培优3 导数中的切线问题-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用课件(北师大版)

该高中数学课件系统梳理了导数的几何意义及切线问题，通过求切线方程、公切线问题、切线综合问题三大类型，结合例题解析与解题技法，构建“知识点-方法-应用”的逻辑网络，帮助学生建立完整的切线问题知识体系。 其亮点在于采用“类型化例题+阶梯式训练”模式，如公切线问题通过“设切点-求斜率-列方程”的“重一法”培养数学思维，尝试训练从基础切线到综合应用分层设计，发展学生数学眼光与表达能力，助力学生巩固知识，教师精准开展复习教学。

培优3导 数中的切线问 题 培优 导数的几何意义是高中 考查是高考中的热点问题， 差别较大，常见的命题方向 综合问题.此类问题的解决 程的相关运算. 2 导数知识的重要组成部分，以其为知识背景的 而切线方程的求解由于条件不同，其求解过程 有求切线问题、公切线问题以及与切线有关的 依托导数计算及其几何意义和直线的斜率及方 培优 类型 求切线方程 典例1 (1)(2024河南焦作模拟)已知fx)-ln( 曲线y∫x)在点(3，f3)处的切线方程为( ) W2x-10y+10ln5-1=0 B.2x+10y+10ln5-1=0 Cx-12y+12ln5-15=0 D.x+12y+121n5-15=0 3 +2)+1Vx+1 x+3 则 培优 【解析】 因为fx)=lnx+2)+Vx+1 1 13 2 +ln5,f"(x)-x+2 2Vx+1 十3)，所以f'3){ 9 十 1 4 4 5 处的切线方为r}n5 1 c—3) 4 r,所i以f)=ns+2 _3x 32 三 (x十3)-3x (x十3)2 十 2Vx+1 ,所以曲线)在3n5 即2x-10+10ln5一1=0. 培优 (2)己知函数fx)=3一3x,若过点A(0,16)且与曲线y=fx)相切的切线方程 为y=x十16，则实数a的值是() A.6 9 C.-6 D.-9 【解析】设切点为Px0,x3-3xo),因为fx)=x3-3x,所以f"x)=3x2-3, 所以曲线yf)在点Pc0,x-3x)处的切线方程为y一x+3x0=(3x品 3)c一x0),把点A(0,16代入，得16一+3x0=(3x6一3)(0一x0),解得x0 =一2.所以过点A(0,16)的切线方程为y=x+16,所以a=9. 培优 6 I解题技法> 求曲线过点A(a,b)的切线的方程的一般步骤 (1)设切点Pxo,fx) (2)求出yfx)在x=x0处的导数f'(xo),即曲线yfx)在点Po,fo)处的 切线斜率； 8)构建关系f0fm）b,解得： xo一a (4)由点斜式求得切线方程y一bf'(xo)x一a). 培优 类型二 公切线问题 典例2(1)若直线y=x+b是曲线y=lnx+2的切线， 的切线，则b=1一ln2 【解析】 对面数y-血十2求时剁'是0，对 x十1x>-1), 设直线y=x十b与曲线y=nx+2相切于点P1(x1,) 1)相切于点P2(x2,y2) 也是曲线y=ln(x+1) y=lnx+1)求导得y' ),与曲线y=ln(x十 培优 则y1=lnx1+2,y2=ln(c2+1),由点P1(c1y1)在 x-x1), 由点P2x2,y2)在切线上得y一nx2十1) 2十1(xx2), x2+1 这两条直线表示同一条直线，所以 (x2+1) In 解得心}，所以 1 =2,b=lnx1十2一1 8 切线上得-m十2)= X1 n+22+1 x2+1' 1-ln2. 培优 9 (2)试写出曲线y=2ex与曲线y=2ln(c+2)的一条公切线方程 y名x+或y=2x+2与出作 一个即可) 【解析】 设公切线l与曲线y=2e切于点A(x1,2e), 与曲线y=2lnx+2)切于点Bx2,2n(x2+2). -20-2心-2加+，”-2心2 培优 令2enl2 2■ 则x2十 且2hr2+2)-2e: =2e1, X2X1 即2ln(x2+2)-2ex1=2e1(c2-x1), 化为lnex1-e1=ex1(e1一2-xi), 所以(x1十1)(e1一1)=0，解得x=一1或 10 2=ex1, x1三0.