精品解析：安徽省合肥八中2026届高三统一作业18数学试题

合肥八中2026届高三统一作业18 数学 2026年1月 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案选项涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案选项.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应区域.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出，进而求得. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 2. 若函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，可求得函数的定义域，进而利用复合函数的定义域的求法可求的定义域. 【详解】由，得，所以，解得， 所以函数的定义域为. 由，解得， 所以的定义域为. 故选：A. 3. 在的二项展开式中，第3项的二项式系数是（ ） A. 8 B. C. 28 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式系数的意义求解即可. 【详解】第3项的二项式系数为. 故选：C. 4. 若为两条直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与相交 【答案】C 【解析】 【分析】ABD选项，举出反例；C选项，根据线面平行的性质得到线线平行，进而由线面垂直得到线线垂直，故. 【详解】A选项，若，则或异面，A错误； B选项，若，则或异面或相交，B错误； C选项，因为，，，所以， 因为，，所以，故，C正确； D选项，若，则与相交或异面，D错误. 故选：C 5. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 6. 设是两个不共线的向量，是在上的投影向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意画出图形，令，结合向量数量积的定义逐项判断即可； 【详解】 如图，由题意可设， 对于A，由数量积的定义可得，故A错误； 对于B，根据向量数量积的定义得，故B正确； 对于C，设，则，由于可以为任意正数，故C错误； 对于D，由数量积的定义可得，故D错误； 故选：B. 7. 有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】由条件确定既会跳舞又会唱歌的人数，根据选出的人中既会跳舞又会唱歌的人数，分类求满足条件的选派方法数，结合分类加法计数原理求解即可. 【详解】根据题意，有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞， 则既会跳舞又会唱歌的有人， 只会唱歌的有人，只会跳舞的有人; 若选出2人，没有既会跳舞又会唱歌，有种选法， 若选出2人中有1人既会跳舞又会唱歌，则有种选法， 若选出2人全部是既会跳舞又会唱歌的，则有种选法， 则共有种选法. 故选：C. 8. 已知函数的图象是由的图象向右平移个单位得到的．若在上仅有一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题化为函数在上仅有一个零点，求出零点，然后讨论由第一个正零点在区间上，第二个正零点大于列不等式组求解可得. 【详解】由题知，函数在上仅有一个零点， 所以，所以， 令，得，即. 若第一个正零点，则（矛盾）， 因为函数在上仅有一个零点， 所以，解得. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项分析判断. 【详解】对于A，由，得，而，则，A错误； 对于B，由，得，而，则，B正确； 对于C，由，得，而，则，C错误； 对于D，由，得；由，得，则， 因此，即，D正确. 故选：BD 10. 已知数列的前项和为，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 数列的奇数项成等比数列 B. 数列的偶数项成等差数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由递推公式，，得数列的奇数项是以为首项，为公比的等比数列，偶数项也是以为公比的等比数列，可判断各选项. 【详解】解：由，， 可知数列的奇数项是以为首项，为公比的等比数列，偶数项也是以为公比的等比数列，所以A项正确，B项错误； 由，，可得，则， ，C项正确； 当为奇数时，，当为偶数时，， 所以，对任意的，， 所以，D项正确. 故选：ACD. 11. 已知正方体的棱长为4，N为棱上一点，且，动点M在正方体内及其表面上运动，下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 若M是线段上的动点，则M到平面的距离为定值 C. 若，则的最小值为 D. 若M满足，，则M的轨迹的长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，连接交于，可得为异面直线与所成角，解三角形得解；对B，由平面，可得点到平面的距离为定值；对C，由题可得，过点作平面与垂直，平面被正方体所截的图形为正方形（及内部），由图得解；对D，设的中点分别为，由题在以为球心，为直径的球面上，也在以为球心，为直径的球面上，作出截面图如图，点的轨迹是以为直径的圆，运算得解. 【详解】对于A，连接交于，由正方体的性质可得， 所以为异面直线与所成角，如图， 由，且，故，， ，故A错误； 对于B，由正方体的性质可得，平面，平面， 所以平面， 点在线段上，所以点到平面的距离为定值，故B正确； 对于C，设边上的高为，如图， 因为，所以，即， 又，所以，过点作平面与垂直， 记平面被正方体所截的图形为正方形（及内部），如图， 所以点在正方体内（含边界），故的最小值为，故C正确； 对于D，设的中点分别为，因为，所以在以为球心，为直径的球面上， 同理也在以为球心，为直径的球面上， 由正方形的性质可知，为直径的球面与为直径的球面是同一个球面， 因为，所以两球面的半径均为，截面图如图， 所以点的轨迹是以为直径的圆，由勾股定理可得， 所以点轨迹的长度为，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前项和，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，依题意得到方程组，求出、，再由求和公式计算可得. 【详解】设等差数列的公差为，由题意得，解得， 则． 故答案为： 13. 若抛物线：的焦点与椭圆：的右焦点重合，的准线交于，两点，为等腰直角三角形，则的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线和椭圆的性质，结合为等腰直角三角形，找出存在的关系，进而求出椭圆的离心率. 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为. 由题意知，椭圆的右焦点坐标为，则（为椭圆半焦距），即. 将代入椭圆方程中，可得：， 又，解得. 又的准线交于，两点，可设，，则. 因为为等腰直角三角形，所以，，且， 又， 所以，即， 整理得， 又，所以. 故答案为： 14. 已知甲袋中装有3个红球，2个白球，乙袋中装有2个红球，4个白球，两个袋子均不透明，其中的小球除颜色外完全一致．现从两袋中各随机取出一个球，若2个球同色，则将取出的2个球全部放入甲袋中，若2个球不同色，则将取出的2个球全部放入乙袋中，每次取球互不影响，按上述方法重复操作两次后，乙袋中恰有4个小球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】两次取球后，乙袋中恰有4个球，则两次取球均为同色，分类计算两次均取到同色球的概率即可得结论. 【详解】若两次取球后，乙袋中恰有4个球，则两次取球均为同色； 若第一次取球均取到红球，其概率为， 第一次取球后甲袋中有4个红球和2个白球，乙袋有1个红球和4个白球， 第二次取到同色球概率为； 此时乙袋中恰有4个小球的概率是； 若第一次取球均取到白球，其概率为， 第一次取球后甲袋中有3个红球和3个白球，乙袋有2个红球和3个白球， 第二次取到同色球概率为； 此时乙袋中恰有4个小球的概率是； 所以乙袋中恰有4个小球的概率是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，内角的对边分别为． （1）求角； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据已知条件，利用余弦定理求得，再根据，利用正弦的二倍角公式结合正弦定理求得，进而求得角. （2）首先根据面积公式求得，然后再利用余弦定理求得，进而求得，即可求解三角形的周长. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为，所以， 因为是锐角三角形，所以， 所以，则，因为为锐角，所以． 【小问2详解】 因为的面积为， 所以，即， 由余弦定理得，即， 所以，即， 故的周长为． 16. 在三棱柱中，点为侧面正方形的中心，平面，且，为的中点，直线与平面所成角的正切值为. （1）求四棱锥的体积； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据条件直接建立空间直角坐标系，根据线面角的值可得，进而可求四棱锥的体积； （2）直接用向量的方法计算面面所成的角. 【小问1详解】 因为点为侧面正方形的中心，所以，即. 又因为平面，平面，所以， 故分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 设，因为，所以， 所以，. 因为为的中点，得， 又平面在坐标平面内，取平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，则，由同角的三角函数关系式得. 又由，得，即. 所以四棱锥的体积. 【小问2详解】 设平面的法向量为，，， 由，得，取，则，得. 同理设平面的法向量为，，， 由，得，取，则，得. 设平面与平面夹角为， 所以. 17. 某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查100人购买情况，得到如下列联表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 50 10 女性 25 15 40 总计 25 100 （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ （3）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中购买了B款车的人数为，求的数学期望. 附：，. 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1），； （2）与性别有关 （3） 【解析】 【分析】（1）利用表格数据直接计算即可. （2）列出零假设，计算，再进行独立性检验即可. （3）先判断服从二项分布，再利用二项分布的期望公式求解即可. 【小问1详解】 由题意得，. 【小问2详解】 零假设为：选购新能源汽车的款式与性别无关联. 根据列联表中的数据，可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05； 【小问3详解】 随机抽取1人购买B款车的概率为， X的可能取值有，由题意得， 由二项分布的期望公式得. 18. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，左、右顶点分别为，且上存在点，使得直线与的斜率之积为． （1）求的方程． （2）过点作直线交于两点（与均不重合），过原点作直线的平行线交于，两点，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，结合斜率坐标公式列式求出即可. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立求出弦长，再求出即可得解. 【小问1详解】 抛物线的焦点，依题意，， 设，则，而， 由直线与的斜率之积为，得， 则，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 显然直线不垂直于轴，设其方程为，则平行线的方程为， 由消去得，设， 则， ， 由消去得，解得， 则，因此， 所以存在常数，使得恒成立，. 19. 已知函数． （1）记的图象在点处的切线方程为，证明：当时，； （2）若当时，，求实数的最大整数值． 【答案】（1） 由题可知， 所以，所以 令， 易知的定义域为，由得，由得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以. 令， 则当时，， 所以， 综上，当时，； （2）4 【解析】 【分析】（1）构造，通过求得确定单调性，求得最值即可说明，构造，通过配方即可判断； （2）参变分离得到，构造函数，通过求导确定最值即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，由，得. 记， 则， 记，则， 所以在上单调递增， 又， 所以使得，即， 当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以的最大整数值为4. 【点睛】关键点点睛：第二问参变分离，构造函数求其导数，再构造，通过求导确定单调性，结合隐零点求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥八中2026届高三统一作业18 数学 2026年1月 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案选项涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案选项.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应区域.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 若函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 在的二项展开式中，第3项的二项式系数是（ ） A. 8 B. C. 28 D. 4. 若为两条直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与相交 5. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 设是两个不共线的向量，是在上的投影向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 已知函数的图象是由的图象向右平移个单位得到的．若在上仅有一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前项和为，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 数列的奇数项成等比数列 B. 数列的偶数项成等差数列 C. D. 11. 已知正方体的棱长为4，N为棱上一点，且，动点M在正方体内及其表面上运动，下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 若M是线段上的动点，则M到平面的距离为定值 C. 若，则的最小值为 D. 若M满足，，则M的轨迹的长度为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前项和，若，则_______． 13. 若抛物线：的焦点与椭圆：的右焦点重合，的准线交于，两点，为等腰直角三角形，则的离心率为__________． 14. 已知甲袋中装有3个红球，2个白球，乙袋中装有2个红球，4个白球，两个袋子均不透明，其中的小球除颜色外完全一致．现从两袋中各随机取出一个球，若2个球同色，则将取出的2个球全部放入甲袋中，若2个球不同色，则将取出的2个球全部放入乙袋中，每次取球互不影响，按上述方法重复操作两次后，乙袋中恰有4个小球的概率是______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，内角的对边分别为． （1）求角； （2）若的面积为，求的周长． 16. 在三棱柱中，点为侧面正方形的中心，平面，且，为的中点，直线与平面所成角的正切值为. （1）求四棱锥的体积； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查100人购买情况，得到如下列联表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 50 10 女性 25 15 40 总计 25 100 （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ （3）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中购买了B款车的人数为，求的数学期望. 附：，. 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 18. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，左、右顶点分别为，且上存在点，使得直线与的斜率之积为． （1）求的方程． （2）过点作直线交于两点（与均不重合），过原点作直线的平行线交于，两点，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数． （1）记的图象在点处的切线方程为，证明：当时，； （2）若当时，，求实数的最大整数值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $