专题1.3 等腰三角形的性质与判定（2大考点+8大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级下册

专题1.3 等腰三角形的性质与判定 教学目标 1. 探索并掌握等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一，并能进行几何证明与计算。 2. 掌握等腰三角形的判定方法：等角对等边，并能运用其识别或构造等腰三角形。 3. 运用等腰三角形的性质与判定解决几何证明与实际问题，发展逻辑推理与空间观念。 教学重难点 重点： 1. 等腰三角形“等边对等角”与“三线合一”性质的理解与应用。 2. 等腰三角形判定定理“等角对等边”的理解与在证明中的运用。 教学难点： 1. “三线合一”性质在复杂图形中的识别与运用，以及辅助线的添加思路。 2. 在综合证明题中，灵活转换运用性质与判定，构建已知与未知间的逻辑链条。 知识点1：等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 【即学即练】1．（25-26八年级上·贵州遵义·月考）如果等腰三角形的一个角为，那么等腰三角形底角的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，等腰三角形的定义，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 等腰三角形的一个角可能是顶角或底角，需分情况讨论底角的度数． 【详解】解：根据三角形内角和为， ①若为顶角，则底角为； ②若为底角，则底角为． ∴底角为或， 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，为内一点，平分，若，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论． 延长与交于点E，由可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，根据，即可推出的长度． 【详解】延长与交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又平分， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：9． 3．（25-26八年级上·吉林白山·期中）如图，在中，点在边上． (1)若，，求的度数； (2)若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 【答案】(1)的度数为 (2)的长为6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线的性质.熟练掌握等腰三角形的性质，三角形中线的性质是解题的关键． （1）已知，是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为，即可计算出的度数； （2）由中线的性质可得，通过周长差转化为与的长度差来计算即可． 【详解】（1）解：，， 是等腰三角形， ； （2）解：为的中线， ， 的周长，的周长， 周长差， ． 知识点2：等腰三角形的判定 （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 【即学即练】4．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知，如图：C是上一点，点D，E分别在两侧，，且，． (1)求证：； (2)猜想是等腰三角形吗？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识． （1）由平行线的性质得出，即可利用证明，由全等三角形的性质即可得出． （2）由等边对等角得出，由全等三角形的性质得出，再由角的和差关系即可得出，再根据等角对等边即可得出，即可得出是等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ∴ ∴． （2）解：是等腰三角形，理由如下： 由（1）可知， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是等腰三角形． 5．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，，点在边上，且．    (1)如图1，____，____． (2)如图2，若为线段上的点，过点作直线于点，分别交直线、于点、． ①求证：是等腰三角形． ②试猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)36；72； (2)①证明见解析；②，证明见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理与外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据等边对等角的性质，得到，，再根据三角形外角的性质，得到，进而得出，再结合三角形内角和定理求解即可； （2）①结合（1）的结论，证明，得到，即可得出答案； ②由①可知，，再结合已知条件，得出，，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：36；72； （2）解：①由（1）可知，，， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形． ②，证明如下： 由①可知，， ，， ，， ， 即． 题型01 根据等腰三角形等边对等角求角的度数 【典例1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等腰中，，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，根据题意可知，据此即可求得答案． 【详解】∵， ∴． ∴． 故答案为： 【变式1】（25-26八年级上·江苏·月考）等腰三角形的一个角是，则它的底角是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，分两种情况：顶角为和底角为，讨论求解即可． 【详解】解：当顶角为时，则底角为， 当底角为时，则底角为， 综上所述，它的底角是或， 故答案为：或． 【变式2】（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，是边上的中线，点E在边上，且，连结，若，则的大小为 度． 【答案】30 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质得到，结合题意利用三角形内角和定理求出的度数，再根据等边对等角，三角形内角和求出结果即可． 【详解】解：，是边上的中线， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：30． 【变式3】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）在中，，，点E在边上，且不与点B，点C重合，连接，若是等腰三角形，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确分类讨论． 根据等腰三角形的性质，分情况讨论：当时；当时；当时，情况不成立，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理分别求解即可． 【详解】解：∵是等腰三角形， ∴如图所示，当时， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当时， ∴ ∵， ∴； 当时， ∴， ∴，与矛盾，故不成立． 综上，的度数为或． 故答案为：或． 题型02 根据等腰三角形腰相等求第三边或周长 【典例2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）在等腰三角形的周长为9，，则的长为 ． 【答案】1或2.5 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系等知识，分两种情况讨论：当为腰时，或当为底边时，分别计算的长，并验证是否满足三角形三边关系定理． 【详解】解：∵三角形中，，周长为9， ∴， 情况一：当为腰时，则， ∴． 此时三边长为4、4、1，满足三角形三边关系定理（任意两边之和大于第三边）． 情况二：当为底边时，则， 设， 则， 解得， 故． 此时三边长为4、2.5、2.5，满足三角形三边关系定理． 故的长为1或2.5． 故答案为：1或2.5． 【变式1】（25-26八年级上·安徽亳州·月考）已知等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系． 分腰长为与腰长为两种情况，结合三角形三边的关系即可求解． 【详解】解：当腰长为时， 三边为、、，，不满足三角形三边关系，故舍去； 当腰长为时， 三边为、、，，，满足三角形三边关系，周长为； 故答案为：20． 【变式2】（25-26八年级上·湖北荆州·期中）若，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为 ． 【答案】 16或17 【分析】本题考查了非负数的性质、等腰三角形的三边关系，解题的关键是根据非负数性质求出边长，再结合三角形三边关系确定等腰三角形的边长组合． 由非负数的性质得、；分腰为6和腰为5两种情况，结合三角形三边关系验证，计算周长． 【详解】解：， ，， ，． 情况1：腰长为6，底边长为5， ∵，符合三边关系， ∴周长为． 情况2：腰长为5，底边长为6， ∵，符合三边关系， ∴周长为． 故答案为：或． 【变式3】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成，两部分，则等腰三角形的腰长为 ． 【答案】或 【分析】设腰长为x，底边长为y，根据中线分周长的两种可能情况列方程组求解，并验证三角形三边关系． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y． 一腰上的中线将周长分为两部分：一部分为腰长加半腰长， 即； 另一部分为底边长加半腰长， 即． 由题意，这两部分分别为和，因此分两种情况： 情况一：且， 解得：，， 情况二：且， 解得：，， 经检验，两种情况均满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）． 故答案为：或． 题型03 根据等角对等边求边的长度 【典例3】（24-25八年级下·山西太原·月考）如图，已知，平分，将直角尺如图所示摆放，使边在上，边与交于点P，与交于点Q，则的长度为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，解答的关键是等腰三角形的判定． 先由平行的性质得，再由角平分线的性质得，进而得，即可得． 【详解】解：由题意可知，，， 两直线平行，内错角相等， 平分， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·山东济宁·月考）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和平行线性质，此题关键是证明和为等腰三角形．先利用两直线平行，内错角相等得，，再因为和的平分线交于点，得，，通过等量代换，，得出和为等腰三角形最后运用等腰三角形性质即可求得结论． 【详解】解：∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴和为等腰三角形， ∴，． ∵，， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点，过作，交于，交于，若，，求的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，再利用等角对等边得到，，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：5． 【变式3】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，中，，，过点作交于，过点作交的延长线于，若恰为的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点定义，等腰三角形的判定，三角形内角和定理等知识，由，，则，所以，由三角形内角和定理得，，所以，然后证明，则，，所以，从而得，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵恰为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型04 与等腰三角形有关的多解题 【典例4】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，中，，是射线上的动点，连接，令，将沿所在射线翻折至处，射线与射线相交于点若是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质等，由折叠的性质得，再分四种情况，分别画出图形，利用等腰三角形的性质及三角形的外角性质解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质知， 当时，如图，， 由三角形的外角性质得，， 即，此情况不存在； 当且点在射线下方时，如图， ∵， ∴， 由三角形的外角性质得，， 即， 解得； 当时，如图，， ， 由三角形的外角性质得，， 即， 解得； 当且点在射线上方时，如图，， ， ； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 【变式1】（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图，中，，，点D在线段上运动点D和B、C均不重合，DE交于点E，，当是等腰三角形时，的长度为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查等腰三角形的定义和直角三角形的性质，结合题目给出的条件，分情况讨论为等腰三角形时的长度是解题关键． 当时，，因此，即．由于是等腰直角三角形，，所以，从而．因此，． 当时，，则．又因为，所以，从而．结合和，可以证明，因此，．由于，所以，因此． 【详解】分以下三种情况讨论： ①当时，，如图 可知，即． ，，， ， ，； ②当时，如图 ， ． ，， ， ， ． 又，， ， ，． ， ， ； ③当时，点与点重合，不符合题意，舍去． 综上所述，当是等腰三角形时，的长为或． 故答案为1或． 【变式2】（25-26八年级上·江西宜春·月考）如图，在中，，．若为射线上的动点，连接，将沿翻折后得到，连接．若为等边三角形或等腰直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形折叠中角度的计算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．分为等腰直角三角形和为等边三角形，再分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况进行讨论即可． 【详解】当为等腰直角三角形时， ①当点在线段上时：如图，则， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，如图， 则：， ∵翻折， ∴， ∴； 当为等边三角形时，此时点在线段的延长线上，如图， 则， ∴； 综上：或或； 故答案为：或或． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，已知的顶点P是线段上一点，经过顶点C，与交于点D，，设与的夹角为（）． （1）若，则的度数为 ； （2）当是等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理；能根据等腰三角形的腰的不同进行分类讨论是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，由三角形的内角和定理即可求解． （2）分类讨论：当时， 当时，当时，即可求解． 【详解】解：（1），， ， ， ， ， 故答案为：． （2）分类讨论： 当时，如下图： ，， ， ， ； 当时，如下图： ，， ， ， ； 当时，此时点P与点B重合，点D与点A重合， ，题干要求，故该情况不存在； 故答案为：或． 题型05 根据等腰三角形三线合一进行求解与证明 【典例5】（25-26八年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，若点C在第一象限，且，求点C的坐标． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．作于点D，根据坐标与图形可得、，再根据等腰三角形三线合一的性质可得；然后运用勾股定理求出，进而确定即可解答． 【详解】解：如图，作于点D， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴点C的坐标为． 【变式1】（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在中，，为中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形的面积； （1）由等腰三角形的性质“三线合一”，即可得证； （2）由三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：，为中点， ． （2）解：的面积 （）． 【变式2】（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在中，，，为的中点，于． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了“等边对等角”、等腰三角形的“三线合一”、三角形内角和定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据“等边对等角”以及三角形内角和定理可得，再根据垂直的定义以及直角三角形两锐角互余即可解答； （2）如图：连接，根据等腰三角形的“三线合一”可得，进而得到，再根据含30度角的直角三角形的性质以及线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：，， ， 于， ， ． （2）解：如图：连接， ，为的中点， ， 由（1）知，， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，点是斜边的中点，点，分别在边，上，连接，若． (1)求证：； (2)若点，分别在边，的延长线上，如图，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明． 【答案】(1)详见解析 (2)仍成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，可证得，即可求证； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，可证得，即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵P为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：仍成立，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵P为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型06 根据等角对等边证明等腰三角形 【典例6】（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)证明：． (2)证明：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、等边对等角、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，由等边对等角可得，进而得到，由等角对等边可得即可证明结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式1】（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，将一张长方形纸条沿折叠，使点，分别落在点，处，交于点，，． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、翻折变换（折叠问题）、等腰三角形的判定． （1）由长方形和平行线的性质得出，由折叠的性质得出，即可得出答案； （2）由长方形和平行线的性质得出，由折叠的性质得出，得出，证出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴； （2）证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 即是等腰三角形． 【变式2】（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定，证明三角形全等是解题的关键． （1）由条件证明，再推出； （2）根据得，结合已知角，得到，所以，所以是等腰三角形． 