专题08平行四边形寒假预习讲义（4）(知识点梳理+常考题型精讲精练+强化巩固) 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题08平行四边形寒假预习讲义（4） ·懂概念：区分中心对称图形与中心对称，会判断、找对称中心。 ·会作图：补画中心对称图形，画已知图形关于某点的对称图形。 ·能计算：用性质求面积、长度、角度；掌握原点对称点的坐标规律，会求参数。 ·通规律：探索中心对称图形的变化规律，能描述图形运动过程。 预习必备 知识点梳理 1.基础概念 2.识别与作图 3.核心性质 4.坐标系中的中心对称 5.核心易错点 常考题型 精讲精炼 1.识别中心对称图形 2.找中心对称图形的对称中心 3.补画中心对称图形 4.中心对称图形规律问题 5.成中心对称 6.画关于某点对称的图形 7.找两个图形的对称中心 8.由中心对称性质求面积.长度等 9.求关于原点对称点的坐标 10.已知原点对称求参数 11.判断两点是否关于原点对称 强化巩固 (解答题6题) 【知识点01.基础概念】 中心对称图形： 平面内，把一个图形绕某一点旋转180∘，旋转后的图形能与自身完全重合，这个图形就是中心对称图形，该点为对称中心； 典型图形有平行四边形、圆、正方形、矩形、菱形等。 成中心对称： 平面内，把一个图形绕某一点旋转180∘，能与另一个图形完全重合，则这两个图形成中心对称，该点为它们的对称中心。 核心区别：中心对称图形是单个图形的自身特性，成中心对称是两个图形的位置关系； 联系：中心对称图形可看作自身与自身成中心对称。 【知识点02.识别与作图】 1.识别方法： ①旋转验证法：找一点，将图形绕其旋转180∘，看是否与原图重合； ②特征法：利用图形几何特征判断（如平行四边形对角线互相平分，自带对称中心）。 2.找对称中心： ①单个中心对称图形：取图形的几何中心（如平行四边形对角线交点、圆心）；②两个成中心对称的图形：连接两组对应点，两条连线的交点即为对称中心。 3.核心作图步骤： ***补画中心对称图形 / 画已知图形的中心对称图形：先确定原图形的关键点（顶点、交点、端点）→ 作每个关键点关于对称中心的对称点（连接关键点与对称中心并延长，使延长段与原线段等长）→ 按原图形连接顺序，依次连接对称点，完成作图； ***方格纸作图可利用格点特征，快速确定对称点位置。 【知识点03.核心性质】 1.成中心对称的两个图形全等，形状、大小完全相同； 2.对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等； 3.所有对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分（对称中心是任意一组对应点连线的中点）； 4.中心对称图形的自身对称，也满足上述所有性质。 【知识点04.坐标系中的中心对称(关于原点)】 1.坐标变化规律：平面直角坐标系中，若点P(x,y)关于原点对称的点为P′，则P′的坐标为(−x,−y)（横、纵坐标均变为相反数）； 2.反向判断：若两点的横、纵坐标均互为相反数，则这两点关于原点成中心对称； 3.常见考法： ①直接求已知点关于原点的对称点坐标； ②已知两点关于原点对称，根据坐标规律列方程，求解参数（未知数）； ③结合函数图像，判断是否为关于原点的中心对称图形（如反比例函数图像是中心对称图形，对称中心为原点）。 【知识点05.常见易错点】 1.混淆 “中心对称图形” 与 “成中心对称”，忽略前者是 “一个图形”、后者是 “两个图形”。 2.找对称中心时仅连接一组对应点，导致错误（需两组对应点连线的交点）。 3.坐标系中求对称点时，漏变横 / 纵坐标的符号（如仅变横坐标，未变纵坐标）。 4.误认为所有 “对称图形” 都是中心对称图形（如等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形） 【题型1.识别中心对称图形】 【典例】有下列图形：①线段，②三角形，③平行四边形，④正方形，⑤圆．其中不是中心对称图形的是 ． 【答案】② 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟知把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是解题的关键．根据中心对称图形的定义，逐个分析判断即可得出答案． 【详解】解：①线段是中心对称图形， ②三角形不是中心对称图形， ③平行四边形是中心对称图形， ④正方形是中心对称图形， ⑤圆是中心对称图形， 综上所述，不是中心对称图形的是②． 故答案为：②． 【跟踪专练1】中国“二十四节气”已被列入联合国教育、科学及文化组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】如图，是由经过某种变换得到的图形，则 （选填“”“”或“”）；如果中任意一点M的坐标为，那么它的对应点N的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何变换的类型，根据中心对称的性质即可写出点坐标；熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】解：由图形知与中心对称， ∴， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：，． 【题型2.找中心对称图形的对称中心】 【典例】如图，两个年春晚吉祥物“龙辰辰”的图案成中心对称，则对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义．分别连接图中的两对对应点，两直线的交点即为所求． 【详解】解：如图，分别连接图中的两对对应点，对应点所在直线交于点， 对称中心的坐标为， 故选：A． 【跟踪专练1】图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的小正方形放在图②中A，B，C，D的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是 ． 【答案】C 【分析】此题属于识别中心对称图形的问题，中心对称图形的定义； 中心对称图形是把图形的一部分绕某一点旋转，两部分能完全重合； 接下来试着将图①的正方形放在规定的各个位置上，结合中心对称图形的定义进行分析即可． 【详解】解：图①中的正方形放在图②中的C的位置，组成的图形是中心对称图形，故放在C的位置． 故答案为：C． 【跟踪专练2】如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（     ）．    A．点G B．点H C．点I D．点J 【答案】C 【分析】本题主要考查中心对称的图形的对称中心，掌握两组对应点连线的交点即是对称中心是解题的关键． 根据对称中心的确定方法即可解答． 【详解】解：如图，连接，它们的相交点，即为对称中心．    则线段与线段的对称中心为点I． 故选：C． 【题型3.补画中心对称图形】 【典例】围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子．若白方落子后的对奔图是中心对称图形，则白方落子的位置只可能是下列位置中的（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义．根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案． 【详解】解：由图可知，当放入白子的位置在点①处时，是中心对称图形． 故选：A． 【跟踪专练1】如图是3×3正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余6个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的部分成为中心对称图形，这样的白色小方格有 个． 【答案】3 【分析】此题考查的是利用中心对称设计图案，根据中心对称图形的概念分别找出各个能成中心对称图形的小方格即可． 【详解】如图所示， ∴这样的白色小方格有3个． 故答案为：3． 【跟踪专练2】如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的有 个．    【答案】2 【分析】本题考查了中心对称的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行作图，即可作答． 【详解】解：如图所示：       则这样的有个 故答案为：2． 【题型4.中心对称图形规律问题】 【典例】如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 根据中心对称的性质判断即可． 【详解】解：与关于点O成中心对称， ，，，故A，B，C选项正确，，故D选项错误． 故选：D． 【跟踪专练1】在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称的性质解答即可． 【详解】解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）， 由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°）， 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答． 【跟踪专练2】如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】B 【分析】探究规律后利用规律解决问题即可． 【详解】观察图形可知每4次循环一次，， ∴第2022次旋转后得到的图形应与图②相同， 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称、旋转变换，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律利用规律解决问题． 【题型5.成中心对称】 【典例】如图，如果和关于点中心对称，那么必过点 ，且被这个点 ；和 相同，大小 ，即它们是 关系．    【答案】 平分 形状 相等 全等 【分析】由中心对称的性质，即可得到答案． 【详解】解：如果和关于点中心对称，那么必过点，且被这个点平分；和形状相同，大小相等，即它们是全等关系． 故答案为：，平分，形状，相等，全等． 【点睛】本题考查的是中心对称，中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。关键是掌握中心对称的性质． 【跟踪专练1】下列图形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查两个图形成中心对称，成中心对称‌是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点．据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A中与不成中心对称，不符合题意； 选项B中与成中心对称，符合题意； 选项C中与不成中心对称，不符合题意； 选项D中与不成中心对称，不符合题意， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点处开始依次关于点，做循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处……，如此下去．则经过第次跳动之后，棋子落点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标规律探索，成中心对称，解题关键是找出点P跳动前三次的轨迹． 根据对称的性质，先求出点M和点N的坐标，进而得到棋子跳动3次后又回到了点P，则点P的跳动每3次一个循环；用除以3，结合余数，即可找出第次跳动后的位置，进而求解． 【详解】解：根据题意可得， 棋子第一次跳动到M点，M点的坐标是，第二次跳动到N点，N点的坐标为，第三次跳动后回到P点， ， ∴棋子跳动次后，棋子落在点P， ∴经过第次跳动之后，棋子落点的坐标为． 故答案为：． 【题型6.画关于某点对称的图形】 【典例】如图，和 关于点O成中心对称，那么连接线段、、，它们都经过点 ，且 ＝ ， ＝ ， ＝ . 【答案】 O； ； ； ； ； ； 【分析】根据中心对称及中心对称图形的性质可直接进行求解． 【详解】解：∵和 关于点O成中心对称， ∴线段、、它们都经过点O；且，，； 故答案为O；，；，；，． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：依题意，添加的等边三角形④，可得中心对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称，第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；第五次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称……照此规律重复下去，则点的坐标为 ． 【答案】（-2,0） 【分析】计算出前几次跳跃后，点P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7的坐标，可以得出规律，继而可求出点的坐标． 【详解】解：根据题意得： 点P1（0,2）、P2（2，-2）、P3（-4,2）、P4（4,0）、P5（-2,0）、P6（0,0）、P7（0,2），， ∴每6次为一个循环， ∵， ∴点的坐标与点P5的坐标相同，即为（-2,0）， 故答案为：（-2,0）． 【点睛】此题考查坐标的变化规律探究，中心对称的定义，正确掌握中心对称的定义确定点的坐标，发现规律并运用解决问题是解题的关键． 【题型7.找两个图形的对称中心】 【典例】关于某一点成中心对称的两个图形，连结所有对称点的线段经过 ． 【答案】对称中心 【分析】根据中心对称图形的性质可进行求解． 【详解】解：由中心对称图形的性质可知：关于某一点成中心对称的两个图形，连结所有对称点的线段经过对称中心； 故答案为对称中心． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格中，是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是（   ） A．点G B．点H C．点M D．点N 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称，确定两个图形的对称中心，结合与关于某点对称，故连接对应点，它们的连线会交于一点，这点即为对称中心，即可作答． 【详解】解：∵与关于某点对称， ∴连接对应点，它们的连线会交于一点，这点即为对称中心， 如图所示： 故点M是对称中心， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，和关于点P成中心对称，则点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查中心对称，掌握相关知识是解决问题的关键．根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，据此解答即可． 【详解】解：根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，如图，． 故答案为：． 【题型8.由中心对称性质求面积.长度等】 【典例】如果和关于点成中心对称，那么和的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是中心对称的性质，直接利用中心对称的性质可得答案． 【详解】解：∵和关于点成中心对称， ∴； 故答案为： 【跟踪专练1】如图矩形的长为，宽为4，点O是各组三角形的对称中心，则图中阴影面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在矩形中，点O是各组三角形的对称中心，由可求得结果． 【详解】解：在矩形中，点O是各组三角形的对称中心， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称的性质；理解中心对称的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，四边形是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为8和15时，则阴影部分的面积为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了中心对称、菱形的性质；熟记菱形的性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键． 根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，即可得出结果． 【详解】 解：如图所示：∵菱形的两条对角线的长分别为8和15， ∴菱形的面积 ， ∵O是菱形两条对角线的交点，菱形是中心对称图形， ∴，四边形四边形，四边形四边形， ∴阴影部分的面积． 故答案为30． 【题型9.求关于原点对称点的坐标】 【典例】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特点，关于原点对称的两个点的横坐标与纵坐标均互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点C的坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质与中心对称，理解题意，灵活运用平行四边形的性质是关键． 平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，根据中心对称的性质解题即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 又∵对角线交点在原点， ∴点A和点C关于原点对称， ∵， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】点满足二元一次方程组，则点关于原点的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，点关于原点对称的性质，掌握加减消元法的计算，关于原点对称的性质解题的关键．运用加减消元法可得的值，得到点的坐标，根据关于原点对称的点，横纵坐标均变为原来的相反数，由此即可求解． 【详解】解：， ①②得，， 解得， 把代入①得，， ∴， ∴点关于原点对称点的坐标为， 故答案为：． 【题型10.已知原点对称求参数】 【典例】已知点与点关于原点对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称点的性质，关于原点对称的点，横坐标和纵坐标均互为相反数，直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知和关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称点的特点，有理数的乘方运算，根据点关于原点对称，则横坐标、纵坐标均为相反数，根据关于原点对称的点坐标关系，求出a和b的值，再计算即可． 【详解】解：∵点和关于原点对称， ∴（横纵坐标均互为相反数）， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】已知点与点关于原点对称，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称，代数式求值，根据题意得，，将其代入中进行计算即可得． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型11.判断两点是否关于原点对称】 【典例】在平面直角坐标系中，点与点关于（    ） A．原点中心对称 B．y轴轴对称 C．x轴轴对称 D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据横坐标和纵坐标都互为相反数即可做出判断． 【详解】解：∵点与点横坐标和纵坐标都互为相反数， ∴与点关于原点中心对称， 故选：A 【点睛】此题考查关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点中心对称的点的特征是解题的关键． 【跟踪专练1】平面直角坐标系中，已知平行四边形的四个顶点坐标分别是，，则m 的值是 ． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质和已知条件得出B与D关于原点对称，得出，解出即可． 【详解】解：∵平行四边形的四个顶点坐标分别是， ∴点A与点C关于原点对称， ∴点B与点D关于原点对称， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握平行四边形的性质，坐标与图形性质是解题的关键． 【跟踪专练2】已知函数：y，则下列关于此函数的图象与性质描述正确的是（    ） A．图象与x轴有两个交点，与y轴有一个交点 B．图象关于原点中心对称 C．图象不经过第一象限 D．x＞0时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】根据函数的自变量取值范围及函数取值范围依次进行判断即可得出结果． 【详解】解：A、因为x≠0，所以与y轴无交点，故A不符合题意； B、y≤0，不可能关于原点中心对称，故B不符合题意； C、由y≤0，可知图象不经过第一、二象限，故C符合题意； D、当0＜x≤1时，函数无意义；原说法错误，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数式的意义，中心对称的定义，坐标系与函数图象等，理解题意，根据函数解析式确定函数自变量与函数值对应点的坐标的位置关系是解题关键． 1．（1）解方程：． （2）已知点与点关于原点对称，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）利用因式分解法求解，即可解题； （2）根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，建立等式求解，即可解题． 【详解】解：（1） 则或， 解得，； （2）点与点关于原点对称， ①，②， 由①②得，， 整理得． 2．如图，已知和其内一点． (1)求作，使与关于点成中心对称； (2)指出各对应边以及各对应角． 【答案】(1)见解析 (2)对应边为和，和，和；对应角为和，和，和 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，中心对称的性质，找出点、、关于点的对称点是解题的关键． （1）连接并延长至，使，连接并延长至，使，连接并延长至，使，然后顺次连接即可； （2）根据中心对称的性质写出对应边与对应角即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：对应边为：和，和，和． 对应角为：和，和，和． 3．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系内，三个顶点坐标分别为． (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕点顺时针旋转后的； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查旋转作图，中心对称作图，解题的关键是作出对应点的位置． （1）利用中心对称变换的性质分别作出的对应点，然后顺次连接即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：所作如图所示： 4．如下图，D是的边BC的中点，连接AD并延长至点E，使，连接BE． (1)图中哪两个图形关于点D成中心对称（不用说明理由）？ (2)若的面积为4，求的面积． 【答案】(1)与关于点D成中心对称 (2)8 【分析】本题考查了中心对称的定义，解题的关键是了解中心对称的定义，难度较小． （1）直接利用中心对称的定义写出答案即可； （2）根据等底等高确定的面积，根据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形的面积，从而确定的面积． 【详解】（1）解：与关于点成中心对称． （2）解：∵是的边的中点， ∴， ∴与为等底等高的三角形， ∴． 又∵与关于点成中心对称， ∴， ∴． 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出绕原点O旋转后得到的，并分别写出点、、的坐标．（画图时字母应标注清楚） (2)若点是内一点，当绕原点O旋转后得到的时，点D的对应点的坐标为________． (3)若与关于某点中心对称，则对称中心的坐标为________． 【答案】(1)图见解析；、、 (2) (3) 【分析】本题考查的是画旋转图形，中心对称的性质，坐标与图形，熟练画图是解本题的关键． （1）分别确定、、绕原点O旋转后的对应点、、，再顺次连接即可； （2）对于原点对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数； （3）找出对称的两个点，求中点坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，、、 （2）解：由题意知，与关于原点对称， 点的对应点的坐标为， 故答案为：； （3）解：由图可知，与对称， 对称中心的坐标为，即， 故答案为：． 6．如图，正方形被划分成个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件： （1）涂黑部分的面积是原正方形面积的一半； （2）涂黑部分中存在全等图形． 如图是一种涂法，请在图、、中分别设计另外三种不同的涂法（在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种涂法，如图与图）． 【答案】见解析，见解析，见解析 【分析】本题考查全等图形，设计图案，解题的关键是正确理解题意． 根据题意，设计图案，涂色即可． 【详解】解：如答图、、．（答案不唯一） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08平行四边形寒假预习讲义（4） ·懂概念：区分中心对称图形与中心对称，会判断、找对称中心。 ·会作图：补画中心对称图形，画已知图形关于某点的对称图形。 ·能计算：用性质求面积、长度、角度；掌握原点对称点的坐标规律，会求参数。 ·通规律：探索中心对称图形的变化规律，能描述图形运动过程。 预习必备 知识点梳理 1.基础概念 2.识别与作图 3.核心性质 4.坐标系中的中心对称 5.核心易错点 常考题型 精讲精炼 1.识别中心对称图形 2.找中心对称图形的对称中心 3.补画中心对称图形 4.中心对称图形规律问题 5.成中心对称 6.画关于某点对称的图形 7.找两个图形的对称中心 8.由中心对称性质求面积.长度等 9.求关于原点对称点的坐标 10.已知原点对称求参数 11.判断两点是否关于原点对称 强化巩固 (解答题6题) 【知识点01.基础概念】 中心对称图形： 平面内，把一个图形绕某一点旋转180∘，旋转后的图形能与自身完全重合，这个图形就是中心对称图形，该点为对称中心； 典型图形有平行四边形、圆、正方形、矩形、菱形等。 成中心对称： 平面内，把一个图形绕某一点旋转180∘，能与另一个图形完全重合，则这两个图形成中心对称，该点为它们的对称中心。 核心区别：中心对称图形是单个图形的自身特性，成中心对称是两个图形的位置关系； 联系：中心对称图形可看作自身与自身成中心对称。 【知识点02.识别与作图】 1.识别方法： ①旋转验证法：找一点，将图形绕其旋转180∘，看是否与原图重合； ②特征法：利用图形几何特征判断（如平行四边形对角线互相平分，自带对称中心）。 2.找对称中心： ①单个中心对称图形：取图形的几何中心（如平行四边形对角线交点、圆心）；②两个成中心对称的图形：连接两组对应点，两条连线的交点即为对称中心。 3.核心作图步骤： ***补画中心对称图形 / 画已知图形的中心对称图形：先确定原图形的关键点（顶点、交点、端点）→ 作每个关键点关于对称中心的对称点（连接关键点与对称中心并延长，使延长段与原线段等长）→ 按原图形连接顺序，依次连接对称点，完成作图； ***方格纸作图可利用格点特征，快速确定对称点位置。 【知识点03.核心性质】 1.成中心对称的两个图形全等，形状、大小完全相同； 2.对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等； 3.所有对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分（对称中心是任意一组对应点连线的中点）； 4.中心对称图形的自身对称，也满足上述所有性质。 【知识点04.坐标系中的中心对称(关于原点)】 1.坐标变化规律：平面直角坐标系中，若点P(x,y)关于原点对称的点为P′，则P′的坐标为(−x,−y)（横、纵坐标均变为相反数）； 2.反向判断：若两点的横、纵坐标均互为相反数，则这两点关于原点成中心对称； 3.常见考法： ①直接求已知点关于原点的对称点坐标； ②已知两点关于原点对称，根据坐标规律列方程，求解参数（未知数）； ③结合函数图像，判断是否为关于原点的中心对称图形（如反比例函数图像是中心对称图形，对称中心为原点）。 【知识点05.常见易错点】 1.混淆 “中心对称图形” 与 “成中心对称”，忽略前者是 “一个图形”、后者是 “两个图形”。 2.找对称中心时仅连接一组对应点，导致错误（需两组对应点连线的交点）。 3.坐标系中求对称点时，漏变横 / 纵坐标的符号（如仅变横坐标，未变纵坐标）。 4.误认为所有 “对称图形” 都是中心对称图形（如等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形） 【题型1.识别中心对称图形】 【典例】有下列图形：①线段，②三角形，③平行四边形，④正方形，⑤圆．其中不是中心对称图形的是 ． 【跟踪专练1】中国“二十四节气”已被列入联合国教育、科学及文化组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，是由经过某种变换得到的图形，则 （选填“”“”或“”）；如果中任意一点M的坐标为，那么它的对应点N的坐标为 ． 【题型2.找中心对称图形的对称中心】 【典例】如图，两个年春晚吉祥物“龙辰辰”的图案成中心对称，则对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的小正方形放在图②中A，B，C，D的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是 ． 【跟踪专练2】如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（     ）．    A．点G B．点H C．点I D．点J 【题型3.补画中心对称图形】 【典例】围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子．若白方落子后的对奔图是中心对称图形，则白方落子的位置只可能是下列位置中的（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【跟踪专练1】如图是3×3正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余6个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的部分成为中心对称图形，这样的白色小方格有 个． 【跟踪专练2】如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的有 个．    【题型4.中心对称图形规律问题】 【典例】如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【题型5.成中心对称】 【典例】如图，如果和关于点中心对称，那么必过点 ，且被这个点 ；和 相同，大小 ，即它们是 关系．    【跟踪专练1】下列图形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点处开始依次关于点，做循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处……，如此下去．则经过第次跳动之后，棋子落点的坐标为 ． 【题型6.画关于某点对称的图形】 【典例】如图，和 关于点O成中心对称，那么连接线段、、，它们都经过点 ，且 ＝ ， ＝ ， ＝ . 【跟踪专练1】三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称，第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；第五次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称……照此规律重复下去，则点的坐标为 ． 【题型7.找两个图形的对称中心】 【典例】关于某一点成中心对称的两个图形，连结所有对称点的线段经过 ． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格中，是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是（   ） A．点G B．点H C．点M D．点N 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，和关于点P成中心对称，则点P的坐标是 ． 【题型8.由中心对称性质求面积.长度等】 【典例】如果和关于点成中心对称，那么和的关系是 ． 【跟踪专练1】如图矩形的长为，宽为4，点O是各组三角形的对称中心，则图中阴影面积为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，四边形是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为8和15时，则阴影部分的面积为 ． 【题型9.求关于原点对称点的坐标】 【典例】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为 ． 【跟踪专练1】如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点C的坐标是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】点满足二元一次方程组，则点关于原点的对称点的坐标为 ． 【题型10.已知原点对称求参数】 【典例】已知点与点关于原点对称，则 ． 【跟踪专练1】已知和关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知点与点关于原点对称，且，则 ． 【题型11.判断两点是否关于原点对称】 【典例】在平面直角坐标系中，点与点关于（    ） A．原点中心对称 B．y轴轴对称 C．x轴轴对称 D．以上都不对 【跟踪专练1】平面直角坐标系中，已知平行四边形的四个顶点坐标分别是，，则m 的值是 ． 【跟踪专练2】已知函数：y，则下列关于此函数的图象与性质描述正确的是（    ） A．图象与x轴有两个交点，与y轴有一个交点 B．图象关于原点中心对称 C．图象不经过第一象限 D．x＞0时，y随x的增大而减小 1．（1）解方程：． （2）已知点与点关于原点对称，求的值． 2．如图，已知和其内一点． (1)求作，使与关于点成中心对称； (2)指出各对应边以及各对应角． 3．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系内，三个顶点坐标分别为． (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕点顺时针旋转后的； 4．如下图，D是的边BC的中点，连接AD并延长至点E，使，连接BE． (1)图中哪两个图形关于点D成中心对称（不用说明理由）？ (2)若的面积为4，求的面积． 5．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出绕原点O旋转后得到的，并分别写出点、、的坐标．（画图时字母应标注清楚） (2)若点是内一点，当绕原点O旋转后得到的时，点D的对应点的坐标为________． (3)若与关于某点中心对称，则对称中心的坐标为________． 6．如图，正方形被划分成个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件： （1）涂黑部分的面积是原正方形面积的一半； （2）涂黑部分中存在全等图形． 如图是一种涂法，请在图、、中分别设计另外三种不同的涂法（在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种涂法，如图与图）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $