3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用Word(北师大版)

本讲义聚焦等比数列的概念及其通项公式这一核心知识点，通过类比等差数列引入，结合“出门望九堤”实例观察规律，逐步构建定义（从第2项起每一项与前一项比为同一常数）、符号表示及通项公式（aₙ=a₁qⁿ⁻¹），形成从具体到抽象的学习支架。 资料以古代数学问题激发兴趣，培养数学眼光，通过类比推理引导学生自主探究概念，发展数学思维。例题设计注重方程思想与符号表达，如已知a₂、a₅求通项，体现数学语言应用。课中辅助教师引导探究，课后练习帮助学生巩固，有效查漏补缺。

§3　等比数列 3．1　等比数列的概念及其通项公式 第1课时　等比数列的概念及其通项公式 1.类比等差数列的定义，掌握等比数列的定义．　2.掌握等比数列的通项公式，进一步体会基本量思想与方程思想在计算中的应用．　3.善于从指数型函数的角度处理等比数列的相关问题． 观察下面问题中的数列，回答问题． 我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问：各几何？” 构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98. 思考1　类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？ 提示：我们可以通过除法运算探究数列的取值规律．我们发现＝9，＝9，＝9，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9. 思考2　你能尝试写出上述数列的通项公式吗？ 提示：an＝9n. 1．定义：如果一个数列从第______项起，每一项与它的前一项的______都是________常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的________，通常用字母q表示(q≠0)． 2．符号表示：＝q(n∈N＋且n≥2)或＝q(n∈N＋)． [答案自填] 2　比值　同一个　公比 【即时练】 1．下列数列为等比数列的是(　　) A．2，22，3×22，… B.，，，… C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，… D．0，0，0，… 解析：选B.A中，≠，不是等比数列；C中s－1可能为0；D中数列显然不是等比数列．故选B. 2．(多选)(2024·陕西榆林月考)若数列{an}是等比数列，且an＞0(n∈N＋)，则下列结论正确的是(　　) A．数列{anan＋1}是等比数列 B．数列{an＋1－an}是等比数列 C．数列{}是等比数列 D．数列{lg an}是等差数列 解析：选ACD.对于A，设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由an＞0知a1a2＞0，＝q2≠0，所以{anan＋1}是以q2为公比的等比数列，故A正确； 对于B，当q＝1时，an＋1－an＝0，此时数列{an＋1－an}不是等比数列，故B错误； 对于C，由an＞0知＞0，＝＝≠0，所以{}是以为公比的等比数列，故C正确； 对于D，由an＞0知q＞0，lg an＋1－lg an＝lg ＝lg q，所以数列{lg an}是等差数列，故D正确．故选ACD. 3．给出下列数列： ①1，3，32，33，…，3n－1，…； ②－1，1，2，4，8，…； ③a，－a，a，－a，…. ④在数列{an}中，＝2，＝2； 其中一定是等比数列的序号是________． 解析：①记数列为{an}，则a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，…. 因为＝＝3(n≥2，n∈N＋)， 所以此数列一定是等比数列，且公比为3. ②记数列为{an}，则a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， 因为＝－1≠＝2， 所以此数列不是等比数列． ③当a＝0时，数列为0，0，0，…是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列为a，－a，a，－a，…是等比数列，且公比为－1. ④不一定是等比数列，因为不知道的值．即使＝2，数列{an}也不一定是等比数列，因为第4项以后的各项有怎样的规律是不确定的． 答案：① 对等比数列概念的理解 (1)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项． (2)比必须是同一个常数． (3)等比数列中任意一项都不能为0，公比可以为正数、负数，但不能为0.　 1．等比数列的通项公式 若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝__________(a1≠0，q≠0)． 2．等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn－1＝amqn－m. [答案自填] a1qn－1 角度1　等比数列通项公式的求解 　(对接教材例2)在等比数列{an}中． (1)已知a2＝4，a5＝－，求an； (2)已知a5－a1＝15，a4－a2＝6，an＝64，求n. 【解】　(1)方法一：设等比数列{an}的公比为q， 则解得 所以an＝a1qn－1＝(－8)×＝. 方法二：设等比数列{an}的公比为q，则＝q3， 即q3＝－，解得q＝－. 所以an＝a5qn－5＝×＝. (2)设等比数列{an}的公比为q，根据题意，有 方程两边分别相除，得＝. 整理得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝. 当q＝2时，a1＝1， 由an＝a1qn－1＝64，得2n－1＝64，解得n＝7； 当q＝时，a1＝－16，由an＝a1qn－1＝64， 得－16×＝64，无解． 综上，n＝7. 【变式探究】 (综合变式)本例(1)若改为等比数列{an}中，已知a2＝18，a4＝8，求q与a5. 解：设等比数列{an}的公比为q，由已知得 解得或 所以当q＝时，a5＝a4q＝；当q＝－时，a5＝a4q＝－. (1)等比数列通项公式的求法 ①根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． ②充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． (2)等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，知任意三个就可以求出另一个．　 角度2　等比数列通项公式的应用 　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． 【解】　方法一：设这四个数依次为a－d，a，a＋d，. 由题意得 解得或 所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0，4，8，16； 当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 方法二：设这四个数依次为－a，，a，aq(q≠0)． 由题意得 解得或 当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16； 当a＝3，q＝时，所求的四个数为15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 灵活设项求解等比数列的技巧 (1)三个数成等比数列设为，a，aq. (2)四个符号相同的数成等比数列设为，，aq，aq3. (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.　 [跟踪训练1] (1)一个等比数列前三项的积为2，后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有(　　) A．13项 B．12项 C．11项 D．10项 解析：选B.设该等比数列的通项公式为an＝a1qn－1，则前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.　 由题意得aq3＝2，aq3n－6＝4，两式相乘得aq3(n－1)＝8，即aqn－1＝2. 又因为a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64， 所以aq＝64，即(aqn－1)n＝642， 所以2n＝642＝212，解得n＝12.故选B. (2)在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为(　　) A．－4或 B．4或 C．4 D. 解析：选B.设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为. 由2，a，成等比数列，得＝. 即a2－a－20＝0，解得a＝－4或a＝5. 当a＝－4时，插入的两个数的和为a＋＝4； 当a＝5时，插入的两个数的和为a＋＝. 综上，插入的两个数的和为4或. (3)在等比数列{an}中， ①若a1＝256，a9＝1，求q和a12； ②若a3a5＝18，a4a8＝72，求q. 解：①因为a9＝a1q8， 所以256q8＝1，解得q＝±. 当q＝时，a12＝a1q11＝256×＝； 当q＝－时，a12＝a1q11＝256×＝－. ②方法一：由题意得a1q2·a1q4＝18，即aq6＝18. 又a1q3·a1q7＝72，即aq10＝72. 两式相除得q4＝＝4，解得q＝±. 方法二：＝＝q4＝＝4， 解得q＝±. 　(对接教材例3)记数列{an}的前n项和为Sn，已知2an＋1＋n＝4Sn＋2p，a3＝7a1＝7. (1)求p，S4的值； (2)若bn＝an＋1－an，求证：数列{bn}是等比数列． 【解】　(1)由a3＝7a1＝7知，a3＝7，a1＝1. 当n＝1时，由2a2＋1＝4S1＋2p，得a2＝＋p. 当n＝2时，由2a3＋2＝4S2＋2p，得a3＝4＋3p＝7，所以p＝1. 当n＝3时，由2a4＋3＝4S3＋2，解得a4＝. 所以S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝31. (2)证明：由(1)可得an＋1＝2Sn－n＋1， 则an＋2＝2Sn＋1－(n＋1)＋1，两式作差得an＋2－an＋1＝2an＋1－，即an＋2＝3an＋1－(n∈N＋)． 又由(1)可知a2＝，a1＝1，则a2＝3a1－， 所以an＋1＝3an－对n∈N＋恒成立． 所以bn＋1＝an＋2－an＋1＝－＝3(an＋1－an)＝3bn， 而b1＝a2－a1＝≠0，则＝3， 故数列{bn}是首项为，公比为3的等比数列． 判断或证明等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足＝q(n∈N＋，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，n∈N＋，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列； (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列； (3)构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b，kb(k－1)≠0时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b 对照，求出x即可．　 [跟踪训练2] 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2. (1)求证：数列{an＋1}是等比数列； (2)求{an}的通项公式． 解：(1)证明：因为a1＝1，an＋1＝3an＋2，所以a1＋1＝2， ＝＝＝3， 所以数列{an＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)可知an＋1＝2×3n－1， 所以an＝2×3n－1－1. 1．(2024·河南焦作月考)已知数列{an}是等比数列，a2＝3，a5＝，则公比q＝(　　) A．－ B．－3 C．3 D. 解析：选D.数列{an}是等比数列，a2＝3，a5＝，则有a5＝a2q3，即＝3q3，得q＝.故选D. 2．(多选)(教材P25T3改编)已知等比数列{an}中，满足a1＝1，q＝2，则下列说法正确的是(　　) A．an＝2n－1 B．{a2n}是等比数列 C．a1＋a5＝a2＋a4 D．{an}为递增数列 解析：选ABD.对于A，an＝a1qn－1＝2n－1，故A正确； 对于B，a2n＝22n－1，故＝＝4，又a2＝2，故{a2n}为首项为2，公比为4的等比数列，故B正确； 对于C，由A可知，a1＝1，a2＝2，a4＝8，a5＝16，则a1＋a5≠a2＋a4，故C错误； 对于D，an＋1－an＝2n－2n－1＝2n－1＞0，故{an}为递增数列，故D正确．故选ABD. 3．已知数列{an}为等比数列，若a1＝，a4＝9，则a6＝________． 解析：因为{an}为等比数列，设公比为q，又a1＝，a4＝9，所以a4＝a1q3，解得q＝3，所以a6＝a1q5＝81. 答案：81 4．已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和为__________． 解析：依题意，设原来的三个数依次为，a，aq. 因为·a·aq＝512，所以a＝8. 又因为第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列， 所以＋(aq－2)＝2a， 所以2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝， 所以原来的三个数为4，8，16或16，8，4. 因为4＋8＋16＝16＋8＋4＝28， 所以原来的三个数的和为28. 答案：28 1．已学习：等比数列的概念及判断、等比数列的通项公式、灵活设项求解等比数列． 2．须贯通：等比数列的判断及通项公式的灵活应用． 3．应注意：(1)四个数成等比数列时设成，，aq，aq3，未考虑公比为负的情况； (2)忽视等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同而出错．　 学科网（北京）股份有限公司 $