第1章 数列 章末复习提升-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用Word(北师大版)

章末复习提升 要点一　等差与等比数列的基本运算 等差数列与等比数列中基本量的运算是高考的热点，常考题型：一是利用等差数列与等比数列的通项公式、前n项和公式进行相关运算(知三求二)；二是利用等差数列与等比数列的通项公式、前n项和公式解决相关问题． 训练1　已知数列{an}是等差数列，a1＝2，其前n项和为Sn，公差d≠0.若a5是a3和a8的等比中项，则S18＝(　　) A．398 B．388 C．189 D．199 解析：选C.由题意可得a＝a3a8， 即(2＋4d)2＝(2＋2d)·(2＋7d)，整理得d2－d＝0， 因为d≠0，所以d＝1，所以S18＝18a1＋d＝189.故选C. 训练2　已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14 B．12 C．6 D．3 解析：选D.设{an}的公比为q， 则 得＝＝q(1－q)＝，即4q2－4q＋1＝0，即(2q－1)2＝0，所以q＝，代入①得a1＝96，故a6＝a1q5＝96×()5＝3.故选D. 训练3　已知正项等比数列{an}的首项为1，且4a5，a3，2a4成等差数列，则{an}的前6项和为(　　) A．31 B. C. D．63 解析：选C.设等比数列{an}的公比为q.因为4a5，a3，2a4成等差数列， 所以2a3＝4a5＋2a4， 所以2a1q2＝4a1q4＋2a1q3，即2q2＋q－1＝0，解得q＝或q＝－1， 又因为an＞0，所以q＝，所以S6＝＝＝.故选C. 要点二　等差、等比数列的判定 等差数列、等比数列的判定或证明是高考的重点，常考题型：一是根据an与an＋1的关系式，通过构造新数列，证明新数列是等差数列或等比数列并求其通项公式；二是利用Sn与an的关系，转化为an与an＋1的关系式，再判定或证明数列{an}是等差数列或等比数列并求其通项公式． 训练4　(2023·新课标Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析：选C.若{an}为等差数列，设其公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，所以Sn＝na1＋d，所以＝a1＋(n－1)·，所以－＝a1＋(n＋1－1)·－＝，为常数，所以为等差数列，即甲⇒乙；若为等差数列，设其公差为t，则＝＋(n－1)t＝a1＋(n－1)t，所以Sn＝na1＋n(n－1)t，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝na1＋n(n－1)t－[(n－1)a1＋(n－1)(n－2)t]＝a1＋2(n－1)t，当n＝1时，S1＝a1也满足上式，所以an＝a1＋2(n－1)t(n∈N＋)，所以an＋1－an＝a1＋2(n＋1－1)t－[a1＋2(n－1)t]＝2t，为常数，所以{an}为等差数列，即甲⇐乙．所以甲是乙的充要条件，故选C. 训练5　设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，Sn－an＋1＋2＝0. (1)数列{an}是否是等比数列？若是，求出通项公式，若不是，请说明理由； (2)设bn＝log2an，数列的前n项和为Tn，证明：Tn<. 解：(1)由题设an＝Sn－Sn－1＝(an＋1－2)－(an－2)＝an＋1－an，即an＋1＝2an，且n≥2， 又n＝1时，S1－a2＋2＝a1－a2＋2＝0， 可得a2＝4＝2a1， 综上，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，通项公式为an＝2n. (2)证明：由题设bn＝log2an＝n，故＝＝，所以Tn＝ (1－＋－＋－＋…＋－＋－) ＝ ＝－ ，又＋>0， 所以Tn<得证． 训练6　已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4. (1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； (2)求{an}和{bn}的通项公式． 解：(1)证明：由题意知4an＋1＝3an－bn＋4，① 4bn＋1＝3bn－an－4，② ①＋②得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)， 即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)． 又因为a1＋b1＝1，所以数列{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列． ①－②得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8， 即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. 又因为a1－b1＝1，所以数列{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1， 所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－， bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋. 要点三　数列求和 求数列的前n项和是高考的重点，一是直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求解；二是通过分组求和、裂项相消、错位相减、并项求和等方法求解. 训练7　(2024·广西北海高二月考)已知等差数列{an}和正项等比数列{bn}满足：a1＝b1＝3，3a4＝b3，a10＝b2＋12. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)已知数列{cn}满足cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Tn. 解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，由3a4＝b3可得3(3＋3d)＝3q2，即3＋3d＝q2，① 由a10＝b2＋12可得3＋9d＝3q＋12，即3d＝q＋3，② 联立①②解得或 因bn>0，故d＝2，q＝3， 于是an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1，bn＝3×3n－1＝3n. (2)由(1)得an＝2n＋1，bn＝3n，则cn＝an＋bn＝2n＋1＋3n， 故Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(3＋5＋7＋…＋2n＋1)＋(3＋32＋33＋…＋3n) ＝＋＝n2＋2n＋－. 训练8　设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3＝a7，a8－2a3＝3. (1)求an； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)设数列{an}的公差为d. 由题意得 解得a1＝3，d＝2， 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1. (2)由(1)得Sn＝na1＋d＝n(n＋2)， 所以bn＝＝(－)． 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝ ＝(1＋－－) ＝－(＋)． 训练9　(2023·新课标Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d＞1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和． (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 解：(1)因为3a2＝3a1＋a3， 所以3(a2－a1)＝a1＋2d， 所以3d＝a1＋2d，所以a1＝d， 所以an＝nd. 因为bn＝＝＝， 所以S3＝＝＝6d，T3＝b1＋b2＋b3＝＋＋＝. 因为S3＋T3＝21， 所以6d＋＝21，解得d＝3或d＝， 因为d>1，所以d＝3. 所以{an}的通项公式为an＝3n. (2)因为bn＝，且{bn}为等差数列， 所以2b2＝b1＋b3，即2×＝＋， 所以－＝，所以a－3a1d＋2d2＝0， 解得a1＝d或a1＝2d. ①当a1＝d时，an＝nd，所以bn＝＝＝， S99＝＝＝99×50d， T99＝＝＝. 因为S99－T99＝99， 所以99×50d－＝99， 即50d2－d－51＝0， 解得d＝或d＝－1(舍去)． ②当a1＝2d时，an＝(n＋1)d，所以bn＝＝＝， S99＝＝＝99×51d， T99＝＝＝. 因为S99－T99＝99， 所以99×51d－＝99， 即51d2－d－50＝0， 解得d＝－(舍去)或d＝1(舍去)． 综上，d＝. 要点四　数列在实际问题中的应用 训练10　中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言．”题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的依次多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵有(　　) A．174斤 B．184斤 C．191斤 D．201斤 解析：选B.设8个儿子按照年龄从大到小的顺序依次分绵斤数构成数列{an}，由条件知数列{an}是等差数列，且S8＝996，公差d＝17. 方法一：S8＝na1＋d＝8a1＋×17＝996，可得a1＝65，故a8＝a1＋7d＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到184斤绵． 方法二：S8＝＝4(a8－7d＋a8)＝4(2a8－7×17)＝996，解得a8＝184，即第8个儿子分到184斤绵． 训练11　张敏同学利用暑假时间到一家手机卖场勤工俭学，该手机卖场向她提供了三种付酬方案： 方案一：每天支付50元，没有奖金； 方案二：每天底薪32元，另有奖金，第一天没有奖金，第二天奖金2元，以后每天支付的薪酬中奖金比前一天的奖金多2元； 方案三：每天无底薪，只有奖金，第一天奖金0.4元，以后每天支付的奖金是前一天奖金的1.5倍． (1)工作n(n∈[1，61]，n∈N＋)天，记三种方案所得钱数依次为An，Bn，Cn，写出An，Bn，Cn关于n的表达式； (2)若张敏同学决定从前两种方案中选择一种，则她选择哪种方案所得薪酬更高？ (3)若张敏同学在暑假期间共工作20天，则她选择哪种方案更合适？ 参考数据：()20≈3 325.26. 解：(1)设三种方案每天所得钱数依次构成数列{an}，{bn}，{cn}，则它们的前n项和分别为An，Bn，Cn. 易知数列{an}为常数列，且an＝50，所以An＝50n，n∈[1，61]，n∈N＋； 数列{bn}是以32为首项，2为公差的等差数列， 所以bn＝2n＋30，Bn＝32n＋×2＝n2＋31n，n∈[1，61]，n∈N＋； 数列{cn}是以为首项，为公比的等比数列， 所以cn＝×()n，Cn＝＝ ，n∈[1，61]，n∈N＋. (2)令An＝Bn，得50n＝n2＋31n，解得n＝0(舍去)或n＝19. 在同一平面直角坐标系中画出函数y＝50x与y＝x2＋31x的图象(图略)． 观察图象可知，当0＜x＜19时，50x＞x2＋31x； 当x＞19时，50x＜x2＋31x， 即当1≤n<19，n∈N＋时，An>Bn； 当n＝19时，An＝Bn； 当19＜n≤61，n∈N＋时，An＜Bn， 所以当她工作的天数小于19时，选择方案一所得薪酬更高； 当她恰好工作19天时，两种方案所得薪酬相等； 当她工作的天数大于19时，选择方案二所得薪酬更高． (3)由(1)知，当n＝20时，A20＝50×20＝1 000， B20＝202＋31×20＝1 020，C20＝×≈2 659.408≈2 659，则A20＜B20＜C20，因此若张敏同学在暑假期间共工作20天，则她选择方案三更合适． 学科网（北京）股份有限公司 $