1.2 数列的函数特性-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用课件(北师大版)

该高中数学课件聚焦“数列的函数特性”，从函数观点切入，通过新课导学明确数列是定义域为正整数集的特殊函数，结合思考作图、即时练（如素数数列、摆动数列图象绘制）搭建学习支架，帮助学生从函数知识自然过渡到数列特性理解。 其亮点在于通过动手作图培养几何直观（数学眼光），例题中数列增减性求参数问题训练逻辑推理（数学思维），解题技巧与课堂小结规范数学表达（数学语言）。如即时练让学生直观感受数列图象为孤立点，例1通过不等式恒成立转化参数范围，提升学生理解与推理能力，为教师提供结构化探究式教学资源。

1．2　数列的函数特性 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 从函数的观点看，数列的项an是序号n的函数． 即数列可以看成以正整数集N＋(或其子集{1，2，…，n})为定义域的函数，当自变量n按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值． 反过来，对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i＝1，2，3，…，n，…)有意义，那么我们可以得到一个数列， f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…. 新知学习 探究 返回导航 思考　作出下列函数的图象： ①3，4，5，6，7，8，9； 提示：在平面直角坐标系中描出各点： (1，3)，(2，4)，(3，5)，(4，6)，(5，7)，(6，8)，(7，9)． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 正整数集 (n，an) 新知学习 探究 返回导航 【即时练】 写出下列数列的前5项，并作出它们的图象： (1)按从小到大的顺序排列的所有素数构成的数列； 解：数列的前5项为2，3，5，7，11，其图象如图1所示． 图1 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (3)an＝(－1)n＋2. 解：数列的前5项为1，3，1，3，1，其图象如图3所示．   图3 新知学习 探究 返回导航 数列是一个特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图象，因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的．　 新知学习 探究 返回导航 an＋1>an　 an＋1<an an＋1＝an 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 角度2　已知数列的增减性求参数 (1)(2024·安徽宿州高二期中)已知{an}的通项公式为an＝－n2＋λn(λ∈R)，若数列{an}为递减数列，则实数λ的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，3) D．(－3，＋∞) √ 新知学习 探究 返回导航 【解析】　an－an＋1＝－n2＋λn－[－(n＋1)2＋λ(n＋1)]＝2n＋1－λ， 由数列{an}为递减数列，则2n＋1－λ＞0， 即λ＜2n＋1恒成立，即λ＜(2n＋1)min. 当n＝1时，2n＋1的最小值为3，即λ＜3. 故选C. 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 利用数列的增减性求参数的取值范围的方法 解决此类问题常利用以下等价关系：数列{an}为递增数列⇔an＋1＞an(n∈N＋)；数列{an}为递减数列⇔an＋1＜an(n∈N＋)．进而转化为不等式成立(恒成立)问题，通过分离变量转化为求代数式的最值来解决，或由数列的函数特性，通过构建变量的不等关系，解不等式(组)来确定变量的取值范围．　 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 8和9 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练2] 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ 解：由n2－5n＋4<0，解得1<n<4. 因为n∈N＋，所以n＝2，3， 所以数列中有两项是负数． 新知学习 探究 返回导航 (2)当n为何值时，an有最小值？并求出最小值． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ √ 解析：选项C，D既是无穷数列又是递增数列，而选项A是递减数列，选项B不是递增数列． 课堂巩固 自测 返回导航 2．(多选)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1，设数列{an}的通项公式为an＝f(n)(n∈N＋)，则此数列(　　) A．图象是二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象 B．是递减数列 C．从第3项往后各项均为负数 D．有两项为1 √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 解析：由题意得an＝－n2＋2n＋1，由数列与函数的关系可知，数列{an}的图象是分布在二次函数y＝－x2＋2x＋1图象上的离散的点，如图所示，故A错误；从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，只有第2项为1，从第3项往后各项均为负数，所以B，C正确，D错误．故选BC. 课堂巩固 自测 返回导航 3．已知数列2a＋1，a－2，3a－2为递减数列，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意可知2a＋1＞a－2＞3a－2，解得－3＜a＜0，故实数a的取值范围是(－3，0)． (－3，0) 课堂巩固 自测 返回导航 4．(2024·陕西西安模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋9n＋3. (1)试确定－2和3是否为数列{an}中的项．若是，是第几项；若不是，请说明理由； 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 (2)试求数列{an}的最大项． 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：数列的表示方法、数列的增减性的判断及应用、求数列的最大(小)项． 2．须贯通：数列增减性的判断以及求数列的最大(小)项． 3．应注意：求数列的最大(小)项时，忽略数列是定义域为N＋(或其子集)的特殊函数而出错．　 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.通过数列表示法的学习，了解数列的几种简单的表示方法，加强定义理解．　2.通过数列分类的学习，了解递增数列、递减数列、常数列的概念．　 3.通过数列增减性的学习，掌握判断数列增减性的方法，数列最大(小)项的求法． 提示：在平面直角坐标系中描出各点： (1，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,3)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,5)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,7)))，…. ②1，eq \f(1,3)，eq \f(1,5)，eq \f(1,7)，…. eq \a\vs4\al(一　数列与函数的关系) 可以把一个数列视作定义在eq \o(□,\s\up1(1))__________(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为eq \o(□,\s\up1(2))____________，n＝1，2，3，…这个图象也称为数列的图象． (2)an＝eq \f(n＋1,n)； 解：数列的前5项为2，eq \f(3,2)，eq \f(4,3)，eq \f(5,4)，eq \f(6,5)，其图象如图2所示． 图2 eq \a\vs4\al(二　数列的增减性) 递增数列 数列{an}从第2项起，每一项都大于它的前一项，即eq \o(□,\s\up1(1))____________ 递减数列 数列{an}从第2项起，每一项都小于它的前一项，即eq \o(□,\s\up1(2))____________ 常数列 数列{an}的各项都相等， 即eq \o(□,\s\up1(3))__________ 角度1　判断数列的增减性 　(对接教材例3)已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(n,n2＋1)(n∈N＋)，试判断该数列的增减性，并说明理由． 【解】　数列{an}为递减数列，理由如下： an＋1－an＝eq \f(n＋1,（n＋1）2＋1)－eq \f(n,n2＋1) ＝eq \f(（n＋1）（n2＋1）－n[（n＋1）2＋1],[（n＋1）2＋1]（n2＋1）) ＝eq \f(－n2－n＋1,[（n＋1）2＋1]（n2＋1）) ＝eq \f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(5,4),[（n＋1）2＋1]（n2＋1）). 因为(n＋1)2＋1>0，n2＋1>0， 所以只需讨论函数f(n)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(5,4)的符号， 因为函数f(n)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(5,4)在区间[1，＋∞)上单调递减， 所以当n≥1时，f(n)≤f(1)＝－1<0. 所以an＋1－an<0，即an＋1<an， 所以数列{an}是递减数列． 应用函数单调性判断数列增减性的方法 (1)作差法：将an＋1－an与0进行比较． (2)作商法：将eq \f(an＋1,an)与1进行比较(在作商时，要注意an＜0还是an＞0)．　 (2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（3－a）x－3，x≤7，,ax－6，x>7.))若数列{an}满足an＝f(n)，n∈N＋，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，3) B．(eq \f(9,4)，3) C．(2，3) D．(1，2) 【解析】　由题意知an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（3－a）n－3，n≤7，,an－6，n>7.)) 因为数列{an}是递增数列， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－a>0，,a>1，,（3－a）×7－3<a8－6，)) 解得2<a<3，故实数a的取值范围是(2，3)． [跟踪训练1] (1)已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(2n＋1,n)，则数列{an}为(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．