数列求和专题学案-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第二册

数列求和 一句话总纲 数列求和抓通项，看清类型选方法，算完记得检验，避开计算大坑。 教学设计 新课标依据 • 掌握数列常见求和方法，能根据数列结构特征精准选择适配解法，提升运算求解能力。• 能对数列通项进行变形、拆分与放缩，发展逻辑推理与数学抽象核心素养。• 能灵活迁移求和模型解决综合题型，提升数学建模与知识迁移应用能力。 学习目标 • 能准确识别数列通项结构，快速判断题型并匹配对应的求和方法。• 能规范完成公式法、分组法、裂项相消、倒序相加、错位相减的完整解题步骤。• 能熟练运用裂项放缩技巧，解决数列不等式证明类综合题型。• 能灵活迁移各类求和模型，独立求解变式题目，规避常规解题失误。 重点 • 精准掌握六大数列求和方法的适用场景，能根据通项结构快速匹配对应解法。• 熟练掌握错位相减、裂项相消的标准解题步骤，规范书写解题过程，保证计算准确率。• 吃透常用裂项公式与基础放缩模型，掌握常规数列求和综合题型的解题逻辑。 难点 • 易混淆多种求和方法的适用边界，面对复合型通项，难以快速区分该用分组、裂项还是错位相减。• 错位相减求和中，难以精准对齐项数、统计剩余项，容易出现漏项、多项、符号出错的问题。• 裂项放缩灵活度高，无法根据题型精准把控放缩尺度，难以适配不等式证明的取值要求。 一、公式法求和 等差数列公式求和 等差数列公式法求和，直接使用等差求和公式运算。看到等差数列，优先用公式法，重点找准首项、项数与末项或公差。 第一步、判定数列为等差数列； 第二步、提取 或 ； 第三步、代入公式 或 ； 第四步、化简求出前 项和。 等比数列公式求和 等比数列公式法求和，需要对公比分类讨论。看到等比数列，先看公比是否等于1，再选对应公式。 第一步、判定数列为等比数列； 第二步、提取 ； 第三步、判断 是否等于1，选用公式 （）或 ； 第四步、化简求出前 项和。 • 例题剖析 例题1.1　已知等差数列的前项和为，且，，则______ 。 解析/答案：答案：27 解析：法1：在等差数列中，由，，得方程组化简得解得，，因此。 例题1.2　若是等差数列的前项和，且，则， 解析/答案：答案：， 解析：设等差数列的首项为，公差为，由等差数列通项公式展开可得：，因此解得。再根据等差数列前项和公式，结合等差中项性质，可得：。 例题1.3　已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，若，，则，。 解析/答案：答案：， 解析：设等比数列的公比为，由题意各项均为正数，得，且。根据等比数列前项和公式列出方程组： 解得，。代入通项公式计算得，通项。 二、分组转化求和 分组转化求和，就是把通项拆成若干个等差、等比等可直接求和的数列。看到通项由多个简单数列加减组合而成，就用分组转化。核心是拆开后分别求和，最后再合并结果。 第一步、写出数列的通项公式； 第二步、拆分通项，拆成多个熟悉的基础数列； 第三步、分别用公式法求出每一组的前 项和； 第四步、将各组求和结果合并化简，得到总和 。 • 例题剖析 例题2.1　已知数列 满足，。 (1)证明：数列 是等比数列； (2)求数列 的前项和 。 解析/答案：答案：(1) 证明成立；(2) 解析：(1) 对已知递推公式变形，由，移项可得，即。当时，，因此数列是以1为首项，2为公比的等比数列，得证。 (2) 由(1)结论，等比数列的通项公式为，整理得。对数列分组求和，前项和，由等比数列求和公式，得，因此。 例题2.2　已知数列的前项和为，且满足：，。 (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求。 解析/答案：答案：(1) (2) 解析：(1) 由，当时，，两式相减得，即，。当时，，得，满足，因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，可得。 (2) 化简得，对分组求和：，分别由等比数列和等差数列求和公式得：。 例题2.3　已知是各项均为正数的等比数列，，。 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和。 解析/答案：答案：(1) (2) 解析：(1)设等比数列的公比为，由，得，整理得，解得，舍去不符合条件的负根。因此数列的通项公式为： (2)由(1)得，当时，，又，因此是首项为1，公差为的等差数列。 利用分组求和法，将和拆分为等比数列与等差数列的前项和相加： 等比数列前项和： 等差数列前项和： 因此 三、裂项相消求和 裂项相消求和是将数列通项拆分为两个式子的差，利用中间项相互抵消实现快速求和。该方法多用于分式型通项数列，是高考高频求和手法。解题核心是精准拆分通项，找准抵消规律，保留首尾余项。 • 基础分式裂项，最常考， 一般取 。 • 根式型裂项，依靠分母有理化完成拆分。 • 奇数分母专用裂项，属于上面第一条的特例。 • 三项乘积分母裂项，多用于压轴小题。 • 指数型裂项，常搭配放缩考查。 第一步、识别通项分母是乘积、根式和的形式； 第二步、套用对应裂项公式拆分通项； 第三步、展开各项，观察相互抵消的项； 第四步、消去中间项，化简剩余首尾项得到和。 • 例题剖析 例题3.1　在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 解析/答案：答案：C 解析：由题知，列出各项差：，，，。将各式相加，左边累加后得，右边裂项相消后中间项抵消，得。代入，计算得 例题3.2　已知等比数列 的各项均为正数，记为 的前项和，且，。 (1)求数列 的通项公式； (2)若，求数列 的前项和。 解析/答案：答案：(1) (2) 解析：(1)设等比数列的公比为，由数列各项均为正数得。根据已知条件列方程组，代入化简得，解得或，舍去不符合条件的负根，得公比，因此数列通项公式为。 (2)由等比数列前项和公式得，因此，代入得，对通项裂项得，因此前项和。 例题3.3　记为等差数列的前项和，已知，。 (1)求数列的通项公式。 (2)数列的前项和为，求证：。 解析/答案：答案：(1) (2)证明得，原不等式成立 解析：(1)设等差数列公差为，由题意得。根据等差数列前项和公式，，结合可得，展开得，整理得。联立方程组，解得，因此数列的通项公式为。 (2)由(1)知，则，因此。利用裂项相消法求和得： 。因为，所以，原不等式得证。 例题3.4　已知正项等比数列 ，首项，且成等差数列。 ( 1 ) 求数列 的通项公式； ( 2 ) 若数列 满足，求数列 的前项和。 解析/答案：答案：(1) ；(2) 解析：(1) 设等比数列的公比为，由题意，成等差数列，因此满足，即，代入化简得，解得或，因为数列是正项等比数列，舍去，因此通项公式。 (2) 由(1)结论，代入得，裂项变形得。因此前项和： 例题3.5　定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次"美好成长".将数列1, 3进行"美好成长"，第一次得到数列1, 3, 3；第二次得到数列1, 3, 3, 9, 3；设第次"美好成长"后得到的数列为，并记。 (1)求； (2)证明 : ； (3)求数列的前项和。 解析/答案：答案：(1)； (2)证明成立； (3) 解析：(1) 根据题中定义计算得：，。 (2) 由题意，第次"美好成长"后，所有项的乘积为原第次所有项的乘积，再插入所有相邻两项的乘积，因此可得： ，得证。 (3) 对递推式整理得：，又，因此是首项为，公比为的等比数列。 可得，即。 对通项裂项：。 因此前项和。 四、倒序相加求和 倒序相加求和是利用数列首尾对应项相加为定值的特性求和。多用于对称型、首尾配对和相等的特殊数列，是题型辨识度极高的求和方法。解题关键是正序、倒序两式叠加，批量简化运算。 第一步、观察数列特征，判断首尾配对相加为固定常数； 第二步、写出前 项和 的正序表达式； 第三步、反向写出 的倒序表达式； 第四步、将两式左右分别相加，得到 的化简式； 第五步、等式两边同除 ，求解出 。 • 例题剖析 例题4.1　已知数列是等比数列，若, 是方程的两个根，则的值为 A. 1013 B. C. 2023 D. 1022 解析/答案：答案：A 解析：由韦达定理可得，根据等比数列性质，对任意，都有。设，将式子倒序得。两式相加得：，结合对数运算性质化简得：，因此。 例题4.2　设，，求的值。 解析/答案：答案： 解析：先计算的值： ，得二者和为定值1。 对使用倒序相加法： 因此解得。 五、错位相减求和 错位相减求和是高考核心必考方法，专门用于等差×等比型通项数列。通过乘公比、错位对齐、上下作差，消去中间绝大部分项实现化简。解题精髓是留前三、保后二、数准项数，杜绝多算、漏算。 第一步、观察通项，确认是「等差 × 等比」结构，锁定等比部分公比 ； 第二步、工整写出 展开式，写前3项、最后2项； 第三步、等式左右同乘公比 ，得到 ，整体向右错位对齐书写； 第四步、上下两式对应相减，中间项全部抵消，只剩首尾残留项； 第五步、整理 的表达式，精准统计剩余常数项个数； 第六步、两边同除系数，化简得到 最终结果。 • 例题剖析 例题5.1　已知数列满足，且。 (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和。 解析/答案：答案：(1) (2) 解析：(1)由，变形得，可知数列是以为首项，4为公比的等比数列，因此，整理得。 (2)由(1)得，将拆分为数列的前项和与数列的前项和，即。 写出，两边同乘4得，两式错位相减得：，整理得。又，因此。 例题5.2　已知数列的前项和为，且，。 (1)求证：数列为等比数列； (2)设，，求数列的前项和。 解析/答案：答案：(1)数列是以为首项，为公比的等比数列； (2) 解析：(1)当时，计算得；当时，将与两式相减，得；验证时满足该关系，因此数列是以为首项，为公比的等比数列。 (2)由(1)得，代入化简得。写出，两边同乘公比得，两式错位相减，利用等比数列求和公式化简得：，整理后得。 例题5.3　设数列满足。 (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前项和。 解析/答案：答案：(1)是以1为首项，2为公差的等差数列，证明见解析； (2) 解析：(1)对已知递推式变形得，两边同时除以，得，计算得，符合等差数列定义，故是以1为首项，2为公差的等差数列。 (2)由(1)的结论得，整理得通项。将前项和拆分为，其中。对使用错位相减法：写出，两边乘3得，两式相减后利用等比数列求和公式化简，得，即，因此。 专题总结 数列求和做题认准“看长相选方法”，不用瞎套路！基础等差等比直接套公式，省时又省力。通项拼凑拆分就用分组求和，复杂式子直接拆解清零。分式根式无脑裂项相消，主打一个中间项全部抵消。对称定值题型锁定倒序相加，错位相减专治等差乘等比的高频难题。压轴不等式就靠裂项放缩微调缩放，吃透题型特征，数列求和直接拿捏。 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列求和 一句话总纲 数列求和抓通项，看清类型选方法，算完记得检验，避开计算大坑。 教学设计 新课标依据 • 掌握数列常见求和方法，能根据数列结构特征精准选择适配解法，提升运算求解能力。• 能对数列通项进行变形、拆分与放缩，发展逻辑推理与数学抽象核心素养。• 能灵活迁移求和模型解决综合题型，提升数学建模与知识迁移应用能力。 学习目标 • 能准确识别数列通项结构，快速判断题型并匹配对应的求和方法。• 能规范完成公式法、分组法、裂项相消、倒序相加、错位相减的完整解题步骤。• 能熟练运用裂项放缩技巧，解决数列不等式证明类综合题型。• 能灵活迁移各类求和模型，独立求解变式题目，规避常规解题失误。 重点 • 精准掌握六大数列求和方法的适用场景，能根据通项结构快速匹配对应解法。• 熟练掌握错位相减、裂项相消的标准解题步骤，规范书写解题过程，保证计算准确率。• 吃透常用裂项公式与基础放缩模型，掌握常规数列求和综合题型的解题逻辑。 难点 • 易混淆多种求和方法的适用边界，面对复合型通项，难以快速区分该用分组、裂项还是错位相减。• 错位相减求和中，难以精准对齐项数、统计剩余项，容易出现漏项、多项、符号出错的问题。• 裂项放缩灵活度高，无法根据题型精准把控放缩尺度，难以适配不等式证明的取值要求。 一、公式法求和 等差数列公式求和 等差数列公式法求和，直接使用等差求和公式运算。看到等差数列，优先用公式法，重点找准首项、项数与末项或公差。 第一步、判定数列为等差数列； 第二步、提取 或 ； 第三步、代入公式 或 ； 第四步、化简求出前 项和。 等比数列公式求和 等比数列公式法求和，需要对公比分类讨论。看到等比数列，先看公比是否等于1，再选对应公式。 第一步、判定数列为等比数列； 第二步、提取 ； 第三步、判断 是否等于1，选用公式 （）或 ； 第四步、化简求出前 项和。 • 例题剖析 例题1.1　已知等差数列的前项和为，且，，则______ 。 例题1.2　若是等差数列的前项和，且，则， 例题1.3　已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，若，，则，。 二、分组转化求和 分组转化求和，就是把通项拆成若干个等差、等比等可直接求和的数列。看到通项由多个简单数列加减组合而成，就用分组转化。核心是拆开后分别求和，最后再合并结果。 第一步、写出数列的通项公式； 第二步、拆分通项，拆成多个熟悉的基础数列； 第三步、分别用公式法求出每一组的前 项和； 第四步、将各组求和结果合并化简，得到总和 。 • 例题剖析 例题2.1　已知数列 满足，。 (1)证明：数列 是等比数列； (2)求数列 的前项和 。 例题2.2　已知数列的前项和为，且满足：，。 (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求。 例题2.3　已知是各项均为正数的等比数列，，。 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和。 三、裂项相消求和 裂项相消求和是将数列通项拆分为两个式子的差，利用中间项相互抵消实现快速求和。该方法多用于分式型通项数列，是高考高频求和手法。解题核心是精准拆分通项，找准抵消规律，保留首尾余项。 • 基础分式裂项，最常考， 一般取 。 • 根式型裂项，依靠分母有理化完成拆分。 • 奇数分母专用裂项，属于上面第一条的特例。 • 三项乘积分母裂项，多用于压轴小题。 • 指数型裂项，常搭配放缩考查。 第一步、识别通项分母是乘积、根式和的形式； 第二步、套用对应裂项公式拆分通项； 第三步、展开各项，观察相互抵消的项； 第四步、消去中间项，化简剩余首尾项得到和。 • 例题剖析 例题3.1　在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 例题3.2　已知等比数列 的各项均为正数，记为 的前项和，且，。 (1)求数列 的通项公式； (2)若，求数列 的前项和。 例题3.3　记为等差数列的前项和，已知，。 (1)求数列的通项公式。 (2)数列的前项和为，求证：。 例题3.4　已知正项等比数列 ，首项，且成等差数列。 ( 1 ) 求数列 的通项公式； ( 2 ) 若数列 满足，求数列 的前项和。 例题3.5　定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次"美好成长".将数列1, 3进行"美好成长"，第一次得到数列1, 3, 3；第二次得到数列1, 3, 3, 9, 3；设第次"美好成长"后得到的数列为，并记。 (1)求； (2)证明 : ； (3)求数列的前项和。 四、倒序相加求和 倒序相加求和是利用数列首尾对应项相加为定值的特性求和。多用于对称型、首尾配对和相等的特殊数列，是题型辨识度极高的求和方法。解题关键是正序、倒序两式叠加，批量简化运算。 第一步、观察数列特征，判断首尾配对相加为固定常数； 第二步、写出前 项和 的正序表达式； 第三步、反向写出 的倒序表达式； 第四步、将两式左右分别相加，得到 的化简式； 第五步、等式两边同除 ，求解出 。 • 例题剖析 例题4.1　已知数列是等比数列，若, 是方程的两个根，则的值为 A. 1013 B. C. 2023 D. 1022 例题4.2　设，，求的值。 五、错位相减求和 错位相减求和是高考核心必考方法，专门用于等差×等比型通项数列。通过乘公比、错位对齐、上下作差，消去中间绝大部分项实现化简。解题精髓是留前三、保后二、数准项数，杜绝多算、漏算。 第一步、观察通项，确认是「等差 × 等比」结构，锁定等比部分公比 ； 第二步、工整写出 展开式，写前3项、最后2项； 第三步、等式左右同乘公比 ，得到 ，整体向右错位对齐书写； 第四步、上下两式对应相减，中间项全部抵消，只剩首尾残留项； 第五步、整理 的表达式，精准统计剩余常数项个数； 第六步、两边同除系数，化简得到 最终结果。 • 例题剖析 例题5.1　已知数列满足，且。 (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和。 例题5.2　已知数列的前项和为，且，。 (1)求证：数列为等比数列； (2)设，，求数列的前项和。 例题5.3　设数列满足。 (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前项和。 专题总结 数列求和做题认准“看长相选方法”，不用瞎套路！基础等差等比直接套公式，省时又省力。通项拼凑拆分就用分组求和，复杂式子直接拆解清零。分式根式无脑裂项相消，主打一个中间项全部抵消。对称定值题型锁定倒序相加，错位相减专治等差乘等比的高频难题。压轴不等式就靠裂项放缩微调缩放，吃透题型特征，数列求和直接拿捏。 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $