3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用Word(北师大版)

本讲义聚焦等比数列前n项和公式这一核心知识点，通过类比等差数列倒序相加法引入，借助“思考1”“思考2”引导学生用错位相减法推导公式，系统梳理公式基本计算、与通项公式综合应用及实际问题解决，构建从公式推导到多场景应用的学习支架。 该资料以问题链驱动探究，如通过特殊数列求和发现规律培养数学眼光，错位相减法推导过程强化数学思维中的推理能力，实际案例（捐步活动、《九章算术》两鼠穿墙题）提升数学语言表达与模型意识。课中例题与变式助教师高效授课，课后跟踪训练与总结帮学生巩固知识、查漏补缺。

3．2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和公式 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．　2.利用等比数列的通项公式，选择恰当的形式进行数列求和．　3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 同学们，对于等差数列{an}，我们用倒序相加法求得了其前n项和Sn，那么对于等比数列{an}，我们如何求其前n项和Sn呢？ 思考1　若S64＝1＋21＋22＋23＋…＋263，如何求S64? 提示：S1＝1＝2－1，S2＝1＋2＝3＝22－1，S3＝1＋2＋22＝7＝23－1，S4＝1＋2＋22＋23＝15＝24－1，…，S64＝1＋2＋22＋23＋…＋263＝264－1. 思考2　还有其他方法求S64吗？ 提示：S64＝1＋2＋22＋23＋…＋263，① 2S64＝2＋22＋23＋…＋263＋264，② 由②－①化简得S64＝264－1. 一　等比数列的前n项和公式的基本计算 已知量 公式 首项a1，项数n与公比q Sn＝ 首项a1，末项an与公比q Sn＝ [答案自填] 　 　(对接教材例5)在等比数列{an}中， (1)已知S4＝1，S8＝17，求an. (2)已知a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q. 【解】　(1)显然q≠1，则S4＝＝1， S8＝＝17， 两式相除得＝1＋q4＝17， 解得q＝±2， 当q＝2时可解得a1＝， 则an＝·2n－1； 当q＝－2时可解得a1＝－， 则an＝－·(－2)n－1. 所以an＝·2n－1或an＝－·(－2)n－1. (2)因为a2an－1＝a1an＝128，a1＋an＝66， 所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两个根， 从而或 又Sn＝＝126， 所以q＝2或q＝. 等比数列基本量的计算策略 (1)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解问题． (2)在使用等比数列的前n项和公式时，要先确定公比q的取值，当无法确定时，一定要对q是否为1进行分类讨论． (3)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可以看作一个整体．　 [跟踪训练1] (1)数列1，x，x2，…，xn－1，…的前n项和Sn＝(　　) A. B. C. D．以上均不对 解析：选D.当x＝0时，数列为1，0，0，…，0，…，前n项和Sn＝1；当x＝1时，数列为1，1，…，1，1，…，前n项和Sn＝n； 当x≠1且x≠0时，数列为等比数列，其首项a1＝1，公比q＝x≠1，所以前n项和Sn＝＝＝. (2)在等比数列{an}中，若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n. 解：方法一：因为an＝96，q＝2，所以a1·2n＝192.① 又因为Sn＝＝189，即a1－a1·2n＝－189， 所以a1＝a12n－189＝192－189＝3，代入①式得n＝6. 方法二：由公式Sn＝及已知，得189＝，解得a1＝3. 又由an＝a1·qn－1，得96＝3·2n－1，解得n＝6. 二　等比数列前n项和公式与通项公式的综合应用 　已知一个等比数列{an}，其前n项和为Sn，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5. 【解】　设等比数列{an}的公比为q，则 即 因为a1≠0，1＋q2≠0，所以②÷①得q3＝， 所以q＝，所以a1＝8，所以a4＝8×()3＝1， 所以S5＝8×＝. 【变式探究】 1．(综合变式)设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，求此数列的公比q. 解：当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，符合题目条件； 当q≠1时，＝3a1q2. 因为a1≠0，所以1＋q＋q2＝3q2，2q2－q－1＝0，解得q＝－或q＝1(舍去)． 所以此数列的公比q＝1或－. 2．(综合变式)在等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S2＝30，S3＝155，求Sn. 解：若q＝1，则S3∶S2＝3∶2， 而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1. 所以 两式作比，得＝，解得或 从而Sn＝＝(5n－1)(n∈N＋)或Sn＝＝(n∈N＋)． 等比数列前n项和公式的运算 当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式．当已知a1，q与n时，用Sn＝比较方便；当已知a1，q与an时，用Sn＝比较方便．　 [跟踪训练2] (1)(多选)在等比数列{an}中，公比q>0，Sn是数列{an}的前n项和，若a1＝2，a2＋a3＝12，则下列结论正确的是(　　) A．S5＝63 B．q＝2 C．数列{Sn＋2}是等比数列 D．数列{lg an}是公差为2的等差数列 解析：选BC.由题设，a1(q＋q2)＝2(q＋q2)＝12，即q2＋q－6＝(q＋3)(q－2)＝0， 由q>0可得，q＝2， 所以an＝2n，Sn＝＝2n＋1－2， 所以lg an＝nlg 2是等差数列且公差为 lg 2；Sn＋2＝2n＋1且S5＝26－2＝62. 综上，A，D错误，B，C正确．