2.2 第1课时 等差数列的前n项和-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用Word(北师大版)

本讲义聚焦等差数列核心知识点，系统梳理定义、通项公式、前n项和公式及性质，从基础计算到实际应用、综合题型，构建递进式学习支架。 资料融入朱世杰《四元玉鉴》问题等数学文化，培养数学眼光，通过选择、填空、解答多题型训练推理能力，强化数学思维，实际问题应用提升模型意识，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝9，S4＝40，则数列{an}的公差d＝(　　) A．3 B．2 C. D．4 解析：选B.由题意得， 解得故选B. 2．(2024·全国甲卷)设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：选B.由S5＝S10，得＝，所以5a3＝5(a3＋a8)，所以a8＝0，公差d＝＝－，所以a1＝a5－4d＝1－4×(－)＝，故选B. 3．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升．”其大意为“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升．”在该问题中，前7天共分发大米的升数为(　　) A．1 170 B．1 440 C．1 785 D．1 772 解析：选C.由题意得，每天分发的大米升数构成等差数列{an}，设公差为d，则d＝7×3＝21， 记第一天共分发大米a1＝64×3＝192(升)， 则前7天共分发大米7a1＋×d＝7a1＋21d＝7×192＋21×21＝1 785(升)．故选C. 4．(2024·河南南阳高二检测)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－5n，若10＜ak＜15，则k＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：选A.由题意得，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－5n－[2(n－1)2－5(n－1)]＝4n－7， 当n＝1时，a1＝S1＝－3，也适合上式，所以an＝4n－7(n∈N＋)．又由10＜4k－7＜15，得＜k＜，又k∈N＋，所以k＝5.故选A. 5．(多选)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝9，S3＝21，则(　　) A．数列的公差为－2 B．a2＝3 C．an＝11－2n D．数列{an}为递减数列 解析：选ACD.a1＝9，S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝21， 故a2＝7，d＝－2，an＝11－2n，故A，C正确，B错误； 因为d＝－2＜0，则数列{an}为递减数列，故D正确．故选ACD. 6．(多选)设{an}是公差为d的等差数列，Sn是其前n项的和，且a1＜0，S8＝S2 024，则下列结论正确的是(　　) A．d＞0 B．S2 032＝0 C．a1 016＝0 D．Sn≥S1 015 解析：选AB.根据题意S8＝S2 024可得a9＋a10＋a11＋…＋a2 024＝0， 由等差数列性质可知a1 016＋a1 017＝0⇒S2 032＝ ＝＝0. 因为a1＜0，所以d＞0，所以a1 016＜0，a1 017＞0，所以数列{an}是递增数列，{an}的前n项和有最小值为S1 016，所以Sn≥S1 016.所以A，B正确，C，D不正确．故选AB. 7．(2024·安徽亳州高二统考期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＋2a17＝42，a6＝4，则{an}的公差为________． 解析：设{an}的首项为a1，公差为d，因为S5＋2a17＝42，a6＝4，所以所以 答案：2 8．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－4n，则数列{an}的通项公式为________． 解析：在数列{an}中，Sn＝3n2－4n， 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－4×1＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－4n－[3(n－1)2－4(n－1)]＝6n－7， 因为6×1－7＝－1＝a1，所以an＝6n－7(n∈N＋)． 答案：an＝6n－7 9．已知等差数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝2n－1，bn＝3n－2，将数列{an}与{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn}，则{cn}的前n项和Sn＝________． 解析：因为数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，数列{bn}是以1首项，3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项从小到大排列所构成的新数列{cn}是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{cn}的前n项和Sn＝n·1＋·6＝3n2－2n. 答案：3n2－2n 10．在等差数列{an}中． (1)若a4＋a17＝20，求S20； (2)若共有n项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n项和Sn＝286，求n. 解：(1)方法一：由等差数列的性质，知a1＋a20＝a4＋a17＝20，所以S20＝＝10×20＝200. 方法二：设等差数列{an}的公差为d， 则a4＋a17＝2a1＋19d＝20， 所以S20＝20a1＋d＝10(2a1＋19d)＝10×20＝200. (2)由题意，知a1＋a2＋a3＋a4＝21，an＋an－1＋an－2＋an－3＝67，由等差数列的性质，得a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3， 所以4(a1＋an)＝21＋67＝88，所以a1＋an＝22. 又Sn＝，所以286＝，所以n＝26. 11．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，数列{log2an}的前n项和为Tn，则T20＝(　　) A．192 B．190 C．180 D．182 解析：选B.当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－2n－1＝2n－1， 经检验a1＝1满足上式，所以an＝2n－1，n∈N＋. 设bn＝log2an，则bn＝n－1，n∈N＋， 所以T20＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b20＝0＋1＋2＋3＋…＋19＝＝190.故选B. 12．(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列选项正确的是(　　) A．an＝－ B．an＝ C．数列为等差数列 D.＋＋…＋＝－5 050 解析：选BCD.Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1， 则Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，整理得－＝－1(常数)，又＝－1， 所以数列是以－1为首项，－1为公差的等差数列，故C正确； 所以＝－1－(n－1)＝－n，故Sn＝－. 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，a1＝－1 不适合上式， 故an＝故B正确，A错误； 所以＋＋＋…＋＝－(1＋2＋3＋…＋100)＝－5 050，故D正确．故选BCD. 13．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1，a2，a3成等差数列，若2Sn＋1＋1＝Sn＋Sn＋2，则使得 Sk＝0，ak＋1＝4同时成立的k的值为________． 解析：因为2Sn＋1＋1＝Sn＋Sn＋2，所以Sn＋1－Sn＋1＝Sn＋2－Sn＋1，即an＋2－an＋1＝1， 又a1，a2，a3成等差数列，即a2－a1＝a3－a2，故数列{an}是公差为1的等差数列， 则 解得 答案：7 14．已知等差数列{an}的公差d＞0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值． 解：(1)因为S4＝28，所以＝28，即a1＋a4＝14，所以a2＋a3＝14，又a2a3＝45，公差d＞0，所以a2＜a3，所以a2＝5，a3＝9， 所以解得 所以an＝4n－3，n∈N＋. (2)由(1)知Sn＝2n2－n， 所以bn＝＝， 所以b1＝，b2＝，b3＝. 又数列{bn}也是等差数列，所以b1＋b3＝2b2， 即2×＝＋，解得c＝－(c＝0舍去)． 当c＝－时，bn＝＝2n， 所以bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2，符合题意． 故c的值为－. 15．(多选)已知等差数列{an}的公差d>0，其前n项和为Sn，则下列命题正确的是(　　) A．数列{an}为递增数列 B．数列是递增的等差数列 C．若an＝n，且为等差数列，则c＝0 D．若a7＝0，则方程Sn＝0有唯一的根n＝13 解析：选ABD.因为数列{an}是公差d>0的等差数列，所以an＋1－an＝d>0，所以数列{an}为递增数列，故A正确； 等差数列的前n项和为Sn＝n2＋(a1－)n，所以＝n＋a1－，所以数列是递增的等差数列，故B正确； 若an＝n，则Sn＝n(n＋1)，所以＝， 因为为等差数列，所以＝＋，即＝＋，解得c＝0或c＝1，经检验，均符合题意，故C错误； 若a7＝0，则 S13＝＝13a7＝0，由对称性得方程Sn＝0有唯一的根n＝13，故D正确．故选ABD. 16．(2024·河南驻马店期中)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且S2＝2，S4＝－20. (1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn； (2)是否存在n(n∈N＋)，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d. 因为S2＝2，S4＝－20， 所以解得 所以an＝4－6(n－1)＝10－6n， Sn＝＝7n－3n2. (2)假设存在n(n∈N＋)，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列， 则2(Sn＋2＋2n)＝Sn＋Sn＋3， 即2[7(n＋2)－3(n＋2)2＋2n]＝7n－3n2＋7(n＋3)－3(n＋3)2，解得n＝5. 所以存在n＝5，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列． 学科网（北京）股份有限公司 $