第十五章 一元一次不等式单元复习（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

培优专题 一元一次不等式单元复习 不等式的性质基础 1. 不等式的性质1（实数的三歧性） 对于任意给定的两个数a、b，在a>b、a<b、a=b三种情形中，有且只有一种情形成立. 2. 不等式的性质2（传递性） 如果a>b,b>c,那么a>c. 拓展：如果c<b，b<a,那么c<a；如果c≤b,b≤a,那么c≤a；如果c=b,b=a,那么c=a; 3. 三歧性和传递性的重要意义 这两个性质看似简单，实则意义重大。它们是实数排序和比较大小的理论基础. 【即学即练】 1.设a>b>0，用“”或“”填空，并说明理由. （1） a____-2; （2） a-2____b-5; 不等式的基本性质 1. 不等式性质3不等式的两边同加(或减)一个数，不等号的方向不变. 不等式性质3是解不等式时移项法则的理论依据。 2. 不等式性质4不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变. 3. 不等式性质5不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变. 不等式性质④、⑤是解不等式时化系数为1和去分母法则的理论依据。 【即学即练】 1. 用不等号填空，如果，那么 （填“＞”或“＜”） 2. 下列不等式变形中，正确的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 不等式的解和解集 1.不等式的解 能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解； 2.不等式的解集 一个不等式的所有的解，组成这个不等式的解集； 3.解和解集的区别与联系 不等式的解一定在它的解集中，解集包含不等式的所有解. 【即学即练】 1. 下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 2.已知如图是关于的不等式的解集，则的值为 ． 一元一次不等式的解法 1. 解一元一次不等式的核心步骤： 1 去分母；②去括号； ③移项；④合并同类项；⑤系数化为1； 2.三大易错点： 1 去分母不能漏掉没有分母的项； 2 移项要注意变号； 3 系数化为1要注意同乘除一个负数时不等号要变号； 【即学即练】 1. 解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 一元一次不等式组 1. 不等式组的解集 不等式组中所有不等式解集的公共部分叫作不等式组的解集. 2.不等式组解集的四种情形 不等式组 图例 解集 归纳 x>8 同大取大 X<-3 同小取小 -3<x<4.5 大于小的 小于大的 无解 大于大的 小于小的 3.解一元一次不等式组的一般步骤： (1)求出不等式组中各个不等式的解集，并分别在数轴上表示出来； (2)确定各个不等式的解集的公共部分，得到不等式组的解集. 4.不等式组的整数解 在不等式组解集范围内的整数叫作不等式组的整数解. 【即学即练】 1. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．求其整数解. 一元一次不等式组的应用 应用一元一次不等式（组）解决问题的步骤： ①分析题意，寻找表示（不等）数量关系； ②思考探索，列出一元一次不等式（组）； ③求出解集，解不等式组； ④确定答案，根据具体要求确定答案，从而解决实际问题. 【即学即练】 1. 为了丰富学生的课余生活，某校计划购买一批篮球和足球．已知购买2个篮球和1个足球共需320元；购买3个篮球和2个足球共需540元． (1)求每个篮球和每个足球的售价； (2)该校计划购买篮球和足球共50个，总费用不超过5500元，那么最少需要购买多少个篮球？ (3)在（2）的条件下，若购买足球的数量不少于篮球数量的 ，请直接写出最省钱的购买方案． 题型01 不等式的性质 【典例1】（24-25七年级下·上海宝山·期末）如果，那么下列不等式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·上海黄浦·期末）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·上海普陀·期末）用适当的不等号填空：如果，那么___________． 【变式3】（24-25七年级下·上海普陀·期末）已知，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25七年级下·上海杨浦·期末）已知，下列式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型02 不等式的解和解集 【典例1】（24-25七年级下·上海杨浦·期末）不等式有多少个负整数解？ 【变式1】（24-25六年级下·上海·单元测试）下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期末）对于不等式，明明认为所有非正数都是这个不等式的解，故该不等式的解集是，这句话是否正确？请判断，并说明理由．为什么？ 【变式3】（24-25六年级下·上海普陀·期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【变式4】（24-25六年级下·上海黄浦·期中）不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 题型03 不等式组的解集 【典例1】（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，数轴上公共部分表示的是某个关于的一元一次不等式组的解集，那么这个不等式组可以是（   ）    A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山西·模拟预测）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·山东滨州·一模）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·河南驻马店·一模）将不等式组的解集表示在数轴上，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型04 解一元一次不等式 【典例1】（24-25七年级下·上海·期末）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【变式1】（2025·上海杨浦·模拟预测）解不等式： 【变式2】（24-25七年级下·上海松江·月考）解不等式：． 【变式3】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）解不等式：． 【变式4】（24-25七年级下·上海·月考）解不等式，并写出它的所有负整数解． 题型05 解一元一次不等式组 【典例1】（24-25七年级下·上海·期末）解不等式组，并写出它的非负整数解． 【变式1】（24-25七年级下·上海松江·月考）解不等式组．在数轴上表示它的解集并求出它的所有非负整数解． 【变式2】（24-25七年级下·上海宝山·期末）解下列不等式（组）： (1)（解集在数轴上表示出来）． (2)． 【变式3】（24-25七年级下·上海·月考）（1）解下列不等式； （2）解不等式组，并写出它的整数解． 【变式4】（24-25七年级下·上海·期末）求不等式组：的整数解． 题型06 含参数的不等式（组） 【典例1】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 【变式2】（24-25七年级下·上海·月考）解不等式组：． (1)当时，求出此时不等式组的解集并表示在数轴上； (2)要使此不等式组无解，则的取值范围是_____． 【变式3】（24-25七年级下·上海·月考）若关于的不等式组无解，求的取值范围． 【变式4】（24-25七年级下·上海·月考）关于x的两个不等式①与②，若不等式①的解都是不等式②的解，求a的取值范围． 题型07 一元一次不等式（组）的应用 【典例1】（24-25七年级下·上海松江·期末）某校组织六年级和七年级共100名学生参加垃圾分类志愿者助力活动．六年级学生每人要完成2次助力分类，七年级学生每人要完成5次助力分类．为了保证垃圾分类助力总次数不少于360次，最少需要多少名七年级学生参加活动？ 【变式1】（24-25七年级下·上海长宁·期末）某次知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得5分，答错一道题扣2分，不答题不得分，在这次竞赛中，小明有3道题没有作答，如果希望取得不低于70分的成绩，求小明至少要答对几道题． 【变式2】（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，这是某电影院的价目表．某社团16人去此电影院看电影，打算以比赛奖金1600元购买电影票、爆米花与饮料．如果要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，那么最多可买多少盒爆米花？ 【变式3】（24-25七年级上·吉林长春·月考）高尔基说：“书籍是人类进步的阶梯”．为提高学生的阅读水平，某中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买30本“科普类”图书和40本“文学类”图书共花费1240元． (1)求这两种图书的单价分别是多少元？ (2)学校决定再次购买这两种图书共100本，总费用超过1790元但不超过1800元，则学校有哪几种购买方案． 【变式4】（24-25七年级下·上海·月考）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？ 1．（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知，下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知，那么下列式子中不一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果，那么______．（填“”或“”或“”或“”） 4．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）不等式的最大整数解是______． 5．（24-25六年级下·上海·期末）关于的不等式的解集中恰有四个非负整数，则的范围为________． 6．（23-24六年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解是_____________________； 7．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：． 8．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 9．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式组：，并求它的非负整数解． 10．（24-25七年级下·上海长宁·期末）求不等式组的解集并写出最小整数解． 11．（24-25七年级下·上海松江·期末）解不等式组，并求出所有整数解． 12．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知关于x的不等式组的解集为，求的值． 13．（24-25七年级下·上海·期末）端午节是中国四大传统节日之一（与春节、清明节、中秋节并列），距今已有2000多年历史，于2009年被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录，有赛龙舟、吃粽子等风俗活动．某商店购进蛋黄肉粽跟碱水粽共100盒，已知蛋黄肉粽每盒利润为10元，碱水粽每盒利润为20元．如果购进的粽子销售完毕，所得总利润不低于1600元，那么最多能购进蛋黄肉粽多少盒？ 14．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）某学校举办“科技知识”竞赛，共有20道题，规定每道题答对得10分，答错扣5分，不答计0分，小何已经有3题未答，除这3题外其他每题都作答，要想得分不低于120分，他最少要答对多少道题？ 15.（24-25七年级下·上海金山·期中）某校组织义卖活动，学生们热情高涨．七（12）班用300元购进商品若干件，用400元购进商品若干件，已知商品进价比商品进价每件少2元，且购进、商品数量恰好相等． (1)求每件商品进价及购进商品的数量． (2)已知商品售价为每件10元，商品售价为每件15元，在销售过程中，商品按此售价全部售出，商品在售出件后将余下部分每件降价元（且降价后售价不能低于成本价）直至全部售出． ①当时，若商品与商品都全部售出后，商品所获利润不低于商品所获得的利润，求的范围． ②已知是不大于6的正整数，是不小于25的正整数，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润之和为430元，则的值为______．（直接写出结果） 16．（24-25七年级下·上海·期中）学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球拍数量的，购买费用不超过2535，有几种购买方案？并写出方案． 17．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）母亲节前夕，某店主从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为，单价和为210元． (1)求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？ (2)该店主购进这两种礼盒恰好用去4800元，且购进B种礼盒最多36个，A种礼盒数量的2倍不超过B种礼盒的数量，共有几种进货方案？请说明理由． 18．17．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题 一元一次不等式单元复习 不等式的性质基础 1. 不等式的性质1（实数的三歧性） 对于任意给定的两个数a、b，在a>b、a<b、a=b三种情形中，有且只有一种情形成立. 2. 不等式的性质2（传递性） 如果a>b,b>c,那么a>c. 拓展：如果c<b，b<a,那么c<a；如果c≤b,b≤a,那么c≤a；如果c=b,b=a,那么c=a; 3. 三歧性和传递性的重要意义 这两个性质看似简单，实则意义重大。它们是实数排序和比较大小的理论基础. 【即学即练】 1.设a>b>0，用“”或“”填空，并说明理由. （1） a____-2; （2） a-2____b-5; 【解析】；已知（、均为正数，且在数轴上位于右侧）： (1) ，而，故（传递性）； (2) ，在数轴上位于右侧，a向左移两个单位，b向左移5个单位，a仍在b的右边，故。 答案：(1)；(2) 不等式的基本性质 1. 不等式性质3不等式的两边同加(或减)一个数，不等号的方向不变. 如果a>b，那么a+m>b+m，a-m>b-m. 不等式性质3是解不等式时移项法则的理论依据。 2. 不等式性质4不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变. 如果a>b，m>0，那么am>bm， 3. 不等式性质5不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变. 如果a>b，m<0，那么am<bm， 不等式性质④、⑤是解不等式时化系数为1和去分母法则的理论依据。 【即学即练】 1. 用不等号填空，如果，那么 （填“＞”或“＜”） 【分析】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质解答即可得到结果．熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．不等式的基本性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵， ∴（不等式性质5）， ∴（不等式性质3）， 故答案为：． 2. 下列不等式变形中，正确的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键； 根据不等式的基本性质对各选项进行计算，并作出正确的判断． 【详解】A．由，不等式两边都加上，不等号的方向不变，所以原式说法正确，故该选项符合题意； B． 由，不等式两边都乘以，不等号的方向改变，所以原式说法错误，故该选项不符合题意； C． 由，不等式两边都乘以2，不等号的方向不改变，所以原式说法错误，故该选项不符合题意； D．不等式两边都乘以，不等号的方向不改变，所以原式说法错误，故该选项不符合题意； 故选：A． 不等式的解和解集 1.不等式的解 能使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解； 2.不等式的解集 一个不等式的所有的解，组成这个不等式的解集； 3.解和解集的区别与联系 不等式的解一定在它的解集中，解集包含不等式的所有解. 【即学即练】 1. 下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【分析】本题考查了一元一次不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集．根据不等式的解及解集的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵当时，，∴不是不等式的解，故不正确； B．∵当时，，∴是不等式的解而不是解集，故不正确； C．∵，∴，∴不等式的解集是，故不正确； D．∵当时，，∴是不等式的一个解，故正确； 故选D． 2.已知如图是关于的不等式的解集，则的值为 ． 【答案】1 【分析】解不等式得出，结合数轴知，据此可得关于的方程，解之可得答案． 【详解】解：解不等式得：， 由数轴知不等式的解集为， ， 解得：， 故答案为：1． 一元一次不等式的解法 1. 解一元一次不等式的核心步骤： 1 去分母；②去括号； ③移项；④合并同类项；⑤系数化为1； 2.三大易错点： 1 去分母不能漏掉没有分母的项； 2 移项要注意变号； 3 系数化为1要注意同乘除一个负数时不等号要变号； 【即学即练】 1. 解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得：， 即不等式的解集为． 将不等式的解集在数轴上表示为： 一元一次不等式组 1. 不等式组的解集 不等式组中所有不等式解集的公共部分叫作不等式组的解集. 2.不等式组解集的四种情形 不等式组 图例 解集 归纳 x>8 同大取大 X<-3 同小取小 -3<x<4.5 大于小的 小于大的 无解 大于大的 小于小的 3.解一元一次不等式组的一般步骤： (1)求出不等式组中各个不等式的解集，并分别在数轴上表示出来； (2)确定各个不等式的解集的公共部分，得到不等式组的解集. 4.不等式组的整数解 在不等式组解集范围内的整数叫作不等式组的整数解. 【即学即练】 1. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．求其整数解. 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是， 不等式组的解集在数轴上表示如下： 不等式组的非负整数解为-3,-2,-1,0. 一元一次不等式组的应用 应用一元一次不等式（组）解决问题的步骤： ①分析题意，寻找表示（不等）数量关系； ②思考探索，列出一元一次不等式（组）； ③求出解集，解不等式组； ④确定答案，根据具体要求确定答案，从而解决实际问题. 【即学即练】 1. 为了丰富学生的课余生活，某校计划购买一批篮球和足球．已知购买2个篮球和1个足球共需320元；购买3个篮球和2个足球共需540元． (1)求每个篮球和每个足球的售价； (2)该校计划购买篮球和足球共50个，总费用不超过5500元，那么最少需要购买多少个篮球？ (3)在（2）的条件下，若购买足球的数量不少于篮球数量的 ，请直接写出最省钱的购买方案． 【分析】本题考查“二元一次方程组的应用”“一元一次不等式的应用”，根据题意找到数量关系列出方程与不等式是解题关键． （1）根据题意中两次购买的数量和对应金额，设未知数分别列方程，再求解方程组即可； （2）设购买其中一个的数量为未知数，用未知数表示购买另一个的数量，根据题意列不等式并求解即可； （3）在（2）的条件下，根据数量列不等式，该不等式的解集与（2）中解出的不等式的解集中重合的部分即为满足条件的情况，从中找出最省钱的方案即可． 【详解】（1）解：设每个篮球的售价为x元，每个足球的售价为y元， 由题意，得， 解得， ∴每个篮球的售价为100元，每个足球的售价为120元； （2）解：设购买m个篮球，则购买个足球， 由题意，得， 解得， ∴最少需要购买25个篮球； （3）解：由题意，得， 解得， ∴， ∵购买一个足球需要120元，购买一个篮球需要100元，足球的售价比篮球高， ∴当购买足球数量最少，篮球数量最多时，最省钱， 又为整数，， ∴，即的最大值为33， ， ∴当时，即购买33个篮球，购买17个足球时，为最省钱的购买方案． 题型01 不等式的性质 【典例1】（24-25七年级下·上海宝山·期末）如果，那么下列不等式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：如果， 两边同时减去，得，则A符合题意， 两边同时加上，得，则B不符合题意， 两边同时乘以再同时减去，得，则C不符合题意， 两边同时乘以，得，则D不符合题意， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·上海黄浦·期末）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的基本性质；根据不等式的基本性质，逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵， 选项A： 两边同时加2，不等号方向不变，应为，故A错误． 选项B： 左边减5，右边减3，应为，故B错误． 选项C： 两边同时除以正数3，不等号方向不变，应为，故C错误． 选项D： 两边同时乘以负数，不等号方向改变，由可得，故D正确． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·上海普陀·期末）用适当的不等号填空：如果，那么___________． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是正确解答的前提． 根据不等式的性质可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·上海普陀·期末）已知，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．两边同时加1，不等式方向不变，原式变为，故A错误，不符合题意． B．两边同时减1，不等式方向不变，原式变为，故B错误，不符合题意． C．两边同时乘正数2，不等式方向不变，原式变为，故C错误，不符合题意． D．两边同时乘负数，不等式方向反转，原式变为，故D正确，符合题意． 故选：D． 【变式4】（24-25七年级下·上海杨浦·期末）已知，下列式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴，即，故A正确； B.∵， ∴，故选项B错误； C. ∵， ∴，故选项C错误； D. ∵， ∴，故选项D错误； 故选：A． 题型02 不等式的解和解集 【典例1】（24-25七年级下·上海杨浦·期末）不等式有多少个负整数解？ 【答案】该不等式有4个负整数解，为 【分析】本题考查了列一元一次不等式及一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确不等式解集的含义． 【详解】解：∵， ∴该不等式有4个负整数解，为． 【变式1】（24-25六年级下·上海·单元测试）下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解集，根据不等式的解集的定义进行判断即可． 【详解】解：中不包括， 故选：C． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期末）对于不等式，明明认为所有非正数都是这个不等式的解，故该不等式的解集是，这句话是否正确？请判断，并说明理由．为什么？ 【答案】不正确，理由见解析 【分析】本题考查了不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集．据此判断即可． 【详解】解：这句话说的不正确，只是该不等式解集的一部分．如：是不等式的解，但未包含在内，所以这句话不正确． 【变式3】（24-25六年级下·上海普陀·期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法和在数轴上表示不等式组的解集； 根据解一元一次不等式的步骤进行计算，再把所得的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解： ， 把解集在数轴上表示为： 【变式4】（24-25六年级下·上海黄浦·期中）不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， 其解集在数轴上表示如下： ， 故选：D． 题型03 不等式组的解集 【典例1】（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，数轴上公共部分表示的是某个关于的一元一次不等式组的解集，那么这个不等式组可以是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式组的解集，根据数轴表示的不等式解集求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由数轴知，这个不等式组可以为， 故选：． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： ， 故选：C． 【变式2】（2025·山西·模拟预测）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及将解集表示在数轴上，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先分别求出两个不等式的解集，然后即可得到不等式组的解集，再将不等式组的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：解，得， 解，得， 该不等式组的解集为， 其解集在数轴上表示如下： 故选：D． 【变式3】（2025·山东滨州·一模）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为， 故选：． 【变式4】（2025·河南驻马店·一模）将不等式组的解集表示在数轴上，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．首先解出不等式组，然后根据不等式组的解集进行判断． 【详解】解：由，得， 由，得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示不等式组的解集为：． 故选：A． 题型04 解一元一次不等式 【典例1】（24-25七年级下·上海·期末）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得：， 即不等式的解集为． 将不等式的解集在数轴上表示为： 【变式1】（2025·上海杨浦·模拟预测）解不等式： 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 先去括号计算，再移项、合并同类项，最后将系数化为1即可． 【详解】解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 【变式2】（24-25七年级下·上海松江·月考）解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得． 【详解】解：， 去分母得 移项得 合并同类项得, 系数化为得：． 【变式3】（24-25七年级下·上海嘉定·期中）解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的计算，根据计算步骤去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案； 【详解】解：， ， ， ， ， . 【变式4】（24-25七年级下·上海·月考）解不等式，并写出它的所有负整数解． 【答案】，负整数解为：，． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，关键是掌握不等式的解法． 根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． ∴原不等式负整数解为：，． 题型05 解一元一次不等式组 【典例1】（24-25七年级下·上海·期末）解不等式组，并写出它的非负整数解． 【答案】，不等式组的非负整数解为，． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的非负整数解，分别求出每一个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，继而可得其非负整数解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的非负整数解为，． 【变式1】（24-25七年级下·上海松江·月考）解不等式组．在数轴上表示它的解集并求出它的所有非负整数解． 【答案】，数轴见解析，所有非负整数解有0，1，2． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，然后在数轴上表示解集，最后求出所有非负整数解即可． 【详解】解∶， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式的解集为， 在数轴上表示为： ∴所有非负整数解有0，1，2． 【变式2】（24-25七年级下·上海宝山·期末）解下列不等式（组）： (1)（解集在数轴上表示出来）． (2)． 【答案】(1)；数轴见解析 (2) 【分析】（1）先解不等式，然后把解集表示在数轴上即可； （2）先求出两边不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则得出不等式组的解集即可． 本题考查的是解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法和步骤是解题的关键． 【详解】（1）， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 把解集表示在数轴上，如图所示： ； （2）， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为． 【变式3】（24-25七年级下·上海·月考）（1）解下列不等式； （2）解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】（1）（2） ，整数解为 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤求解即可； （2）分别解出每个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定其解集，最后找出其中的整数即可． 本题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式和一元一次不等式组的步骤是解题关键． 【详解】解：（1）， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 原不等式组的解集为， 它的整数解为 【变式4】（24-25七年级下·上海·期末）求不等式组：的整数解． 【答案】；；； 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的解集，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则求出不等式的解集后解答即可． 【详解】解：由①可得： ， 由②可得： ， ∴不等式的解集为：， ∴整数解为：；；；． 题型06 含参数的不等式（组） 【典例1】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查由一元一次不等式组的解集求参数，根据不等式的解集确定a的取值范围是解题的关键． 先求解一元一次不等式组，再根据题意建立关于参数的不等式求解即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组无解， ∴，解得：． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集即可得出a的取值范围． 【详解】解：．不等式可化为， ∴． ； 不等式可化为， ∴． ∴， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴． ． 【变式2】（24-25七年级下·上海·月考）解不等式组：． (1)当时，求出此时不等式组的解集并表示在数轴上； (2)要使此不等式组无解，则的取值范围是_____． 【答案】(1)，见解析； (2)． 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，不等式组无解问题； （1）当时，可得，再解不等式组即可； （2）由得：，由得：，结合不等式组无解可得，进一步可得答案. 【详解】（1）解：当时， ， 解得：， 在数轴上表示两个不等式的解集如下： ∴不等式组的解集； （2）解得：， 解得：， 要使此不等式组无解， ∴， ∴； ∴的取值范围是. 【变式3】（24-25七年级下·上海·月考）若关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先求出两个不等式的解集，再根据原不等式组无解得到关于的一元一次不等式求解即可． 【详解】解： 由①得：； 由②得：， ∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：． 【变式4】（24-25七年级下·上海·月考）关于x的两个不等式①与②，若不等式①的解都是不等式②的解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式，根据不等式①的解都是②的解，求出的范围即可．根据题意分别求出不等式的解集，进而得到关于的不等式是解题的关键． 【详解】解：由①得：， 由②得：， 由不等式①的解都是②的解，得到， 解得：． 题型07 一元一次不等式（组）的应用 【典例1】（24-25七年级下·上海松江·期末）某校组织六年级和七年级共100名学生参加垃圾分类志愿者助力活动．六年级学生每人要完成2次助力分类，七年级学生每人要完成5次助力分类．为了保证垃圾分类助力总次数不少于360次，最少需要多少名七年级学生参加活动？ 【答案】最少需要54名七年级学生参加活动 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设需要x名七年级学生参加活动，则需要名六年级学生参加活动，根据要保证垃圾分类助力总次数不少于360次，可列出关于x的一元一次不等式，解得x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【详解】解：设需要x名七年级学生参加活动，则需要名六年级学生参加活动， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最小值为54． 答：最少需要54名七年级学生参加活动． 【变式1】（24-25七年级下·上海长宁·期末）某次知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得5分，答错一道题扣2分，不答题不得分，在这次竞赛中，小明有3道题没有作答，如果希望取得不低于70分的成绩，求小明至少要答对几道题． 【答案】小明至少要答对15道题 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设小明答对道题，则小明答错题，根据总得分不低于70分建立不等式求解即可． 【详解】解：设小明答对道题， 由题意得，， 解得：， ∵是整数， ∴x的最小值为15， 答：小明至少要答对15道题． 【变式2】（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，这是某电影院的价目表．某社团16人去此电影院看电影，打算以比赛奖金1600元购买电影票、爆米花与饮料．如果要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，那么最多可买多少盒爆米花？ 【答案】最多可买４盒爆米花 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，设可以买x盒爆米花，利用总价=单价数量，结合总价不超过1600元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】解：设可以买x盒爆米花，根据题意得： ， 解得，， 所以，最多可买４盒爆米花． 【变式3】（24-25七年级上·吉林长春·月考）高尔基说：“书籍是人类进步的阶梯”．为提高学生的阅读水平，某中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买30本“科普类”图书和40本“文学类”图书共花费1240元． (1)求这两种图书的单价分别是多少元？ (2)学校决定再次购买这两种图书共100本，总费用超过1790元但不超过1800元，则学校有哪几种购买方案． 【答案】(1)“科普类”图书的单价为20元，“文学类”图书的单价为16元 (2)①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本；②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本；③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）设“科普类”图书的单价为x元，则“文学类”图书的单价为元，根据共花费1240元，即可得出关于x的方程，解之即可得出结论； （2）设“文学类”书购a本，根据总价单价数量，结合总费用超过1790元且不超过1800元，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设“科普类”图书的单价为x元，则“文学类”图书的单价为元，                         由题意得：， 解得：， 则，                        答：“科普类”图书的单价为20元，则“文学类”图书的单价为16元； （2）解：设“文学类”书购买a本，则“科普类”书购买本， 依题意得：， 解得：． 因为a是正整数，所以． ∴学校有3种购买方案：                         ①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本； ②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本； ③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本． 【变式4】（24-25七年级下·上海·月考）2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，若要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，则该企业购买方案有哪几种？ 【答案】(1)A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元 (2)该企业购买方案有2种：①购买A型智能机器人5台，B型智能机器人5台；②购买A型智能机器人6台，B型智能机器人4台 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用． （1）设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元，根据信息一的数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人台，根据要求总价不超过720万元，并且每天分拣快递不少于200万件，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元； （2）解：设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人台， 由题意得：， 解得：， ∵a为正整数， ∴，6， ∴该企业购买方案有2种： ①购买A型智能机器人5台，B型智能机器人5台； ②购买A型智能机器人6台，B型智能机器人4台． 1．（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知，下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟练运用不等式的基本性质对各选项进行分析判断． 根据不等式的基本性质（不等式两边加或减同一个数，不等号方向不变；乘或除以同一个正数，不等号方向不变；乘或除以同一个负数，不等号方向改变），逐一分析选项． 【详解】已知，分析各选项： A、两边同时加1，不等号方向不变，应为，故A错误； B、两边同时乘3（正数），不等号方向不变，应为，故B错误； C、两边同时减1，得；再两边乘，不等号方向改变，得，与原条件一致，故C正确； D、两边乘，不等号方向应改变，得，与原条件矛盾，故D错误． 故选：C． 2．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知，那么下列式子中不一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的基本性质；根据不等式的基本性质，结合题目条件分析各选项是否一定成立即可． 【详解】解：已知，，根据传递性可得，故选项A一定成立． 对于选项B，不等式，由两边同加得到，根据不等式加法性质，方向不变，故B一定成立． 选项C中，不等式，由两边同减得到，根据不等式减法性质，方向不变，故C一定成立． 选项D中，的成立需考虑的符号．若，则两边同乘后方向不变；若，则方向改变，此时；若，则．由于题目未限定的符号，故不一定成立． 综上，不一定成立的选项为D． 故选：D． 3．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果，那么______．（填“”或“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质． 根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）不等式的最大整数解是______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解题的关键．按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的最大整数解是2． 故答案为：2． 5．（24-25六年级下·上海·期末）关于的不等式的解集中恰有四个非负整数，则的范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，将k看做已知数求出不等式的解集，根据不等式的解集中恰有四个非负整数，确定出k的范围即可． 【详解】解∶解不等式，得， ∵不等式的解集中恰有四个非负整数， ∴四个非负整数为0，1，2，3， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（23-24六年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解是_____________________； 【答案】0，1，2 【分析】本题考查解一元一次不等式，解出不等式的解集即可求解． 【详解】解： ， ∴不等式的非负整数解是：0，1，2． 故答案为：0，1，2． 7．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式．按照解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 8．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】；见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤．按照解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化成1，进行计算，求出不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集表示在数轴上如下： 9．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式组：，并求它的非负整数解． 【答案】，非负整数解为，， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小无解了． 先分别解不等式，求出不等式组的解集，然后找出非负整数解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组的非负整数解为，，． 10．（24-25七年级下·上海长宁·期末）求不等式组的解集并写出最小整数解． 【答案】，最小整数解为 【分析】本题考查了求不等式组的整数解问题，分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后得出不等式组的解集，即可找出不等式组的最小整数解． 【详解】解：由解得： 由 解得：． 所以原不等式组的解集为： 所以原不等式组的最小整数解为： 11．（24-25七年级下·上海松江·期末）解不等式组，并求出所有整数解． 【答案】0，1，2，3，4，5 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键．分别解每一个不等式，再取解集的公共部分，求出不等式组的解集，找出所有的整数解即可． 【详解】解：， 解第一个不等式：得：， 解第二个不等式：得：， 故不等式组的解集为：， 所有整数解为：0，1，2，3，4，5． 答：所有整数解为． 12．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知关于x的不等式组的解集为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求代数式的值，根据不等式组的解集求出m与n的值是解题的关键；先解不等式组，根据不等式组的解集得关于m与n的方程，求出m与n的值，即可求得代数式的值． 【详解】解：令 解不等式①，得．解不等式②，得． 不等式组的解集为， ，， 解得，， ． 13．（24-25七年级下·上海·期末）端午节是中国四大传统节日之一（与春节、清明节、中秋节并列），距今已有2000多年历史，于2009年被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录，有赛龙舟、吃粽子等风俗活动．某商店购进蛋黄肉粽跟碱水粽共100盒，已知蛋黄肉粽每盒利润为10元，碱水粽每盒利润为20元．如果购进的粽子销售完毕，所得总利润不低于1600元，那么最多能购进蛋黄肉粽多少盒？ 【答案】40盒 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设购进盒蛋黄肉粽，则购进盒碱水粽，利用总利润每盒蛋黄肉粽的销售利润购进蛋黄肉粽的数量每盒碱水粽的销售利润购进碱水粽的数量，结合总利润不低于1600元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设购进盒蛋黄肉粽，则购进盒碱水粽， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为40， 答：最多能购进蛋黄肉粽40盒． 14．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）某学校举办“科技知识”竞赛，共有20道题，规定每道题答对得10分，答错扣5分，不答计0分，小何已经有3题未答，除这3题外其他每题都作答，要想得分不低于120分，他最少要答对多少道题？ 解： 【答案】他最少要答对14道题 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设他要答对道题，根据想得分不低于120分，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设他要答对道题，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴的最小整数解为：14； 答：他最少要答对14道题． 15.（24-25七年级下·上海金山·期中）某校组织义卖活动，学生们热情高涨．七（12）班用300元购进商品若干件，用400元购进商品若干件，已知商品进价比商品进价每件少2元，且购进、商品数量恰好相等． (1)求每件商品进价及购进商品的数量． (2)已知商品售价为每件10元，商品售价为每件15元，在销售过程中，商品按此售价全部售出，商品在售出件后将余下部分每件降价元（且降价后售价不能低于成本价）直至全部售出． ①当时，若商品与商品都全部售出后，商品所获利润不低于商品所获得的利润，求的范围． ②已知是不大于6的正整数，是不小于25的正整数，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润之和为430元，则的值为______．（直接写出结果） 【答案】(1)商品的进价为每件6元，购进商品的数量为50件 (2)；②26或30 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程的应用等； （1）等量关系式：300元购进商品的数量400元购进商品的数量，据此列方程，即可求解； （2）①不等关系式：商品在售出件获得的利润商品在售出件后将余下部分每件降价元获得的利润全部售出商品所获得的利润，据此列出不等式，即可求解； ②等量关系式：全部售出商品所获得的利润商品在售出件获得的利润商品在售出件后将余下部分每件降价元获得的利润元，据此列出方程，再由、的取值范围，即可求解； 找出等量关系式和不等关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设每件商品进价为元，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义； （件）， 答：商品的进价为每件6元，购进商品的数量为50件； （2）解：①由题意得 ， 解得：， ； ②由题意得 ， 整理得：， 是不小于25的正整数， ， ， 解得：， 是不大于6的正整数， ， 或， 当时， ， 当时， ， 故答案为：26或30． 16．（24-25七年级下·上海·期中）学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球拍数量的，购买费用不超过2535，有几种购买方案？并写出方案． 【答案】(1)乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元 (2)有三种购买方案：学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副；学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副；学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组解应用题，读懂题意，准确列出方程组、不等式组求解是解决问题的关键． （1）设乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元，由等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设学校准备购买乒乓球拍副，则购买羽毛球拍副，由题意列出一元一次不等式组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元，则 ， 解得， 答：乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元； （2）解：设学校准备购买乒乓球拍副，则购买羽毛球拍副，则 ， 解得， 为正整数， 可取， 即有三种购买方案： 学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副； 学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副； 学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副． 17．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）母亲节前夕，某店主从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为，单价和为210元． (1)求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？ (2)该店主购进这两种礼盒恰好用去4800元，且购进B种礼盒最多36个，A种礼盒数量的2倍不超过B种礼盒的数量，共有几种进货方案？请说明理由． 【答案】(1)种礼盒的单价为120元，种礼盒的单价为90元． (2)2种进货方案，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程和一元一次不等式组的实际应用，准确找出数量关系是解题的关键． （1）利用“、两种礼盒单价比为”，设单价为元，单价为元．依据“单价和为210元”，列方程，求解，进而得出、的单价． （2）设购进种礼盒个，根据“恰好用去4800元”表示出种礼盒数量．结合“种礼盒最多36个”，“种礼盒数量的倍不超过种礼盒数量”，列出不等式组，求出的取值范围．根据礼盒个数为正整数，对在取值范围内取值验证，确定符合条件的值，从而得出进货方案数量． 【详解】（1）解：设种礼盒的单价为元，种礼盒的单价为元，根据题意得 解得． 则种礼盒的单价为（元）， 种礼盒的单价为（元）． 答：种礼盒的单价为120元，种礼盒的单价为90元． （2）设购进种礼盒个，购进种礼盒个，根据题意得， ， 解得． ∵两种礼盒个数均为正整数， ∴为正整数，即是的倍数． 当时，（符合条件）； 当时，（不是整数，舍去）； 当时，（不是整数，舍去）； 当时，（符合条件）． ∴购进A种礼盒13个，购进种礼盒36个，或种礼盒16个，购进种礼盒32个，共有种进货方案． 18．17．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 【答案】任务1：共有2种租车方案，如下： 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆；方案2：租用A型车3辆，B型车5辆 任务2：花费最少的是方案1，比预算节省了200元 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用——方案问题，熟练掌握并利用一元一次不等式解决实际问题是解题的关键； 任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，根据总载客量不少于305人且总租金不超过2900元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出租车方案； 任务2：求出选择每种租车方案所需总租金，比较后，用2900元减去花费最少的总租金，即可得出结论． 【详解】解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆， 根据题意得， 解得， 又因为a为正整数， 所以a可以为或， 当时，， 当时，， 所以共有2种租车方案， 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆； 方案2：租用A型车3辆，B型车5辆； 任务2：选择方案1所需总租金为（元）； 选择方案2所需总租金为（元）． （元）， 花费最少的是方案1，比预算节省了200元． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $