3.1 第2课时 等比数列的性质及应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用Word(北师大版)

本讲义聚焦高中数学等比数列的性质及应用，系统梳理等比中项的含义与应用，等比数列的项乘积性质（如m+n=k+l时aₘaₙ=aₖaₗ）、单调性判断，以及实际应用问题。承接等比数列定义与通项公式，通过类比等差数列性质构建知识支架，深化对数列本质的理解。 该资料通过思考问题引导类比推理，如由等差数列性质类比等比数列项乘积关系，培养数学思维。结合汽车贬值等实际问题设计例题，强化数学应用意识与数学语言表达。课中例题变式与即时练提升教学效率，课后跟踪训练与总结助力学生查漏补缺，巩固知识。

第2课时　等比数列的性质及应用 1.理解等比中项的含义，并利用它解决一些问题．　2.熟悉等比数列的有关性质． 3．会求解等比数列的实际应用问题． 思考1　等比数列的通项公式an＝a1qn－1与函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)有什么联系？ 提示：an＝a1qn－1＝·qn，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f(x)＝·qx(x∈R)在x＝n时的函数值，即an＝f(n)．数列{an}图象上的点(n，an)都在函数f(x)的图象上．反之函数f(x)＝ax＝a·ax－1(a>0，a≠1)可以构成一个首项为a，公比为a的等比数列{a·an－1}． 思考2　你能把等差数列里面的am＋an＝ak＋al，类比出等比数列中相似的性质吗？ 提示：类比可得aman＝akal，其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N＋. 如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝____________．我们称G为a，b的等比中项． [答案自填] ± 【即时练】 1．已知2是2m与n的等差中项，1是m与2n的等比中项，则＋＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选D.由题可知2m＋n＝4，2mn＝1，所以＋＝＝8.故选D. 2．(多选)在正项等比数列{an}中，公比为q，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an＋1an＋2an＋3＝324，下列说法正确的是(　　) A．q2＝3 B．a＝4 C．a4a6＝2 D．n＝12 解析：选BD.正项等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn－1， 由a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，得a＝4，a＝12，故B正确； 而a5＝a2q3，于是(a2q3)3＝12，即q9＝3，故A错误； 而a5＝，则a4a6＝a＝2，故C错误； 由an＋1an＋2an＋3＝324，得a＝324，即(a2qn)3＝324，因为a＝4， 因此q3n＝81＝34＝(q9)4＝q36，显然q＞1，所以3n＝36，解得n＝12，故D正确．故选BD. 3．已知等比数列的前三项和为168，且a2－a5＝42，则a5与a7的等比中项是________． 解析：设该等比数列的公比为q，首项为a1， 因为 所以 因为1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)． 上述两式相除，得q(1－q)＝，解得q＝. 所以a1＝＝＝96. 若G是a5与a7的等比中项，则 G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962·＝9，解得G＝±3. 所以a5与a7的等比中项是±3. 答案：±3 4．已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项． 证明：因为b是a，c的等比中项，所以b2＝ac，且a，b，c均不为零，又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)，由a，b，c均不为零，可得a2＋b2≠0，b2＋c2≠0，故ab＋bc≠0，即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项． 应用等比中项解题的注意点 (1)如果出现等比数列两项的乘积时，就要注意考虑是否能转化为等比中项表示． (2)等比中项一般不唯一，但是如果在等比数列{an}中，还要注意项的关系，如a4是a2，a6的等比中项，而a4＝a2q2，因此a4与a2的符号相同．　 (1)若k＋l＝m＋n＝2t(k，l，m，n，t∈N＋)，则ak·al＝____________＝a； (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列； (3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或q)的等比数列； (4)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2； (5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. [答案自填] am·an 　已知{an}为等比数列． (1)若an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (2)若an＞0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 【解】　(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝25， 因为an＞0，所以a3＋a5＞0，所以a3＋a5＝5. (2)根据等比数列的性质，得 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， 所以a1a2·…·a9a10＝(a5a6)5＝95， 所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 ＝log3(a1a2·…·a9a10) ＝log395＝10. 【变式探究】 1．(综合变式)在本例(1)中，添加条件“a1a7＝4”，求an. 解：由等比数列的性质得a1a7＝a3a5＝4，又由本例(1)知a3＋a5＝5，解得a3＝1，a5＝4或a3＝4，a5＝1，因为an>0，则q>0， 若a3＝1，a5＝4，则q＝2，an＝2n－3； 若a3＝4，a5＝1，则q＝，an＝25－n. 2．(条件变式)把本例(2)的条件改为“公比为3，a1a2a3·…·a30＝3300”，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． 解：a1a2a3·…·a30＝(a1a2a3·…·a10)·q100(a1a2a3·…·a10)· q200(a1a2a3·…·a10)＝q300(a1a2a3·…·a10)3＝3300， 即a1a2a3·…·a10＝1， 则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝ log3(a1a2·…·a10)＝log31＝0. (1)解答等比数列问题的基本方法——基本量法 ①基本步骤：运用方程思想列出基本量a1和q的方程(组)，解出a1和q，然后利用通项公式求解． ②优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁． (2)利用等比数列的性质解题 ①基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． ②优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．　 [跟踪训练1] (1)在等比数列{an}中，若a12＝4，a18＝8，则a36＝(　　) A．32 B．64 C．128 D．256 解析：选B.设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质可知，a12，a18，a24，a30，a36成等比数列，且＝2＝q6，故a36＝a18·q18＝8×23＝64.故选B. (2)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　　) A．4 B．6 C．7 D．5 解析：选D.因为{an}为等比数列，所以a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，所以(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9)＝5×10，又{an}各项均为正数，所以a4a5a6＝5.故选D. (3)已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1，2，…，且a5a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝________． 解析：方法一：a5a2n－5＝(an)2＝22n，因为an＞0，所以an＝2n. 于是log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2. 方法二：a1a2n－1＝a3a2n－3＝a5a2n－5＝…＝(an)2＝22n，所以log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3·…·a2n－1)＝log2[(a1a2n－1)(a3a2n－3)·…·(a2n－1a1)]＝log22＝n2. 答案：n2 　(1)设数列{an}的公比为q，则“a1＞0且0＜q＜1”是“{an}是递减数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)已知等比数列{an}为递减数列，若a7·a14＝6，a4＋a17＝5，则＝________． 【解析】　(1)由等比数列的通项公式可得， an＝a1·qn－1＝·qn， 当a1＞0且0＜q＜1时，则＞0，且y＝qn单调递减， 则y＝·qn单调递减，所以{an}是递减数列，故充分性成立； 当{an}是递减数列，可得或故必要性不成立． 所以“a1＞0且0＜q＜1”是“{an}是递减数列”的充分不必要条件．故选A. (2)因为等比数列{an}为递减数列， a7·a14＝a4·a17＝6，a4＋a17＝5， 所以a4与a17为方程x2－5x＋6＝0的两个根， 又a4>a17，解得a4＝3，a17＝2， 所以q13＝＝，则＝＝. 【答案】　(1)A　(2) 等比数列增减性的判断 若数列{an}是等比数列，公比是q. (1)当q<0时，数列{an}正负项相间，奇数项符号相同，偶数项符号相同． (2)当q＝1时，数列{an}为常数列． (3)当q>0时，数列{an}各项符号相同，单调性如下： ①当a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增数列． ②当a1>0，0<q<1时，数列{an}为正项的递减数列． ③当a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减数列． ④当a1<0，0<q<1时，数列{an}为负项的递增数列．　 [跟踪训练2] (1)已知{an}是递增的等比数列，且a2＜0，则其公比q满足(　　) A．q＜－1 B．－1＜q＜0 C．q＞1 D．0＜q＜1 解析：选D.{an}是等比数列，故an＝a1qn－1，当q＜0时，{an}各项正负项间隔，故q＞0，显然q≠1，由a2＝a1q＜0得a1＜0，又{an}是递增的等比数列，故{qn－1}为递减数列，由指数函数的单调性知0＜q＜1.故选D. (2)已知等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝________． 解析：由题意知，a1a2·…·a13＝4a1a2·…·a9， 所以a10a11a12a13＝4，由等比数列的性质可得a8a15＝a10a13＝a11a12，所以(a8a15)2＝4. 又因为等比数列{an}是递减数列，所以各项同号， 所以a8a15＝2. 答案：2 　(对接教材例4)某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示n(n∈N＋)年后这辆车的价值； (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，那么他大概能得到多少钱？(参考数据：0.94≈0.66，0.95≈0.59.结果保留一位小数) 【解】　(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列的定义知，数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9， 所以an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1. 所以n年后这辆车的价值为an＋1＝13.5×0.9n(万元)． (2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， 所以用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到8.9万元． 解等比数列实际应用题的步骤 　 [跟踪训练3] 某厂生产电脑，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程中，实际上二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列，而第三个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台，问该厂第一季度实际生产电脑多少台？ 解：根据已知，可设该厂第一季度原计划3个月生产电脑台数分别为x－d，x，x＋d(d＞0)， 则实际上3个月生产电脑台数分别为x－d，x＋10，x＋d＋25， 由题意得 解得或(舍去)， 故共有(x－d)＋(x＋10)＋(x＋d＋25)＝3x＋35＝3×90＋35＝305(台)， 即该厂第一季度实际生产电脑305台． 1．已知数列{an}为等比数列，若a2＞0，a4a8＝16，则a6＝(　　) A．－4 B．2 C．4 D．±4 解析：选C.因为a＝a4a8＝16，所以a6＝±4，又a2＞0，所以a6＝a2q4＞0，所以a6＝4.故选C. 2．(多选)设公比为q的等比数列{an}，若a1a5a9＝64，则(　　) A．a5＝4 B．当a1＝1时，q＝± C．a1和a9的等比中项为4 D．a1＋a9＝8 解析：选AB.对于A，由等比数列性质可得a1a5a9＝a＝64，即a5＝4，故A正确； 对于B，当a1＝1时，a5＝a1·q4＝4，所以q＝±，故B正确； 对于C，因为a1a9＝a＝16，所以a1和a9的等比中项为4或－4，故C错误； 对于D，当a1＝1时，a5＝4，a9＝16，故a1＋a9＝17，故D错误．故选AB. 3．某教育网站本月的用户为500人，网站改造后，预计平均每月的用户都比上一个月增加10%，那么从本月起，大约经过________个月可使用户达到1万人．(结果精确到1，参考数据：lg 2≈0.301，lg 11≈1.041) 解析：根据题意，设从本月起，每月的用户数形成一个等比数列{an}， 则首项a1＝500，公比q＝1＋10%＝1.1， 则由an＝500×1.1n－1＝10 000，可得 1.1n－1＝20， 则n＝log1.120＋1＝＋1＝＋1≈32.73， 所以大约经过33个月可使用户达到1万人． 答案：33 4．设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项． (1)求{an}的公比； (2)若a1＞0，a4a6＝4，求a3. 解：(1)设{an}的公比为q，因为a1为a2，a3的等差中项， 所以2a1＝a2＋a3，a1≠0，所以q2＋q－2＝0， 因为q≠1，所以q＝－2. (2)因为a1＞0，a4a6＝4，由等比数列的性质可得： a4a6＝a＝4，所以a5＝2. 所以a3＝＝＝. 1．已学习：等比数列的性质及应用、等比数列的单调性及等比数列的实际应用． 2．须贯通：(1)灵活利用等比数列的性质，可以减少运算量，该思路运用了整体代换的思想；　 (2)等比数列单调性问题，不仅与公比q有关，更与各项的符号密切相关． 3．应注意：等比数列{an}中，下标和相等的项的积也相等，要求等式两边项的个数必须相同；公比q<0，数列{an}为正负项相间，不具有单调性． 学科网（北京）股份有限公司 $