以上选项都不正确 解析：因为an＝eq \f(2n＋1,n)＝2＋eq \f(1,n)，所以当n≥2时，an－an－1＝2＋eq \f(1,n)－2－eq \f(1,n－1)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n－1)＝eq \f(－1,n（n－1）)<0，所以an<an－1，所以数列{an}为递减数列．故选B. (2)已知数列{an}的通项公式为an＝n＋eq \f(a,n)，若数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，2) D．[1，＋∞) 解析：因为数列{an}是递增数列，所以an＋1＞an， 所以n＋1＋eq \f(a,n＋1)＞n＋eq \f(a,n)，所以a＜n2＋n. 又n∈N＋，所以a＜12＋1＝2. eq \a\vs4\al(三　数列的最大（小）项) 　(1)在数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N＋)，则此数列最大项的值是(　　) A．30 B.eq \f(121,4) C．25 D．36 【解析】　因为an＝－n2＋11n＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(11,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(121,4)(n∈N＋)，故当n＝5或n＝6时，an取得最大值，最大值为30.故选A. (2)已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(9n（n＋1）,10n)，则数列{an}中的最大项是第________项． 【解析】　因为an＝eq \f(9n（n＋1）,10n)， 所以an＋1－an＝eq \f(9n＋1（n＋2）,10n＋1)－eq \f(9n（n＋1）,10n)＝eq \f(9n（8－n）,10n＋1)， 所以当n＜8时，an＋1＞an， 当n＝8时，an＋1＝an，即a9＝a8； 当n＞8时，an＋1＜an. 所以数列{an}有最大项，最大项为第8项和第9项． 求数列{an}的最大(小)项的方法 (1)利用数列的增减性，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项． (2)利用“两边夹”的思想，若设an为数列{an}的最大项，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2，n∈N＋)；若设an为数列{an}的最小项，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an＋1，,an≤an－1))(n≥2，n∈N＋)，解不等式组即可．　 解：方法一：因为an＝n2－5n＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2))) eq \s\up12(2)－eq \f(9,4)，可知对称轴方程为n＝eq \f(5,2)＝2.5. 又因为n∈N＋，故当n＝2或n＝3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2. 方法二：设第n项最小， 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an＋1，,an≤an－1，))n≥2且n∈N＋， 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n2－5n＋4≤（n＋1）2－5（n＋1）＋4，,n2－5n＋4≤（n－1）2－5（n－1）＋4.)) 解得2≤n≤3，所以n＝2，3， 所以当n＝2或n＝3时，an有最小值， 所以a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2. 1．(多选)(教材P7练习T2改编)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　) A．1，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，…，eq \f(1,n)，… B．sin eq \f(1,7)π，sin eq \f(2,7)π，sin eq \f(3,7)π，…，sin eq \f(n,7)π，… C．－1，－eq \f(1,2)，－eq \f(1,4)，－eq \f(1,8)，…，－eq \f(1,2n－1)，… D．1，eq \r(2)，eq \r(3)，…，eq \r(n)，… 解：令－2n2＋9n＋3＝－2， 即2n2－9n－5＝0， 解得n＝5或n＝－eq \f(1,2)(舍去)． 令－2n2＋9n＋3＝3， 即2n2－9n＝0， 解得n＝0(舍去)或n＝eq \f(9,2)(舍去)． 故－2为数列{an}中的项，且为第5项，3不是数列{an}中的项． 解：方法一：an＝－2n2＋9n＋3可看作关于n的二次函数，由二次函数的性质可得函数y＝－2x2＋9x＋3图象的对称轴为直线x＝eq \f(9,4)，又n∈N＋，所以当n＝2时，an取到最大值13，即最大项为a2＝13. 方法二：假设an最大，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2n2＋9n＋3≥－2（n－1）2＋9（n－1）＋3，,－2n2＋9n＋3≥－2（n＋1）2＋9（n＋1）＋3，)) 解得eq \f(7,4)≤n≤eq \f(11,4)， 又n∈N＋，所以当n＝2时，an取到最大值13，即最大项为a2＝13. $