【详解】（1）在与中， ； （2）∵ ， ， 是等腰三角形． 【变式3】（25-26八年级上·辽宁盘锦·期中）如图①，已知是的角平分线，、分别在的延长线上，连接，． (1)若，求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)如图②，点是线段上的动点，垂足为，设．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，等角对等边，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，据此利用三角形内角和定理可得答案； （2）根据三角形外角的性质可证明，由角平分线的定义可得，据此可证明，则，即是等腰三角形； （3）可求出；则由三角形外角的性质得到，进而由角平分线的等腰得到，据此根据三角形内角和定理求出的度数，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴ ； （2）证明：∵， 且， ∴； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 题型07 与等腰三角形性质和判定的多结论题 【典例7】（25-26八年级上·北京延庆·期末）如图，在中，，点是的中点，连接，过点作于点，交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定．根据等腰三角形的性质可得的度数，再证明，可得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故①错误； ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④正确； 故选：C 【变式1】（25-26八年级上·四川凉山·期末）如图，在中，、分别是和的平分线，于，交于，于，交于，，，，结论①是等腰三角形；②；③；④．其中不正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键． 证明，根据全等三角形的性质得到，判断①；根据全等三角形的性质得到，，代入计算即可判断②；根据三角形内角和定理判断③；根据等腰三角形的性质判断④． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故①结论正确； 同理可证：， ∴， ∴， 故②结论正确； ∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③结论正确； ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④结论错误； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①； ②；③；④．其中， 正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】由得到，由、平分、，得到，，根据三角形内角和得到，从而求得，可判断①正确；先利用证明，得到，由平分，得到，即，推出，再利用即可证明，可判断②正确；由全等得到，又因为，且，所以，可判断④正确；延长交于点，利用可证，可得，，所以，可判断③错误． 【详解】解：∵， ∴， ∵、平分、， ∴，， 在中，， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中 ∴． ∴． ∵平分， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴．故②正确； ∴， ∵，且， ∴，故④正确； 延长交于点， ， 在和中， ，故③错误； 所以正确的结论是①②④， 故答案为：B． 【变式3】（25-26八年级上·四川资阳·期末）如图，已知，直角的顶点是中点，两边、分别交、于点、，当在内绕顶点旋转时（点不与重合），给出下列四个结论：①是等腰三角形；②；③；④和的面积之和等于9，上述结论中始终正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明出是解题的关键． 先证，由性质得，可得①正确；由性质得 ，结合平角的性质，得②正确；由性质得，通过面积计算可得④正确；随着点E的变化而变化，不一定等于，故③错误． 【详解】解：， 是等腰直角三角形， 点为的中点， ， 是直角， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形，故①②正确； ，故④正确； 随着点的变化而变化， 不一定等于，故③错误； 故选：C． 题型08 等腰三角形的性质和判定综合应用 【典例8】（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使． (1)求证：为等腰三角形； (2)过点D作于点M，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据角平分线的定义得，结合平行线的性质可证，然后根据等腰三角形的判定方法即可得解； （2）利用等腰三角形的性质求得，再利用等腰直角三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ， 为等腰三角形； （2）解：如图， 为等腰三角形，， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， 则的长为4． 【变式1】（25-26八年级上·吉林·期末）如图，的角平分线交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)作，垂足为，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由平行线得，根据角平分线的定义可得，即，由等角对等边可得即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质可得，再在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， 是的角平分线 ， ， ∴， 是等腰三角形． （2）解：是等腰三角形，， ， 在中， ． 【变式2】（25-26八年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，，平分，过点A作交于点D，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则根据平行线的性质可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， ∵， ， ， ∴， 为等腰三角形． （2）解：，， ， ∵， ， 为等腰三角形， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，是的外角，点是的中点，过点作线段，使其交的平分线于点，交的延长线于点，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，然后问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为． 一、单选题 1．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）在等腰中，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和；在等腰三角形中，钝角只能作为顶角，因此为顶角，两个底角相等，根据三角形内角和定理可求． 【详解】解：∵ 是等腰三角形，且为钝角， ∴ 是顶角，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选A． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）若等腰三角形的顶角为，腰长为，则这个等腰三角形的底边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过作辅助线将等腰三角形转化为直角三角形，利用等腰三角形性质求出底角和高的长度，再运用勾股定理计算底边一半的长度，最后得出底边长； 本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵ 等腰三角形顶角为，腰长， ∴ 底角． 作高，则； 在中，， ∴（角邻边为斜边的）， ∴. 故选：B． 3．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.25 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明，注意等边对等角，以及等角对等边的使用． 根据等边对等角得出，再根据，得出，，从而得出，再根据对顶角相等得出，最后根据等角对等边得到，，进而求解即可． 【详解】解：在中，， ， ， ，， ， 又， ， ， ∵， ， ． 故选：A． 4．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）约公元前五世纪由古希腊人提出来的“三等分角”，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了等腰三角形以及三角形外角的性质，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，得，，结合三角形外角性质得，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故选：A． 5．（25-26八年级上·北京大兴·期末）如图，在中，，，于点D，于点E，与相交于点F．给出下面三个结论：①；②；③．所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点． 先由等边对等角以及三角形内角和定理求出，然后得到为等腰直角三角形，则，再由角的和差求解，即可判断①；证明，则，，再由等腰三角形三线合一得到，即可判断②；而，结合即可判断③． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∵， ∴， ∴，故③正确， ∴所有正确结论的序号是①②③， 故选：D． 二、填空题 6．（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定：等角对等边．根据等角对等边即可得到． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：4． 7．（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，等腰三角形中，，在上取一点，使，过点作交于点，过点作交于点E，交于点．若，则 °． 【答案】62 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，等边对等角， 先求出，进而求出，再根据等边对等角得，即可得然后根据三角形外角的性质得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． 故答案为：62． 8．（25-26八年级上·辽宁营口·期末）如图，在中，，，点为的中点，点为延长线上一点，连接交于点，过点作，与的延长线相交于点，若，，的面积是36，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，得到的面积是解题的关键． 连接，先证，得到，进而得到，再由，得到，再结合三角形面积公式求出的长． 【详解】连接， 在中，，， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∵ , ∴，即， 解得． 故答案为：8． 9．（25-26八年级上·陕西商洛·月考）如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接．当是以为腰的等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形内角和定理的应用；根据折叠的性质与全等三角形的性质得出，结合是以为腰的等腰三角形，分类讨论，即可求解． 【详解】解：，， ． ∵和关于直线对称， ∴，， ∴ ∵的平分线交于点， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， 当时，， 当时，， 故答案为：或． 10．（25-26八年级上·江西抚州·月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是长方形，点A，C的坐标分别为，，点D是的中点，点P在上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理的应用，学会分类讨论是解决本题的关键． 根据题意分为三种情况：或或，进行作图求解即可． 【详解】解：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时，如图， 在中，，， ∴， ∴P的坐标是； ②以D为圆心，以5为半径画弧交于和点，此时，如图，过作于N，过作于M， 由作图可知四边形和四边形为长方形， ∴，，，， 在中，设，则，，， ∴， 解得， 则的坐标是； 设，则，，， 在中，， 解得， ，， 即的坐标是； ③假设，则由点向OD边作垂线，交点为，如图， 则有， ， 此时的为等边三角形， ∴，，， 代入， 得， ∴排除此种可能． 综上所述，点P的坐标为或或． 故答案为：或或． 三、解答题 11．（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图，中，，的平分线交于，交的延长线于点，交于点． (1)若．求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可知，再根据角平分线以及垂直关系即可求解； （2）根据平行条件，可证明,从而可知为等边三角形，进而可知的长度． 本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ， ． 答：的度数为． （2），， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 答：的长为4． 12．（25-26八年级上·上海普陀·期中）如图，已知：在中，，平分（为外一点），． (1)求证：是等腰三角形； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）根据已知结合三角形内角和定理得出，根据等角对等边即可得证； （2）过点作，垂足为点，根据三线合一可得，进而证明得出，即可得． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴， 即是等腰三角形． （2）证明：过点作，垂足为点． ∵，， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ∵ ∴． ∴． ∴． 13．（24-25八年级下·广东清远·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解此题的关键． （1）根据角平分线性质可得，由，根据平行线的性质得，到，即可得到结论． （2）根据三角形的内角和可求出，由，根据平行线的性质即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ， ， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：， ， ， ， ． 14．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点． (1)若，则__________°； (2)判断的形状，并说明理由： (3)求证： 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由已知先证明，得到，然后由三角形内角和定理求解即可； （2）由等腰三角形的性质得出，再由推出，根据三角形外角的性质得出，从而即可得出结论； （3）在中，，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：在中，，， 在等腰直角中，，， ， ， ； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 在中，，是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）证明：由（2）知， ， ， 在中，， ， ， ． 15．（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图，在中，是边上的高线，平分，、相交于，连接． (1)如图若，求的度数． (2)如图若，判断的形状，并说明理由． (3)在的条件下，若，．求的长度． 【答案】(1)； (2)是等腰三角形，理由见解析； (3)． 【分析】根据直角三角形两锐角互余，可得：，根据角平分线的性质可得，根据三角形内角和定理可得，从而可求； 根据直角三角形的两个锐角互余，可证，根据角平分线的定义可，根据三角形外角的性质可证：，根据等角对等边可证是等腰三角形； 根据，可证是等边三角形，利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理可以求出，，过点作，可得，利用勾股定理可求，所以可得，利用勾股定理可得：． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分， ， 在中，， 又， ， ； （2）解：是等腰三角形， 理由如下， ， ， ， ， ， ， 平分， ， 是的外角， ， 是的外角， ， ， ， 是等腰三角形； （3）解：， ， 由可知是等腰三角形， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 平分， ， 又， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ，， 如下图所示，过点作， ， ， 在中，， ， 在中，． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段的长度． 16．（25-26八年级上·广西南宁·期中）已知，中，，点D，E分别在，边上(不与、重合)，且． (1)如图1，若，则___________；若平分，则的度数为___________． (2)如图2，若，且点是边上的任意一点． ①当时，求证：； ②求证：的度数为定值．（定值是指在某个变化过程中，始终保持不变的量或数值） (3)如图3，若，当等于多少度时，是等腰三角形？ 【答案】(1)60；60 (2)①证明见解析；②证明见解析 (3)或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，，则可得，由此即可得； （2）①先根据等腰三角形的性质可得，再根据定理即可得证； ②先根据等腰三角形的性质可得，则可得，再根据三角形的外角性质可得，由此即可得证； （3）先根据等腰三角形的性质可得，再设，则，，，然后两种情况：①和②，根据等腰三角形的性质可得的值，在中，利用三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）解：若，则， ∵， ∴； ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：60；60． （2）证明：①∵， ∴， 在和中， ， ∴． ②∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为定值． （3）解：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 则分以下两种情况： ①当时，是等腰三角形， ∴，即， 解得， ∴此时； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， 解得， ∴此时； 综上，当等于或时，是等腰三角形． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.3等腰三角形的性质与判定 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点：等腰三角形的性质 知识清单 知识点2：等腰三角形的判定 题型01根据等腰三角形等边对等角求角的度数 题型02根据等腰三角形腰相等求第三边或周长 等腰三角形的性 题型03根据等角对等边求边的长度 质与判定 题型04与等腰三角形有关的多解题 题型精讲 题型05根据等腰三角形三线合一进行求解与证明 题型06根据等角对等边证明等腰三角形 题型07与等腰三角形性质和判定的多结论题 题型08等腰三角形的性质和判定综合应用 强化训练 教学目标、教学重难点 1.探索并掌握等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一，并能进行几何证明与计算。 教学目标 2.掌握等腰三角形的判定方法：等角对等边，并能运用其识别或构造等腰三角形 3.运用等腰三角形的性质与判定解决几何证明与实际问题，发展逻辑推理与空间观念。 重点： 1.等腰三角形“等边对等角”与“三线合一”性质的理解与应用。 2.等腰三角形判定定理“等角对等边”的理解与在证明中的运用。 教学重难点 教学难点： 1.“三线合一”性质在复杂图形中的识别与运用，以及辅助线的添加思路。 2.在综合证明题中，灵活转换运用性质与判定，构建已知与未知间的逻辑链条。 知识清单 1/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 知识点1：等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”). 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）. 等腰三角形的其他性质： (1)等腰三角形两腰上的中线、高分别相等. (2)等腰三角形两底角的平分线相等. (3)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. (4)当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都 是45°. 【即学即练】1.(25-26八年级上·贵州遵义·月考)如果等腰三角形的一个角为30°，那么等腰三角形底角 的度数为() A.750 B.30° C.75°或30° D.65°或30° 2.(25-26八年级上江苏常州期中)如图，D为ABC内一点，CD平分LACB,BD⊥CD,LA=LABD,若 BD=2,BC=5,则AC的长为 B 3.(25-26八年级上·吉林白山期中)如图，在△ABC中，点D在边BC上. (1)若AD=BD=AC,∠DAC=24°，求∠4的度数： (②)若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB=9,求AC的长. B 知识点2：等腰三角形的判定 (1)定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. 数学语言：在△ABC中，∠B=∠C,AB=AC(等角对等边). 【注意】 (1)“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等.因为在没有判 定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”。 2/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质； 由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定 【即学即练】4.(25-26八年级上内蒙古鄂尔多斯期中)己知，如图：C是AB上一点，点D,E分别在 AB两侧，AD∥BE,且AD=BC,BE=AC. (I)求证：CD=CE: (2)猜想△BEF是等腰三角形吗？并说明理由. 5.(24-25八年级上，云南昭通期中)如图，在ABC中，BA=BC,点D在边CB上，且DB=DA=AC· 图1 图2 (1)如图1，∠B=C,LC=一. (2)如图2，若M为线段BC上的点，过点M作直线MH⊥AD于点H,分别交直线AB、AC于点N、E, ①求证：△ANE是等腰三角形， ②试猜想线段BW、CE、CD之间的数量关系，并加以证明. 题型精讲 题型01根据等腰三角形等边对等角求角的度数 【典例1】(25-26八年级上浙江宁波期末)如图，在等腰ABC中，AB=AC,若∠A=36°，则∠B的度 数为 3/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1】(25-26八年级上江苏·月考)等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是 【变式2】(25-26八年级上·全国假期作业)如图，在ABC中，AB=AC,AD是边BC上的中线，点E 在边AB上，且AE=AD,连结DE,若LBDE=I5°，则LCAD的大小为度. A B 【变式3】(25-26八年级上辽宁葫芦岛期末)在ABC中，∠BAC=110°，∠C=30°，点E在边BC上， 且不与点B,点C重合，连接AE,若△AEC是等腰三角形，则∠BAE的度数是 题型O2根据等腰三角形腰相等求第三边或周长 【典例2】(25-26八年级上江苏宿迁·期中)在等腰三角形ABC的周长为9，AB=4,则BC的长为 【变式1】(25-26八年级上·安微毫州·月考)己知等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm,则此三角形的周 长为」 cm. 【变式2】(25-26八年级上湖北荆州期中)若a-6+(b-5)=0,则以a,b为边长的等腰三角形的周长 为 【变式3】(25-26八年级上浙江绍兴期中)等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成15,18两部 分，则等腰三角形的腰长为 题型03根据等角对等边求边的长度 【典例3】(24-25八年级下山西太原·月考)如图，己知∠AOB,0C平分∠AOB,将直角尺DEMN如图 所示摆放，使EM边在OB上，DN边与OA交于点P,与OC交于点Q,则OP的长度为Cm. A D T少T 0m234 MB 【变式1】(25-26八年级上·山东济宁·月考)如图，在ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过 点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若BM=4,CN=3,则线段MN的长为 4/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 【变式2】(25-26八年级上新疆乌鲁木齐期中)如图，∠ABC的平分线BF与ABC中∠ACB的相邻外角 LACG的平分线CF相交于点F,过F作DF∥BC,交AB于D,交AC于E,若BD=9cm,DE=4cm, 求CE的长为 cm 【变式3】(25-26八年级上贵州遵义·期末)如图，ABC中，AC=3,∠ABC+∠C=45°，过点A作 AD⊥AC交BC于D,过点B作BE⊥AD交AD的延长线于E,若D恰为BC的中点，则AD的长为一， A 题型04与等腰三角形有关的多解题 【典例4】(25-26八年级上新疆乌鲁木齐期中)如图，ABC中，AB=AC,∠A=30°，D是射线AB上 的动点，连接CD,令LACD=a(0°<a<75),将△ACD沿CD所在射线CP翻折至△A'CD处，射线C与 射线AB相交于点E.若△A'DE是等腰三角形，则∠a的度数为一· E 【变式1】(25-26九年级上河南洛阳·期中)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2,点D在线段 BC上运动（点D和B、C均不重合），DE交AC于点E,∠ADE=45°，当ADE是等腰三角形时，AE的 长度为一· 5/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 【变式2】(25-26八年级上江西宜春·月考)如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°.若D为射线AB 上的动点，连接CD,将AACD沿CD翻折后得到△ECD,连接AE,若ADE为等边三角形或等腰直角三角 形，则∠ACD的度数为 A D 【变式3】(25-26八年级上·全国·期末)如图，在ABC中，∠ACB=120。,AC=BC,己知∠MPN的顶 点P是线段AB上一点，PM经过顶点C,PN与AC交于点D,LMPN=30°，设PM与BC的夹角为∠I (∠1≠0°). M P B (1)若AP=AC,则∠BPC的度数为」 (2)当△CDP是等腰三角形时，∠1的度数为 题型05根据等腰三角形三线合一进行求解与证明 【典例5】(25-26八年级上江西抚州期中)如图，ABC在平面直角坐标系中，已知点A(4,0),B(-2,0), 若点C在第一象限，且BC=AC=5,求点C的坐标. B O 【变式1】(25-26八年级上·甘肃期末)如图，在ABC中，AB=AC,D为BC中点，连接AD. (I)求证：AD⊥BC; 6/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若BC=10cm,AD=12cm,求ABC的面积. 【变式2】(25-26八年级上·湖北孝感·期中)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，D为BC的中 点，DE⊥AC于E A E B C D (I)求∠EDC的度数： (2)若AB=8,求CE的长。 【变式3】(25-26八年级上·全国期末)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,点P是斜边AB的 中点，点D,E分别在边AC,BC上，连接PD,PE.若PD⊥PE. 图1 图2 (1I)求证：PD=PE; (2)若点D,E分别在边AC,CB的延长线上，如图2，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？并加以证 明. 题型O6根据等角对等边证明等腰三角形 【典例6】(25-26八年级上·重庆合川期中)如图，在ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE, AB=CB,AD与CE相交于点F. D (I)证明：△ABD≌ACBE. (2)证明：△AFC是等腰三角形 【变式1】(25-26八年级上·山西忻州·期中)如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，使点C,D分别 落在点C,D处，EC'交AD于点G,∠AGC'=48°，AD∥BC. 7/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D' D B (I)求∠CEF的度数； (2)求证：△EFG是等腰三角形 【变式2】(25-26八年级上·河南洛阳·期中)如图，在ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE, LBAD=∠BCE,AD与CE相交于点F. E D (I)求证：AB=BC; (②)试判断△AFC的形状，并说明理由， 【变式3】(25-26八年级上辽宁盘锦·期中)如图①，已知CE是ABC的角平分线，F、G分别在BA,BC 的延长线上，连接CF,LFCG=∠CAB, F A A E B B G 图① 图② (1)若LCAB=LCEA=70°，求∠B的度数： (2)求证：△FEC是等腰三角形； (3)如图②，点P是线段AE上的动点，PH⊥EC垂足为H,设LEPH=a·求证：∠CAB-∠B=2a· 题型07与等腰三角形性质和判定的多结论题 【典例7】(25-26八年级上·北京延庆期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=45°，点D是BC的中点， 连接AD,过点B作BE⊥AC于点E,交AD于点F,给出下面四个结论：①∠ACB=65°；②CE=EF;③ AB=BE+EC;④∠BAC=2∠CBE,上述结论中，所有正确结论的序号是() 8/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.①② B.③④ C.②③④ D.①②③ 【变式1】(25-26八年级上·四川凉山期末)如图，在ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分 线，AM⊥CE于P,交BC于M,AN⊥BD于Q,交BC于N,∠BAC=110°，AB=6,AC=5,结论① △AMC是等腰三角形；②BN-CM=1;③LMAN=35°；④AP=AQ.其中不正确的有() M A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【变式2】(25-26八年级上，全国·期末)如图，AD、CF分别是ABC的高和角平分线，AD与CF相交于 G,AE平分∠CAD交BC于E,交CF于M,连接BM交AD于H,且BM⊥AE·有下列结论：① ∠AMC=I35°；②△AMH≌aBME;③BC=BH+2MH;④AH+CE=AC.其中，正确的结论是() y D C A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【变式3】(25-26八年级上四川资阳期末)如图，已知ABC,AB=AC=6,∠BAC=90,直角∠EPF的顶 点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,当∠EPF在ABC内绕顶点P旋转时（点E不 与A、B重合)，给出下列四个结论：①△EPF是等腰三角形；②∠BEP=∠AFP;③EF=AB;④△BEP和 △PCF的面积之和等于9，上述结论中始终正确的有()个. B A.1 B.2 C.3 D.4 9/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型08等腰三角形的性质和判定综合应用 【典例8】(25-26八年级上·全国假期作业)如图，在ABC中，D是AB边上的一个动点，过点D作 DE∥BC交AC于点E,且DE平分∠ADC,在BC边上取点F,使∠DFC=45°. D 145 C (I)求证：△BCD为等腰三角形： (2)过点D作DM⊥BC于点M,若BC=12,BF=2,求DM的长. 【变式1】(25-26八年级上·吉林期末)如图，AB∥CD,LCAB的角平分线AP交CD于点M. D M B (I)求证：△ACM是等腰三角形； (2)作CN⊥AM,垂足为N,若AC=13,AM=24,求CN的长. 【变式2】(25-26八年级上陕西榆林·月考)如图，在ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC,过点A作 AD∥BC交BD于点D,连接CD. (1)求证：△ABD是等腰三角形： (2)若∠BAC=80°，求∠BDC的度数. 【变式3】(25-26八年级上福建福州期中)如图，∠CAD是ABC的外角，点F是AB的中点，过点F作 线段EG,使其交LCAD的平分线于点E,交CB的延长线于点G,且AE∥BC. G B ()求证：ABC是等腰三角形； 10/14