4.2 导数的乘法与除法法则-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用Word(北师大版)

本讲义聚焦高中数学导数应用核心知识点，系统梳理导数计算、切线方程求解及几何意义等内容，从基础求导公式到切线斜率与方程构建，再到切线应用（如面积计算、距离最小值），形成递进式学习支架。 资料题型丰富，含选择、填空、解答题，融入高考真题与地方期末题，通过切线方程推导、参数求解等问题，培养学生数学思维（逻辑推理、运算能力）与数学语言表达（方程建模），课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

1．(2024·广西钦州高二期末)已知函数f(x)＝xln x＋f′(1)x2＋2，则f′(1)＝(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 解析：选A.因为f′(x)＝ln x＋1＋2f′(1)x，所以 f′(1)＝1＋2f′(1)，解得 f′(1)＝－1.故选A. 2．若函数f(x)＝(x2＋x＋c)·ex，且 ＝2，则c＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选C. ＝ ＝f′(0)＝2，f′(x)＝(x2＋3x＋c＋1)·ex，f′(0)＝c＋1＝2，解得c＝1.故选C. 3．若函数f(x)＝x2＋2ln x 的图象在(a，f(a))处的切线与直线x＋5y－5＝0垂直，则a的值为(　　) A. B．2或 C．2 D．1或 解析：选B.由题意知，直线x＋5y－5＝0的斜率为－，则函数f(x)的图象在(a，f(a))处切线的斜率为5， 又因为f′(x)＝2x＋，即f′(a)＝2a＋＝5， 所以2a2－5a＋2＝0，解得a＝2或a＝.故选B. 4．(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B. C. D. 解析：选A.f′(x)＝ ， 所以f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，(－，0)，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝，故选A. 5．(多选)(2024·广西桂林高二期末)下列命题正确的是(　　) A．若f(x)＝xsin x－cos x，则f′(x)＝sin x－xcos x＋sin x B．设函数f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝e C．已知函数f(x)＝3x2ex，则f′(1)＝12e D．若f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝－ 解析：选BD.对于A，f′(x)＝sin x＋xcos x＋sin x，故选项A不正确；对于B，f′(x)＝ln x＋1，则 f′(x0)＝ln x0＋1＝2，解得x0＝e，故选项B正确；对于C，f′(x)＝6xex＋3x2ex，则f′(1)＝6e＋3e＝9e，故选项C不正确；对于D，f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，则f′(2)＝4＋3f′(2)＋，解得f′(2)＝－，故选项D正确．故选BD. 6．(多选)过点且与曲线y＝x2ex相切的切线的斜率可能为(　　) A．0 B．8e2 C．－e－ D．1 解析：选ABC.因为y′＝(x2＋2x)ex，所以曲线y＝x2ex在点(x0，xex0)处的切线方程为y－xe x0＝(x＋2x0)e x0·(x－x0)．将代入，得x0e x0·(2x－x0－6)＝0，即x0e x0 (x0－2)(2x0＋3)＝0，解得x0＝0或2或－，因为x＝0或2或－时，y′＝0或8e2或－e－，所以过点且与曲线y＝x2ex相切的切线的斜率可能为0，8e2，－e－.故选ABC. 7．(2024·江西抚州高二期末)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是________． 解析：由题意可知，f(1)＝3，f(x)＝＝x＋， 又f′(x)＝1－，所以f′(1)＝－1， 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－3＝－(x－1)，即x＋y－4＝0. 答案：x＋y－4＝0 8．曲线y＝(x－1)ex在点(1，0)处的切线与坐标轴围成的面积为________． 解析：由题意可知，y′＝x·ex，切线斜率k＝2， 所以切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0. 令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝1. 所以曲线y＝(x－1)ex在点(1，0)处的切线与坐标轴围成的面积S＝×2×1＝1. 答案：1 9．函数f(x)＝ax＋的图象在点(1，3)处的切线也是抛物线x2＝y的切线，则a－b＝________． 解析：f′(x)＝a－，则在点(1，3)处的切线的斜率为k1＝f′(1)＝a－b，则切线方程为y－3＝(a－b)·(x－1)，联立消去y得3x2－(a－b)x－3＋a－b＝0，因为切线也是抛物线x2＝y的切线，所以Δ＝(a－b)2－4×3(－3＋a－b)＝0，解得a－b＝6. 答案：6 10．已知a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，求切点的横坐标x0. 解：易得f′(x)＝ex－ae－x，x∈R. 因为f′(x)为奇函数， 所以f′(x)＋f′(－x)＝0对任意x∈R恒成立， 即(1－a)(ex＋e－x)＝0对任意x∈R恒成立， 所以a＝1， 所以f(x)＝ex＋e－x，f′(x)＝ex－e－x， 由题可得e x0－e－x0＝， 令e x0＝t(t＞0)，则t－＝， 解得t＝2或t＝－(舍去)， 所以e x0＝2，所以x0＝ln 2. 11．若点P是曲线y＝ln x－x2上任意一点，则点P到直线l：x＋y－6＝0的距离的最小值为(　　) A．2 B．3 C. D. 解析：选B.由y＝ln x－x2， 可得y′＝－2x，x>0， 令－2x＝－1，可得(x－1)(2x＋1)＝0， 因为x>0，可得x＝1，则y＝－1， 即平行于直线l：x＋y－6＝0且与曲线y＝ln x－x2相切的切线的切点坐标为P(1，－1)， 由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离的最小值为d＝＝3.故选B. 12．(多选)已知函数f(x)＝x3－3x2＋1的图象在点(m，f(m))处的切线为lm，则(　　) A．lm的斜率的最小值为－3 B．l2的斜率为0 C．l0的方程为y＝0 D．l－1的方程为y＝9x＋6 解析：选ABD.因为f′(x)＝3x2－6x＝3(x－1)2－3≥－3，所以lm的斜率的最小值为－3，A正确； 因为f′(2)＝0，所以k＝0，所以l2的斜率为0，B正确； 因为f′(0)＝0，f(0)＝1，所以l0的方程为y＝1，C错误； 因为f′(－1)＝9，f(－1)＝－3，所以l－1的方程为y＋3＝9(x＋1)，即y＝9x＋6，D正确．故选ABD. 13．过点A(a，0)作曲线C：y＝xex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是__________________________________． 解析：设切点坐标为(x0，x0e x0)，因为y′＝(x＋1)·ex，所以当x＝x0时，y′＝(x0＋1)e x0，所以切线方程为y－x0e x0＝(x0＋1)e x0 (x－x0)，将(a，0)代入可得－x0e x0＝(x0＋1)e x0 (a－x0)，化简得x －ax0－a＝0.过点A(a，0)作曲线C的切线有且仅有两条，即方程x －ax0－a＝0有两个不同的解，则Δ＝a2＋4a＞0，解得a＞0或a＜－4，故实数a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞) 14．已知函数f(x)＝＋b的图象在x＝1处的切线方程为2x－y－2＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)求函数f(x)图象上的点到直线2x－y＋3＝0的距离的最小值． 解：(1)因为函数f(x)＝＋b， 所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝， 所以曲线f(x)在x＝1处切线的斜率为k＝f′(1)＝a＝2， 由切线方程可知切点为(1，0)，而切点也在函数 f(x) 图象上，解得b＝0， 所以f(x)的解析式为f(x)＝. (2)由于直线2x－y－2＝0与直线2x－y＋3＝0平行，直线2x－y－2＝0与曲线 f(x)＝在点(1，0)处相切， 所以切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离最小，最小值为d＝＝， 故函数f(x)图象上的点到直线2x－y＋3＝0的距离的最小值为. 15．(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称 f(x)在D上为凸函数，以下四个函数在上是凸函数的是(　　) A．f(x)＝sin x－cos x B．f(x)＝ln x－2x C．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝－xe－x 解析：选BC.A中，由f(x)＝sin x－cos x，得 f′(x)＝cos x＋sin x，所以 f″(x)＝－sin x＋cos x＝cos，因为x∈，所以当x＝时，f″(x)＝cos ＝0，这与f″(x)<0在定义域上恒成立不符，故A错误； B中，由f(x)＝ln x－2x，得f′(x)＝－2，所以f″(x)＝－，因为x∈，所以f″(x)＜0在上恒成立，故B正确； C中，由f(x)＝－x3＋2x－1，得f′(x)＝－3x2＋2，所以f″(x)＝－6x，因为x∈，所以f″(x)＜0在上恒成立，故C正确； D中，由f(x)＝－xe－x，得f′(x)＝e－x·(x－1)，所以f″(x)＝e－x(2－x)，因为x∈时，2－x＞0，e－x＞0，所以 f″(x)＞0恒成立，与f″(x)<0在定义域上恒成立不符，故D错误．故选BC. 16．已知函数f(x)＝(1－x)ex. (1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形面积； (2)过点A(a，0)作曲线y＝(1－x)ex的切线，若切线有且仅有1条，求实数a的值． 解：(1)f′(x)＝(1－x)ex－ex＝－xex， 则f′(1)＝－e，f(1)＝0， 故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－e(x－1)，分别令x＝0，y＝0， 得y＝e，x＝1，则切线与两坐标轴交点为(1，0)，(0，e)，则所围成的三角形面积为×1×e＝. (2)设切点为(x0，(1－x0)e x0)， 由已知得y′＝－xex，则切线斜率k＝－x0e x0， 切线方程为y－(1－x0)e x0＝－x0e x0 (x－x0)． 直线过点A(a，0)，则－(1－x0)e x0＝－x0e x0 (a－x0)，化简得x－(a＋1)x0＋1＝0， 切线有且仅有1条，即Δ＝(a＋1)2－4＝0， 即(a＋3)(a－1)＝0，解得a＝－3或a＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $