2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用Word(北师大版)

本讲义聚焦等差数列的概念、通项公式及判定方法，通过冬奥会时间、鞋号等实例观察共同特征，抽象出从第2项起后项减前项为常数的定义，推导通项公式aₙ=a₁+(n-1)d，再学习定义法与通项公式法判定，构建完整学习支架。 以现实实例引入培养数学眼光，如用冬奥会时间预测问题激发兴趣，通过问题链引导抽象概念、推导公式渗透数学思维，符号语言表达定义与公式强化数学语言，即时练与跟踪训练辅助课中教学和课后查漏，提升学习效果。

§2　等差数列 2．1　等差数列的概念及其通项公式 第1课时　等差数列的概念及其通项公式 1.理解等差数列的概念．　2.通过学习等差数列的通项公式，掌握等差数列的通项公式及运用．　3.通过对等差数列判定方法的学习，掌握等差数列的判断与证明． 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题． (1)近5届冬奥会举办的时间：2006，2010，2014，2018，2022； (2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的中国鞋号按从大到小的顺序可排列为：45，44，43，42，41，40，…； (3)为增强学生体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10. 思考1　以上数列有什么共同特征？ 提示：对于(1)，我们发现2010－2006＝4，2014－2010＝4，2018－2014＝4，2022－2018＝4，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．对于(2)有44－45＝－1，43－44＝－1，….对于(3)，10－10＝0，有同样的取值规律． 思考2　第24届冬季奥林匹克运动会于2022年在北京和张家口举行，北京冬奥会创造了历史，为奥运留下了一套全新的标准，将开启全球冰雪运动新篇章．你能预测第26届冬奥会在哪一年举行吗？ 提示：2030年． 文字语言 对于一个数列，如果从第________项起，每一项与它的______________的差都是____________________，那么称这样的数列为等差数列，称这个________为等差数列的公差，通常用字母______表示 符号语言 an＋1－an＝d(n∈N＋)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N＋) [答案自填] 2　前一项　同一个常数 常数　d 【即时练】 1．(多选)下列数列是等差数列的是(　　) A．1，1，1，1，1 B．4，7，10，13，16 C.，，1，， D．－3，－2，－1，1，2 解析：选ABC.由等差数列的定义得，A项，d＝0，故是等差数列；B项，d＝3，故是等差数列；C项，d＝，故是等差数列；D项，每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列． 2．(多选)下列命题中正确的是(　　) A．数列6，4，2，0是公差为2的等差数列 B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列 C．数列{2n＋1}是等差数列 D．数列{an}中，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，则数列{an}是等差数列 解析：选BC.A中，数列是公差为－2的等差数列；B中，a－1－a＝a－2－(a－1)＝a－3－(a－2)＝－1，是公差为－1的等差数列；C中，an＋1－an＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2为常数，是等差数列；D中，a2－a1＝0，an－an－1＝2(n≥3)，数列{an}不是等差数列． 3．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{3an}是(　　) A．公差为d的等差数列 B．公差为3d的等差数列 C．非等差数列 D．以上说法均不正确 解析：选B.因为3an＋1－3an＝3(an＋1－an)＝3d(n∈N＋)，所以数列{3an}是公差为3d的等差数列．故选B. 对等差数列的理解 (1)等差数列的定义必须强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项． (2)差必须是同一个常数． (3)公差可以是正数、负数、零．　 若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝____________________． [答案自填] a1＋(n－1)d 角度1　等差数列的通项公式的求解 　(对接教材例3)(1)在等差数列{an}中，已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9； (2)在等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 【解】　(1)设等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d， 因为解得所以a9＝a1＋8d＝17. (2)设首项为a1，公差为d， 则an＝a1＋(n－1)d， 由已知得解得 所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，n∈N＋， 令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N＋， 所以153是所给数列的项，是第45项． 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的方程(组)求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．　 角度2　等差数列通项公式的应用 　(1)在等差数列{an}中，首项a1＝1，从第10项起开始比2大，求公差d的取值范围； (2)在等差数列{an}中，首项a1＝1，公差d≠0, 若7ak＝a1＋a2＋…＋a7，求k的值． 【解】　(1)an＝1＋(n－1)d， 由题意得即 解得<d≤. 所以公差d的取值范围为. (2)因为a1＋a2＋…＋a7＝7a1＋21d＝7＋21d， 而ak＝1＋(k－1)d，所以7ak＝7＋7(k－1)d. 所以7＋7(k－1)d＝7＋21d，即k＝4. 等差数列通项公式应用中的两种思想方法 (1)利用等差数列的通项公式求出首项a1及公差d，从而可求数列的其他项，注意方程思想． (2)利用等差数列的通项公式求出首项a1和公差d的关系式，从而可求指定的几项和，注意整体代入的思想．　 [跟踪训练1] (1)(多选)已知数列{an}是首项为1，公差为d(d∈N＋)的等差数列，若81是该数列中的项，则公差可能为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选ACD.因为数列{an}是首项为1，公差为d(d∈N＋)的等差数列，所以an＝1＋(n－1)d. 因为81是该数列中的项，所以81＝1＋(n－1)d，所以n＝＋1. 因为d，n∈N＋，所以d是80的因数，结合选项可知，d不可能是3.故选ACD. (2)在等差数列{an}中，a5＝－20，a20＝－35，则数列{an}的通项公式为________________． 解析：设{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋)， 由已知得解得 故数列{an}的通项公式为an＝－16＋(n－1)×(－1)＝－15－n，n∈N＋. 答案：an＝－15－n，n∈N＋ 　(对接教材例1)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.数列是否为等差数列？请说明理由． 【解】　数列是等差数列，理由如下： 因为a1＝2，an＋1＝， 所以＝＝＋，所以－＝，又＝， 即数列是首项为，公差为d＝的等差数列． 【变式探究】 (综合变式)将本例中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝”．试证明数列{bn}为等差数列． 证明：bn＋1－bn＝－＝－＝－＝＝. 又b1＝＝， 所以数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． 等差数列的判定方法 (1)定义法 ①条件：an＋1－an＝d(常数)(n∈N＋)或an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N＋)． ②结论：{an}是等差数列． ③应用范围：通常用于解答题． (2)通项公式法 ①条件：数列{an}的通项公式满足一次函数关系式an＝kn＋b(k，b是常数)． ②结论：{an}是等差数列． ③应用范围：通常用于选择、填空题．　 [跟踪训练2] 在数列{an}，{bn}中，已知a1＝，且2an＋1＝an＋()n，bn＝2nan，求证：数列{bn}为等差数列． 证明：方法一：由2an＋1＝an＋()n得an＋1＝an＋()n＋1，所以bn＋1－bn＝2n＋1an＋1－2nan＝2n＋1[an＋()n＋1]－2nan＝1，即bn＋1－bn＝1，又b1＝2a1＝1，所以数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列．　 方法二：2an＋1＝an＋()n的两边同时乘以2n得2n＋1an＋1＝2nan＋1，即bn＋1－bn＝1，又b1＝2a1＝1，所以数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列． 1．(多选)下列数列是等差数列的是(　　) A．1，4，7，10 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C．25，24，23，22 D．10，8，6，4，2 解析：选ABD.根据等差数列的定义可得，A中，满足4－1＝7－4＝10－7＝3(常数)，所以是等差数列；B中，满足lg 4－lg 2＝lg 8－lg 4＝lg 16－lg 8＝lg 2(常数)，所以是等差数列；C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足8－10＝6－8＝4－6＝2－4＝－2(常数)，所以是等差数列．故选ABD. 2．(教材P13T2改编)在等差数列{an}中，若a4＝6，a9＝1，则a1＝(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 解析：选B.设等差数列{an}的公差为d，因为a4＝a1＋3d＝6，a9＝a1＋8d＝1，解得d＝－1，a1＝9.故选B. 3．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，则a2 025＝________． 解析：由an＋1＝an＋1，得an＋1－an＝1，又a1＝1， 所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列， 所以等差数列{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×1＝n，故a2 025＝2 025. 答案：2 025 4．已知数列{an}是等差数列(n∈N＋)，若a1＝2，a5＝－14. (1)求{an}的通项公式； (2)证明{an＋1＋an}是等差数列． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，a1＝2，a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4d＝－14，解得d＝－4， 所以an＝2＋(－4)×(n－1)＝－4n＋6，n∈N＋. (2)证明：因为(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝an＋2－an＝[a1＋(n＋1)d]－[a1＋(n－1)d]＝2d＝2×(－4)＝－8，所以{an＋1＋an}是公差为－8的等差数列． 1．已学习：等差数列的概念，等差数列的通项公式，等差数列的判定与证明． 2．须贯通：(1)等差数列中an，a1，n，d四个元素可以知三求一，体现方程思想； (2)证明等差数列的方法有定义法，而判断等差数列的方法还有通项公式法． 3．应注意：在等差数列的定义中，应该把握好三个关键，即“第二项”“后项与前项的差”“同一个常数”．在证明中应注意验证“第一项”也满足条件．　 学科网（北京）股份有限公司 $