故选BC. (2)在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. ①求{an}的通项公式； ②记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m. 解：①设{an}的公比为q，由题意得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. ②若an＝(－2)n－1，则Sn＝. 由Sm＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解； 若an＝2n－1，则Sn＝2n－1. 由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6. 综上，m＝6. 　(对接教材例6)某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童．此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，还为公司获得了相应的广告效益．据测算，首日参与活动人数为5 000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为20万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元(以下人数精确到1人，收益精确到1元)． (1)求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益； (2)活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？ 【解】　(1)设第x天的捐步人数为f(x)，则 f(x)＝x∈N＋ 且f(x)∈N＋， 所以第5天的捐步人数为 f(5)＝5 000×(1＋15%)4≈8 745(人)． 由题意可知前5天的捐步人数成等比数列，其中首项为5 000，公比为1.15， 所以前5天公司的捐步总收益为×0.05≈1 686(元)． (2)设活动开始第x天后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余， 若1≤x≤30，则×0.05＞200 000，解得x＞log1.15121≈34(舍去)． 若x＞30， 则×0.05＞200 000， 解得x＞36.34， 所以活动开始第37天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余． 对于一个实际问题，首先要弄清题目中所含的数量关系，考查是否可以通过建立数列模型来解决，是否可以转化为等比数列(或等差数列)的问题，基本思路清晰后再着手解题．要注意： (1)认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型． (2)合理设元，建立等比数列(或等差数列)模型，依据其性质及方程思想求出未知元素，并依据结论作出合理解释． (3)实际问题解答完成后一定要有结论．　 [跟踪训练3] (2024·江西九江期中)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？各穿几何？题意是：有两只老鼠从五尺厚的墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问几天相逢？各穿了多少？如果墙足够厚，第n天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的3倍，则n的值约为(结果精确到0.1，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　) A．2.2 B．2.4 C．2.6 D．2.8 解析：选C.由题意可知，大老鼠每天打洞的长度构成以1为首项，2为公比的等比数列，前n天打洞长度之和为＝2n－1，小老鼠每天打洞的长度构成以1为首项，为公比的等比数列，前n天打洞长度之和为＝2－. 由题得2n－1＝3， 即22n－1＋3＝7×2n－1. 令2n－1＝t，则2t2－7t＋3＝0，解得t＝3或t＝(舍去)， 所以2n－1＝3，则n＝1＋≈2.6. 1．(教材P29T1改编)在等比数列{an}中，a1＝6，q＝2，则S4＝(　　) A．90　　　B．60 C．120　　　D．100 解析：选A.S4＝＝＝90. 2．(多选)已知{an}是首项为，公比为q的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3＝S6，则(　　) A．q＝2 B．q＝1或2 C．a3＝ D．a2＋a3＝2 解析：选ACD.设{an}的公比为q，因为9S3＝S6，所以q≠1，所以9×＝，所以9＝1＋q3，所以q＝2，故A正确，B错误；a2＝a1q＝，a3＝a1q2＝，a2＋a3＝2，故C，D正确．故选ACD. 3．(2024·陕西咸阳期中)某研究所为了更好地开展研究，计划改建五个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费用和设备费用．设备费用(单位：万元)从第一到第五实验室依次构成等比数列，已知第一实验室的设备费用为3万元，第三实验室的设备费用为12万元，则该研究所改建这五个实验室投入的设备费用为________． 解析：设第n(1≤n≤5，n∈N＋)个实验室的设备费用(单位：万元)为an，公比为q，则q＞0， 由题意可得即 解得或(舍去)， 所以改建这五个实验室投入的设备费用为＝＝93. 答案：93万元 4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列． (1)求数列{an}的公比q； (2)若a1－a3＝3，求Sn. 解：(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)， 由于a1≠0，故2q2＋q＝0. 又q≠0，从而q＝－. (2)由(1)及题意可得a1－a1＝3，故a1＝4. 从而Sn＝＝. 1．已学习：等比数列前n项和公式、等比数列的前n项和在实际中的应用． 2．须贯通：等比数列的前n项和公式的灵活应用． 3．应注意：(1)忽略q＝1的情况而致错； (2)忽略对参数的讨论．　 学科网（北京）股份有限公司 $