7.2 实际问题中的最值问题-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用课件(北师大版)

该高中数学课件聚焦“实际问题中的最值问题”，通过导数工具解决几何、费用、利润等实际最优化问题，以华罗庚名言导入连接数学与生活，搭建从导数理论到实际应用的学习支架。 其亮点在于结合长方体容器、圆形广场绿化等生活实例，引导学生用数学眼光发现问题，通过建模、求导分析培养数学思维，以规范函数表达式体现数学语言。例题解析与跟踪训练结合，帮助学生掌握方法，教师教学有明确流程，提升效率。

7．2　实际问题中的最值问题 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 思考　“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧， 地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学．” 著名数学家华罗庚曾如此精辟地论述了数学与生活的 关系．导数作为数学工具是如何在生活中应用的呢？ 提示：导数作为数学工具可以解决生活中的一些实际问题，如面积最小、体积最大、成本最低、利润最大、时间最少等． 新知学习 探究 返回导航 一　几何中的最值问题 　(对接教材例4)如图所示是一个长方体容器，长方体的上、下底面为正方形，容器顶部是一个圆形的盖子，圆与上底面四条边都相切，该容器除了盖子以外的部分均用铁皮制作，共使用铁皮的面积为 16 dm2.假设圆形盖子的半径为r dm，该容器的容积为V dm3，铁皮厚度忽略不计． 新知学习 探究 返回导航 (1)求V关于r的函数关系式； 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)当该容器的高AA1为多少dm时，V取最大值？ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 几何中最值问题的求解思路 面积、体积(容积)最大、周长最短、距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．　 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练1] 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度). 新知学习 探究 返回导航 (1)将S表示为θ的函数； 新知学习 探究 返回导航 (2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 二　用料最省、费用最低问题 　 (2024·安徽阜阳期末)某城镇在规划的工业园区内架设一条16 km的高压线，已知该段线路两端的高压线塔已经搭建好，余下的工程只需在已建好的两座高压线塔之间等距离的再修建若干座高压线塔和架设电线．已知建造一座高压线塔需2万元，搭建距离为x km的相邻两高压线塔之间的电线和人工费用等为4x[ln (x＋0.48)－0.125]万元，所有高压线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为y万元． 新知学习 探究 返回导航 (1)写出y关于x的函数关系式； 新知学习 探究 返回导航 (2)需要新建多少座高压线塔，才能使余下的工程费用y有最小值？最小值是多少？(参考数据：ln 2≈0.69，ln 10≈2.30) 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (1)用料最省、费用最低问题是日常生活中常见的一类问题，解决这类问题要明确自变量的意义(范围)以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答． (2)利用导数的方法解决实际问题．当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．　 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练2] 已知A，B两地相距200 km，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8 km/h，船在静水中的航行速度为v km/h(8＜v≤v0).若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v＝12 km/h时，船每小时航行所需的燃料费为720元．为了使全程燃料费最省，船的实际航行速度应为多少？ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 ①v0>16，则当v∈(8，16)时，y′＜0，即y单调递减； 当v∈(16，v0]时，y′＞0，即y单调递增， 故当v＝16 km/h时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省； ②8<v0≤16，当v∈(8，v0]时，y′≤0， 即y单调递减， 故当v＝v0时，全程燃料费最省． 综上可得，若v0>16，则当v＝16 km/h时，全程燃料费最省；若8<v0≤16，则当v＝v0时，全程燃料费最省． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (1)写出年利润P(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本) 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润约是多少？(取e3≈20). 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (1)利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．求解时要注意：①价格要大于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利． 新知学习 探究 返回导航 (2)利用导数解决生活中的最优化问题的注意点 ①在解决最优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式表示，还应确定出函数关系式中自变量的取值区间； ②在实际问题中，当函数f(x)在区间内仅有一个极大(小)值点时，那么这个极大(小)值点，也是函数的最大(小)值点； ③在求实际问题的最大(小)值时，所得结果要符合问题的实际意义．　 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)若该商品的成本为3元/kg，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 新知学习 探究 返回导航 令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6(舍去). 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：       由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点． 所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值 f(4)＝42. 所以当销售价格为4元/kg时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． x (3，4) 4 (4，6) f′(x) ＋ 0 － f(x) ↗ 极大值 ↘ 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 3．(教材P100T2改编)把长度为8的线段分成四段，围成一个矩形，则矩形面积的最大值为________． 4 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：面积、体积最值问题，用料最省、费用最低问题，利润最大问题． 2．须贯通：面积与体积最值问题． 3．应注意：(1)题意理解不透彻，列解析式错误； (2)求导错误，最值求错； (3)漏掉实际问题中的定义域致错．　 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(学习目标) 1.了解导数在实际问题中的意义．　2.能运用导数求解实际生活中简单的最优化问题． 【解】　设AA1＝a dm. 由题意得(2r)2－πr2＋(2r)2＋8ar＝16， 可得a＝ eq \f(16＋（π－8）r2,8r) ， 所以V＝(2r)2a＝8r＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－4)) r3. 由a>0，得 eq \f(16＋（π－8）r2,8r) >0， 解得0<r< eq \f(4,\r(8－π)) ， 因此V＝8r＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－4)) r3，r∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,\r(8－π)))) . 【解】　由(1)知V′＝8＋3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－4)) r2， 令V′>0，得0<r< eq \f(4,\r(3（8－π）)) ； 令V′<0，得 eq \f(4,\r(3（8－π）)) <r< eq \f(4,\r(8－π)) ， 所以V在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,\r(3（8－π）)))) 上单调递增，在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,\r(3（8－π）))，\f(4,\r(8－π)))) 上单调递减， 所以当r＝ eq \f(4,\r(3（8－π）)) 时，V取最大值，此时a＝ eq \f(\r(3（8－π）),3) ， 即当该容器的高AA1为 eq \f(\r(3（8－π）),3) dm时，V取最大值． 解：由题图知，BM＝AO sin θ＝100sin θ， AB＝MO＋AO cos θ＝100＋100cos θ， 则S＝ eq \f(1,2) BM·AB ＝ eq \f(1,2) ×100sin θ·(100＋100cos θ) ＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π). 解：S′＝5 000(2cos2θ＋cosθ－1) ＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1). 令S′＝0，得cos θ＝ eq \f(1,2) 或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝ eq \f(π,3) . 当θ变化时，S′，S的变化情况如下表： θ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))) eq \f(π,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)) S′ ＋ 0 － S  极大值  所以当θ＝ eq \f(π,3) 时，S取得最大值， Smax＝3 750 eq \r(3) m2，此时AB＝150 m， 即当绿化面积S最大时，点A到北京路一边l的距离为150 m，最大面积为 3 750 eq \r(3) m2. 【解】　由题意知，需要新建的高压线塔为 eq \f(16,x) －1(0<x≤16)座． 所以y＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,x)－1)) ＋ eq \f(16,x) ×4x[ln (x＋0.48)－0.125]， 即y＝ eq \f(32,x) ＋64ln (x＋0.48)－10(0<x≤16). 【解】　由(1)得， y′＝－ eq \f(32,x2) ＋ eq \f(64,x＋0.48) ＝ eq \f(32（2x2－x－0.48）,x2（x＋0.48） ) ， 令y′＝0得x＝0.8或x＝－0.3(舍去). 当0<x<0.8时，y′<0；当0.8<x≤16时，y′>0， 所以函数在区间(0，0.8)上单调递减，在区间(0.8，16]上单调递增． 所以当x＝0.8时，y取得最小值， 且ymin＝ eq \f(32,0.8) ＋64ln 1.28－10＝30＋64×(7ln 2－2ln 10)≈44.72(万元)， 此时应新建高压线塔 eq \f(16,0.8) －1＝19(座). 故需要新建19座高压线塔才能使余下的工程费用最小，且最小值约为44.72万元． 解：设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k(k＞0)，则y1＝kv2. 因为当v＝12时，y1＝720，所以720＝k·122，解得k＝5，则y1＝5v2， 设全程燃料费为y元， 由题意，得y＝y1· eq \f(200,v－8) ＝ eq \f(1 000v2,v－8) ， 所以y′＝ eq \f(2 000v（v－8）－1 000v2,（v－8）2) ＝ eq \f(1 000v2－16 000v,（v－8）2) . 令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16. eq \a\vs4\al(三　利润最大问题) 　(对接教材例5)某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x(单位：万件)，需另投入流动成本C(x)(单位：万元)，当年产量小于7万件时，C(x)＝ eq \f(1,3) x2＋2x；当年产量不小于7万件时，C(x)＝6x＋ln x＋ eq \f(e3,x) －17.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完． 【解】　因为每件产品售价为6元，则x万件商品销售收入为6x万元， 由题意可得，当0<x<7时，P(x)＝6x－C(x)－2＝6x－ eq \f(1,3) x2－2x－2＝－ eq \f(1,3) x2＋4x－2； 当x≥7时，P(x)＝6x－C(x)－2＝6x－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x＋ln x＋\f(e3,x)－17)) －2＝15－ln x－ eq \f(e3,x) . 所以P(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋4x－2，0<x<7，,15－ln x－\f(e3,x)，x≥7.)) 【解】　由(1)可得，当0<x<7时，P(x)＝－ eq \f(1,3) x2＋4x－2＝－ eq \f(1,3) (x－6)2＋10≤10，当且仅当x＝6时，年利润最大，最大为10万元． 当x≥7时，P(x)＝15－ln x－ eq \f(e3,x) ， 则P′(x)＝－ eq \f(1,x) ＋ eq \f(e3,x2) ＝ eq \f(e3－x,x2) ， 所以当7≤x<e3时，P′(x)>0， 即函数P(x)＝15－ln x－ eq \f(e3,x) 单调递增； 当x>e3时，P′(x)<0， 即函数P(x)＝15－ln x－ eq \f(e3,x) 单调递减． 所以当x＝e3时，P(x)取得最大值，最大值为 P(e3)＝15－ln e3－ eq \f(e3,e3) ＝11. 综上，当x＝e3≈20时，P(x)取得最大值， 即当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大年利润约是11万元． 解：因为当x＝5时，y＝11， 所以 eq \f(a,2) ＋10＝11，所以a＝2. [跟踪训练3] 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：kg)与销售价格x(单位：元/kg)满足关系式y＝ eq \f(a,x－3) ＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知当销售价格为5元/kg时，每日可售出该商品11kg. (1)求a的值； 解：由(1)可知，该商品每日的销售量为 y＝ eq \f(2,x－3) ＋10(x－6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x)＝(x－3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10（x－6）2)) ＝2＋10(x－3)(x－6)2，3<x<6. 从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6). 1.一窗户的上部是半圆，下部是矩形，大致图形如图所示．如果窗户面积为S，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为(　　) A． eq \r(\f(3S,π＋4)) 　　　　　　 B． eq \r(\f(S,π＋4)) C． eq \r(\f(2S,π＋4)) D．2 eq \r(\f(S,π＋4)) 解析：设窗户面积为S，周长为L，圆的半径为x(x>0)，矩形高为h， 则S＝ eq \f(π,2) x2＋2hx，h＝ eq \f(S,2x) － eq \f(π,4) x， 所以窗户的周长 L＝πx＋2x＋2h＝ eq \f(S,x) ＋2x＋ eq \f(π,2) x， 所以L′＝2＋ eq \f(π,2) － eq \f(S,x2) ，由L′＝0，得x＝ eq \r(\f(2S,π＋4)) (负值已舍去)，当x∈(0, eq \r(\f(2S,π＋4)) )时，L′<0，函数单调递减，当x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al( \r(\f(2S,π＋4)))，＋∞)) 时，L′>0，函数单调递增，所以当x＝ eq \r(\f(2S,π＋4)) 时，L取得最小值．故选C. 2．内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为(　　) A． eq \f(2\r(3),3) R B． eq \f(4\r(3),9) R C． eq \f(2\r(3),9) R D． eq \f(4,9) R 解析：根据题意，设圆柱底面半径为r，圆柱的高为h，作出示意图如图， 显然满足r2＝R2－ eq \f(h2,4) ， 故圆柱的体积V(h)＝πr2×h＝－ eq \f(1,4) πh3＋πR 2h， 则V′(h)＝－ eq \f(3,4) πh2＋πR2(0<h<2R)， 令V′(h)>0，解得0<h< eq \f(2\r(3),3) R，故此时 V(h)单调递增， 令V′(h)<0，解得 eq \f(2\r(3),3) R<h<2R，故此时V(h)单调递减． 故V(h)max＝V eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)R)) . 即当h＝ eq \f(2\r(3),3) R时，圆柱的体积最大． 故选A. 解析：设矩形的长为x，则宽为 eq \f(8－2x,2) ＝4－x，所以矩形面积为S＝x(4－x)＝－x2＋4x(0＜x＜4)，所以S′＝－2x＋4，令S′＝0，得x＝2，当0<x<2时，S′>0，S单调递增，当2<x<4时，S′<0，S单调递减，所以当x＝2时，S取最大值，故矩形的最大面积为S＝2×(4－2)＝4. 4．某商品的成本C(单位：元)和产量q(单位：吨)满足函数关系C＝50 000＋200q，该商品的销售单价p(单位：元)和产量q满足函数关系p＝24 200－ eq \f(1,5) q2，要使利润最大，应如何确定产量？ 解：设每月生产q吨时的利润为f(q)， 则f(q)＝(24 200－ eq \f(1,5) q2)q－(50 000＋200 q)＝ － eq \f(1,5) q3＋24 000q－50 000(q≥0)， 则f′(q)＝－ eq \f(3,5) q2＋24 000， 令f′(q)＝－ eq \f(3,5) q2＋24 000＝0，解得q＝200或q＝－200(舍去)， 当0≤q<200时f′(q)>0，当q>200时 f′(q)<0， 所以f(q)在[0，200)上单调递增，在(200，＋∞)上单调递减， 所以函数f(q)在q＝200处取得极大值也是最大值， 所以f(q)max＝f(200)＝－ eq \f(1,5) ×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元). 即每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元． $