3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用Word(北师大版)

本讲义聚焦高中数学等比数列前n项和的性质及应用，通过类比等差数列性质，系统梳理函数特性（q≠1时为指数型函数，q=1时为正比例函数）、片段和性质（Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列）、奇偶项性质（前2n项S偶/S奇=q，前2n+1项S奇-S偶的表达式）。 资料以类比迁移构建知识联系，通过例题变式培养推理能力，用函数形式精准表达规律。如判断Sn=3^n-2是否为等比数列，利用片段和求S6等实例，课中辅助教师教学，课后助力学生巩固，有效提升数学思维与应用意识。

第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 1.探索归纳等比数列前n项和的性质．　2.熟练利用等比数列前n项和的性质求解相关问题． 同学们，前面我们就用等差数列中的性质，类比出了等比数列的性质． 思考　今天我们再继续通过类比，看我们能得出等比数列前n项和的哪些性质． 提示：由等差数列前n项和公式的“函数特性、片段和性质、奇偶项性质”类比等比数列前n项和公式的“函数特性、片段和性质、奇偶项性质”． 在等比数列前n项和公式中，当公比q≠1且q≠0时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)，即Sn是n的指数型函数． 当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数． 　已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列． 【解】　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2×3n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式． 所以an＝ 方法一：由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列． 方法二：由等比数列{an}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，1≠2，故{an}不是等比数列． 【变式探究】 1．(综合变式)若将本题条件改为“若数列{an}成等比数列且其前n项和为Sn＝5·3n＋1＋2A”，则实数A＝________． 解析：因为Sn＝5·3n＋1＋2A＝15·3n＋2A，且{an}成等比数列，所以15＋2A＝0，所以A＝－. 答案：－ 2．(综合变式)若将本题条件改为“已知数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝a·()n－1＋5”，则实数a＝________． 解析：由Sn＝a·()n－1＋5，可得Sn＝3a·()n＋5，依题意有3a＋5＝0，故a＝－. 答案：－ (1)已知Sn，通过an＝求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1. (2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．　 [跟踪训练1] (1)(多选)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1＋m(m∈R)，则(　　) A．m＝－1 B．等比数列{an}的公比为2 C．an＝2n D．a＋a＋…＋a＝ 解析：选BC.因为等比数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋1＋m，当n≥2时，Sn－1＝2n＋m，则an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n，因此，等比数列{an}的公比为2，当n＝1时，a1＝S1＝4＋m，显然4＋m＝2，则m＝－2，an＝2n，故A错误，B，C正确；而＝＝4，于是得数列{a}是等比数列，其首项为4，公比为4，则有a＋a＋…＋a＝，故D错误．故选BC. (2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数y＝3x＋1＋m的图象上，则m＝________． 解析：因为点(n，Sn)在函数y＝3x＋1＋m的图象上，所以Sn＝3n＋1＋m＝3×3n＋m. 由Sn＝Aqn－A(A≠0)，比较可得m＝－3. 答案：－3 1．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋__________(n，m∈N＋)． 2．若数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和(n为偶数且q＝－1除外)，则Sn，S2n－Sn，____________仍构成等比数列． [答案自填] qnSm　S3n－S2n 　(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝－1，S4＝－5，则S6＝(　　) A．－9 B．－21 C．－25 D．－63 (2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝(　　) A．2 B. C. D．3 【解析】　(1)因为S2＝－1≠0，所以q≠－1，由等比数列前n项和的性质得S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即－1×(S6＋5)＝(－5＋1)2，所以S6＝－21.故选B. (2)由等比数列的性质， 得S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列， 由S6＝3S3， 得S6－S3＝2S3，所以S9－S6＝4S3，即S9＝7S3， 所以＝. 【答案】　(1)B　(2)B 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算． (2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．　 [跟踪训练2] 已知在等比数列{an}中，若前10项的和是10，前20项的和是30，则前30项的和是________． 解析：方法一：因为数列{an}是等比数列， 所以S10，S20－S10，S30－S20成等比数列， 所以(S20－S10)2＝S10(S30－S20)， 即(30－10)2＝10×(S30－30)， 即S30－30＝40， 解得S30＝70. 方法二：设等比数列{an}的公比为q，由等比数列前n项和的性质Sm＋n＝Sn＋qnSm(m，n∈N＋)， 得S20＝S10＋q10S10， 即30＝10＋10q10， 所以q10＝2， 所以S30＝S20＋q20S10＝30＋40＝70. 答案：70 若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： 1．在其前2n项中，＝q； 2．在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)． 　(1)若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为________，项数为________． (2)已知一个项数为偶数的等比数列{an}，各项和为偶数项和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an＝________________． 【解析】　(1)设等比数列{an}共有2n＋1项，公比为q，由性质S奇＝a1＋qS偶可知341＝1＋170q，所以q＝2， S2n＋1＝＝341＋170＝511，解得n＝4，即这个等比数列的项数为9. (2)设数列{an}的首项为a1，公比为q， 所有奇数项和、偶数项和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶． 因为数列{an}的项数为偶数， 所以有q＝＝. 又因为a1·a1q·a1q2＝64， 所以a·q3＝64， 即a1＝12， 故所求通项公式为an＝12×，n∈N＋. 【答案】　(1)2　9　(2)12×，n∈N＋ 处理有关等比数列前n项和问题的常用方法 (1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． (2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质．　 [跟踪训练3] 已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项和比偶数项和大80，则公比q＝__________． 解析：由题意，得 解得 所以q＝＝＝2. 答案：2 1．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，则r的值是(　　) A．1 B．0 C．2 D．－1 解析：选D.显然等比数列{an}的公比不为1，则Sn＝＝－qn＋，结合前n项和公式的特点可得r＝－1.故选D. 2．(教材P33T2改编)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12＝(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 解析：选C.由S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，即1，2，a9＋a10＋a11＋a12成等比数列．所以a9＋a10＋a11＋a12＝4.故选C. 3．若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为________． 解析：由＝2，S偶－S奇＝100可得S偶＝200，S奇＝100，故S2n＝S偶＋S奇＝300. 答案：300 4．已知正项等比数列{an}共有2n项，它的所有项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________． 解析：设等比数列{an}的奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶， 则S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝q(a1＋a3＋…＋a2n－1)＝qS奇， 由S2n＝3S奇，得(1＋q)S奇＝3S奇，因为an>0，所以S奇>0，所以1＋q＝3，解得q＝2. 答案：2 1．已学习：等比数列前n项和公式的函数性质、等比数列前n项和的“片段和”性质、等比数列前n项和的“奇偶项”性质． 2．须贯通：等比数列前n项和性质的灵活应用． 3．应注意：应用片段和性质时易忽略其成立的条件．　 学科网（北京）股份有限公司 $