第1讲 一元一次不等式及其应用 培优讲义 2025--2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册

第1讲不等式及其应用 (知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义 本节课主要针对第15章不等式进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了不等式的解法、不等式应用相关概念、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。 知识点一 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点二 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 注意：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 知识点三 不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 要点： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 3.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 要点： 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向． (1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈； (2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 一．不等式及其性质（共9小题） 1．某日我市最高气温是25℃，最低气温是12℃，则当天气温t（℃）的变化范围是（　　） A．t＜25 B．t≥12 C．12≤t≤25 D．12＜t＜25 2．下列6个式子①﹣2＜0；②2x﹣1＞0；③2x﹣1＝0；④2x﹣1＜0；⑤m﹣2；⑥﹣2≤2ab，其中不等式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．“x的3倍与2的差不大于﹣1”所对应的不等式是 　 　 ． 4．如图，是校园内限速标志，若用V表示速度，请用含字母V的不等式表示这个标志的实际意义 　 　 ． 5．若a＜b，那么下列各式中正确的是（　　） A．﹣a＞b B．a﹣1＜b﹣1 C．2017a＞2017b D． 6．若a＜b＜0，则下列不等式不一定成立的是（　　） A．a+1＜b+2 B． C．a+b＜ab D． 7．若x＜y，且（m﹣1）x＞（m﹣1）y，则m的取值范围是　 　 ． 8．如图，这是2025年1月的月历，其中“T”形、“L”形两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内可上下左右移动，可重叠．设“T”形阴影图形覆盖的最小数字为a，四个数字之和为M；“L”形阴影图形覆盖的最小数字为b，四个数字之和为N． （1）M+N＝　 　 ；（用含a，b的代数式表示） （2）若M﹣N＝﹣17，则M+N的最大值为　 　 ． 9．已知t＝a+b+c＜0，且a＞0，c＞0，下列两个结论：①b＜0；②3．其中正确的结论是　 　 （填序号）． 二．不等式的解和解集（共14小题） 10．下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式． 根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（　　） A．2x≤10 B．2x＜10 C．﹣2x≥﹣10 D．﹣2x≤﹣10 11．已知（m+4）x|m|﹣3+6＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 12．已知（m﹣3）x|m|﹣2﹣2＞6是关于x的一元一次不等式，则m＝　 　 ． 13．若3xa﹣1+2≤5是关于x的一元一次不等式，则a＝　 　 ． 14．若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为x，则关于x的不等式（a+b）x＞b﹣a的解集是（　　） A． B． C． D． 15．下列不等式中，与x＞﹣2组成的不等式组无解的是（　　） A．x≤﹣3 B．x≥﹣1 C．x＜0 D．x＞1 16．从下列不等式中选择一个与1﹣x≤2组成不等式组，若要使该不等式组的解集为x≥﹣1，则可以选择的不等式是（　　） A．x＜0 B．x＜﹣2 C．x＞0 D．x＞﹣2 17．不等式组的解集是x＞﹣1，则m的值是 　 　 ． 18．将“2x与6的和不小于2”用不等式表示出来，并求出这个不等式的解集． 19．关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则不等式组解集为 　 　 ． 20．已知关于x的一元一次不等式■﹣2x≥3的解集如图所示，则被墨水“■”覆盖的数为　 　 ． 21．如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可以是　 　 ． 22．已知关于x的方程4x+m+1＝2x的解是正数，则m的取值范围是　 　 ． 三．解一元一次不等式（共6小题） 23．已知m，n为实数，且m﹣n＝6，m≥﹣2n，则下列关于的说法正确的是（　　） A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为 C．有最大值，且最大值为 D．有最小值，且最小值为 24．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如：，如果，则x的取值范围为　 　 ． 25．解不等式． 26．解不等式： （1）； （2）3（x+2）﹣1≥8﹣2（x﹣1）． 27．定义一种新运算“a⊗b”：当a≥b时，a⊗b＝a+2b；当a＜b时，a⊗b＝a﹣2b．例如：3⊗（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）⊗12＝﹣6﹣24＝﹣30． （1）若（3x﹣5）⊗（4+x）＝（3x﹣5）+2（4+x），求x的取值范围是　 　 ； （2）已知（3x+7）⊗（﹣4x）＞1，求x的取值范围． 28．定义一种新运算a※b＝2a+b﹣1．例如：3※4＝2×3+4﹣1＝9． （1）计算：（﹣2）※3； （2）请根据上述定义解不等式（2x+3）※7＜2． 四．一元一次不等式应用（共7小题） 29．端午节是中国四大传统节日之一（与春节、清明节、中秋节并列），距今已有2000多年历史，于2009年被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录，有赛龙舟、吃粽子等风俗活动．某商店购进蛋黄肉粽跟碱水粽共100盒，已知蛋黄肉粽每盒利润为10元，碱水粽每盒利润为20元．如果购进的粽子销售完毕，所得总利润不低于1600元，那么最多能购进蛋黄肉粽多少盒？ 30．为了丰富同学们的业余生活和培养同学们学习数学的兴趣，学校每年会举行一系列的数学文化节活动，为此学校计划购买A、B两种文化节的奖品作为纪念品．已知购买1件A种奖品与2件B种奖品共需要70元，购买2件A种奖品与3件B种奖品共需要120元． （1）求A种奖品和B种奖品的单价分别为多少元？ （2）学校计划购买A种奖品和B种奖品共200件，总费用不超过5000元，那么最多能购买A种奖品多少件？ 31．某次知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得5分，答错一道题扣2分，不答题不得分，在这次竞赛中，小明有3道题没有作答，如果希望取得不低于70分的成绩，求小明至少要答对几道题． 32．静安购物节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动． 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八五折 乙 所购商品按原价每满300元减60元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题： （1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款 　 　 元；（用含有x的代数式表示） （2）顾客购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围． 33．如图，这是某电影院的价目表．某社团16人去此电影院看电影，打算以比赛奖金1600元购买电影票、爆米花与饮料．如果要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，那么最多可买多少盒爆米花？ 34．2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台．需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A种型号智能机器人？ 35．某企业为了做好“复工复产”期间的人员防护工作，购买了一定数量的一次性防护口罩和N95口罩，这两种口罩的规格、售价如下表所示：（购买时必须整包购买） 数量 售价 一次性防护口罩 50只/包 100元/包 N95口罩 3只/包 60元/包 （1）已知第一批购得两种口罩共80包，其中一次性防护口罩比N95口罩多买了30包，那么N95口罩买了　 　 包． （2）已知第二批购得两种口罩共计3240只，花费10800元，问一次性防护口罩和N95口罩分别购买了多少包？ （3）在第三批购买时，一次性防护口罩价格有所调整，每包降低了10元，N95口罩价格不变．如果该单位第三批总共购买了100包口罩，花费不超过8100元，那么最多能购买一次性防护口罩多少包？ 1．如果（2﹣a）x≤a﹣2的解集为x≥﹣1，则a的取值范围是　 　 ． 2．如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，那么a的取值范围是　 　 ． 3．解不等式：． 4．在一次知识竞赛中，共16道选择题，答对一题给6分，答错一题倒扣2分，不答不扣分，某同学有一道题未答，那么他至少答对多少题，成绩才能在60分以上？ 1．如果x＞y，那么1﹣3x　 　 1﹣3y．（填“＞”或“＜”或“≥”或“≤”） 2．不等式3（x+2）≥4+2x的解集为 　 　 ． 3．某班思政课上举行了普法知识竞赛，共有30道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪有1道题没答，竞赛成绩超过90分，那么小聪至多答错了　 　 道题． 4．定义新运算“※”如下：当a＞b时，a※b＝b﹣ab；当a＜b时，a※b＝b+ab．例如：4※3＝3﹣4×3＝﹣9，2※3＝3+2×3＝9，若3※（x+2）＜0，则x的取值范围是　 　 ． 5．解不等式：2（x﹣1）≤10（x﹣3）﹣4． 6．解不等式：3（x+3）﹣2x≥5﹣x． 7．解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来． 8．解不等式，并在数轴上表示出它的解集． 9．阅读下列材料： 问题：已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围． 解决此问题的过程如下： 解：∵x﹣y＝2，x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1， 又y＜0， ∴﹣1＜y＜0，① 同理得：1＜x＜2，② 由①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2， ∴0＜x+y＜2． 请按照上述方法，解答下列问题： （1）若a﹣b＝4，且a＞1，b＜2，求a+b的取值范围（写出求解过程）； （2）若a﹣b＝10，且a＞1，b≤1，请直接写出2a+3b的取值范围及其最大值． 10．为了丰富学生的阅读资源，上外松外图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，10本文学名著比10本人物传记多50元． （1）求每本文学名著和人物传记各多少元？ （2）图书馆存书不足，学校要求再次购进两种图书，购买的文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 11．某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买3株A种花卉和2株B种花卉共需要19元；购买5株A种花卉和4株B种花卉共需要35元． （1）求采购每株A，B两种花卉各多少元钱． （2）若该物管中心采购A，B两种花卉共计10000株，其中采购的总费用不超过34000元，则最少采购A种花卉为多少株？ 12．今年“六一”前夕，某文具店花费2200元采购了A、B两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如表： 型号 进价（元/个） 售价（元/个） A型 10 12 B型 15 20 若两种型号的文具按表中售价全部售完，则该商店可以盈利600元． （1）问该商店当初购进A、B两种型号文具各多少个？ （2）“六一”当天，A、B两种型号文具各剩下20%还未卖出，文具店老板在第二天降价出售，且两种型号文具每件降了同样的价格，要使得这批文具售完后的总盈利不低于546元，那么这两种型号的文具每件最多降多少元？ 13．某学校七年级一班学生要去实验基地进行实践活动，估计乘车人数为10人到40人之间，现在欲租甲、乙两家旅行社的车辆，已知甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人120元，经过协商，甲旅行社表示可给予每位学生七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位同学的车费，然后给予其他同学八折优惠． （1）若用x表示乘车人数，请用x表示选择甲、乙旅行社的费用y甲与y乙； （2）请你帮助学校选择哪一家旅行社费用合算？ 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲不等式及其应用 (知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义 （不等式及其应用解析版） 本节课主要针对第15章不等式进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了不等式的解法、不等式应用相关概念、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。 知识点一 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点二 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 注意：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 知识点三 不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 要点： 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围．其含义： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 3.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 要点： 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向． (1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈； (2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 一．不等式及其性质（共9小题） 1．某日我市最高气温是25℃，最低气温是12℃，则当天气温t（℃）的变化范围是（　　） A．t＜25 B．t≥12 C．12≤t≤25 D．12＜t＜25 【分析】根据最高气温和最低气温得出答案即可． 【解答】解：∵某日我市最高气温是25℃，最低气温是12℃， ∴当天气温t（℃）的变化范围是12≤t≤25， 故选：C． 【点评】本题考查了不等式的定义，能理解题意是解此题的关键． 2．下列6个式子①﹣2＜0；②2x﹣1＞0；③2x﹣1＝0；④2x﹣1＜0；⑤m﹣2；⑥﹣2≤2ab，其中不等式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断． 【解答】解：根据不等式的定义可得：①﹣2＜0，②2x﹣1＞0，④2x﹣1＜0，⑥﹣2≤2ab共计4个． 故选：B． 【点评】本题考查不等式的定义，解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠． 3．“x的3倍与2的差不大于﹣1”所对应的不等式是 　3x﹣2≤﹣1　 ． 【分析】根据不等式的定义即可解答． 【解答】解：“x的3倍与2的差不大于﹣1”所对应的不等式是：3x﹣2≤﹣1， 故答案为：3x﹣2≤﹣1． 【点评】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 4．如图，是校园内限速标志，若用V表示速度，请用含字母V的不等式表示这个标志的实际意义 V≤5　 ． 【分析】根据题意直接得出答案． 【解答】解：V≤5． 故答案为：V≤5． 【点评】本题考查不等式的定义，理解题意是解题的关键． 5．若a＜b，那么下列各式中正确的是（　　） A．﹣a＞b B．a﹣1＜b﹣1 C．2017a＞2017b D． 【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断即可． 【解答】解：A．若a＜b，则﹣a＞﹣b，故选项A错误； B．若a＜b，则a﹣1＜b﹣1，故选项B正确； C．若a＜b，则2017a＜2017b，故选项C错误； D．若a＜b，则，故选项D错误． 故选：B． 【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 6．若a＜b＜0，则下列不等式不一定成立的是（　　） A．a+1＜b+2 B． C．a+b＜ab D． 【分析】根据a＜b＜0，应用不等式的性质，逐项判断即可． 【解答】解：∵a＜b， ∴a+1＜b+2， ∴选项A不符合题意； ∵a＜b＜0， ∴， ∴选项B不符合题意； ∵a＜b＜0， ∴a+b＜0，ab＞0， ∴a+b＜ab， 选项C不符合题意； ∵a＜b＜0， ∴， ∴选项D符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 7．若x＜y，且（m﹣1）x＞（m﹣1）y，则m的取值范围是m＜1　 ． 【分析】利用不等式的性质列得关于m的不等式，解不等式即可． 【解答】解：若x＜y，且（m﹣1）x＞（m﹣1）y， 则m﹣1＜0， 解得：m＜1， 故答案为：m＜1． 【点评】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 8．如图，这是2025年1月的月历，其中“T”形、“L”形两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内可上下左右移动，可重叠．设“T”形阴影图形覆盖的最小数字为a，四个数字之和为M；“L”形阴影图形覆盖的最小数字为b，四个数字之和为N． （1）M+N＝　4（a+b）+35　 ；（用含a，b的代数式表示） （2）若M﹣N＝﹣17，则M+N的最大值为　207　 ． 【分析】（1）根据题意，设“T”形阴影图形覆盖的最小数字为a，则覆盖的数字依次为a+1，a+2，a+8，设“L”形阴影图形覆盖的最小数字为b，则覆盖的数字依次为b+7，b+8，b+9，结合题意即可求解； （2）根据题意得到a＝b﹣1，代入计算，结合图表信息即可求解． 【解答】解：（1）根据题意，设“T”形阴影图形覆盖的最小数字为a， 则覆盖的数字依次为a+1，a+2，a+8， ∴M＝a+a+1+a+2+a+8＝4a+11， 设“L”形阴影图形覆盖的最小数字为b，则覆盖的数字依次为b+7，b+8，b+9， ∴N＝b+b+7+b+8+b+9＝4b+24， ∵M+N＝4a+11+4b+24＝4（a+b）+35， 故答案为：4（a+b）+35； （2）∵M﹣N＝﹣17， ∴4a+11﹣（4b+24）＝4（a﹣b）﹣13＝﹣17， ∴a﹣b＝﹣1，即a＝b﹣1， ∴M+N＝4（a+b）+35＝4（b﹣1+b）+35＝8b+31， ∵a，b均为正整数， ∴由图表可知，b的最大值为22， ∴若M﹣N＝﹣17，则M+N的最大值为8b+31＝8×22+31＝207， 故答案为：207． 【点评】本题考查了整式的混合运算，理解图示，列代数式，一元一次方程的应用，掌握整式运算法则是关键． 9．已知t＝a+b+c＜0，且a＞0，c＞0，下列两个结论：①b＜0；②3．其中正确的结论是　①②　 （填序号）． 【分析】根据不等式的性质解答即可． 【解答】解：①∵t＝a+b+c＜0， ∴b＜﹣a﹣c， ∵a＞0，c＞0， ∴﹣a＜0，﹣c＜0， ∴﹣a﹣c＜0， ∴b＜0，故①正确； ②∵t＝a+b+c＜0， ∴b＜﹣a﹣c， ∵a＞0，c＞0， ∴b﹣a＜﹣a﹣c﹣a＝﹣2a﹣c＜0， 即b﹣a＜﹣2a﹣c， ∵b﹣a＜0， ∴ ， ∵b﹣a＜0，2a+c＞0， ∴， ∴，故②正确， 综上所述，其中正确的结论是①②． 故答案为：①②． 【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 二．不等式的解和解集（共14小题） 10．下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式． 根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（　　） A．2x≤10 B．2x＜10 C．﹣2x≥﹣10 D．﹣2x≤﹣10 【分析】找到未知数系数为负数，并且不等式的解为x≤5的即为所求． 【解答】解：A、2x≤10，解得x≤5，不符合题意； B、2x＜10，解得x＜5，不符合题意； C、﹣2x≥﹣10，解得x≤5，符合题意； D、﹣2x≤﹣10，解得x≥5，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 11．已知（m+4）x|m|﹣3+6＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据一元一次不等式的定义可得m+4≠0且|m|﹣3＝1，由此即可得解． 【解答】解：∵（m+4）x|m|﹣3+6＞0是关于x的一元一次不等式， ∴m+4≠0且|m|﹣3＝1， ∴m≠﹣4且m＝±4， ∴m＝4， 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次不等式“含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式”，熟记一元一次不等式的定义是解题关键． 12．已知（m﹣3）x|m|﹣2﹣2＞6是关于x的一元一次不等式，则m＝　﹣3　 ． 【分析】根据一元一次不等式的定义可得：|m|﹣2＝1且m﹣3≠0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：|m|﹣2＝1且m﹣3≠0， 解得：m＝±3且m≠3， ∴m＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了一元一次不等式的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 13．若3xa﹣1+2≤5是关于x的一元一次不等式，则a＝　2　 ． 【分析】含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此列得a﹣1＝1，解得a的值即可． 【解答】解：∵3xa﹣1+2≤5是关于x的一元一次不等式， ∴a﹣1＝1， 解得：a＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查一元一次不等式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 14．若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为x，则关于x的不等式（a+b）x＞b﹣a的解集是（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出a与b的数量关系及正负，再代入即可求得． 【解答】解：∵关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为x， ∴a＜0，且x， ∴， ∴a＝3b，且b＜0， ∴（a+b）x＞b﹣a， 即4bx＞﹣2b， ∴x． 故选：A． 【点评】本题主要考查不等式的解集及不等式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 15．下列不等式中，与x＞﹣2组成的不等式组无解的是（　　） A．x≤﹣3 B．x≥﹣1 C．x＜0 D．x＞1 【分析】两个不等式无解意味着它们的解集没有交集，分别检查每个选项与x＞﹣2是否有公共部分即可得到答案． 【解答】解：根据一元一次不等式组解集的求法逐项分析判断如下： A、由于x≤﹣3与x＞﹣2无公共部分，则组成的不等式组无解，符合题意； B、由于x≥﹣1与x＞﹣2的公共部分为x≥﹣1，组成的不等式组有解，不符合题意； C、由于x＜0与x＞﹣2的公共部分为﹣2＜x＜0，组成的不等式组有解，不符合题意； D、由于x＞1与x＞﹣2的公共部分为x＞1，组成的不等式组有解，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查一元一次不等式组解集的求法，熟记求不等式组解集的原则：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”是解决问题的关键． 16．从下列不等式中选择一个与1﹣x≤2组成不等式组，若要使该不等式组的解集为x≥﹣1，则可以选择的不等式是（　　） A．x＜0 B．x＜﹣2 C．x＞0 D．x＞﹣2 【分析】首先解已知不等式1﹣x≤2，得到x≥﹣1．再根据不等式的解集确定方法；大大取大可确定另一个不等式的解集，进而选出答案． 【解答】解：∵1﹣x≤2， ∴x≥﹣1． 由于组成的不等式组的解集为x≥﹣1， A、x＜0与x≥﹣1的解集为﹣1≤x＜0，不符合要求，故A不符合题意． B、x＜﹣2与x≥﹣1的解集为无解，不符合要求，故B不符合题意． C、x＞0与x≥﹣1的解集为x＞0，不符合要求，故C不符合题意． D、x＞﹣2与x≥﹣1的解集为x≥﹣1，符合要求，故D符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了不等式的解集，关键是正确理解不等式组解集的确定方法：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无处找． 17．不等式组的解集是x＞﹣1，则m的值是 　﹣2　 ． 【分析】根据判断不等式组解集的口诀“同大取大”和已知条件，列出关于m的方程，解方程即可． 【解答】解：∵不等式组的解集是x＞﹣1， ∴m+1＝﹣1， 解得：m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查了不等式组的解集，解题关键是熟练掌握判断不等式组解集的口诀． 18．将“2x与6的和不小于2”用不等式表示出来，并求出这个不等式的解集． 【分析】根据题意可以列出不等式2x+6≥2，运用不等式的性质，解一元一次不等式． 【解答】解：用不等式表示为2x+6≥2， 解不等式得2x+6≥2， 移项，合并同类项得：2x≥﹣4， 不等式两边都除以2得：x≥﹣2． 【点评】本题考查了根据题意列出不等式，求一元一次不等式的解集，其中充分理解题意列出正确的不等式是解题的关键． 19．关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则不等式组解集为 　﹣2≤x＜1　 ． 【分析】根据数轴上表示的解集确定出所求即可． 【解答】解：关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图所示， 则不等式组解集为﹣2≤x＜1， 故答案为：﹣2≤x＜1． 【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆圈表示． 20．已知关于x的一元一次不等式■﹣2x≥3的解集如图所示，则被墨水“■”覆盖的数为　5　 ． 【分析】先求出不等式的解集，然后根据数轴得到不等式的解集，故可列式求解． 【解答】解：设“■”表示的数为a， 由题意得a﹣2x≥3， 解得， 由数轴得到不等式的解集为x≤1（解集在界点1的左边，且界点1为实心点）， 故， 解得a＝5． 则“■”表示的数为5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 21．如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可以是　（答案不唯一）　 ． 【分析】根据数轴表示，得到不等式组的解集为﹣3＜x≤1，以此为标准构造不等式组即可． 【解答】解：根据数轴表示得到不等式组的解集为﹣3＜x≤1， ∵的解集是﹣3＜x≤1， ∴这个不等式组可以是：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了根据不等式组的解集构造不等式组，正确理解不等式组解集的意义是解题的关键． 22．已知关于x的方程4x+m+1＝2x的解是正数，则m的取值范围是m＜﹣1　 ． 【分析】先解方程求x的值，然后根据解是正数，求出m的取值范围即可． 【解答】解：4x+m+1＝2x， 解得：， ∵关于x的方程4x+m+1＝2x的解是正数， ∴， 解得：m＜﹣1． 故答案为：m＜﹣1． 【点评】本题考查了解一元一次方程以及一元一次不等式，解题的关键是解一元一次不等式． 三．解一元一次不等式（共6小题） 23．已知m，n为实数，且m﹣n＝6，m≥﹣2n，则下列关于的说法正确的是（　　） A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为 C．有最大值，且最大值为 D．有最小值，且最小值为 【分析】先由m﹣n＝6得m＝n+6，结合m≥﹣2n推出n≥﹣2，从而确定m＞0，在将分式分离常数为1，根据n+6≥4分析得出有最小值． 【解答】解：由m﹣n＝6得m＝n+6， 代入m≥﹣2n得n+6≥﹣2n， ∴n≥﹣2， m＝n+6≥4＞0， 把m＝n+6代入： 1， ∵n≥﹣2， ∴n+6≥4，0，0， ∴11， ∴有最小值， 故选：D． 【点评】本题考查了分式的最值问题，设计等式代换、不等式推导即分离常数法的应用，熟练掌握将双变量问题转化为单变量问题是解题的关键． 24．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如：，如果，则x的取值范围为x＞1　 ． 【分析】根据二阶行列式的定义可得2x﹣（3﹣x）＞0，解一元一次不等式即可得答案． 【解答】解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为， 由题意得：， ∴2x﹣3+x＞0， ∴3x＞3， 解得：x＞1， 故答案为：x＞1． 【点评】本题考查了列一元一次不等式的解法，理解二阶行列式的定义是解题关键． 25．解不等式． 【分析】不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，即可求出解． 【解答】解：， 3（2+x）≥2（1﹣x）﹣6， 6+3x≥2﹣2x﹣6， 5x≥﹣10， x≥﹣2． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤． 26．解不等式： （1）； （2）3（x+2）﹣1≥8﹣2（x﹣1）． 【分析】（1）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1即可． 【解答】解：（1）去分母得：6x﹣2（x+2）＞3（2﹣x）， 去括号得：6x﹣2x﹣4＞6﹣3x， 移项，合并同类项得：7x＞10， 系数化为1得：． （2）3（x+2）﹣1≥8﹣2（x﹣1）， 去括号得：3x+6﹣1≥8﹣2x+2， 移项，合并同类项得：5x≥5， 系数化为1得：x≥1． 【点评】本题主要考查了解不等式，熟练掌握解不等式的基本步骤是解题的关键． 27．定义一种新运算“a⊗b”：当a≥b时，a⊗b＝a+2b；当a＜b时，a⊗b＝a﹣2b．例如：3⊗（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）⊗12＝﹣6﹣24＝﹣30． （1）若（3x﹣5）⊗（4+x）＝（3x﹣5）+2（4+x），求x的取值范围是x　 ； （2）已知（3x+7）⊗（﹣4x）＞1，求x的取值范围． 【分析】（1）由等式右边运算形式确定3x﹣5≥4+x，解不等式； （2）分3x+7≥﹣4x和3x+7＜﹣4x两种情况，分别用对应公式列不等式，求解后取并集． 【解答】解：（1）∵（3x﹣5）⊗（4+x）＝（3x﹣5）+2（4+x）， ∴3x﹣5≥4+x， 解得x， 故答案为：x； （2）当3x+7≥﹣4x， 即x≥﹣1时，（3x+7）+2（﹣4x）＞1， 解得﹣5x＞﹣6，即x， 故﹣1； 当3x+7＜﹣4x， 即x＜﹣1时，（3x+7）﹣2（﹣4x）＞1， 解得11x＞﹣6，x，无解； 综上，x的取值范围是． 【点评】本题考查了新定义运算与一元一次不等式（组）的综合应用，解题的关键是根据新运算定义准确判断运算双方的大小关系，选择对应运算公式． 28．定义一种新运算a※b＝2a+b﹣1．例如：3※4＝2×3+4﹣1＝9． （1）计算：（﹣2）※3； （2）请根据上述定义解不等式（2x+3）※7＜2． 【分析】（1）根据公式计算可得； （2）由题意可得2（2x+3）+7﹣1＜2，解不等式即可． 【解答】解：（1）（﹣2）※3 ＝2×（﹣2）+3﹣1 ＝﹣4+3﹣1 ＝﹣2； （2）2（2x+3）+7﹣1＜2， 4x+6+7﹣1＜2， 4x＜2﹣6﹣7+1， 4x＜﹣10， x＜﹣2.5． 【点评】本题考查了定义新运算，有理数的混合运算，解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤和弄清新定义是关键． 四．一元一次不等式应用（共7小题） 29．端午节是中国四大传统节日之一（与春节、清明节、中秋节并列），距今已有2000多年历史，于2009年被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录，有赛龙舟、吃粽子等风俗活动．某商店购进蛋黄肉粽跟碱水粽共100盒，已知蛋黄肉粽每盒利润为10元，碱水粽每盒利润为20元．如果购进的粽子销售完毕，所得总利润不低于1600元，那么最多能购进蛋黄肉粽多少盒？ 【分析】设购进x盒蛋黄肉粽，则购进（100﹣x）盒碱水粽，利用总利润＝每盒蛋黄肉粽的销售利润×购进蛋黄肉粽的数量+每盒碱水粽的销售利润×购进碱水粽的数量，结合总利润不低于1600元，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：设购进x盒蛋黄肉粽，则购进（100﹣x）盒碱水粽， 根据题意列一元一次不等式得：10x+20（100﹣x）≥1600， 整理得，10x≤400， 解得x≤40， 所以x的最大值为40，即最多能购进蛋黄肉粽40盒， 答：最多能购进蛋黄肉粽40盒． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 30．为了丰富同学们的业余生活和培养同学们学习数学的兴趣，学校每年会举行一系列的数学文化节活动，为此学校计划购买A、B两种文化节的奖品作为纪念品．已知购买1件A种奖品与2件B种奖品共需要70元，购买2件A种奖品与3件B种奖品共需要120元． （1）求A种奖品和B种奖品的单价分别为多少元？ （2）学校计划购买A种奖品和B种奖品共200件，总费用不超过5000元，那么最多能购买A种奖品多少件？ 【分析】（1）设A种奖品的单价是x元，B种奖品的单价是y元，根据“购买1件A种奖品与2件B种奖品共需要70元，购买2件A种奖品与3件B种奖品共需要120元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买A种奖品m件，则购买B种奖品（200﹣m）件，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过5000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设A种奖品的单价是x元，B种奖品的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A种奖品的单价是30元，B种奖品的单价是20元； （2）设购买A种奖品m件，则购买B种奖品（200﹣m）件， 根据题意得：30m+20（200﹣m）≤5000， 解得：m≤100， ∴m的最大值为100． 答：最多能购买A种奖品100件． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 31．某次知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得5分，答错一道题扣2分，不答题不得分，在这次竞赛中，小明有3道题没有作答，如果希望取得不低于70分的成绩，求小明至少要答对几道题． 【分析】设小明要答对x道题，则答错（20﹣3﹣x）道题，利用得分＝5×答对题目数﹣2×答错题目数，结合得分不低于70分，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【解答】解：设小明要答对x道题，则答错（20﹣3﹣x）道题， 根据题意得：5x﹣2（20﹣3﹣x）≥70， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴x的最小值为15． 答：小明至少要答对15道题． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 32．静安购物节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动． 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八五折 乙 所购商品按原价每满300元减60元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题： （1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款 　0.85x 元；（用含有x的代数式表示） （2）顾客购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围． 【分析】（1）由甲商店所购商品按原价打八五折，即可得出结果； （2）先算出顾客选择乙商店的优惠活动购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时的实际付款，再根据如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，结合（1）的结论，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款为：0.85x元， 故答案为：0.85x； （2）在600≤x＜900时，选择乙商店的优惠活动后实际付款为：（x﹣120）元， 由题意得：x﹣120＜0.85x， 解得：x＜800， ∴600≤x＜800． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式，找准数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 33．如图，这是某电影院的价目表．某社团16人去此电影院看电影，打算以比赛奖金1600元购买电影票、爆米花与饮料．如果要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，那么最多可买多少盒爆米花？ 【分析】设可以买x盒爆米花，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过1600元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【解答】解：设可以买x盒爆米花， 根据题意得：80×16+30x+16（16﹣x）≤1600， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为4． 答：最多可买4盒爆米花． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 34．2025年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台．需要每天分拣快递不少于200万件，则该企业最少需要购买几台A种型号智能机器人？ 【分析】（1）设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元，根据信息一中的数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人（10﹣a）台，根据需要每天分拣快递不少于200万件，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元； （2）设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人（10﹣a）台， 由题意得：22a+18（10﹣a）≥200， 解得：a≥5， 答：该企业最少需要购买5台A种型号智能机器人． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 35．某企业为了做好“复工复产”期间的人员防护工作，购买了一定数量的一次性防护口罩和N95口罩，这两种口罩的规格、售价如下表所示：（购买时必须整包购买） 数量 售价 一次性防护口罩 50只/包 100元/包 N95口罩 3只/包 60元/包 （1）已知第一批购得两种口罩共80包，其中一次性防护口罩比N95口罩多买了30包，那么N95口罩买了　25　 包． （2）已知第二批购得两种口罩共计3240只，花费10800元，问一次性防护口罩和N95口罩分别购买了多少包？ （3）在第三批购买时，一次性防护口罩价格有所调整，每包降低了10元，N95口罩价格不变．如果该单位第三批总共购买了100包口罩，花费不超过8100元，那么最多能购买一次性防护口罩多少包？ 【分析】（1）设第一批购得N95口罩x包，则购得一次性防护口罩（x+30）包，根据第一批购得两种口罩共80包，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设第二批购得一次性防护口罩a包，N95口罩b包，根据第二批购得两种口罩共计3240只且共花费10800元，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设第三批购得一次性防护口罩m包，则购得N95口罩（100﹣m）包，根据总价＝单价×数量结合总价不超过8100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【解答】解：（1）设第一批购得N95口罩x包，则购得一次性防护口罩（x+30）包， 依题意，得：x+x+30＝80， 解得：x＝25． 故答案为：25． （2）设第二批购得一次性防护口罩a包，N95口罩b包， 依题意，得：， 解得：． 答：第二批购得一次性防护口罩60包，N95口罩80包． （3）设第三批购得一次性防护口罩m包，则购得N95口罩（100﹣m）包， 依题意，得：（100﹣10）m+60（100﹣m）≤8100， 解得：m≤70． 答：第三批最多能购买一次性防护口罩70包． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 1．如果（2﹣a）x≤a﹣2的解集为x≥﹣1，则a的取值范围是a＞2　 ． 【分析】根据不等式的性质求解即可． 【解答】解：∵关于x的不等式（2﹣a）x≤a﹣2的解集为x≥﹣1， ∴2﹣a＜0， ∴a＞2． 故答案为：a＞2． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟知不等式的性质是解题的关键． 2．如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，那么a的取值范围是a＜﹣1　 ． 【分析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，再根据数轴上的解集，来求得a的值． 【解答】解：∵（a+1）x＞a+1的解集为x＜1， ∴a+1＜0， ∴a＜﹣1． 【点评】解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变． 3．解不等式：． 【分析】根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【解答】解：去分母，得2（2x+1）﹣30≤3（x﹣7）﹣6x， 去括号，得4x+2﹣30≤3x﹣21﹣6x， 移项，得4x﹣3x+6x≤﹣21﹣2+30， 合并同类项，得7x≤7， 系数化为1，得x≤1． 【点评】本题考查了解不等式，掌握其相关知识点是解题的关键． 4．在一次知识竞赛中，共16道选择题，答对一题给6分，答错一题倒扣2分，不答不扣分，某同学有一道题未答，那么他至少答对多少题，成绩才能在60分以上？ 【分析】依据题意，设该同学答对了x道，则答错（16﹣1﹣x）据得分＞60分列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：由题意，设答对x道，则答错（16﹣1﹣x）道，由题意得， 6x﹣2（16﹣1﹣x）＞60， ∴x． ∵x是整数， ∴x最小是12， 答：至少答对12道． 【点评】本题主要考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题找出题目蕴含的不等关系列出不等式解决问题． 1．如果x＞y，那么1﹣3x　＜　 1﹣3y．（填“＞”或“＜”或“≥”或“≤”） 【分析】利用不等式的性质即可求得答案． 【解答】解：如果x＞y， 两边同时乘以﹣3得﹣3x＜﹣3y， 两边同时加上1得1﹣3x＜1﹣3y， 故答案为：＜． 【点评】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 2．不等式3（x+2）≥4+2x的解集为 x≥﹣2　 ． 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解答】解：∵3（x+2）≥4+2x， ∴3x+6≥4+2x， 3x﹣2x≥4﹣6， x≥﹣2， 故答案为：x≥﹣2． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 3．某班思政课上举行了普法知识竞赛，共有30道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪有1道题没答，竞赛成绩超过90分，那么小聪至多答错了　7　 道题． 【分析】设小聪答对了x道题，则答错了（30﹣1﹣x）道题，根据总分＝5×答对题目数﹣2×答错题目数，结合总分超过90分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中最小整数值即可得出结论． 【解答】解：设小聪答对了x道题，则答错了（30﹣1﹣x）道题， 依题意列一元一次不等式得：5x﹣2（30﹣1﹣x）＞90， 整理得，7x＝148， 解得， ∵x为正整数， ∴x的最小值为22．即最少答对22题， ∴30﹣22﹣1＝7，所以小聪至多答错了7道题． 故答案为：7． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 4．定义新运算“※”如下：当a＞b时，a※b＝b﹣ab；当a＜b时，a※b＝b+ab．例如：4※3＝3﹣4×3＝﹣9，2※3＝3+2×3＝9，若3※（x+2）＜0，则x的取值范围是　﹣2＜x＜1　 ． 【分析】根据所定义的新运算，对x+2和3的大小进行分类讨论，再得出关于x的不等式进行计算即可． 【解答】解：由题知， 当3＞x+2，即x＜1时， 由3※（x+2）＜0得， x+2﹣3（x+2）＜0， 解得x＞﹣2， 所以﹣2＜x＜1． 当3＜x+2，即x＞1时， 由3※（x+2）＜0得， x+2+3（x+2）＜0， 解得x＜﹣2， 此时不存在符合要求的x， 综上所述，x的取值范围是：﹣2＜x＜1． 故答案为：﹣2＜x＜1． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式及有理数的混合运算，熟知解一元一次不等式的步骤及巧用分类讨论的数学思想是解题的关键． 5．解不等式：2（x﹣1）≤10（x﹣3）﹣4． 【分析】不等式去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【解答】解：去括号得：2x﹣2≤10x﹣30﹣4， 移项得：2x﹣10x≤﹣30﹣4+2， 合并得：﹣8x≤﹣32， 解得：x≥4． 【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．解不等式：3（x+3）﹣2x≥5﹣x． 【分析】去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可． 【解答】解：3（x+3）﹣2x≥5﹣x， 3x+9﹣2x≥5﹣x， 3x﹣2x+x≥5﹣9， 2x≥﹣4， x≥﹣2． 【点评】此题主要考查了解一元一次不等式的方法，要熟练掌握，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 7．解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来． 【分析】不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可． 【解答】解：， 去分母，两边乘以10，得：5（3+2x）﹣10＜2（1+2x）， 去括号，得：15+10x﹣10＜2+4x， 移项，得：10x﹣4x＜2﹣15+10， 合并同类项，得：6x＜﹣3， 系数化为1，得：， 不等式的解集在数轴上表示如下： 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 8．解不等式，并在数轴上表示出它的解集． 【分析】不等式去分母后，去括号，移项合并将x系数化为1，即可求出解集，表示在数轴上即可． 【解答】解：去分母得：2x﹣5≥8（4x+3）+16， 去括号得：2x﹣5≥32x+24+16， 移项、合并同类项，得﹣30x≥45， 解得， 表示在数轴上，如图所示： ． 【点评】本题考查了解不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错． 9．阅读下列材料： 问题：已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围． 解决此问题的过程如下： 解：∵x﹣y＝2，x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1， 又y＜0， ∴﹣1＜y＜0，① 同理得：1＜x＜2，② 由①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2， ∴0＜x+y＜2． 请按照上述方法，解答下列问题： （1）若a﹣b＝4，且a＞1，b＜2，求a+b的取值范围（写出求解过程）； （2）若a﹣b＝10，且a＞1，b≤1，请直接写出2a+3b的取值范围及其最大值． 【分析】（1）由a﹣b＝4得到a＝b+4，再结合a＞1，b＜2解得b的取值范围；再a﹣b＝4得到b＝a﹣4，再结合a＞1，b＜2解得a的取值范围；继而求得答案； （2）由a﹣b＝10得到a＝b+10，再结合a＞1，b≤1切得b的取值范围，然后将a＝b+10代入2a+3b中整理后即可求得其范围，从而求得其最大值． 【解答】解：（1）∵a﹣b＝4， ∴a＝b+4， ∵a＞1，b＜2， ∴b+4＞1，b＜2， ∴﹣3＜b＜2①， ∵a﹣b＝4， ∴b＝a﹣4， ∵a＞1，b＜2， ∴a＞1，a﹣4＜2， ∴1＜a＜6②， ①+②得：﹣2＜a+b＜8； （2）∵a﹣b＝10， ∴a＝b+10， ∵a＞1，b≤1， ∴b+10＞1，b≤1， ∴﹣9＜b≤1， ∵a＝b+10， ∴2a+3b＝2（b+10）+3b＝2b+20+3b＝5b+20， ∴﹣25＜5b+20≤25， 即﹣25＜2a+3b≤25， 则其最大值为25． 【点评】本题考查解一元一次不等式，理解题意并进行正确的计算是解题的关键． 10．为了丰富学生的阅读资源，上外松外图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，10本文学名著比10本人物传记多50元． （1）求每本文学名著和人物传记各多少元？ （2）图书馆存书不足，学校要求再次购进两种图书，购买的文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 【分析】（1）设每本文学名著x元，每本人物传记y元，根据“30本文学名著和20本人物传记共需1150元，10本文学名著比10本人物传记多50元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m本人物传记，则购买（m+20）本文学名著，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过2000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设每本文学名著x元，每本人物传记y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每本文学名著25元，每本人物传记20元； （2）设购买m本人物传记，则购买（m+20）本文学名著， 根据题意得：25（m+20）+20m≤2000， 解得：m， 又∵m为正整数， ∴m的最大值为33． 答：人物传记至多买33本． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 11．某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买3株A种花卉和2株B种花卉共需要19元；购买5株A种花卉和4株B种花卉共需要35元． （1）求采购每株A，B两种花卉各多少元钱． （2）若该物管中心采购A，B两种花卉共计10000株，其中采购的总费用不超过34000元，则最少采购A种花卉为多少株？ 【分析】（1）设A种花卉的单价为x元/株，B种花卉的单价为y元/株，依据“购买3株A种花卉和2株B种花卉共需要19元；购买5株A种花卉和4株B种花卉共需要35元”列出二元一次方程组，解答即可； （2）设采购A种花卉m株，则B种花卉（10000﹣m） 株，根据总费用不超过34000元列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设A种花卉的单价为x元/株，B种花卉的单价为y元/株． 由题意得：， 解得：， 答：A种花卉的单价为3元/株，B种花卉的单价为5元/株； （2）设采购A种花卉m株，则B种花卉（10000﹣m） 株， 由题意得：3m+5（10000﹣m）＝﹣2m+50000≤34000， 解得m≥8000， ∴最少购买A种花卉8000株． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式和二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应方程或不等式． 12．今年“六一”前夕，某文具店花费2200元采购了A、B两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如表： 型号 进价（元/个） 售价（元/个） A型 10 12 B型 15 20 若两种型号的文具按表中售价全部售完，则该商店可以盈利600元． （1）问该商店当初购进A、B两种型号文具各多少个？ （2）“六一”当天，A、B两种型号文具各剩下20%还未卖出，文具店老板在第二天降价出售，且两种型号文具每件降了同样的价格，要使得这批文具售完后的总盈利不低于546元，那么这两种型号的文具每件最多降多少元？ 【分析】（1）设该商店当初购进A型号文具x个，B型号文具y个，根据用2200元购进的A、B两种型号的文具全部售出后可盈利600元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设这两种型号的文具每件降m元，利用这批文具售完后的总盈利＝600﹣剩余文具的数量×每件降低的价格，结合使得这批文具售完后的总盈利不低于546元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【解答】解：（1）设该商店当初购进A型号文具x个，B型号文具y个， 依题意得：， 解得：． 答：该商店当初购进A型号文具100个，B型号文具80个． （2）设这两种型号的文具每件降m元， 依题意得：600﹣（100+80）×20%m≥546， 解得：m≤1.5． 答：这两种型号的文具每件最多降1.5元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 13．某学校七年级一班学生要去实验基地进行实践活动，估计乘车人数为10人到40人之间，现在欲租甲、乙两家旅行社的车辆，已知甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人120元，经过协商，甲旅行社表示可给予每位学生七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位同学的车费，然后给予其他同学八折优惠． （1）若用x表示乘车人数，请用x表示选择甲、乙旅行社的费用y甲与y乙； （2）请你帮助学校选择哪一家旅行社费用合算？ 【分析】（1）设共有x人由题意得：甲旅行社的花费＝120×人数×七五折；乙旅行社的花费＝120×（人数﹣1）×八折； （2）分三种情况：①y甲＝y乙时，②y甲＞y乙时，③y甲＜y乙时，分别列出方程或不等式进行计算即可． 【解答】解：（1）设共有x人，则 y甲＝0.75×120x＝90x， y乙＝0.8×120（x﹣1）＝96x﹣96； （2）由y甲＝y乙得，90x＝96x﹣96， 解得：x＝16， y甲＞y乙得，90x＞96x﹣96， 解得：x＜16， y甲＜y乙得，90x＜96x﹣96， 解得：x＞16， 所以，当人数为10﹣16人时，选择乙旅行社合算；当人数16﹣40人时，选择甲旅行社合算； 当人数正好是16人时，选择甲、乙旅行社一样． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $