6.3 第1课时 不含参函数的最值-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用课件(北师大版)

该高中数学课件聚焦不含参函数的最值，通过“群山找最高山峰”的情境导入，衔接上节课极值知识，借助图像观察与思考问题，引导学生从局部极值过渡到整体最值，构建知识学习支架。 其亮点在于以图像直观为载体，培养数学眼光观察函数特征，通过对比极值与最值的区别联系发展数学思维，如思考1结合图像分析最值与极值、端点值的关系。即时练与例题强化解题技巧，课堂小结系统梳理知识，助力学生掌握方法，教师可直接用于教学提升效率。

6．3　函数的最值 第1课时　不含参函数的最值 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 同学们，上节课我们在群山之间穿梭，感受了每一个山峰与山谷的优美之处，而今天我们要寻找最高的山峰和最低的山谷，这其实就是我们今天要探究的函数的最值． 思考1　如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象．显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．你能找到函数的最大值和最小值吗？ 新知学习 探究 返回导航 提示：最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得．显然函数的最值是函数的整体性质，且要求函数是连续不断的，而最值不同于极值，如果有最大(小)值，则唯一存在． 新知学习 探究 返回导航 思考2　开区间上的连续函数有最值吗？ 新知学习 探究 返回导航 不超过　 不小于 新知学习 探究 返回导航 最大值 最小值　 极值 各极值 端点 最大值 最小值 新知学习 探究 返回导航 【即时练】 1．(多选)已知函数f(x)的图象如图所示，则下列选项中正确的是(　　) A．f(x)在区间(－1，1)上单调递增 B．x＝－1是函数f(x)的极小值点 C．函数f(x)在x＝1处取得最大值 D．f(x)的图象在x＝2处的切线斜率小于零 √ √ √ 新知学习 探究 返回导航 解析：由题图可知，f(x)在区间(－1，1)上单调递增，故A正确； f(x)在区间(－2，－1)和(1，3)上单调递减，所以 f(x)在x＝－1处取得极小值，即x＝－1是函数 f(x)的极小值点，故B正确； f(x)在x＝1处取得极大值，但不是最大值，故C错误； 由于f(x)在区间(1，3)上单调递减，所以当x∈(1，3)时，f′(x)<0，所以f′(2)<0，由导数的几何意义可知f(x)的图象在x＝2处的切线斜率小于零，故D正确． 新知学习 探究 返回导航 2．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图，则对于函数y＝f(x)的描述正确的是(　　)   A．在(－∞，0)上单调递减 B．在x＝0处取得最大值 C．在(4，＋∞)上单调递减 D．在x＝2处取得最小值 √ 新知学习 探究 返回导航 解析：根据函数f(x)的导函数f′(x)的图象可知，f′(0)＝0，f′(2)＝0，f′(4)＝0， 当x<0时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当0<x<2时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当2<x<4时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x>4时，f′(x)<0，f(x)单调递减． 可知A错误，C正确； 由极值的定义可知，f(x)在x＝0处取到极大值，在x＝2处取到极小值，但极大值不一定为最大值，极小值不一定是最小值，可知B，D错误．故选C. 新知学习 探究 返回导航 3．如图是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值．   解：由题图可知，y＝f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极小值，在x＝x2处取得极大值，所以极小值为 f(x1)，f(x3)，极大值为f(x2)；比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x3)，最大值在b处取得，最大值为f(b). 新知学习 探究 返回导航 最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言． (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有). (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点． (4)对于定义域为闭区间的连续可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)f(x)＝(x－2)ex－(x－1)2，x∈[0，2]. 【解】f′(x)＝(x－1)ex－2(x－1)＝(x－1)·(ex－2)，x∈[0，2]， 令f′(x)＝0得x＝1或x＝ln 2. 计算得f(1)＝－e，f(ln 2)＝4ln 2－(ln 2)2－5，f(0)＝－3，f(2)＝－1. 由f(ln 2)－f(2)＝4ln 2－(ln 2)2－4＝－(2－ln 2)2＜0知f(ln 2)<f(2)， 由f(ln 2)－f(0)＝4ln 2－(ln 2)2－2＞0知f(ln 2)>f(0)， 所以f(2)>f(ln 2)>f(0)， 故函数f(x)在[0，2]上的最大值为－1，最小值为 －3. 新知学习 探究 返回导航 求函数在给定闭区间上的最值的注意事项 (1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定闭区间内． (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值． (3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 三　利用最值证明不等式 　已知函数f(x)＝ex－e(ln x＋1)，求证：f(x)≥0恒成立． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 证明不等式恒成立，用导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式直接构成函数，利用导数的方法，通过分类讨论研究函数的最值，即可得到结果． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 1．(多选)下列结论中不正确的是(　　) A．若函数f(x)在区间[a，b]上有最大值，则这个最大值一定是函数f(x)在区间[a，b]上的极大值 B．若函数f(x)在区间[a，b]上有最小值，则这个最小值一定是函数f(x)在区间[a，b]上的极小值 C．若函数f(x)在区间[a，b]上有最值，则最值一定在x＝a或x＝b处取得 D．若函数f(x)在区间[a，b]内连续，则f(x)在区间[a，b]内必有最大值与最小值 √ √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 解析：若函数f(x)在区间[a，b]上有最值，则最值可能在极值点或区间端点处取得，故A，B，C都不正确； 连续函数在闭区间上一定有最值，故D正确．故选ABC. 课堂巩固 自测 返回导航 2．(教材P84练习T1改编)函数f(x)＝x3－3x＋1在区间[－3，0]上的最大值和最小值分别是(　　) A．1，－1　　　　　　　 B．1，－17 C．3，－17 D．9，－19 解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)， 令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1(舍去). 又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，f(－1)＝－1＋3＋1＝3， 所以最大值为3，最小值为－17. √ 课堂巩固 自测 返回导航 3．函数f(x)＝(x＋1)ex的最小值是________． 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：函数最值的定义、求函数的最值、函数最值的应用． 2．须贯通：会求不含参函数的最值． 3．应注意：忽视函数的最值与极值的区别与联系．　 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．　2.会求某闭区间上函数的最值． 提示：如图． 容易发现，开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值，若有最值，则一定是在极值点处取到． eq \a\vs4\al(一　函数最值的概念) 函数的最值点与最值 (1)最值点 ①最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数f(x)在这个区间上所有点处的函数值都 eq \o(□,\s\up1(1)) ____________f(x0). ②最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数f(x)在这个区间上所有点处的函数值都 eq \o(□,\s\up1(2)) ____________f(x0). (2)最值：函数的 eq \o(□,\s\up1(3)) ____________________和 eq \o(□,\s\up1(4)) __________________统称为最值． (3)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的 eq \o(□,\s\up1(5)) ________； ②将函数y＝f(x)的 eq \o(□,\s\up1(6)) ________________与 eq \o(□,\s\up1(7)) __________处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是 eq \o(□,\s\up1(8)) ____________，最小的一个是 eq \o(□,\s\up1(9)) ____________． eq \a\vs4\al(二　求函数的最值) 　(对接教材例4)求下列函数的最值． (1)f(x)＝－x2＋3x－ln x，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) ； 【解】　f′(x)＝－2x＋3－ eq \f(1,x) ＝－ eq \f(（2x－1）（x－1）,x) ，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) ， 令f′(x)＝0得x＝ eq \f(1,2) 或x＝1. 则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) ＝ eq \f(5,4) ＋ln 2，f(1)＝2，f(2)＝2－ln 2. 、 由f(2)－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) ＝(2－ln 2)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)＋ln 2)) ＝ eq \f(3,4) －2ln 2＜0知f(2)＜f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) . 由f(1)－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) ＝2－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)＋ln 2)) ＝ eq \f(3,4) －ln 2＞ eq \f(3,4) －ln eq \r(4,e3) ＝0知f(1)＞f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) .所以f(1)>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) >f(2)， 故函数f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) 上的最大值为2，最小值为2－ln 2. [跟踪训练1]　 求函数f(x)＝ eq \f(1,2) x＋sin x，x∈[0，2π]的最值． 解：f′(x)＝ eq \f(1,2) ＋cos x，令 f′(x)＝0，由x∈[0，2π]，解得x＝ eq \f(2π,3) 或x＝ eq \f(4π,3) . 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表． x 0 (0， eq \f(2π,3) ) eq \f(2π,3) ( eq \f(2π,3) ， eq \f(4π,3) ) eq \f(4π,3) ( eq \f(4π,3) ，2π) 2π f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 0 单调 递增 eq \f(π,3) ＋ eq \f(\r(3),2) 单调 递减 eq \f(2π,3) － eq \f(\r(3),2) 单调 递增 π 由表可知，当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π. 【证明】　由题意知f′(x)＝ex－ eq \f(e,x) ＝ eq \f(xex－e,x) ， 设F(x)＝xex－e(x>0)，则F(x)在(0，＋∞)上单调递增，且F(1)＝0. 当x∈(0，1)时，F(x)<0， 所以f′(x)＝ eq \f(F（x）,x) <0，f(x)单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，F(x)>0， 所以f′(x)＝ eq \f(F（x）,x) >0，f(x)单调递增． f(x)的最小值为f(1)＝0， 所以f(x)≥0恒成立． [跟踪训练2] 已知函数f(x)＝ eq \f(1,2) x2＋ln x．求证：在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝ eq \f(2,3) x3的图象的下方． 证明：设F(x)＝g(x)－f(x)， 即F(x)＝ eq \f(2,3) x3－ eq \f(1,2) x2－ln x， 则F′(x)＝2x2－x－ eq \f(1,x) ＝ eq \f(（x－1）（2x2＋x＋1）,x) . 当x>1时，F′(x)>0， 从而F(x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以F(x)>F(1)＝ eq \f(1,6) >0. 所以当x>1时，g(x)－f(x)>0， 即f(x)<g(x)， 故在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数 g(x)＝ eq \f(2,3) x3的图象的下方． － eq \f(1,e2) 解析：f(x)＝(x＋1)ex⇒f′(x)＝(x＋2)ex， 当x>－2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x<－2时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 因此当x＝－2时，函数有最小值， 最小值为f(－2)＝(－2＋1)e－2＝－ eq \f(1,e2) . 4．求函数f(x)＝ eq \f(x,e2x) 的最值． 解：由题意知f(x)的定义域为R. f′(x)＝(1－2x)e－2x，令f′(x)＞0，得x＜ eq \f(1,2) ，令 f′(x)＜0，得x＞ eq \f(1,2) ， 所以f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) 上单调递增，在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) 上单调递减． 故函数f(x)的最大值为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) ＝ eq \f(1,2) e－1，无最小值． $