多少元． 【答案】(1)提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元 (2)购买方案有：提示牌50个、垃圾箱50个；提示牌51个、垃圾箱49个；提示牌52个、垃圾箱48个；提示牌53个、垃圾箱47个；其中提示牌53个、垃圾箱47个所需资金最少，最少是9700元 【分析】本题考查了二元一次方程（组）与一元一次不等式组的实际应用，灵活根据题意列出二元一次方程是解决本题的关键． （1）通过设未知数，根据“购买2个提示牌和3个垃圾箱共需550元，垃圾箱单价是提示牌的3倍”这两个条件，建立二元一次方程组，考查了二元一次方程组的列法与解法． （2）通过设购买垃圾箱的数量，结合“至少需要安放47个垃圾箱”“购买提示牌和垃圾箱共100个”“费用不超过10000元”这些条件，建立一元一次不等式组，求出取值范围后列举购买方案，并通过计算费用比较得出最省钱的方案，考查了一元一次不等式组的列法、解法以及方案选择与费用优化问题． 【详解】（1）解：提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为y元，根据题意得， 解得 检验，方程组的解符合题意． ∴提示牌的单价为50元，垃圾箱的单价为150元． （2）解：设购买垃圾箱x个，则购买提示牌个． 根据题意得：      解得：． ∵x整数， ∴． 方案1：购买垃圾箱47个，提示牌个 方案2：购买垃圾箱48个，提示牌个； 方案3：购买垃圾箱49个，提示牌个； 方案4：购买垃圾箱50个，提示牌个． 设总费用为y元，则费用公式为： 方案1：，元； 方案2：，元； 方案3：，元； 方案4：，元． 综上所述，所有购买方案为上述4种，购买47个垃圾箱和53个提示牌时所需资金最少，最少是9700元． 20．某中学因运动会开幕式演出需要，向某服装厂定制A，B两种不同款式的服装．已知该厂用相同的布料生产这两款服装，且生产相同款式的服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料，3套A款服装和1套B款服装需用布料． (1)每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？ (2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ (3)在（2）的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂生产这100套服装能否实现盈利不低于2190元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由． 【答案】(1)每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米； (2)60套； (3)三种生产方案：①生产40套A款服装，60套B款服装；②生产39套A款服装，61套B款服装；③生产38套A款服装，62套B款服装． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式以及方程组是解题的关键． （1）每套款服装用布料米，每套款服装需用布料米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设服装厂需要生产套款服装，则生产套款服装，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解； （3）设该服装厂需要生产m套B款服装，则需生产套A款服装．根据该厂这100套服装能否实现盈利不低于元列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米． 根据题意，得， 解得 答：每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米； （2）解：设该服装厂需要生产m套B款服装，则需生产套A款服装． 根据题意，得 解得． 答：该服装厂最少需要生产60套B款装； （3）解：该厂生产这100套服装能实现盈利不低于2190元的目标， 根据题意，得， 解得， 又因为，且为正整数， 所以或61或62． 故共有如下三种生产方案： ①生产40套A款服装，60套B款服装； ②生产39套A款服装，61套B款服装； ③生产38套A款服装，62套B款服装． 试卷第1页，共3页 0242 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $沪教版2024七年级数学下册同步教学讲义（知识点梳理+题型归纳+例题讲解+变式训练+过关检测） 15.3 一元一次不等式组 知识梳理 知识点 相关题型 一元一次不等式组的概念 一元一次不等式组的辨析 利用数轴求不等式组的解集 一元一次不等式组的解法 求一元一次不等式组的解集 求一元一次不等式组的整数解 根据不等式组的解集情况求参数取值范围 不等式组与方程组的组合题 一元一次不等式组的应用 一元一次不等式组在分配问题中的应用 一元一次不等式组在方案选择问题中的应用 一元一次不等式组的其他应用 知识点讲解 1. 基本概念 （1）一元一次不等式组 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的一组不等式叫作一元一次不等式组 （2）不等式组的解集 ①不等式组中所有不等式解集的公共部分叫作不等式组的解集. ②利用数轴求不等式组的解集的四种情形 不等式组 图例 解集 归纳 x>8 同大取大 X<-3 同小取小 -3<x<4.5 大于小的 小于大的 空集 大于打的 小于小的 2. 解不等式组 求不等式组解集的过程叫作解不等式组. 解一元一次不等式组的一般步骤： (1)求出不等式组中各个不等式的解集，并分别在数轴上表示出来； (2)确定各个不等式的解集的公共部分，得到不等式组的解集. 同大取大，同小取小， 大小小大中间找，大大小小解不了． 3. 一元一次不等式组的应用 应用一元一次不等式组解决问题的步骤： ①分析题意，寻找表示（不等）数量关系； ②思考探索，列出一元一次不等式（组）； ③计算求解，从而解决实际问题. 例题讲解 【题型1：不等式组的辨析】 【例1】（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】利用数轴求不等式组的解集 【例2】（（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，数轴上公共部分表示的是某个关于的一元一次不等式组的解集，那么这个不等式组可以是（   ）    A． B． C． D． 【变式1】（2025·山东滨州·一模）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·重庆·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型3】求一元一次不等式组的解集 【例3】（24-25九年级下·上海长宁·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【变式1】（24-25九年级下·上海·月考）解不等式组：． 【变式2】（24-25七年级下·上海·月考）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【题型4：】一元一次不等式组的整数解 【例4】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式组：，并求它的非负整数解． 【变式1】（24-25七年级下·上海松江·期末）利用数轴确定不等式组的整数解． 【变式2】（24-25七年级下·上海·月考）（1）解下列不等式； （2） 解不等式组，并写出它的整数解． 【题型5】根据一元一次不等式组解集的情况求参数的取值范围 【例5】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【变式1】（24-25七年级下·上海·月考）解不等式组：． (1)当时，求出此时不等式组的解集并表示在数轴上； (2)要使此不等式组无解，则的取值范围是_____． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． 【题型6】方程组和不等式组的组合题 【例6】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若方程组的解是正数，求m的取值范围； (2)若方程组的解满足不小于0，求m的取值范围． 【变式1】（23-24八年级上·湖南长沙·月考）已知关于、的二元一次方程组． (1)若方程组的解、互为相反数．求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 【变式2】（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知关于的方程组（为常数） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【题型7】一元一次不等式组在分配问题中的应用 【例7】（24-25七年级下·上海崇明·期中）社会实践活动中，辅导员组织一批进行游戏，若每组人，还剩余人，若每组人，则有一组不满人，问参加游戏的同学的组数和人数． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． (1)若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？ (2)请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案． 【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期中）把一些奖品分给若干名学生．如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个．问：学生最少有几名？奖品至少有多少个？ 【题型8】一元一次不等式组在方案选择问题中的应用 【例8】（24-25七年级下·上海·月考）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？ 【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球拍数量的，购买费用不超过2535，有几种购买方案？并写出方案． 【变式2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 【题型9】一元一次不等式组在其他问题中的应用 【例9】（24-25七年级下·上海青浦·期末）一件商品的成本是50元． (1)如果售价是58元，那么盈利率是多少？ (2)如果按原价的八五折销售，至少可获得10%的利润；如果按原价的九折销售，能获得不足20%的利润，那么商品的原价（正整数）是多少元？ 【变式1】（2025·上海闵行·模拟预测）某商店用10000元人民币购进某款服装进行销售，过了一段时间，由于热销，又用24000元人民币购进同款服装，所购服装的数量是第一次购进数量的2倍，但每件的价格比第一次购进的货贵了20元． (1)求该商店第一次购进该款服装的数量； (2)假设该商店两次购进的服装按相同的标价销售，最后剩下的20件按标价的五折优惠销售，如果两次购进的服装全部售完，利润不低于9500元，求每件服装的标价至少是多少元． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 过关检测 一、单选题 1．不等式组的解在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 3．以下是解不等式组：的过程 解：由①得：……第一步 由②得：……第二步 ∴不等式组解集为……第三步 以下判断正确的是（　　） A．第一步开始出错 B．第二步开始出错 C．第三步开始出错 D．解题过程没有错误 4．若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 二、填空题 5．一元一次不等式组的解集为 ． 6．不等式组的解集是 ． 7．若不等式组无解，则的取值范围为 ． 8．若数k使关于x的不等式组无解，且使关于y的方程的解为整数，则符合条件的所有整数k的和为 ． 9．已知关于x，y的方程组，其中，给出下列结论： ①当时，x，y的值互为相反数； ②是方程组的解； ③无论a取何值，x，y恒有关系式； ④若，则． 其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填上） 三、解答题 10．解不等式组：． 11．计算 (1)解不等式 (2)解不等式组 12．解下列不等式（组）： (1)； (2)． 13．解下列一元一次不等式（组）： (1)，并把它的解表示在数轴上． (2) 14．求使方程组的解都为正数的m的取值范围． 15．下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解：由不等式①，得．…第一步 解得．…第二步 由不等式②，得．…第三步 移项，得．…第四步 解得．…第五步 所以原不等式组的解集是．…第六步 任务一： （1）小明的解答过程中，第__________步开始出现错误，错误的原因是__________； （2）第三步的依据是__________； 任务二： （3）直接写出这个不等式组正确的解集是__________． 16．近年来，机器人技术在各个领域的应用和影响日益显著，它们已经从科幻电影逐渐走入我们的日常生活．某公司计划采购A，B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比每个A种机器人贵5万元，采购5个A种机器人和6个B种机器人共用690万元． (1)采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过3100万元再次采购第二批A，B两种机器人共50个，且种机器人的数量不超过种机器人数量的3倍．该公司最多可以采购种机器人多少个？ 17．为了丰富学生的课余生活，某校计划购买一批篮球和足球．已知购买2个篮球和1个足球共需320元；购买3个篮球和2个足球共需540元． (1)求每个篮球和每个足球的售价； (2)该校计划购买篮球和足球共50个，总费用不超过5500元，那么最少需要购买多少个篮球？ (3)在（2）的条件下，若购买足球的数量不少于篮球数量的 ，请直接写出最省钱的购买方案． 18．合肥市50中东校七年级某班36名师生外出秋游，根据学生的喜好分成A、B、C三组分别前往A、B、C三个景点，且A组人数是B组人数的倍少1人，各景点门票单价如下表所示．若B组人数为a人，购买全部景点的总票价是b元． A景点 B景点 C景点 门票元 50 40 30 人数 ______ a ______ (1)先填表，即用含a的代数式表示出A景点和C景点的人数； (2)当时，购买A景点门票花费了______元；C景点门票花费了______元； (3)①用含a的代数式表示b，并化简； ②在购买B景点门票时王老师给售票员6张元，售票员找回了一些零钱，求购买全部景点的总票价 19．某小区决定在小区内安装垃圾分类的提示牌与垃圾箱，若购买2个提示牌和3个垃圾箱共需要550元，且垃圾箱的单价是提示牌的3倍． (1)提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ (2)该小区至少需要安放47个垃圾箱，如果购买提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有的购买方案，并指出哪种方案所需资金最少，最少是多少元． 20．某中学因运动会开幕式演出需要，向某服装厂定制A，B两种不同款式的服装．已知该厂用相同的布料生产这两款服装，且生产相同款式的服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料，3套A款服装和1套B款服装需用布料． (1)每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？ (2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ (3)在（2）的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂生产这100套服装能否实现盈利不低于2190元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由． 试卷第1页，共3页 0242 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $