精品解析：贵州省遵义航天高级中学2025-2026学年高二第一学期期末检测数学试题

遵义航天高级中学2025-2026学年第一学期期末检测 高二数学 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 圆与圆位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 3. 在正四棱台中，，记．则（ ） A. B. C. D. 4. 设是两个不同的平面，是三条不同的直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 5. 若双曲线渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为 A. B. C. 2 D. 6. 含甲、乙、丙在内的6人站成一排，其中甲只能站在头尾两端，且乙丙两人相邻，则不同站法的结果数为（ ） A. 24 B. 48 C. 96 D. 192 7. 椭圆上存在两点、关于直线对称，则弦中点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 在一个水平平面上放一个半径为3的球，球面上两点满足是球心，且点到平面的距离为5，则点到平面距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 5 二、多选题（每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 关于的展开式中，正确的是（ ） A. 二项式系数之和为 B. 存在常数项 C. 第6项的二项式系数最大 D. 各项系数之和为 10. 表示椭圆或双曲线的两个焦点，是抛物线的焦点，正确的有（ ） A. 椭圆与双曲线有相同焦点 B. 双曲线上一点，则的值为1 C. 抛物线上的一点，点，则的最小值为8 D 若椭圆比椭圆更扁，则 11. 在平行六面体中，，，点为上的任意一点，点为底面内一动点（含边界），则（ ） A. 三棱锥外接球的表面积为 B. 平行六面体的高为 C. D. 若，则点的轨迹长度为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 函数的最大值是_________ . 13. 已知向量满足，且，则___________ 14. 椭圆与过原点的直线交于两点，是椭圆的一个焦点，则周长最小值为___________ 四、解答题（第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知圆上三点，，． （1）求圆的方程； （2）直线被圆截得弦长等于4，求值 16. 已知的角所对边分别为． （1）求； （2）如图，，点是延长线上一点，且，求长. 17. 某学校高二年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表． 百分制 等级 规定：、、三个等级为合格，等级为不合格．为了解该校高二学生身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计，得到如下频率分布表． 组数 分组（单位：分） 频数 频率 1 2 3 4 5 合计 （1）求及表中对应、的值 （2）在选取的样本中，从、、三个等级的学生中随机取名学生进行调研，求至少有一名学生身体素质达到合格的概率． 18. 如图所示，在四棱锥中，，，点在棱上，且． （1）证明： （2）证明：平面 （3）若，求与平面所成角的正弦值 19. 点为抛物线上异于原点的任意一点，过点作轴的垂线段，且垂线段的中点为． （1）求点的轨迹的方程 （2）曲线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴的上方，分别为的中点，直线与直线的交点为，求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义航天高级中学2025-2026学年第一学期期末检测 高二数学 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】由直线方程确定斜率，再由倾斜角与斜率关系即可求解. 【详解】由直线方程， 可得直线斜率， 设直线倾斜角为， 则， 所以， 故选：D 2. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心距和两圆半径的关系求解判断即可. 【详解】由圆可知，则圆心坐标为，设半径为， 圆可知圆心坐标为，设半径为， 所以两圆圆心距， 又因为， 所以两圆相交， 故选：B. 3. 在正四棱台中，，记．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量运算法则，结合正四棱台用基底表示即可. 【详解】在正四棱台中，得，则，， 所以. 故选：B 4. 设是两个不同的平面，是三条不同的直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】通过空间线面位置关系的判定定理，逐一验证每个选项的逻辑是否成立，从而找出唯一的真命题. 【详解】选项A：若，，直线与可能平行、相交或异面，不是必然垂直，因此为假命题. 选项B：若，，根据“垂直于同一平面的两条直线互相平行”的定理，可得，因此为真命题. 选项C：若，，，直线与可能平行，也可能异面，不是必然平行，因此为假命题. 选项D：若，，直线可能平行于平面，也可能在平面内，因此为假命题. 故选： B. 5. 若双曲线的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为 A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设出双曲线的标准方程,可表示出其渐近线的方程,根据两条直线垂直,推断出其斜率之积为，进而求得和的关系，根据，求得和的关系，则双曲线的离心率可得. 【详解】设双曲线方程为，则双曲线的渐近线方程为， 两条渐近线互相垂直， ， ， ， ，故选A. 【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解． 6. 含甲、乙、丙在内的6人站成一排，其中甲只能站在头尾两端，且乙丙两人相邻，则不同站法的结果数为（ ） A. 24 B. 48 C. 96 D. 192 【答案】C 【解析】 【分析】先将乙丙看作一个整体，再考虑5个元素，甲站两端的情况，即可求解. 【详解】将乙丙看作一个整体，内部有种排列， 此时可看作5个元素排成一排，甲站两端， 先排甲，有，剩下4个元素全排列有， 故由乘法原理可得， 即甲只能站在头尾两端，且乙丙两人相邻，则不同站法的结果数为， 故选：C 7. 椭圆上存在两点、关于直线对称，则弦中点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可得，再利用点差法可求得线段中点的横坐标. 【详解】设点、，则线段的中点为， 因为、关于直线对称，且直线的斜率为， 故， 因为，这两个等式作差得， 即，故①， 又因为点在直线上，故②， 联立①②可得，， 因此线段中点的横坐标为. 故选：D. 8. 在一个水平平面上放一个半径为3的球，球面上两点满足是球心，且点到平面的距离为5，则点到平面距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】过作与平面平行的截面，转化为点到截面距离的最大值，根据球的截面性质求解即可. 【详解】过作与平面平行的截面，截面直径为，如图， ，取的三等分点（离近），过作平行线交球于， 则点在以为直径的小圆上，当在点时，过作与垂直的直径交球于， 则点在以为直径的大圆上运动，当位于点时，到平面距离最大， 设，则，，可得， 所以到距离最大值为， 故选：C 二、多选题（每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 关于的展开式中，正确的是（ ） A. 二项式系数之和为 B. 存在常数项 C. 第6项的二项式系数最大 D. 各项系数之和为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二项展开式二项式系数的和的性质即可判断A；写出的展开式的通项，令的幂指数，看求出的值是否满足，且，即可判断是否存在常数项；根据二项式系数的最大值的性质即可判断C；在中，令，求出展开式的各项系数之和，即可判断D. 【详解】由二项式系数的和的性质可知，在中，， 所以其展开式的二项式系数之和为，故A正确； 因为的展开式的通项为， 令，解得.因为，且，所以满足条件， 即的展开式中存在常数项，故B正确； 由二项式系数的性质可知，当是偶数时，二项式系数最大的为中间一项， 即，所以第6项的二项式系数最大，故C正确； 在中，令，即可得展开式的各项系数之和为， 故D错误. 故选：ABC 10. 表示椭圆或双曲线的两个焦点，是抛物线的焦点，正确的有（ ） A. 椭圆与双曲线有相同的焦点 B. 双曲线上一点，则的值为1 C. 抛物线上的一点，点，则的最小值为8 D. 若椭圆比椭圆更扁，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A根据焦点的定义计算；对于B根据双曲线的定义以及勾股定理计算；对于C根据抛物线的定义可得；对于D比较离心率的大小即可. 【详解】对于A选项，椭圆中，得，则焦点为； 在双曲线中，得，则焦点为； 故A正确； 对于B选项，由双曲线的定义得，，则， 因为，所以， 则，故B错误； 对于C选项，由题意可得，焦点，准线， 过点作，垂足为， 则由抛物线的定义可知，， 等号成立时三点共线， 故的最小值为，故C正确； 对于D选项，在椭圆中，则， 则离心率为； 在椭圆中，则，则离心率为， 若椭圆比椭圆更扁，则，得， 故D正确. 故选：ACD 11. 在平行六面体中，，，点为上的任意一点，点为底面内一动点（含边界），则（ ） A. 三棱锥外接球的表面积为 B. 平行六面体的高为 C. D. 若，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】分析可知三棱锥为正四面体，求出其外接球半径，结合球体表面积公式可判断A选项；计算出点到平面的距离，可判断B选项；证明出平面，利用线面垂直的性质可判断C选项；建立空间直角坐标系，求出点的轨迹方程，结合扇形的弧长公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，， 故、、均为边长为的等边三角形， 所以，故三棱锥是棱长为的正四面体， 将正四面体补成正方体，如下图所示： 则该正方体的棱长为， 设正四面体的外接球半径为，则，故， 故三棱锥外接球的表面积为，A错； 对于B选项，在正四面体中，设点在底面的射影点为点，如下图所示 由题意可知平面，的外接圆半径为， 所以，故平行六面体的高为，B对； 对于C选项，由空间向量数量积的定义可得 ， 因为，， 所以 ，所以，即，同理可证， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故，C对； 对于D选项，易知底面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 因为点为底面内一动点（含边界）， 设点，则， 整理可得， 在平面直角坐标系中，点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在菱形内的一段圆弧， 设圆弧分别交线段、于点、，则，， 由余弦定理可得， 即，即， 即，解得，故为等腰三角形， 所以，故， 因此点的轨迹长度为，D对. 故选：BCD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 函数的最大值是_________ . 【答案】2 【解析】 【分析】化简得到，得到最大值. 【详解】，故函数的最大值为. 故答案：. 【点睛】本题考查了求三角函数最值，意在考查学生的计算能力. 13. 已知向量满足，且，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的模长公式计算即可得解. 【详解】因为，所以.又因为， 所以. 所以. 故答案为： 14. 椭圆与过原点的直线交于两点，是椭圆的一个焦点，则周长最小值为___________ 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意结合椭圆的定义可得的周长为，结合椭圆的性质分析求解. 【详解】椭圆的方程为，则，，， 不妨设是椭圆右焦点，是椭圆左焦点， 连接，，， 则由椭圆的中心对称性可知， 可知四边形为平行四边形，则， 可得的周长为， 当位于短轴的端点时，取最小值，最小值为， 所以周长为． 故答案： 四、解答题（第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知圆上三点，，． （1）求圆的方程； （2）直线被圆截得弦长等于4，求值 【答案】（1） （2）或； 【解析】 【分析】（1）设出圆的一般方程，应用圆上三个点的坐标，利用待定系数法即可求圆的方程； （2）求出圆心到直线的距离，圆的半径，则弦长等于，即可求解. 【小问1详解】 设圆的一般方程为， 将三点､､分别代入可得 ，解得 ∴圆的方程为； 【小问2详解】 由（1）可知圆：，即， 所以圆的圆心为，半径为， 圆心到直线：的距离为， 所以弦长为， 所以，所以或； 16. 已知的角所对边分别为． （1）求； （2）如图，，点是延长线上一点，且，求长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，即可求解； （2）在中，由正弦定理即可求解. 【小问1详解】 由，结合正弦定理边化角可得： ，又，, 所以，即，又， 所以. 【小问2详解】 在中，由正弦定理可得： ， 又， 所以. 17. 某学校高二年级学生某次身体素质体能测试原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表． 百分制 等级 规定：、、三个等级为合格，等级为不合格．为了解该校高二学生身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计，得到如下频率分布表． 组数 分组（单位：分） 频数 频率 1 2 3 4 5 合计 （1）求及表中对应、的值 （2）在选取的样本中，从、、三个等级的学生中随机取名学生进行调研，求至少有一名学生身体素质达到合格的概率． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据以及频数、频率、总容量的关系可求得、、的值； （2）利用古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 由表格中的数据可得，，. 【小问2详解】 由表格中的数据可知，选取的样本中，、、三个等级的学生人数分别为、、，共人， 从这人中随机抽取人，基本事件的总数为， 记事件在选取的样本中，从、、三个等级的学生中随机取名学生进行调研，至少有一名学生身体素质达到合格， 则事件抽取的两名学生身体素质都不合格， 设等级的学生分别记为、、、、， 从这个人中随机抽取两人，基本事件有：、、、、、、、、、，共个基本事件， 故. 18. 如图所示，在四棱锥中，，，点在棱上，且． （1）证明： （2）证明：平面 （3）若，求与平面所成角的正弦值 【答案】（1）详见解析； （2）详见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）取DC的中点F，由，得到，易得四边形ABFD是正方形，从而，再利用线面垂直的判定定理和性质定理证明； （2）连接AC，设，易得，再由，得到，然后利用线面平行的判定定理证明； （3）易证，再结合（1）建立空间直角坐标系，求得平面DBE的一个法向量，由求解. 【小问1详解】 如图所示：取DC的中点F，连接PF，BF， 因为，所以， 又因为， 所以四边形ABFD是正方形， 所以，又平面PBF， 所以平面PBF，又平面PBF， 所以； 【小问2详解】 连接AC，有， 因为， 所以，又，则， 所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问3详解】 因为，， 所以，则， 建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 设平面DBE的一个法向量为：， 则，即， 令，则，所以， 设与平面所成的角为， 所以. 与平面所成角的正弦值为. 19. 点为抛物线上异于原点的任意一点，过点作轴的垂线段，且垂线段的中点为． （1）求点的轨迹的方程 （2）曲线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴的上方，分别为的中点，直线与直线的交点为，求面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，将点坐标代入抛物线方程中即可； （2）利用面积得到，再结合基本不等式可求最小值. 【小问1详解】 设，则，代入中得，， 则点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 设为的中点，为直线与的交点． 由M，H分别为AB，AD的中点知，所以，故， 设T为直线GN与AD的交点，同理可得， 所以， 因为，故设，，， 由，得，， 故，， 则，同理可得， 则， 当且仅当时等号成立， 因此的面积的最小值为8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $