2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用Word(北师大版)

本讲义聚焦高中数学等差数列前n项和的性质及应用，系统梳理片段和性质、奇偶项性质、二次函数特征等核心内容，衔接等差数列基本公式，构建从性质理解到简化运算、最值求解、绝对值求和的完整学习支架。 通过“思考”环节引导学生用数学眼光观察前n项和的函数属性，例题多解法培养数学思维，规范步骤强化数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后跟踪训练助力学生查漏补缺，提升综合应用能力。

第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 1.会利用等差数列前n项和的性质简化求和运算．　2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值． 我们知道，当公差d≠0时，等差数列的前n项和公式是一个关于n的二次函数形式． 思考　等差数列的前n项和是否具有二次函数的性质呢？除此之外，它还有什么样的性质呢？ 提示：等差数列{an}的前n项和Sn＝na1＋d＝n2＋n，当d≠0时，前n项和是关于n的二次函数，具有二次函数的性质．此外，等差数列还具有“片段和”性质以及“奇偶项”性质等． 1．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d. 2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. 3．在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)． 4．项的个数的“奇偶”性质： (1)若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝. (2)若等差数列的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)． 5．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝，＝·. 　(1)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝(　　) A. B. C. D. (2)在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若－＝2，则S10＝(　　) A．10 B．100 C．110 D．120 (3)若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，则S110＝________． 【解析】　(1) 方法一：因为S19＝＝19a10， T19＝＝19b10， 所以＝＝＝.故选A. 方法二：因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，故设Sn＝kn(n＋3)，Tn＝kn(3n＋15)，k≠0，则a10＝S10－S9＝k×10×13－k×9×12＝22k，b10＝T10－T9＝k×10×45－k×9×42＝72k，所以＝＝.故选A. (2) 因为数列{an}是等差数列，则数列也为等差数列，设其公差为d′，则－＝2＝2d′，则d′＝1，又因为＝a1＝1， 所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以Sn＝n2， 所以S10＝100.故选B. (3)方法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 因为S10＝100，S100＝10， 所以 解得 所以S110＝110a1＋d ＝110×＋×＝－110. 方法二：因为S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，设公差为d，所以该数列的前10项和为10×100＋d＝S100＝10，解得d＝－22， 所以前11项和为S110＝11×100＋×(－22)＝－110. 方法三：由是等差数列，构造新的等差数列{bn}， 令b1＝＝10，b10＝＝， 则公差d＝(b10－b1)＝×＝－， 所以b11＝＝b10＋d＝＋＝－1， 所以S110＝－110. 【答案】　(1)A　(2)B　(3)－110 利用等差数列前n项和的性质简化计算的方法 (1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些． (2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到事半功倍的效果． (3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．　 [跟踪训练1] (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2，S8＝16，则S12＝(　　) A．30 B．26 C．56 D．42 解析：选D.由等差数列的性质可知S4，S8－S4，S12－S8，…构成等差数列， 即2，14，…，所以S12－S8＝26， 所以S12＝S8＋26＝42.故选D. (2)已知等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，且满足＝，则＝__________． 解析：运用等差数列的性质S2n－1＝(2n－1)an，可得S9＝9a5，即a5＝·S9，由等差数列性质可知＝·＝×＝. 答案： (3)一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是__________． 解析：设等差数列的公差为d，则由奇数项的和为，偶数项的和为15， 得5a1＋20d＝，5(a1＋d)＋20d＝15， 解得a1＝，d＝， 所以an＝＋(n－1)＝， 则a6＝＝3， 故这个数列的第6项是3. 答案：3 1．在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最______值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最______值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定． 2．Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最______值；当d<0时，Sn有最______值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值． [答案自填] 大　小　小　大 　已知在等差数列{an}中，a10＝18，前5项和S5＝－15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值． 【解】　(1)设等差数列{an}的公差为d， 由题意得 解得 所以an＝3n－12. (2)方法一：Sn＝＝(3n2－21n)＝(n－)2－， 所以当n＝3或n＝4时，前n项和取得最小值，最小值为S3＝S4＝－18. 方法二：设Sn最小，则 即解得3≤n≤4， 又n∈N＋，所以当n＝3或n＝4时，前n项和取得最小值，最小值为S3＝S4＝－18. 【变式探究】 1．(综合变式)将本例中的条件“S5＝－15”改为“S5＝125”，其他条件不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小值？若有，请求出这个最大值或最小值． 解：S5＝×5×(a1＋a5)＝×5×2a3＝5a3＝125，故a3＝25，a10－a3＝－7＝7d，即d＝－1<0，故Sn有最大值， an＝a3＋(n－3)d＝28－n. 设Sn最大，则 即 解得27≤n≤28，即S27和S28最大，又a1＝27，故S27＝S28＝＝378. 2．(综合变式)将本例变为：在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？ 解：方法一：由S3＝S11，得3a1＋d＝11a1＋d，即d＝－a1.从而Sn＝n2＋(a1－)n＝－(n－7)2＋a1，又a1>0，所以－<0.故当n＝7时，Sn最大． 方法二：由于Sn＝an2＋bn是关于n的二次函数，由S3＝S11，可知Sn＝an2＋bn的图象关于直线n＝＝7对称． 由方法一可知a＝－<0，故当n＝7时，Sn最大． 求等差数列前n项和Sn最值的方法 (1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找． (2)运用二次函数求最值，注意n∈N＋.　 [跟踪训练2] 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＋a5＝1，S15＝75，Tn为数列的前n项和． (1)求Sn； (2)求Tn及Tn的最小值． 解：(1)设数列{an}的公差为d. 依题意有解得 所以Sn＝na1＋d＝－2n＋＝(n∈N＋)． (2)由(1)知Sn＝，所以＝. 设bn＝＝，则bn＋1－bn＝－＝， 所以数列{bn}是公差为的等差数列，首项b1＝＝－2. 所以Tn＝－2n＋×＝. 方法一：即Tn＝－. 所以当n＝4或n＝5时，(Tn)min＝－5. 方法二：bn＝，由解得4≤n≤5. 故Tn的最小值为T4＝T5＝－5. 　在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Sn. 【解】　(1)根据an＋2－2an＋1＋an＝0，得到数列{an}是等差数列，所以d＝＝－2， 所以an＝－2n＋10. (2)令an≥0，解得n≤5，所以当n≥6时，an＜0， 所以当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝－n2＋9n， 当n≥6时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＋2(a1＋a2＋…＋a5)＝n2－9n＋40， 所以Sn＝n∈N＋. (1)一般地，数列{an}与数列{|an|}是两个不同的数列，只有当数列{an}的每一项都是非负数时，它们才表示同一个数列． (2)求{|an|}的前n项和，关键在于分清哪些项为正项，哪些项为负项，最终化为去掉绝对值后的数列求和． (3)数列{|an|}的前n项和求解的易错点在于没有分类讨论，最后结果未分段表示．　 [跟踪训练3] (1)(多选)(2024·广西梧州高二月考)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝－105，a2＋a4＋a6＝－99，则(　　) A．{an}的公差为2 B．{an}的公差为3 C．{|an|}的前50项和为900 D．{|an|}的前50项和为1 300 解析：选AD.因为a1＋a3＋a5＝－105，a2＋a4＋a6＝－99， 所以(a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5)＝3d＝6， 所以d＝2，所以A正确，B错误． 因为a1＋a3＋a5＝3a3＝－105，所以a3＝－35， 所以an＝a3＋(n－3)d＝－35＋2(n－3)＝2n－41， 当1≤n≤20时，an＜0，|an|＝－an；当n≥21时，an＞0，|an|＝an， |a1|＋|a2|＋…＋|a20|＋|a21|＋…＋|a50|＝－a1－a2－…－a20＋a21＋…＋a50＝(a1＋a2＋a3＋…＋a50)－2(a1＋a2＋a3＋…＋a20)＝－2×＝25×20－20×(－40)＝500＋800＝1 300，所以D正确，C错误．故选AD. (2)已知数列{an}的通项公式为an＝31－2n，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝________． 解析：因为an＝31－2n， 所以当1≤n≤15时，an＞0，当n≥16时，an＜0， 所以当1≤n≤15时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝＝－n2＋30n， 当n≥16时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a15－a16－a17－…－an＝2(a1＋a2＋…＋a15)－(a1＋a2＋…＋an)＝2×(－152＋30×15)－(－n2＋30n)＝n2－30n＋450.综上，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝n∈N＋. 答案：n∈N＋ 1．在等差数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则S9＝(　　) A．12 B．18 C．24 D．30 解析：选B.在等差数列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，所以S3＋S9－S6＝2(S6－S3)，即3＋S9－9＝2×(9－3)，所以S9＝18.故选B. 2．(多选)已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则使得为整数的k的取值可以是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：选ACD.由等差中项以及等差数列求和公式可得＝＝＝＝＝5＋∈Z，又因为k∈N＋，所以k∈{1，2，4}．故选ACD. 3．已知等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n＝________． 解析：因为等差数列{an}共有2n＋1项， 所有奇数项之和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝(n＋1)an＋1＝132， 所有偶数项之和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝＝nan＋1＝120，所以，＝＝＝＝，解得n＝10. 答案：10 4．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn，并求Sn的最小值． 解：(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2. 所以{an}的通项公式为an＝2n－9. (2)方法一：由(1)得an＝2n－9，则Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16. 所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16. 方法二：由(1)得an＝2n－9，则Sn＝n2－8n，令an＝2n－9≤0，可得n≤， 所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为S4＝42－8×4＝－16. 1．已学习：等差数列前n项和性质问题、最值问题以及含绝对值的等差数列的相关问题． 2．须贯通：(1)巧妙利用性质可简化运算，体现整体代换的思想； (2)通项法求前n项和的最值，需寻求项的正负临界值；二次函数法求最值，往往借助数列是特殊的函数，利用函数图象直观寻求最值点． 3．应注意：由于n取正整数，所以Sn不一定是在二次函数图象的顶点处取得最值，而是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值．　 学科网（北京）股份有限公司 $