第1章三角形的证明 自主学习单元基础达标测试题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》 自主学习单元基础达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当点、、在同一直线上，且固定点、到杆脚的距离相等时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 D．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合 2．在等腰中，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D． 3．为纪念台湾光复日（10月25日），小春制作了一个三角形纪念牌，已知其两个内角的度数分别为和，则第三个内角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知平分，于点，于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在 中，于点D，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，是斜边上的中线．若，则的长为（   ） A．6 B． C．8 D．10 7．如图，在中，，沿虚线剪去，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，点是内一点，分别作点关于直线的对称点，连接交于点，交于点，若，则周长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．定理“如果，那么”的逆定理是： ． 10．某天，小花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口A，B，C（如图）．要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，小花猫最好蹲守在 ． 11．如图，在中，，，则 ． 12．如图，是的三个外角，则的和为 ． 13．如图，在中，，，于点，若，则 ． 14．如图，在中，的垂直平分线分别交，于，．若，的周长为，则的周长等于 ． 15．如图，中，于点D，于点E，若，则 °． 16．已知：如图，P、Q是边上两点，且，则 度． 三、解答题（满分72分） 17．写出下列命题的逆命题： (1)如果，那么； (2)同角的余角相等； (3)如果，那么； (4)等腰三角形的两个底角相等． 18．如图，道路和的交叉区域（的内部）为一个公园．C，D分别是两处游乐场地，若设置一个游乐场售票点P，使点P到两条道路的距离相等，且到两游乐场的距离也相等，这个售票点的位置应建在何处？请作出这个点．（保留作图痕迹，不写作法） 19．如图，四边形是某公园的一块空地，已知，，，，，现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需元，则在该空地上种植草皮共需多少元？（，结果保留整数） 20．如图，中，，，、分别为、的垂直平分线，、分别为垂足，的周长为16，求的长． 21．如图，已知，，． (1)求证：； (2)求的度数． 22．如图，点D在上，，交于点F，，， ． (1)证明：； (2)若，求的度数． 23．如图，是等边三角形，是边上一点，以为一边向上作等边，连接． (1)求证： (2)若，求的度数 (3)在（2）的条件下，若，求的长 参考答案 1．解：∵从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和， ∴， 当点、、在同一直线上，且固定点、到杆脚的距离相等时， ∴为边上的中线， ∴（三线合一）， 三线合一即等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合， 故选：D． 2．A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和；在等腰三角形中，钝角只能作为顶角，因此为顶角，两个底角相等，根据三角形内角和定理可求． 【详解】解：∵ 是等腰三角形，且为钝角， ∴ 是顶角，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选A． 3．B 【分析】本题考查了三角形内角和． 利用三角形内角和为的性质，直接计算第三个内角的度数． 【详解】解：∵三角形内角和为，已知两个内角分别为和， ∴第三个内角． 故选：B． 4．A 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质定理，即可得出结果． 【详解】解：∵平分，于点，于点， ∴； 故选：A． 5．B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三线合一，由题可得点是的中点，即可求解 【详解】解：∵于点D， ∴ 故选：B. 6．C 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键．根据直角三角形的性质解决此题即可． 【详解】解：在中，，是斜边上的中线， ． ∵， ． 故选：C． 7．A 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和四边形内角和，掌握三角形内角和定理和四边形内角和是解题的关键．先根据三角形内角和求出的度数，再利用四边形的内角和求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选A． 8．C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是将的长度转化为，将的长度转化为． 根据线段垂直平分线的性质可得，，再由周长为三边相加求解即可． 【详解】解：∵点关于直线的对称点分别为， ∴，， ∵， ∴， ∴周长为． 故选：C ． 9． 如果 ，那么 【分析】本题考查互逆定理． 将原定理的题设和结论互换得到逆命题，如果一个定理的逆命题是真命题，则该逆命题为原定理的逆定理． 【详解】解：“如果，那么”的逆命题为“如果，那么”， ∵“如果，那么”是真命题， ∴定理“如果，那么”的逆定理是“如果，那么”． 故答案为：如果，那么． 10．线段、线段的垂直平分线的交点 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】解：由题意得：小花猫蹲守的位置到三个出口的距离相等， ∴小花猫最好蹲守在线段、线段的垂直平分线的交点． 故答案为：线段、线段的垂直平分线的交点． 11．6 【分析】本题考查了30度角的直角三角形的性质，根据30度角所对的直角边是斜边的一半，进行作答即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故答案为：6 12． 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角和，解题的关键掌握三角形内角和定理． 利用邻补角和三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：由邻补角定义得， ，，， ∴， 故答案为：． 13．3 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质， 根据等腰三角形三线合一即可得出． 【详解】解：∵，，， ∴ 故答案是：3． 14． 【分析】本题考查垂直平分线的性质，解题思路是利用垂直平分线得线段相等，将 的周长转化为 中的长度；解题关键是识别垂直平分线的线段等量关系，易错点是混淆 与 的周长． 【详解】解：根据题意由垂直平分线性质，得且 周长为 15，故，即； ∵AD=CD ∴△ABD 的周长为 故答案为． 15．32 【分析】本题考查垂线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 根据、证得，通过三角形内角和进行计算求解即可． 【详解】解：于点D 在中， 故答案为：32． 16．60 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质．由已知可得为等边三角形，进而得出结果． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为：60． 17．(1)如果，那么 (2)相等的两个角是同一个角的余角 (3)如果，那么 (4)有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】本题考查了逆命题的概念，熟练掌握逆命题的概念是解决本题的关键． （1）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解； （2）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解； （3）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解； （4）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解． 【详解】（1）解：如果，那么的逆命题为：如果，那么； （2）解：同角的余角相等的逆命题为：相等的两个角是同一个角的余角； （3）解：如果，那么的逆命题为：如果，那么； （4）解：等腰三角形的两个底角相等的逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 18．见解析 【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握角平分线的性质和线段的垂直平分线的是解题的关键． 作的平分线和线段的垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图，作的平分线和线段的垂直平分线，交点P即为所作． 19．在该空地上种植草皮大约需要元 【分析】本题考查勾股定理的应用，关键是直角三角形性质和勾股定理逆定理． 利用直角三角形性质求出和，再利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵，，，∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴，∴， ∴， ∴种植草皮所需金额为：（元）． 答：在该空地上种植草皮大约需要元． 20．16 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由线段垂直平分线的性质可得，，根据已知条件可得，然后利用线段的和差关系及等量代换即可得出答案． 【详解】解：∵、分别为、的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为16， ∴， ∴． 21．(1)证明过程见详解 (2) 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握全等三角形的判定定理． 根据，通过角的计算即可得出，结合、即可证出，进而即可得出．再根据外角的性质即可得出的度数． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中 ， ； （2）解：， ， ． 22．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由SAS证，即可解答． （2）利用（1）中全等三角形的对应角相等得到，由等腰的性质和三角形内角和定理求得，最后根据邻补角的定义解答． 本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）， . 在与中， （2）由（1）知，， 则. ，， . . . 23．(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质和即可证明结论； （2）求出的度数，再由全等三角形的性质即可得到答案； （3）根据（2）所求，结合等边三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，即， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $