1.2等腰三角形 自主学习基础达标测试题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《1.2等腰三角形》 自主学习基础达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．一个等腰三角形的底角为，则它的顶角为（   ） A． B． C． D． 2．等边三角形的对称轴有（   ） A．1条 B．3条 C．9条 D．无数条 3．已知在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设（ ） A． B． C． D． 4．如图，在 中，于点D，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 5．如图，小丽在荷塘边观看荷花，她把一株竖直的荷花拉到岸边，花柄正好与水面成夹角，测得长，则长为（    ） A． B． C． D． 6．已知中，，D为上的任意一点，于E，于F，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 7．如图，在中，点D在边上，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，工人在某施工现场作业，有一个长为米的梯子（图中CM）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子（图中）的倾斜角为，那么的长是（   ）米． A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．在中，，则 ． 10．如图，在三角测平架中，，在的中点处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重垂线正好经过点，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是 ． 11．已知：如图，P、Q是边上两点，且，则 度． 12．如图，在中，，点E为上一点，连接，且．若的周长为，则的周长为 ． 13．在中，，，点E在边上，且不与点B，点C重合，连接，若是等腰三角形，则的度数是 ． 14．如图，在等边中，，是的中线，，交于点，则的度数为 ． 15．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则线段的长为 ． 16．如图，在与中，与相交于点D．给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 三、解答题（满分72分） 17．（1）等腰三角形的一个角是，它的另外两个角是多少度？ （2）等腰三角形的一边长是，周长是，它的另外两边长是多少？ 18．在中，，请仅用无刻度的直尺完成下列作图． (1)如图1，已知点D，E分别是，的中点，作出的对称轴； (2)如图2，以的两腰为边向外作等边和，作出的对称轴． 19．如图，在中，D在边上，E在延长线上，且，，请填写理由说明． 解：因为（已知）， 所以（    ）． 又因为（已知）， 所以（    ）． 即． 所以（    ）． 在和中， 所以（    ）． 得（    ）． 所以（    ）． 20．综合与实践 如图，是等边三角形，，分别是，的中点，连接． (1)求证：； (2)在线段的延长线上取点，，使，直线，交于点．求证：． 21．如图， 点B、C、D在同一直线上， 和 都是等边三角形，连接、，分别交于点F、G． (1)求证：； (2)求的度数． 22．在中，，点、点在边上，，连接、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，过点作交的延长线于点．在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中的等腰三角形（除外）． 23．在中，，点D为线段BC上一个动点（不与B、C重合），以为一边向的左侧作，使，，过点E作的平行线，交直线于点F，连接．    (1)如图1，若，判断的形状并说明理由； (2)若，如图2，判断的形状，并说明理由． 参考答案 1．解：等腰三角形的两个底角相等，且一个底角为， 另一个底角也为， 三角形内角和为， 顶角， 故选：D． 2．解：如图所示，共有3条对称轴， 故选：B． 3．解：∵要证明， ∴用反证法时，应假设 故选C． 4．B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三线合一，由题可得点是的中点，即可求解 【详解】解：∵于点D， ∴ 故选：B. 5．B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形角所对的直角边为斜边的一半是解题的关键．由题意可得的度数，根据直角三角形的性质可得． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， 则， 故选B． 6．C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和性质，利用等腰三角形底角相等的性质和角所对的直角边等于斜边一半的性质，推导与的关系，以及与的关系，从而求出的值，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴ 在中，， 在中，， ∴， 故选：C． 7．C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，通过三角形内角和为，求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：、 故选：C． 8．A 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．证明为等边三角形，然后由等边三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：依题意得 ，，米． ， ． ， 为等边三角形． 米． 故选：A． 9．4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定：等角对等边．根据等角对等边即可得到． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：4． 10．等腰三角形的三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵的中点处挂一重锤， ∴， 又∵， ∴， ∵是重锤所在的直线， ∴是水平的， 这种做法依据的数学原理是：等腰三角形的三线合一． 故答案为：等腰三角形的三线合一． 11．60 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质．由已知可得为等边三角形，进而得出结果． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为：60． 12．20 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为， 故答案为：20． 13．或 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确分类讨论． 根据等腰三角形的性质，分情况讨论：当时；当时；当时，情况不成立，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理分别求解即可． 【详解】解：∵是等腰三角形， ∴如图所示，当时， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当时， ∴ ∵， ∴； 当时， ∴， ∴，与矛盾，故不成立． 综上，的度数为或． 故答案为：或． 14．/度 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质． 由等边三角形的性质，可得和，根据三角形的内角和定理，可得，由对顶角相等，即可得的度数． 【详解】解：∵是等边三角形，，是的中线， ∴，，是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和平行线性质，此题关键是证明和为等腰三角形．先利用两直线平行，内错角相等得，，再因为和的平分线交于点，得，，通过等量代换，，得出和为等腰三角形最后运用等腰三角形性质即可求得结论． 【详解】解：∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴和为等腰三角形， ∴，． ∵，， ∴． 故答案为：． 16．①③④ 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识．证明，进一步即可作出正确的判断． 【详解】解：在和中， ∴，故①正确， ∴， ∴，故③正确， ∴， ∵， ∴，则④结论正确， 与的关系不能确定，故②不正确， 故答案为：①③④． 17． （1）它的另外两个角是和； （2）它的另外两边长是和，或和． 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形三边之间的关系，解题的关键是分类讨论． （1）由已知角的范围确定顶角，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，计算即可． （2）分类讨论，根据等腰三角形的性质和三角形的周长，计算另外两条边，用三角形三边之间的关系检验即可． 【详解】解：（1）∵， ∴该等腰三角形的顶角是， ∵等腰三角形的两个底角相等，且三角形的内角和为， ∴两个底角的度数为， 答：它的另外两个角是和． （2）等腰三角形的一边长是，周长是， 若等腰三角形的腰长为，则另一条腰长为，底边长为， 若等腰三角形的底边长为，则腰长为， 检验：，，符合三角形三边之间的关系，且满足题意；，，符合三角形三边之间的关系，且满足题意． 答：它的另外两边长是和，或和． 18．(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形中线的性质，作出的对称轴即可； （2）根据等腰三角形的性质，作出的对称轴即可． 【详解】（1）解：由于，点D，E分别是，的中点，则连接、，且与交于点，连接并延长， 如图1，即为所求： （2）解：连接、交于点，连接并延长，如图2即为所求： 延长交于点，连接并延长，如图3即为所求： 19．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 先根据条件证明 ，得到为等腰三角形，再通过证明，得到，得到为的平分线，然后利用等腰三角形三线合一的性质，证得． 【详解】解：因为（已知）， 所以（等边对等角）． 又因为（已知）， 所以（等式性质）． 即． 所以（等角对等边）． 在和中， ， 所以（）． 得（全等三角形对应角相等）． 所以（等腰三角形的三线合一）． 20．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质得出，，证出是等边三角形，可得，即可得出结论； （2）根据全等三角形的判定即可证明． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵，是等边三角形， ∴， 在和中，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 21．(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质． （1）根据等边三角形得到，继而得到，然后证明，即可得到； （2）由全等三角形得到，而，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴． 22．(1)证明过程见详解 (2)图2中的等腰三角形有，，， 【分析】（1）证明即可求解； （2）根据等腰三角形的性质，平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴三角形是等腰三角形，则， ∵， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴三角形是等腰三角形， ∴， ∴三角形是等腰三角形，同理可得三角形是等腰三角形， ∴等腰三角形有：，，，． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形全的判定和性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 23．(1)为等边三角形，理由见解析 (2)为等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）证明，得到，根据，得到，即可得出结论； （2）证明，得到，根据，得到，即可得出结论． 【详解】（1）为等边三角形，理由如下： ∵，，， ∴和为等边三角形， ∴，，组合， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴为等边三角形， （2）是等腰三角形； 理由如下： ∵， ∴， 即：． ∵，， ∴， ∴，又由得： ∴， ∵， ∴， ∴，   ∴（等角对等边）， ∴为等腰三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $