1.2 数列的函数特性-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用Word(北师大版)

本讲义聚焦数列性质核心知识点，系统梳理数列的单调性（递增、递减判断）、周期性、最大项与最小项确定及差递减数列等概念，构建从基础定义到综合应用的学习支架。 资料通过周期数列、基本不等式求最值、差递减数列新定义等多样化题型，培养学生用数学眼光观察规律、用数学思维推理分析，课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

1．已知在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是(　　) A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，0] 解析：选C.由题知，an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0，所以实数k的取值范围为(－∞，0)． 2．已知函数f(x)定义如表，数列{xn}满足x1＝2，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 025＝(　　) x 1 2 3 4 5 f(x) 5 1 3 4 2 A.1 B．2 C．4 D．5 解析：选D.根据定义，可得x2＝f(x1)＝1，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝2，x5＝f(x4)＝1，x6＝f(x5)＝5，…，所以数列{xn}的周期为3，故x2 025＝x3＝5. 3．已知数列{an}的通项公式为an＝，其最大项和最小项的值分别为(　　) A．1，－ B．0，－ C.，－ D．1，－ 解析：选A.因为n∈N＋， 所以当1≤n≤3时， an＝＜0，且单调递减； 当n≥4时，an＝＞0，且单调递减， 所以最小项为a3＝＝－，最大项为a4＝＝1.故选A. 4．(多选)下列数列{an}的通项公式中，是递增数列的是(　　) A．an＝－3n－1 B．an＝5n－3 C．an＝7＋2n D．an＝(－1)nn2 解析：选BC.对于A，因为an＋1－an＝－3(n＋1)－1＋3n＋1＝－3＜0，所以数列{an}为递减数列，A错误； 对于B，因为an＋1－an＝5(n＋1)－3－5n＋3＝5＞0，所以数列{an}为递增数列，B正确； 对于C，因为an＋1－an＝7＋2n＋1－7－2n＝2n＞0，所以数列{an}为递增数列，C正确； 对于D，an＋1－an＝(－1)n＋1(n＋1)2－(－1)nn2＝(－1)n＋1(2n2＋2n＋1)， 因为2n2＋2n＋1＝2＋＞0，所以当n为偶数时，an＋1－an＜0， 所以数列{an}不是递增数列，D错误． 故选BC. 5．(多选)(2024·陕西西安月考)已知数列{an}的通项公式an＝n＋，若an≥ak对n∈N＋恒成立，则满足条件的正整数k可以为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：选BC.an＝n＋≥2＝4，当且仅当n2＝56，即n＝2(负值已舍去)时取等号， 因为n∈N＋，所以当n＝7时，a7＝7＋＝15，当n＝8时，a8＝8＋＝15， 所以an＝n＋的最小值为a7和a8， 因为an≥ak对n∈N＋恒成立，所以k＝7或k＝8.故选BC. 6．(多选)(2024·江西南昌高二期中)已知数列{an}满足an＝(n∈N＋)，则(　　) A．数列{an}的最大项为a6 B．数列{an}的最大项为a5 C．数列{an}的最小项为a5 D．数列{an}的最小项为a4 解析：选BD.因为an＝(n∈N＋)，所以an＋1－an＝－＝＝， 由an＋1－an＞0，得9＜2n＜18，且易知，当n≤4时，an＜0，当n≥5时，an＞0， 所以0＞－＝a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞…>an>0， 所以数列{an}的最大项为a5，最小项为a4， 故选BD. 7．若数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，则这个数列中的最大项是第________项． 解析：an＝ ＝ ， 因为n＋≥2 ＝28， 当且仅当n＝14时，n＋有最小值28， 所以当n＝14时，取得最大值. 答案：14 8．已知数列{an}满足an＝＋＋＋…＋，则数列{an}是________数列．(填“递增”“递减”或“常”) 解析：因为an＝＋＋＋…＋， 所以an＋1＝＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋＋＋， 所以an＋1－an＝＋－ ＝－， 又n∈N＋，所以2n＋1<2(n＋1)， 所以an＋1－an>0， 所以数列{an}是递增数列． 答案：递增 9．(2024·江西九江月考)已知数列{an}的通项公式为an＝|2n－19|，若ak为该数列的最小项，则k＝________． 解析：令2n－19≥0，解得n≥， 所以当n≤9且n∈N＋时，an＝19－2n，则{an}递减； 当n≥10且n∈N＋时，an＝2n－19，则{an}递增； 又a9＝|18－19|＝1，a10＝|20－19|＝1， 所以(an)min＝a9＝a10＝1， 即k＝9或k＝10. 答案：9或10 10．已知函数f(x)＝，设数列{an}的通项公式为an＝f(n)，其中n∈N＋. (1)求证：1≤an＜2； (2)判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由． 解：(1)证明：由题意得an＝＝2－，因为n为正整数，所以n≥1，0＜≤1， 所以1≤2－＜2，即1≤an＜2. (2){an}是递增数列，理由如下： an＝＝2－，an＋1 －an＝2－－＝－＝＞0，即an＋1＞an，所以{an}是递增数列． 11．(多选)若数列{an}满足对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”．给出下列数列{an}(n∈N＋)，其中是“差递减数列”的有(　　) A．an＝3n B．an＝n2＋1 C．an＝ D．an＝ln 解析：选CD.选项A，由an＝3n, 得an＋1－an＝3，则{an＋1－an}为常数列，不满足“差递减数列”的定义； 选项B，由an＝n2＋1，得an＋1－an＝(n＋1)2＋1－n2－1＝2n＋1，则{an＋1－an}为递增数列，不满足“差递减数列”的定义； 选项C，由an＝，得an＋1－an＝－＝， 显然{an＋1－an}为递减数列，满足“差递减数列”的定义； 选项D，由an＝ln，得an＋1－an＝ln－ln＝ln＝ln，随着n的增大，此式的值变小，所以{an＋1－an}为递减数列，满足“差递减数列”的定义．故选CD. 12．已知数列{an}的通项公式为an＝n∈N＋，若a5是{an}中的最大项，则a的取值范围是____________． 解析：当n≤4时，an＝2n－1单调递增， {an}的最大项为a4＝15， 当n≥5时，an＝－n2＋(a－1)n＝－＋， 因为a5是{an}中的最大项， 所以解得9≤a≤12. 答案：[9，12] 13．已知数列{an}满足an＝n－(1－m)n2，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6，且对任意n∈[9，＋∞)，都有an＞an＋1，则实数m的取值范围是________． 解析：因为an＝n－(1－m)n2，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6， 所以1－(1－m)×12＜2－(1－m)×22＜3－(1－m)×32＜4－(1－m)×42＜5－(1－m)×52＜6－(1－m)×62， 解得1－m＜. 因为对任意n∈[9，＋∞)，都有an＞an＋1，由二次函数的性质可得，解得1－m＞. 所以＜1－m＜，解得＜m＜. 所以实数m的取值范围为. 答案： 14．已知数列{an}满足an＝1＋(n∈N＋，a∈R且a≠0)． (1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立，求实数a的取值范围． 解：(1)方法一：因为a＝－7， 所以an＝1＋. 结合函数y＝1＋的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N＋)， 所以数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0. 方法二：因为a＝－7， 所以an＝1＋. 设数列{an}中的最大项为an， 则(n≥2且n∈N＋)， 即 解得<n<. 又因为n≥2且n∈N＋， 所以n＝5，即数列{an}中的最大项为a5＝2. 同理可得，数列{an}中的最小项为a4＝0. (2)an＝1＋＝1＋. 因为对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立， 所以结合函数y＝1＋的单调性，知5<<6， 所以－10<a<－8.故实数a的取值范围为(－10，－8)． 15．已知数列{an}满足an＝·，则当an取得最小值时n的值为(　　) A．2 026 B．2 025或2 024 C．2 024 D．2 024或2 023 解析：选D.令bn＝，则＝＝1＋， 当n＞2 023时，＜1，{bn}单调递减，{an}单调递增； 当n＜2 023时，＞1，{bn}单调递增，{an}单调递减； 当n＝2 023时，＝1，即b2 023＝b2 024，a2 023＝a2 024. 故当n＝2 023或n＝2 024时，{an}取得最小值，最小值为a2 023＝a2 024＝.故选D. 16．已知首项为x1的数列{xn}满足xn＋1＝(a为常数)．　 (1)若对于任意的xn≠－1，有xn＋2＝xn对于任意的n∈N＋都成立，求a的值； (2)当a＝1时，若x1>0，数列{xn}是递增数列还是递减数列？请说明理由． 解：(1)因为xn＋2＝＝＝＝xn， 所以a2xn＝(a＋1)x＋xn， 即(a2－1)xn＝(a＋1)x， 要使该式对任意的n∈N＋都成立， 则解得a＝－1. (2)数列{xn}是递减数列．理由如下： 因为a＝1，x1>0，xn＋1＝，所以xn>0(n∈N＋)． 又因为xn＋1－xn＝－xn＝－<0(n∈N＋)，故数列{xn}是递减数列． 学科网（北京）股份有限公司 $