1.2 数列的函数特性-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用Word(北师大版)

本高中数学讲义聚焦数列的函数特性，从函数观点出发，将数列定义为定义域为正整数集（或其子集）的特殊函数，系统梳理数列的图象表示（孤立点）、增减性判断（作差法、作商法）及最大（小）项求法，构建“函数概念—表示方法—性质应用”的学习支架。 资料以“函数视角”统领内容，通过作图思考、即时练等环节引导学生用数学眼光观察数列图象特征，借助作差法推理数列增减性培养数学思维，结合参数问题强化数学语言表达。课中助力教师突破重难点，课后通过分层训练帮助学生巩固知识，弥补薄弱环节。

1．2　数列的函数特性 1.通过数列表示法的学习，了解数列的几种简单的表示方法，加强定义理解．　2.通过数列分类的学习，了解递增数列、递减数列、常数列的概念．　3.通过数列增减性的学习，掌握判断数列增减性的方法，数列最大(小)项的求法． 从函数的观点看，数列的项an是序号n的函数． 即数列可以看成以正整数集N＋(或其子集{1，2，…，n})为定义域的函数，当自变量n按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值． 反过来，对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i＝1，2，3，…，n，…)有意义，那么我们可以得到一个数列， f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…. 思考　作出下列函数的图象： ①3，4，5，6，7，8，9； ②1，，，，…. 提示：①在平面直角坐标系中描出各点： (1，3)，(2，4)，(3，5)，(4，6)，(5，7)，(6，8)，(7，9)． ②在平面直角坐标系中描出各点： (1，1)，，，，…. 可以把一个数列视作定义在__________(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为____________，n＝1，2，3，…这个图象也称为数列的图象． [答案自填] 正整数集　(n，an) 【即时练】 写出下列数列的前5项，并作出它们的图象： (1)按从小到大的顺序排列的所有素数构成的数列； (2)an＝； (3)an＝(－1)n＋2. 解：(1)数列的前5项为2，3，5，7，11，其图象如图1所示． 图1 (2)数列的前5项为2，，，，，其图象如图2所示． 图2 (3)数列的前5项为1，3，1，3，1，其图象如图3所示． 图3 数列是一个特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图象，因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的．　 递增数列 数列{an}从第2项起，每一项都大于它的前一项，即____________ 递减数列 数列{an}从第2项起，每一项都小于它的前一项，即____________ 常数列 数列{an}的各项都相等， 即__________ [答案自填] an＋1>an　an＋1<an　an＋1＝an 角度1　判断数列的增减性 　(对接教材例3)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，试判断该数列的增减性，并说明理由． 【解】　数列{an}为递减数列，理由如下： an＋1－an＝－ ＝ ＝ ＝. 因为(n＋1)2＋1>0，n2＋1>0， 所以只需讨论函数f(n)＝－＋的符号， 因为函数f(n)＝－＋在区间[1，＋∞)上单调递减， 所以当n≥1时，f(n)≤f(1)＝－1<0. 所以an＋1－an<0，即an＋1<an， 所以数列{an}是递减数列． 应用函数单调性判断数列增减性的方法 (1)作差法：将an＋1－an与0进行比较． (2)作商法：将与1进行比较(在作商时，要注意an＜0还是an＞0)．　 角度2　已知数列的增减性求参数 　(1)(2024·安徽宿州高二期中)已知{an}的通项公式为an＝－n2＋λn(λ∈R)，若数列{an}为递减数列，则实数λ的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，3) D．(－3，＋∞) (2)已知函数f(x)＝若数列{an}满足an＝f(n)，n∈N＋，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，3) B．(，3) C．(2，3) D．(1，2) 【解析】　(1)an－an＋1＝－n2＋λn－[－(n＋1)2＋λ(n＋1)]＝2n＋1－λ， 由数列{an}为递减数列，则2n＋1－λ＞0， 即λ＜2n＋1恒成立，即λ＜(2n＋1)min. 当n＝1时，2n＋1的最小值为3，即λ＜3. 故选C. (2)由题意知an＝ 因为数列{an}是递增数列， 所以 解得2<a<3，故实数a的取值范围是(2，3)． 【答案】　(1)C　(2)C 利用数列的增减性求参数的取值范围的方法 解决此类问题常利用以下等价关系：数列{an}为递增数列⇔an＋1＞an(n∈N＋)；数列{an}为递减数列⇔an＋1＜an(n∈N＋)．进而转化为不等式成立(恒成立)问题，通过分离变量转化为求代数式的最值来解决，或由数列的函数特性，通过构建变量的不等关系，解不等式(组)来确定变量的取值范围．　 [跟踪训练1] (1)已知数列{an}的通项公式为an＝，则数列{an}为(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．以上选项都不正确 解析：选B.因为an＝＝2＋，所以当n≥2时，an－an－1＝2＋－2－＝－＝<0，所以an<an－1，所以数列{an}为递减数列．故选B. (2)已知数列{an}的通项公式为an＝n＋，若数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，2) D．[1，＋∞) 解析：选C.因为数列{an}是递增数列，所以an＋1＞an， 所以n＋1＋＞n＋，所以a＜n2＋n. 又n∈N＋，所以a＜12＋1＝2. 　(1)在数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N＋)，则此数列最大项的值是(　　) A．30 B. C．25 D．36 (2)已知数列{an}的通项公式为an＝，则数列{an}中的最大项是第________项． 【解析】　(1) 因为an＝－n2＋11n＝－＋(n∈N＋)，故当n＝5或n＝6时，an取得最大值，最大值为30.故选A. (2)因为an＝， 所以an＋1－an＝－＝， 所以当n＜8时，an＋1＞an， 当n＝8时，an＋1＝an，即a9＝a8； 当n＞8时，an＋1＜an. 所以数列{an}有最大项，最大项为第8项和第9项． 【答案】　(1)A　(2)8和9 求数列{an}的最大(小)项的方法 (1)利用数列的增减性，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项． (2)利用“两边夹”的思想，若设an为数列{an}的最大项，则有(n≥2，n∈N＋)；若设an为数列{an}的最小项，则有(n≥2，n∈N＋)，解不等式组即可．　 [跟踪训练2] 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)当n为何值时，an有最小值？并求出最小值． 解：(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4. 因为n∈N＋，所以n＝2，3， 所以数列中有两项是负数． (2)方法一：因为an＝n2－5n＋4＝－，可知对称轴方程为n＝＝2.5. 又因为n∈N＋，故当n＝2或n＝3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2. 方法二：设第n项最小， 由n≥2且n∈N＋， 得 解得2≤n≤3，所以n＝2，3， 所以当n＝2或n＝3时，an有最小值， 所以a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2. 1．(多选)(教材P7练习T2改编)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　) A．1，，，，…，，… B．sin π，sin π，sin π，…，sin π，… C．－1，－，－，－，…，－，… D．1，，，…，，… 解析：选CD.选项C，D既是无穷数列又是递增数列，而选项A是递减数列，选项B不是递增数列． 2．(多选)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1，设数列{an}的通项公式为an＝f(n)(n∈N＋)，则此数列(　　) A．图象是二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象 B．是递减数列 C．从第3项往后各项均为负数 D．有两项为1 解析：选BC.由题意得an＝－n2＋2n＋1，由数列与函数的关系可知，数列{an}的图象是分布在二次函数y＝－x2＋2x＋1图象上的离散的点，如图所示，故A错误；从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，只有第2项为1，从第3项往后各项均为负数，所以B，C正确，D错误．故选BC. 3．已知数列2a＋1，a－2，3a－2为递减数列，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意可知2a＋1＞a－2＞3a－2，解得－3＜a＜0，故实数a的取值范围是(－3，0)． 答案：(－3，0) 4．(2024·陕西西安模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋9n＋3. (1)试确定－2和3是否为数列{an}中的项．若是，是第几项；若不是，请说明理由； (2)试求数列{an}的最大项． 解：(1)令－2n2＋9n＋3＝－2， 即2n2－9n－5＝0， 解得n＝5或n＝－(舍去)． 令－2n2＋9n＋3＝3， 即2n2－9n＝0， 解得n＝0(舍去)或n＝(舍去)． 故－2为数列{an}中的项，且为第5项，3不是数列{an}中的项． (2)方法一：an＝－2n2＋9n＋3可看作关于n的二次函数，由二次函数的性质可得函数y＝－2x2＋9x＋3图象的对称轴为直线x＝，又n∈N＋，所以当n＝2时，an取到最大值13，即最大项为a2＝13. 方法二：假设an最大，则(n≥2)，即 解得≤n≤， 又n∈N＋，所以当n＝2时，an取到最大值13，即最大项为a2＝13. 1．已学习：数列的表示方法、数列的增减性的判断及应用、求数列的最大(小)项． 2．须贯通：数列增减性的判断以及求数列的最大(小)项． 3．应注意：求数列的最大(小)项时，忽略数列是定义域为N＋(或其子集)的特殊函数而出错．　 学科网（北京）股份有限公司 $